Teoria do números - Classificações especiais

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Teoria do números - Classificações especiais

  1. 1. matematicaconcursos.blogspot.comProfessor: Rômulo GarciaEmail: machadogarcia@gmail.comConteúdo Programático: Teoria dos Números – Exercícios e alguns conceitos importantesNúmeros PerfeitosUm inteiro positivo n diz-se perfeito se e somente se é igual à soma de todos os seus divisores positivos, exceto odivisor trivial n. A soma de todos os divisores positivos de n, com exceção do divisor n, é igual a s(n) – n e, portanto, né um número perfeito se e somente se a seguinte condição se verifica: n = s(n) – n ou s(n) = 2n.Isto é, um inteiro positivo n é um número perfeito se e somente se a soma de todos os seus divisores positivos é igual aoseu dobro (2n).Assim, por exemplo, para n = 6 e n = 28, temos:s(6) = 1 = 2 + 3 + 6 = 12 = 2.6 e s(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2.28de modo que os inteiros positivos 6 e 28 são ambos números perfeitos.Teorema (de Euclides): Se 2k – 1 é primo (k > 1), então o inteiro positivo n = 2k – 1(2k – 1) é um número perfeito.Teorema (de Euler): Se n é um número perfeito par, então n = 2k – 1(2k – 1) onde 2k – 1 é primo.Exemplo: Mostrar que, se n é número perfeito par, então 8n + 1 é um quadrado perfeito.Solução:Pelo Teorema de Euler, se n é um número perfeito par n = 2k – 1(2k – 1), onde 2k – 1 é primo. 3 k–1 kx = 8n + 1 = 2 [2 (2 – 1)] + 1 = 2 2k + 2 –2 k+2 +1=2 2(k + 1) – 2.2k + 1 + 1 = (2k + 1 – 1)2Números MultiperfeitosUm inteiro positivo n diz-se um número multiperfeito de ordem k ou um k-número perfeito se e somente se a soma dosdivisores naturais de n for um múltiplo de k (k 3),ou seja, s(n) = kn, onde k 3 é um inteiro. Designa-se um númeromultiperfeito de ordem k por Pk.Assim, por exemplo, o inteiro positivo 30240 = 25.33.5.7 é um número multiperfeito de ordem 4 (ou um número P4), 2 6 1 34 1 5 2 1 7 2 1pois, temos: s(30240 ) . . . 63 .40.6.8 120960 4.30240 2 1 3 1 5 1 7 1Teorema (de Descartes) (mencionado em uma carta enviada a Mersenne em 15 novembro de 1638):1o: Se n é um número P3 e não é divisível por 3, então 3n é um número P4.2o: Se um número n é divisível por 3 mas não é divisível nem por 5 ou por 9, e se é um número P 3, então 45n é P4.3o: Se um número n não é divisível por 3 e se 3n é um número P4k, então n é um número P3k.Exemplo 6.17: Mostrar que nenhum inteiro da forma n = 2a.3b é um 3-número perfeito.Solução:Suponhamos, por absurdo, que exista um n = 2a.3b tal que s(n) = 3n = 2a.3b + 1 [(2a + 1 – 1)/(2 – 1)][(3b + 1 – 1)/(3 – 1)] = 2a.3b + 1 (2a + 1 – 1)(3b + 1 – 1) = 2a + 1.3b + 1obviamente esta expressão não possui resposta., pois a expressão do lado direito da igualdade é estritamente maior quea expressão do lado esquerdo.Números AmigosDois inteiros positivo m e n dizem-se números amigos se e somente se a soma dos divisores positivos de m, exceto odivisor m, é igual a n, e a soma dos divisores positivos de n, exceto o divisor n, é igual a m.Em outras palavras, dois inteiros positivos m e n dizem-se amigos se e somente se s(m) – m = n e s(n) – n = mou seja, o que é equivalente a s(m) = m + n = s(n).
