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Análise combinatória
 

Análise combinatória

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    Análise combinatória Análise combinatória Document Transcript

    • matematicaconcursos.blogspot.comProfessor: Rômulo GarciaEmail: machadogarcia@gmail.comConteúdo Programático: Análise CombinatóriaMódulo 1 – Introdução A Análise Combinatória é a parte da Matemática que estuda de quantas formas diferentes um determinadoacontecimento pode ocorrer, sem que haja a necessidade de descrevermos todas essas possibilidades. A abordagem da Análise Combinatória deixa o leitor com várias opções para atacar um problema e ele ficadiante de uma situação em que várias vezes ele se pergunta o que ele deve usar para desenvolver tal questão: PrincípioFundamental da Contagem, Permutações (simples, com repetições, circulares), Arranjos, Combinações? Faremos uma análise baseada em diversas contestações: Será que o leitor precisa saber resolver um problema usando os Arranjos Simples? Por que não desenvolver todos os problemas de Análise Combinatória básica: P.F.C., Permutações, Arranjos e Combinações usando apenas o P.F.C. e a idéia de Permutação Simples e depois apresentar os demais itens como uma facilitador para desenvolver o problema e não mais uma fórmula ou ferramenta para confundir, ainda mais, um problema? Por que não criarmos estratégias para desenvolver alguns tipos de problemas? Por que não mostrar para o leitor que ele deve sempre se colocar no papel da pessoa que deve fazer a ação solicitada pelo problema e ver quais decisões ele deve tomar? O leitor deve vivenciar o problema. Como mostrar de forma clara a grande importância da idéia de ordem para o problema e como devemos nos posicionar quando essa ordem não for importante para o mesmo? Como desconsiderar essa ordem? Podemos “construir” e desenvolver a Análise Combinatória de um modo diferente forçando o leitor a raciocinar e vivenciar aquele enunciado ao em vez de ficar diante de várias formulas sem saber como utilizá- las.Módulo 2 – Fatorial Produtos em que tenham como fatores todos os números inteiros positivos, desde 1 até n, para facilitar,usaremos uma notação específica para resumir esse acontecimento, o fatorial. Por exemplo, 7.6.5.4.3.2.1 = 7!.Definição: Sendo n um número natural, maior que 1, n! (n fatorial ou fatorial de n) é o produto de todos os naturais de naté 1, ou seja, n! = n.(n – 1).(n – 2). ... .3.2.1 Ao desenvolvermos um fatorial é conveniente colocarmos os fatores em ordem decrescente podendointerromper onde for conveniente e indicando os últimos com a notação fatorial.Exemplos:6! = 6.5.4.3.2.1 = 6.5.4.3! = 6.5!n! = n.(n – 1)! = n.(n – 1).(n – 2)!(n + 2)! = (n + 2).(n + 1)! = (n + 2).(n + 1).n.(n – 1)!Obs.: 1! = 1 e 0! = 1Módulo 3 – Princípio Fundamental da Contagem Um princípio combinatório que indica quantas vezes e as diferentes formas que um acontecimento podeocorrer. O acontecimento é formado por dois estágios caracterizados como sucessivos e independentes: O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos. O segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos. Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente que pode ocorrer em um acontecimento é igualao produto m . n. Os problemas de contagem de alguns tipos de subconjuntos de um conjunto finito, sem que seja necessárioenumerar seus elementos são típicos em Análise Combinatória. O estudo do P.F.C. pode ser iniciado mostrando a sualigação com os Produtos Cartesianos e com Relações entre conjuntos, por exemplo:
    • matematicaconcursos.blogspot.com1) Um aluno deseja se deslocar de Juiz de Fora até Porto Alegre, mas ele deseja ir de avião e só poderá embarcar naaeronave no Rio de Janeiro. Sabendo que ele tem quatro linhas diferentes de ônibus para ir de até o Rio de Janeiro e,chegando lá, ele deve escolher 3 companhias aéreas para Porto Alegre, de quantas maneiras o aluno pode fazer isso? É fundamental a pessoa se envolver no problema, ele deve se colocar no lugar do aluno que está em JF e podeescolher 1 dentre 4 linhas de ônibus disponíveis e ele deve se indagar: “Caso eu escolha a L1 tenho 3 opções paraescolher a companhia aérea, mas seu eu escolher a L2, também, terei 3 possibilidades e da mesma forma se escolher L3ou L4 terei as mesmas 3 possibilidades para escolher o avião a ser tomado. Assim, como para cada possibilidade deescolher a linha de ônibus eu tenho 3 possibilidades de escolher a companhia aérea e como eu tenho 4 linhasdisponíveis, posso realizar essa viagem de 4 . 3 = 12 modos distintos, pois para cada possibilidade de escolher 1 linhade ônibus eu tenho 3 possibilidades de escolher uma companhia aérea.” Assim, vivenciando o problema, colocando-seno lugar da personagem, e pensando sempre que para cada possibilidade de efetuar a primeira escolha ele tem xpossibilidades de efetuar a segunda escolha, o problema se torna mais simples de ser solucionado. É essencial ele pensarnessa idéia e ter calma na hora de analisar cada escolha feita inicialmente.2) Quantos números com 4 algarismos podemos formar usando os elementos do conjunto A = {1, 3, 5, 6, 8}?R.: 5.5.5.5 = 625 possibilidades3) Quantos números ímpares com 4 algarismos podemos formar usando os elementos do conjunto A = {1, 3, 5, 6, 8}?R.: 5.5.5.3 = 375 possibilidades4) Quantos números com 4 algarismos distintos podemos formar usando os elementos do conjunto A = {1, 3, 5, 6, 8}?R.: 5.4.3.2 = 120 possibilidades5) Quantos números com 4 algarismos distintos podemos formar usando os elementos do conjunto A = {0, 1, 3, 5, 6,8}?R.: Atenção com o 0 (ZERO)5.5.4.3 = 300 possibilidades6) Quantos números pares com 4 algarismos distintos podemos formar usando os elementos do conjunto A = {0, 1, 3, 5,6, 8}? Inicialmente, o leitor deve impor quais algarismos são candidatos às três casas numéricas que temos: Ele deve analisar o que acontece com as suas possibilidades ao escolher cada algarismo. Como o problemadeseja que o número seja par, ele deve perguntar quantas possibilidades ele terá para compor a casa das centenas, e seele escolher o 0? E se escolher o 6? E o 8?
    • matematicaconcursos.blogspot.com Ele, ainda, deve observar que caso escolha o 0, para a casa das unidades, ele terá 5 possibilidades para a casadas centenas, mas caso ele escolhas o 6, ele terá apenas 4 possibilidades, pois os algarismos não podem ser repetidos.Assim, ele fica diante de um problema: Se ele escolher o 0 ele tem 5 possibilidades para escolher o 1° algarismo e seescolher o 6 ou o 8 ele terá 4 possibilidades. Logo, ele deve perceber que o problema deve ser separado em dois casos.Ele só percebera que esse problema fica mais simples se, com calma, analisar cada caso, olhar para cada algarismo e vero que a escolha de cada um afeta na escolha dos outros. Caso perceba que para determinada posição temos xalgarismos, mas para cada um deles não temos a mesma quantidade de possibilidades de escolhermos os algarismos deoutra “casa” devemos pensar em separar em casos. Com isso, a solução agora tornaria mais tranqüila e objetiva. Paraque tudo isso ocorra, realmente, a entrega ao problema deve existir e o leitor tem que se colocar dentro da questão.Módulo 4 – Permutações Simples Compreendido o princípio da contagem, uma continuação imediata é iniciar a idéia de permutação como umaforma de abreviar uma situação qualquer. Assim, após o leitor ter o conhecimento que a troca de lugar de n objetosdiferentes pode ser realizada de n.(n – 1).