  2. 2. matematicaconcursos.blogspot.comExemplo: Mostrar que os inteiros 220 e 284 são números amigos.Solução:220 = 22.5.11 s(220) – 220 = s(22).s(5).s(11) – 220 = 7.6.12 – 220 = 504 – 220 = 284284 = 22.71 s(284) – 284 = s(22).s(71) – 284 = 7.72 – 284 = 504 – 284 = 220Logo, por definição, os inteiros 220 e 284 são números amigos.Números Deficientes e AbundantesUm inteiro positivo n diz-se um número deficiente se e somente se s(n) – n < n ou s(n) < 2ne diz-se um número abundante se e somente se s(n) – n > n ou s(n) > 2n.Assim, por exemplo, os inteiros 15 e 18 são respectivamente um número deficiente ou abundante, pois, temos:s(15) = s(3.5) = s(3).s(5) = 4.6 = 24 < 2.15s(18) = s(2.32) = s(2).s(32) = 3.13 = 39 > 2.18Números PseudoprimosJá sabemos que, pelo Teorema de Fermat, se n é primo então n | 2 n – 2.Números compostos n para os quais n | 2n – 2 são denominados pseudoprimos. Os pseudoprimos 2000 são 341 =11.31,561 = 3.11.17, 645 = 3.5.43, 1105 = 5.13.17, 1387 = 19.73, 1729 = 7.13.19, 1905 = 3.5.127.Teorema: “Se n é um número ímpar pseudoprimo, então o número m = 2 n – 1 também é um número ímparpseudoprimo.”Teorema Simples de FermatTeorema (de Fermat): “Se p é um primo e se p não divide o inteiro a, então ap – 1 1 (mod. p).”Exemplo: Verificar o Teorema de Fermat com a = 3 e p = 7.Solução:O inteiro 7 é primo e 7 não divide 3. Temos: 37 – 1 = 36 = 729 e como 7 | (729 – 1), segue-se que729 1 (mod. 7), isto é: 37 – 1 1 (mod. 7)Função e Teorema de EulerFunção de Euler é uma função aritmética simbolizada por (n), definida para todo inteiro positivo n de tal modo que (n) é igual ao número de inteiros positivos que não superam n e que são primos com n.Exemplo: Se n = 30, então os inteiros positivos menores que 30 e primos com 30 são 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29, demodo que (30) = 8.Teorema: “Se o inteiro n > 1, então (n) = n – 1 se e somente se n é primo.”Teorema: “Se n p1 1 p k 2 ...p k r é a decomposição canônica do inteiro positivo n > 1, então: k 2 r (n ) k p1 1 k p1 1 1 p k2 p k2 1 ... p k r p kr 1 n 1 1 1 1 ... 1 1 .” 2 2 r r p1 p2 prExemplo: Calcular (7865).Solução:Sendo 7865 = 5.112.13, temos: (7865) = (5 – 1)(112 – 11)(13 – 1) = 4.110.12 = 5280. (n )Teorema (de Euler): “Se n é um inteiro positivo e se o mdc (a, n) = 1, então a 1 (mod. n).”