(n – 2). ... .3.2.1 = n! modos distintos, podemos começar a construir a AnáliseCombinatória. Logo, Pn = n! é a permutação de n elementos distintos. Exemplos: 1) De quantas formas diferentes 6 pessoas podem formar uma única fila (indiana)? Formar uma fila com 6 pessoas consiste em colocá-las em uma seqüência com 6 elementos, na qual,evidentemente, não é permitida repetição, pois uma pessoa não pode ocupar duas posições simultaneamente. Portanto, onúmero pedido é dado por: P6 = 6! = 720 formas distintas. 2) Quantos são os anagramas da palavra HONRA?Cada anagrama pode ser encarado como uma seqüência (ordenada) de 5 elementos, formados pelas letras H, O, N, R eA, portanto sem repetição. Então, a quantidade procurada é: P5 = 5! = 120 anagramas. 3) Determine de quantas formas podemos colocar em uma fila (alinhados) um casal e seus 7 filhos, sendo 4homens e 3 mulheres:a) sem nenhuma restrição Nesse exemplo queremos, na realidade, apenas trocar de lugar, livremente (sem nenhuma restrição) essas 9pessoas de lugar. Trocar 9 elementos de lugar é permutar 9 elementos, ou seja:P9 = 9!b) de modo que os pais fiquem sempre juntos Em problemas em que necessitamos que determinadas pessoas fiquem juntas, devemos “amarrá-las” em umúnico “bloco”. Nesse caso, devemos permutar esses 8 blocos e, ainda, podemos fazer a permutação “interna” no blocodos pais, pois podemos ter P M ou M P. Com isso, segue:P8.P2 = 8!.2!c) de modo que os pais fiquem sempre separados Basta calcular todas as possibilidades para trocar de lugar as 9 pessoas (exemplo – letra a) e subtrair pelaspossibilidades em que os pais fiquem sempre juntos (exemplo – letra b). Logo, temos 9! – 8!.2! = 9.8! – 2.8! = (9 – 2). 8! = 7.8! possibilidades. ATENÇÃO: Esse método de calcular todas possibilidade e retirar aquelas em que eles estão juntos para determinar aspossibilidades em que as pessoas estão separadas, só é válido quando estamos diante de 2 pessoas. No exemplo letra everemos que esse método não é viável e criaremos um raciocínio muito interessante para você resolver qualquerproblema em que determinados elementos não podem ficar juntos.
    • matematicaconcursos.blogspot.comd) de modo que os 4 filhos (homens) fiquem sempre juntos Nesse caso, devemos permutar esses 6 blocos e, ainda, podemos fazer a permutação “interna” no bloco dosfilhos (H), pois podemos ter a mudança de lugar entre eles. Com isso, segue:P6.P4 = 6!.4!e) de modo que os pais fiquem sempre juntos e os 4 filhos (H), também, fiquem sempre juntos Devemos permutar esses 5 blocos e, ainda, podemos fazer a permutação “interna” no bloco dos filhos (H) edos pais, pois podemos ter a mudança de lugar entre eles. Com isso, segue:P5.P2.P4= 5!.2!.4!f) de modo que os 4 filhos (homens) fiquem sempre separados Nesse caso, não podemos calcular todas as possibilidades e excluir aquelas em que esses 4 filhos estão juntos(como feito no exemplo letra c), pois estaríamos excluindo, apenas, os casos em que os 4 filhos estão juntos, mas,também, não podemos ter casos em que 3 estão juntos ou 2 juntos e os outros 2 separados ou os 2 juntos e os outros 2também... Enfim, é necessário criar uma nova estratégia para solucionar esse tipo de problema. Devemos separar oselementos que não podem ficar juntos (os 4 filhos) e permutar, “livremente”, as outras 5 pessoas (5!) e depois temos 6lugares para escolher com o intuito de colocar um filho, sobrando 5 possibilidades de escolha de lugar para o segundofilho (visto que o 1° vai ocupar um lugar), 4 lugares para o 3° filho e, finalmente, 3 lugares para o 4° filho. Assim,segue:P5.6.5.4.3 = 5!.6!/2! (observe que 6.5.4.3 pode ser escrito como 6!