  3. 3. matematicaconcursos.blogspot.comExemplo: Determine os dois últimos dígitos de 3121.Solução:I) (100) = (100)(1 – 1/2)(1 – 1/5) = (10)(4) = 40II) Pelo Teorema de Euler: 3 (100) 1 (mod. 100) 340 1 (mod. 100) 3120 1 (mod. 100) 120 121(3 ).3 3 (mod. 100) 3 3 (mod. 100)III) Ou seja, os dois últimos dígitos (dezenas e unidades) de 3121 são 03Exemplo: Quais os possíveis resultados para os restos quando n 100 é dividido por 125, quando n assume todos os valoresinteiros positivos.Solução:I) Se n = 5k 125 | n100 resto = 0II) Se mdc (n, 125) = 1 temos que (125) = (53) = 53(1 – 1/5) (125) = 100Assim, pelo Teorema de Euler, n100 1 (mod. 125) resto = 11) Resolver a equação y3 – x3 = 91, para x e y inteiros.2) Prove que N 5125 1 é um número composto. 5 25 13) Determine (com prova) todos os pares de inteiros (x, y) satisfazendo a equação: 1 + 1996x + 1998y = xy4) Sejam a, b, c, d, e, números naturais consecutivos tais que a + b + c + d + e é um cubo perfeito e b + c + d é umquadrado perfeito. Achar o mínimo valor possível de c.5) Iniciando de um certo inteiro positivo, é permitido fazer apenas uma operação: o dígito das unidades é separado emultiplicado por 4, e então este valor é somado ao restante do número. Por exemplo, o número 1997 é transformadopara 7.4 + 199 = 227. A operação é feita repetidamente. Prove que se a seqüência de números obtida contem 1001,então nenhum dos números na seqüência pode ser um número primo.6) Qual é o maior divisor primo de 216 – 16?a) 7b) 11c) 13d) 17e) 237) O menor inteiro positivo x para os quais 1260x = N3, onde N é um inteiro, é:a) 1050b) 1260c) 7350d) 44100e) nda8) Assuma que x2 – y2 = 63, com x, y N. Quantos valores distintos de x2 + y2 podem ser obtidos?a) 1b) 2c) 3d) 4e) nenhum dos anteriores9) O menor número primo que divide 311 + 512 é:a) 2b) 3c) 5
  4. 4. matematicaconcursos.blogspot.comd) 311 + 512e) nda10) Determine o maior natural n para o qual existe uma reordenação (a, b, c, d) de (3, 6, 9, 12) (isto é, {a, b, c, d} = {3, n6, 9, 12}) tal que o número 3a 6b9c12 d seja inteiro. Justifique sua resposta.11) Determine o produto entre o mdc e o mmc de {12, 24, 72, 120, 288}a) 8640 b) 17280 c) 34560 d) 11520 e) nda12) Determinar a quantidade de pares de números naturais (a, b) que verificam simultaneamente as seguintes duascondições: o máximo divisor comum entre a e b é igual ao produto dos 5 primeiros números naturais; o mínimomúltiplo comum entre a e b é igual ao produto dos 15 primeiros números naturais. Ou seja, mdc (a, b) = 1.2.3.4.5 emmc (a, b) = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.13) Achar o inteiro positivo da forma 2.15m.7n e que admite 36 divisores positivos.14) Um número natural N que é múltiplo de 83 é tal que N2 possui 63 divisores. Calcular N, sabendo que é o menornúmero possível que cumpre tais condições.15) Determine todos os inteiros positivos n que possuem exatamente 16 divisores inteiros positivos d1, d2, …, d16 taisque 1 = d1 < d2 < … < d16 = n, d6 = 18 e d9 – d8 = 17.16) Determinar todos os números inteiros n tais que (n + 98)/(n + 19) é um número inteiro.17) Quantas soluções inteiras e positivas possui a equação 2x + 3y = 1997?18) Assuma que m e n são inteiros tais que 5m + 6n = 100. Então, o maior valor possível de m.n é:a) 60b) 70c) 80d) 90e) nda19) Determinar o menor inteiro positivo que dividido por 8 e por 15 deixa os restos 6 e 13, respectivamente.20) Exprimir 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo sejadivisível por 11.21) Determinar as duas