/2!)4) De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquemjuntas e duas outras, Helena e Pedro, permaneçam juntas? Temos as pessoas: V, Pa, H, Pe, A, B, C, D Como Vera (V) e Paulo (Pa) não podem ficar juntos, devemos observar que temos 6 possibilidades de escolhapara o lugar que pode ser destinado ao 1° e, consequentemente, 5 para o 2°. Mas antes, devemos permutar os 5“blocos” e, ainda, permutar, internamente, o “bloco” dos pais. Com isso, temos:P5.P2.6.5 = 120.2.6.5 = 7200 possibilidadesMódulo 5 – Permutações com Elementos Repetidos Proponho que devemos trabalhar as permutações com elementos repetidos para o aluno observar a enormeimportância que é identificar a ordem num problema. Podemos questionar o seguinte problema: De quantas formaspodemos colocar alinhadas 5 frutas, sendo 3 maçãs e 2 laranjas (idênticas entre si)? Podemos solicitar que o leitor descreva todas essas possibilidades. E, assim, ele fará e obterá as 10possibilidades:
    • matematicaconcursos.blogspot.com MMMLL MMLML MLMML LMMML MMLLM MLMLM LMMLM MLLMM LMLMM LLMMM Podemos questioná-los: Caso as maçãs sejam diferentes e as laranjas também, de quantas formas podemosdispor essas 5 frutas? Antes de apresentar o resultado, podemos pegar um desses 10 casos e discuti-lo. Por exemplo, supondo que asfrutas sejam diferentes, o que acontece se trocarmos de lugar as maçãs e as laranjas entre si em cada um desses casos?Vejamos: M M M L L será tratado com M1 M2 M3 L1 L2 e trocando de lugar da forma proposta, temos: M1 M2 M3 L1 L2 M1 M2 M3 L2 L1 M1 M3 M2 L1 L2 M1 M3 M2 L2 L1 M2 M1 M3 L1 L2 M2 M1 M3 L2 L1 M2 M3 M1 L1 L2 M2 M3 M1 L2 L1 M3 M1 M2 L1 L2 M3 M1 M2 L2 L1 M3 M2 M1 L1 L2 M3 M2 M1 L2 L1 Assim, o leitor observará que para cada uma dos 10 casos propostos inicialmente ele terá, levando em contaque as frutas são diferentes entre si, 12 casos (pois podemos trocar de lugar entre si 3 maçãs e 2 laranjas, isto é,podemos permutar entre si as maçãs P3=3! e as laranjas P2 = 2!). Logo, ele saberá que tem 120 possibilidades. Assim, oleitor pode observar que essas 10.12 = 120 possibilidades nada mais são que as permutações de 5 frutas supostasdistintas e P5 = 5! = 120. Mas como as frutas são iguais cada um desses 12 casos descritos representam um único casopara o problema em que as frutas são iguais entre si. Logo, como em 120 possibilidades, podemos separar em gruposidênticos de 12 possibilidades, nos restam 120/12 = 10 possibilidades distintas de alinharmos essas frutas da formaproposta inicialmente. O que foi feito na realidade? O leitor agora deve observar que a ordem das frutas iguais não pode serconsiderada, ou seja, ele não pode trocar de lugar entre si as maçãs e laranjas. Ele deve desconsiderar a permutaçãoentre as 3 maças e as 2 laranjas e observando que ele tinha 120 possibilidades e dividiu por 12, ele verificará que, narealidade, ele dividiu foi por 3!.2!, pois desconsiderou a ordem entre as frutas iguais. Nesse ponto, o leitor vai estar diante de um fato importantíssimo: Quando queremos desconsiderar a ordem a ordem de r, s, t, ... elementos devemos dividir pela permutaçãoentre eles.Com isso, vários problemas podem ser solucionados com esse raciocínio, por exemplo: Quantos anagramas da palavra COMBINATORIA apresentam as consoantes em ordem alfabética? Nesse problema, devemos permutar as letras e desconsiderar as permutações entre as consoantes, pois comoelas devem permanecer em ordem alfabética a permutação entre eles não é permitida. Como visto, quando a permutaçãode determinados elementos não é permitida devemos dividir pela permutação entre eles. Nesse caso, inicialmente,devemos calcular os anagramas da palavra COMBINATORIA que é dado por 12!/2!.2!.2! , podemos considerar aspermutações entre as letras iguais (assim como fizemos entres as frutas) e, por isso, a divisão por (2!) 3, referente asletras A, I e O. Finalmente, devemos desconsiderar a permutação entre as consoantes C, M, B, N, T e R e, para isso,devemos dividir o resultado até então encontrado por 6!. Logo, a solução seria dada por 12!/(2!)3.6!. Dessa forma, quando um problema desejar que uma determinada ordem seja estabelecida, na realidade,queremos desconsiderar a permutação entre elas. Diante disso, um aluno pode desenvolver um problema referente àCombinação Simples sem nunca ter visto a fórmula Cn,p ou sem ter ouvido falar em combinações. Por exemplo, sequeremos saber de quantos modos podemos selecionar 3 pessoas para montar uma comissão se dispomos de um total de7, o aluno não precisa saber que isso pode ser feito de C7,3 modos distintos, basta ele saber que tem 7 possibilidadespara escolher a 1ª pessoa, 6 para a 2ª e, finalmente, 5 para a 3ª e, assim, ele teria 7.6.5 modos. Mas ele deve observarque a ordem de escolha dessas 3 não influencia, ou seja, devemos desconsiderar a permutação entre essas 3 pessoas.Assim, devemos dividir 7.6.5 por 3! E, com isso, teríamos 35 possibilidades para realizar tal escolha. As estratégias para atacar alguns problemas são de suma importância! Com essa linha de estudo, o leitor teria mais facilidade e maturidade para, agora, usar algumas relações do tipopermutações com elementos repetidos ou combinações simples para construir suas soluções. Dessa forma e com estratégias para resolver alguns problemas a Análise Combinatória pode ser desenvolvidade uma forma mais fácil sem que o leitor fique diante de várias fórmulas sem saber como e quando utilizá-las..Módulo 6 – Permutações Circulares As permutações circulares são utilizadas para resolver problemas em que os objetos são dispostos ao redor deum círculo, e não ao longo de uma reta (Permutações Lineares) como visto até aqui. Dados n objetos, o número possível de disposições dos mesmos ao redor de um círculo, é dado por PCn = (n –1)! = n!/n
    • matematicaconcursos.blogspot.com Devemos saber quantas permutações simples distintas geram permutações circulares equivalentes. Assim,iremos compreender melhor o fato de PCn ser igual a (n – 1)!. É fácil ver que este número é n, pois, se nãoconsiderássemos equivalentes figuras que podem coincidir por rotação, teríamos o total de n!. Logo, n.(PCn) = n!, o queimplica PCn = n!/n, ou seja, PCn = (n – 1)!.Módulo 7 – Combinações Simples Inicialmente, iremos propor dois problemas para compararmos e compreendermos essa idéia. Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4}, determine o total de números com 3 algarismos distintos que podemosformar. Facilmente, podemos observar que isso pode ser feito de 4.3.2 = 24 formas distintas que são: 123 124 134 234 132 142 143 243 213 214 314 324 231 241 341 342 312 412 413 423 321 421 431 432 Agora, dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4}, determine o total subconjuntos com 3 algarismos que podemosformar. Observe que temos apenas 4 possibilidades (destacadas) que são: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4} e {2, 3, 4}, poisa permutação entre si dos elementos de cada conjunto não pode ocorrer, ou seja, temos que desconsiderar a ordem deescolha desses 3 elementos. O fato de desconsiderar a ordem de escolha dos elementos e essencial para compreendermos as CombinaçõesSimples. No próximo módulo, veremos a importância de sabermos desconsiderar essa ordem de escolha. Assim, temosque a Combinações Simples de n elementos tomados p a p são os subconjuntos de p elementos que podem ser formadoscom os n elementos e é bom destacar, novamente, que em um conjunto, a ordem para dispormos esses p elementos nãofaz diferença. O número de combinações simples de n elementos tomados p a p é dado por: n! Cp n Cn,p n p n p !.p!Exemplo:1) Os 25 alunos de um determinado colégio resolvem formar uma comissão com 5 membros para formar um time defutebol de salão. Quantos possíveis times podem ser formados? Uma comissão formada pelos alunos