menores frações positivas que tenham 13 e 17 para denominadores e cuja soma seja igual a305/221.22) Demonstrar que, se a e b são inteiros positivos primos entre si, então a equação diofantina ax – by = c tem umnúmero infinito de soluções inteiras e positivas.23) Um rapaz recebeu R$ 100,00 da sua mãe para comprar alguns itens A, preço R$ 13,00 alguns B, preço R$ 7,00 eoutros C, preço R$ 18,00, em um supermercado, mas esqueceu a quantidade exata de cada item, lembrando-se apenasque não haveria troco. Encontre a probabilidade de que acerte o pedido de sua mãe.Encontre o menor inteiro positivo a para o qual a equação 1001x + 770y = 106 + a tem solução inteira. Neste caso,quantas soluções inteiras positivas (x > 0 e y > 0) existem?24) Uma das soluções inteiras e positivas da equação 19x + 97y = 1997 é, evidentemente, (x0,y0) = (100,1). Além desse,há apenas mais um par de números inteiros e positivos, (x1, y1), satisfazendo a equação. O valor de x1 + y1 é:
  5. 5. matematicaconcursos.blogspot.coma) 23b) 52c) 54d) 101e) 199725) Quantos são os pares (x, y) de inteiros positivos que satisfazem a equação 2x + 3y = 101 ?a) 13b) 14c) 15d) 16e) 1726) Quantos pares de inteiros (n, k) possuem a propriedade que 1 = 3n + 5k?a) 0b) 7c) 8d) 15e) infinitos27) Se x e y são inteiros positivos tais que 13x + 4y = 1000, então x + y vale:a) 10b) 12c) 14d) 16e) 1828) Demonstrar que 270 + 370 é divisível por 13.29) Mostre que 22225555 + 55552222 é divisível por 7.30) Mostrar que 1110 1 (mod. 100)31) Determine o dígito das centenas de 21999 + 22000 + 22001.32) Mostre que o número N 760 1998 201998 1910 1998 652 1998 é divisível por 1998. 9 1433) Achar os dois últimos algarismos de 9 9 e de 14 14 .34) Achar o algarismo das unidades de 7355.35) Calcular o resto da divisão por 8 de 436543 x 793767.36) Achar o resto da divisão de (1237156 + 34)28 por 111.37) Determine os três últimos dígitos de 79999.38) Demostrar que para todo n natural verifica-se: 32n 2 2 6n 1 0 (mod. 11).39) Prove que 3636 + 4141 é divisível por 77.40) Prove que 2015 – 1 é divisível por 11.31.61.41) Prove que:a) 1919 + 6969 é divisível por 44;b) 270 + 370 é divisível por 13.
  6. 6. matematicaconcursos.blogspot.com42) Prove que o número 55k + 1 + 45k + 2 + 35k é divisível por 11, para todo número natural k.43) Prove que se um inteiro n é primo com 10, a 101a potência de n termina com os mesmo 3 dígitos de n. Por exemplo,1233101 termina com os dígitos 233, e 37101 termina com os dígitos 037.44) Prove que 21997.1996 – 1 é divisível por 19972.45) Prove que 2147 – 1 é divisível por 343.46) Prove que para todo inteiro n, n30 – n14 – n18 + n2 é divisível por 46410.47) Mostrar que 2340 1 (mod. 341)48) Se n é inteiro não divisível por 5, demonstre que ao dividir n 4 – 1991 por 5, o resto é zero.49) Mostrar:a) 561 | (2561 – 2); b) 561 | (3561 – 3).50) Usando o Teorema de Fermat, achar o algarismo das unidades de 3 100.51) Achar o algarismo das unidades de 7355.52) Achar o resto quando 314162 é dividido por 163.53) Mostre que 1981 | (441980 – 441776)54) Qual é o resto quando 13 + 23 + 33 + 43 + … + 19903 é dividido por 7?55) Calcule o resto da divisão de 22002 por 101.56) Determine o resto das divisões de:a) 41234 por 3b) 20100 por 17c) 2000.22000 – 1 por 357) Entre o resto da divisão de 520 por 26.58) Mostre que (8355 + 6)18 – 1 é divisível por 112.59) Encontre os dois últimos dígitos de:a) 71000b) 22000c) 5600 + 19200d) 72000 . 230060) Prove que, para todo n natural, 37n + 2 + 16n + 1 + 23n é divisível por 7.
  7. 7. matematicaconcursos.blogspot.comSolução de várias questões:1) Análise inicial:Podemos decompor y3 – x3 da forma: y3 – x3 = (y – x)(y2 + xy + x2) = 91 = 7.13Como y2 + xy + x2 é uma equação de segundo grau em y, que possui < 0, então y2 + xy + x2 > 0Assim, podemos ter as seguintes situações:(y – x) (y2 + xy + x2) =1 91 9191 1 9113 7 917 13 91Assim, analisando cada situação:1) y – x = 1 y2 + xy + x2 = 91 (y – x)2 + 3xy = 91 1 + 3xy = 91 xy = 30 e y = x + 1 x = 5 e y = 6 ou x = – 6 e y = – 52) y – x = 91 y2 + xy + x2 = 1 xy = – 2760 e y = x + 91 não existem inteiros x e y3) y – x = 7 y2 + xy + x2 = 13 xy = – 12 e y = x + 7 x = – 3 e y = 4 ou x = – 4 e y = 34) y – x = 13 y2 + xy + x2 = 7 xy = – 53 e y = x + 13 não existem inteiros x e y2) Inicialmente notemos que fazendo x = 525 temos N x 5 1 = x4 + x3 + x2 + x + 1. x 1Então:N = x4 + x3 + x2 + x + 1N = (x2 + 3x + 1)2 – 5x(x + 1)2 [( x 2 3x 1) 5x (x 1)][( x 2 3x 1) 5x (x 1)] .Como x = 5 temos: N = [(5 + 3.5 + 1) – 5 (5 + 1)][(550 + 3.525 + 1) + 513(525 + 1)], ou seja, N é a multiplicação 25 50 25 13 25de dois inteiros maiores que 1, implicando que N é composto.3) Podemos escrever a equação da seguinte forma:xy – 1996x – 1998y = 1 (x – 1996)(y – 1998) – 1996.1998 = 1 (x – 1996)(x – 1998) = 1 + 1996.1998(x – 1996)(x – 1998) = 1 + (1997 – 1)(1997 + 1) = 1 + 19972 – 1 (x – 1996)(x – 1998) = 19972Assim temos as possibilidades: i) x – 1996 = 1997 e y – 1998 = 1997 x = 3993 e y = 3995 ii) x – 1996 = – 1997 e y – 1998 = – 1997 x=–1 e y=1 2iii) x – 1996 = 1997 e y – 1998 = 1 x = 19972 – 1996 e y = 1999 2iv) x – 1996 = – 1997 e y – 1998 = – 1 x = 1996 – 19972 e y = 1997 v) x – 1996 = 1 e y – 1998 = 19972 x = 1997 e y = 19972 + 1998vi) x – 1996 = – 1 e y – 1998 = – 1997 2 x = 1996 e y = 1998 – 199724) Podemos escrever os números da seguinte forma: c – 2, c – 1, c, c + 1, c + 2Assim, temos que a + b + c + d + e = 5c = x3 e b + c + d = 3c = y2 3x3 = 5y2 5|x e 3|y 2 3 2x = 5x1 e y = 3y1 5 x1 = 3y1 3 | x1 e 5 | y1 x1 = 3x2 e y1 = 5y2 32x23 = y22x2 = 1 e y2 = 3 x1 = 3 e y1 = 15 x = 15 e y = 45Como 5c = x3 5c = 33.53 c = 33.525) Se n = 10a + b, sendo b é dígito das unidades, então a operação transforma n para n’ = a + 4b.Notemos que 10n’ = 10a + 40b = (10a + b) + 39b n = 10n’ – 39b n = 10.n’ – 3.13.b.Assim, se n é divisível por 13 então n’ é divisível por 13, reciprocamente, se n’ é divisível por 13, n também é divisívelpor 13.Desta forma, se a seqüência contem 1001 = 13.77, então todo termo da seqüência deve ser divisível por 13.