A, B, C, D, E é a mesma formada pelos alunos C, B, A, E, D. Daí, tem-seum problema de combinação. O número de comissões possíveis será:2) Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 será selecionado para uma excursão. De quantas maneiras o grupopoderá ser formado se dois dos dez são marido e mulher e só irão juntos? Temos dois casos para analisar:i) Caso em que o casal faz parte do grupo: Nesse caso, como os dois, obrigatoriamente, fazem parte do grupo, devemos escolher mais 2 pessoas do totalde 8 (pois como já foram retirados os dois, sobraram 8 pessoas, sendo que só mais duas devem ser escolhidas).. Como aordem de escolha não importa, isso pode ser feito de C8, 2 = 8!/6!.2! = 28 possibilidades.ii) Caso em que o casal não faz parte do grupo: Nesse caso, como os dois, obrigatoriamente, não fazem parte do grupo, devemos escolher 4 pessoas do total de8 (pois como eles não podem ser escolhidos, devemos retirá-los do grupo de 10 pessoas, sobrando, com isso, 8 pessoasa serem escolhidas). Como a ordem de escolha não importa, isso pode ser feito de C 8, 4 = 8!/4!.4! = 70 possibilidades.
    • matematicaconcursos.blogspot.com Logo, temos 28 + 70 = 98 possibilidades de escolha desse grupo com as restrições impostas pelo enunciado.3. Um químico possui 10 tipos de sustâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se, entreas dez, duas somente não podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva? Suponha que temos as substâncias A, B, C, D, E, F, G, H, X, Y em que se misturadas, X e Y, por exemplo,explodem. Inicialmente, iremos calcular o total de possibilidades para misturar 6 dessas 10 substâncias, sem restrições. Como a ordem de escolha não importa, isso pode ser feito de C 10, 6 = 10!/6!.4! = 210. Mas, dessas 210possibilidades, temos algumas que geram misturas explosivas. Vamos calculá-las:Para gerar uma substância explosiva devemos escolher, obrigatoriamente, X e Y e mais 4 substâncias entre as outras 8que restaram e isso pode ser feito de C8, 4 = 8!/4!.4! = 70 modos distintos. Com isso, se de todas as formas para escolheressas 6 substâncias excluirmos as possibilidades em as substâncias explosivas (nesse caso X e Y) estão juntas, restam oscasos em que elas estão separadas. Logo, temos 210 – 70 = 140 modos distintos de fazer a escolha da forma solicitada.Lista 1 - Exercícios:(Agente - Administrativo - CESPE)Julgue os itens de 1 a 4 acerca de contagem de elementos.1) A quantidade de anagramas distintos que podem ser construídos com a palavra EXECUTIVO e que não possuemduas vogais juntas é inferior a 1.500.2) Considere um evento em que será servido um jantar completo, no qual os convidados podem escolher 1 entre 3 tiposdiferentes de pratos, 1 entre 4 tipos diferentes de bebidas e 1 entre 4 tipos diferentes de sobremesa. Desse modo, cadaconvidado terá até 11 formas distintas para escolher seu jantar completo.3) Considere que o governo de determinado estado da Federação, que ainda não possua nenhum restaurante popular,tenha decidido enviar um representante para conhecer as instalações de restaurantes populares,restringindo que fossemvisitados 1 dos 5 restaurantes da Bahia, 2 dos 12 restaurantes de Minas Gerais, 2 dos 12 restaurantes de São Paulo e 1dos 6 restaurantes do Rio Grande do Sul. Nesse caso, esse representante terá mais de 3.800 maneiras distintas paraescolher os restaurantes para visitar.4) O projeto Fome Zero do governo federal compreende 4 eixos articuladores. Um deles, o Eixo 1, é composto de 15programas e ações, entre os quais o Bolsa Família. Suponha que fosse autorizado um aumento de recursos financeirospara 5 dos programas e ações do Eixo 1, de modo que o Bolsa Família fosse escolhido em primeiro lugar e os 4 outrospudessem ser escolhidos à vontade por um comitê, colocando-os