  8. 8. matematicaconcursos.blogspot.comOu seja, se existe um número primo na seqüência, então este número deve ser 13.Note que o número 13 não pode vir antes de 1001 porque a operação transforma 13 para 4.3 + 1 = 13, implicando quetodo termo subsequente de 13 na seqüência é igual a 13.Por outro lado, 13 não pode vir depois de 1001 pois a operação transforma 1001 para 4.1 + 100 = 104, e depois 4.4 +10 = 26, e depois 4.6 + 2 = 26, e assim todo termo depois de 26 é igual a 26.Concluímos, portanto, que se a seqüência contem 1001, então não contem 13, implicando que não existe nenhumnúmero primo na seqüência.10) Temos:3a 6 b 9c 12 d 2b 2d 3a b 2c d .Para (a, b, c, d) dados, o maior n possível é mdc{b 2d, a b 2c d} b 2d. Note que b + 2d é máximo (com b ed elementos distintos de {3, 6, 9, 12}) quando d = 12 e b = 9. Neste caso, b + 2d = 33, e a + b + 2c + d = 21 + a + 2c.Tomando a = 6 e c = 3, temos também a + b + 2c + d = 33, que é obviamente o maior valor possível para n, obtido para(a, b, c, d) = (6, 9, 3, 12).13) Sendo x = 2.3m.5m.7n temos que d(x) = 2.(m + 1)2(n + 1)Como d(x)= 36 (m + 1)2(n + 1) = 2.32 m=2 e n=1 x = 2.152.7 x = 21014) Como d(n2) = 63 = (8 + 1)(6 + 1) = (20 + 1)(2 + 1) = (62 + 1) = (2 + 1)(2 + 1)(6 + 1), podemos ter as seguintespossibilidades:n2 = (83)6.28 ou n2 = (83)2.(2)20 ou n2 = (83)62 ou n2 = 26.32.832Assim, o menor valor de n é n = 23.3.8315) I) d(n) = 16 = 24 = (1 + 1)4 = (3 + 1).(3 + 1) = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1)Assim o números n pode ser das formas:i) n = a.b.c.d, com a, b, c e d primos.Entretanto, d6 = 18 = 2.32, implicando que 32 divide n, que é impossível para esta caso.ii) n = a3.b3, a e b primos, a > b.Como um divisor é d6 = 2.32, temos que a = 2 e b = 3, implicando que n = 23.33 = 216:Conferindo os divisores temos: a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, a5 = 6, a6 = 8 que é impossível.iii) n = a3.b.c, com a, b e c primos:Como um divisor é d6 = 2.32, temos que a = 3 e b = 2. Assim, temos n = 2.33.cEscrevendo os divisores de n temos:1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, c, 2c, 3c, 6c, 9c, 18c, 27c, 54cNotemos que para 18 ser o d6, então c deve ser maior que 18, e primo com 2 e 3.I) 19 c 26: 1, 2, 3, 6, 9, 18, c, 27, 2c, 54, 3c, 6c, 9c, 18c, 27c, 54cAssim, d9 – d8 = 17 2c – 27 = 17 2c = 44 c = 22, impossível pois 22 é múltiplo de 2.II) 28 c 53: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, c, 54, 2c, 3c, 6c, 9c, 18c, 27c, 54cAssim, d9 – d8 = 17 54 – c = 17 c = 37 n = 2.33.37 n = 1998.III) c 55: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, c, 2c, 3c, 6c, 9c, 18c, 27c, 54cAssim, d9 – d8 = 17 c – 54 = 17 c = 71 n = 2.33.71 n = 3834.16) Como (n + 98)/(n + 19) = 1 + 79/(n + 19) então este valor vai ser inteiro se n + 19 dividir 79, que vai acontecer araos casos:i) n + 19 = 79 n = 60 ii) n + 19 = – 79 n = 98 iii) n + 19 = 1 n = – 18 iv) n + 19 = – 1 n=–2017) Seja a equação diofantina 2x + 3y = 1997. Como d = mdc (2, 3) = 1 d | 1997 existe solução para aequação diofantina.Como x0 = 1000 e y0 = – 1 é uma solução, pois (2)(1000) + (3)(– 1) = 2000 – 3 = 1997, então todas as soluções sãodadas por:x = x0 + (b/d)t y = y0 – (a/d)t x = 1000 + 3t y = – 1 – 2tAssim, y será positivo somente para valores negativos de t t – 1.
  9. 9. matematicaconcursos.blogspot.comDesta forma: 1000 + 3t > 0 3t > – 1000 t – 333.Assim, temos: – 333 t – 1, que corresponde a 333 soluções inteiras e positivas.18) Como mdc (5, 6) = 1, e m0 = 20 e n0 = 0 é uma solução, temos que todas as soluções são dadas por:m = 20 + 6t e n = – 5tAssim, m.n = (20 + 6t)(– 5t) m.n = – 30t2 – 100t 30t2 + 100t + m.n = 0m.nmax = – (10000)/(4(– 30)) m.nmax = 83,33333que não é inteiro, mais já dá uma dica do maior valor inteiro de m.n, pois m.n 83.Para que t seja inteiro, devemos ter o discriminante igual a um quadrado perfeito:1002 – 120mn = x2 1002 – x2 = 120mn (100 – x)(100 + x) = 120mnPodemos ter x = 20 120mnmax = 10000 – 400 = 9600 mnmax = 80Conferindo: 30t2 + 100t + 80 = 0 3t2 + 10t + 8 = 0 (3t + 4)(t + 2) = 0 t = – 2.28) I) 26 = 64 = 65 – 1 = 5.13 – 1 26 – 1 (mod. 13) (26)11 (– 1)11 (mod. 13) 266 – 1 (mod. 13)(266)24 (– 1)24 (mod. 13) 270 – 16 (mod. 13) 270 – 3 (mod. 13) 3 3II) 3 = 27 = 26 + 1 = 2.13 + 1 3 1 (mod. 13) (33)23 (1)23 (mod. 13) 369 1 (mod. 13)(369)3 1.3 (mod. 13) 370 3 (mod. 13)III) Somando as duas congruências temos 270 + 370 – 3 + 3 (mod. 13) 270 + 370 0 (mod. 13)Outra solução: 22 + 32 0 (mod. 13) 22 – 32 (mod. 13) (22)35 (– 32)35 (mod. 13) 702 70 – 3 (mod. 13) 70 2 +3 70 0 (mod. 13)29) I) 2222 3 (mod. 7) 22225555 35555 (mod. 7) 33 – 1 (mod. 7) (33)1851 (– 1)1851 (mod. 7)35553 – 1 (mod. 7) 35553.32 (– 1).32 (mod. 7) 35555 – 9 (mod. 7) 22225555 – 9 (mod. 7) 2222 2222 3 3 740II) 5555 4 (mod. 7) 5555 4 (mod. 7) 4 1 (mod. 7) (4 ) (1)740 (mod. 7)42220 1 (mod. 7) 42220.42 1.42 (mod. 7) 42222 16 (mod. 7) 55552222 16 (mod. 7) 5555 2222Somando as duas congruências: 2222 + 5555 – 9 +16 (mod. 7) 22225555 + 55552222 7 (mod. 7)Ou seja, 7 | 22225555 + 5555222230) 1110 – 1 = (11 – 1)(119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1) 1110 – 1 = 10.(119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1) 9 8 7 2Basta provar que (11 + 11 + 11 + ... + 11 + 11 + 1) é divisível por 10. 11 1 (mod. 10) 1 11 112 113 114 ... 118 119 1 (mod. 10)Somando temos: 119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1 1 + 1 + 1 + ... + 1 (mod. 10)119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1 10 (mod. 10) 119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1 0 (mod. 10)31) Notemos que 21999 + 22000 + 22001 = 21999(1 + 2 + 4) = 21999.7 210 = 1024 210 24 (mod. 100) 220 76 (mod. 100) (220)99 (76)99 (mod. 100) 21980 76 (mod.100)(210)(21980) (24)(76) (mod. 100) 21990 24 (mod. 100) (29)(21990) (512)(24) (mod. 100) 1999 19992 88 (mod. 100) 2 .7 16 (mod. 100)Desde modo concluímos que os dois últimos dígitos de 2 1999.7 são 16. Como 21999.7 é divisível por 8, e um número édivisível por 8 se e somente se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8, os últimos 3dígitos de 21999.7 podem ser 216, 416, 616 ou 816, ou seja, o algarismo das centenas é par.32) Notemos inicialmente que 1998 = 2.33.37 760 – 20 = 740 = 22.5.37 760 20 (mod. 2.37) 7601998 201998 (mod. 2.37) 7601998 – 201998 0 (mod.2.37) 1910 – 652 = 1258 = 2.17.37 1910 652 (mod. 2.37) 19101998 6521998 (mod. 2.37) 19981910 – 6521998 0 (mod. 2.37)Assim: 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998 0 (mod. 2.37) 2.37 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998 2 3 760 – 652 = 108 = 2 .3 760 652 (mod. 3 )3 760 1998 6521998 (mod. 33) 7601998 – 6521998 0 (mod.33)
  10. 10. matematicaconcursos.blogspot.com 1910 – 20 = 1890 = 2.33.5.7 1910 20 (mod. 33) 19101998 201998 (mod. 33) 19101998 – 201998 0(mod. 33)Assim: 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998 0 (mod. 33) 33 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998Como 2.37 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998 e 33 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 65219982.33.37 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998 1998 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 652199843) Se mdc (n, 10) = 1 podemos aplicar o Teorema de Euler: (1000) = 400 n400 1 (mod. 1000) n400 – 1 = 1000k (n200 – 1)(n200 + 1) = 1000k 200 100 100(n + 1)(n – 1)(n + 1) = 1000k (10) = 4 n4 1 (mod. 10) n200 1 (mod. 10) n200 + 1 2 (mod. 10)Analogamente: n 100 1 (mod. 10) n100 + 1 2 (mod. 10)Desde que (n + 1)(n – 1)(n + 1) = 1000k e n 100 + 1 e n 200 + 1 não são divisíveis por 1000, temos que n 100 – 1 200 100 100é divisível por 1000.Deste modo n100 – 1 0 (mod. 1000) n100 1 (mod. 100) n101 n (mod. 1000) n101 termina com osmesmos 3 dígitos de n.44) Como mdc (2, 19972) = 1 podemos aplicar o Teorema de Euler.Desde que (19972) = 19972(1 – 1/997) = 1996.1997 2 (n) 1 (mod. n) 21996.1997 1 (mod. 19972)46) Notemos inicialmente que X = n 30 – n14 – n18 + n2 = n2(n12 – 1)(n16 – 1) e que 46410 = 2.3.5.7.13.17.É suficiente mostrar que p divide n30 – n14 – n18 + n2 para p = 2, 3, 5, 7, 13 e 17.Como n2 ou n12 – 1 é par, então 2 | X. (1)Se p divide n, a conclusão é direta, para p = 2, 3, 5, 7, 13 ou 17.Se mdc (n, p) = 1, pelo Teorema de Fermat temos que np – 1 1 (mod. p).Assim: n12 1 (mod. 13) e n16 1 (mod. 17) 13.17 | (n12 – 1)(n16 – 1) 13.17 | X (2)Como n – n – n + n = n (n – 1)(n – 1) = n (n – 1)(n6 + 1)(n4 – 1)(n4 + 1)(n8 + 1). 30 14 18 2 2 12 16 2 6Analogamente, sendo mdc (n, p) = 1, temos pelo Teorema de Fermat: n6 1 (mod. 7) e n4 1 (mod. 5)Deste modo 5.7 | (n4 – 1)(n6 – 1) 5.7 | X (3)Finalmente, notemos que n – n – n + n2 = n2(n12 – 1)(n16 – 1) = n2(n3 – 1)(n3 + 1)(n6 + 1)(n4 – 1)(n4 + 1)(n8 + 1). 30 14 18Pelo Teorema de Fermat n 2 1 (mod. 3) 3 | (n2 – 1) 3 | X (4)De (1), (2), (3) e (4) concluímos que 2.3.5.7.13.17 | n – n – n18 + n2. 30 1447) Notemos que: 341 = 11.31 e 210 = 1024 = 31.33 + 1 = 11.93 + 1, o que implica:210 1 (mod. 31) e 210 1 (mod. 11) 231 = 2(210)3 2.13 2 (mod. 11)Os inteiros 11 e 31 são primos, de modo que, pelo teorema acima temos:211.31 2 (mod. 11.31) ou 2341 2 (mod. 341), ou seja, cancelando o fator comum 2: 2340 1 (mod. 341)48) Como mdc (n, 5) = 1, pelo Teorema de Fermat temos que n 4 1 (mod. 5) (1)Como 1991 1 (mod. 5) – 1991 – 1 (mod. 5) (2) 4Somando (1) e (2) temos que n – 1991 0 (mod. 5)

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