em uma ordem de prioridade. Nesse caso, esse comitêteria mais de 30 mil maneiras diferentes de escolher esses programas e ações.5) (BNB - FCC)Apesar de todos caminhos levarem a Roma, eles passam por diversos lugares antes. Considerando-se que existem trêscaminhos a seguir quando se deseja ir da cidade A para a cidade B, e que existem mais cinco opções da cidade B paraRoma, qual a quantidade de caminhos que se pode tomar para ir de A até Roma, passando necessariamente por B?a) Oitob) Dezc) Quinzed) Dezesseise) Vinte6) (AFCE TCU - ESAF)A senha para um programa de computador consiste em uma seqüência LLNNN, onde “L” representa uma letra qualquerdo alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou não serrepetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos. Sabendo que oprograma não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes senhas possíveis é dadopor:a) 226 310b) 262 103c) 226 210d) 26! 10!e) C26,2 C10,3
    • matematicaconcursos.blogspot.com7) (Anal. Orçamento MARE - ESAF)Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de umasenha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abriros cadeados éa) 518 400b) 1 440c) 720d) 120e) 548) (Analista MPU Administrativa - ESAF)Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentesmaneiras em que podem sentar-se de modo a quea) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e queb) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente,a) 1112 e 1152.b) 1152 e 1100.c) 1152 e 1152.d) 384 e 1112.e) 112 e 384.9. (Oficial de Chancelaria - ESAF)Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesmafila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem semprejuntos, um ao lado do outro, é igual a:a) 16b) 24c) 32d) 46e) 4810)(AFTN - ESAF) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse modo, onúmero de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é:a) 5400b) 165c) 1650d) 5830e) 560011 (AFC - ESAF)Um grupo de dança folclórica formado por sete meninos e quatro meninas foi convidado a realizar apresentações dedança no exterior. Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear as passagens de apenas seis dessas crianças.Sabendo-se que nas apresentações do programa de danças devem participar pelo menos duas meninas, o número dediferentes maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas é igual a:a) 286b) 756d) 371c) 468e) 75212 (Gestor Fazendário MG - ESAF)Marcela e Mário fazem parte de uma turma de quinze formandos, onde dez são rapazes e cinco são moças. A turmareúne-se para formar uma comissão de formatura composta por seis formandos. O número de diferentes comissões quepodem ser formadas de modo que Marcela participe e que Mário não participe é igual a:a) 504b) 90c) 2002d) 1287
    • matematicaconcursos.blogspot.come) 28413.(Fiscal Trabalho - ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, namesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moçasfiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual aa) 2b) 4c) 24d) 48e) 12014) (MPOG - ESAF)O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2 moças podem sentar-se em uma mesma fila de modo que somente asmoças fiquem todas juntas é igual a:a) 6b) 12c) 24d) 36e) 4815) (IDR)Em um teste psicológico, uma criança dispõe de duas cores de tinta: azul e vermelho, e de um cartão contendo odesenho de 6 quadrinhos, como na figura abaixo. O teste consiste em pintar os quadrinhos de modo que, pelo menosquatro deles sejam vermelhos. É correto afirmar que o número de modos diferentes de pintura do cartão é de:a) 6b) 12c) 22d) 24e) 3616) (Téc de controle interno Piauí - ESAF)Em um grupo de dança participam dezmeninos e dez meninas. O número de diferentes grupos de cinco crianças, que podem ser formados de modo que emcada um dos grupos participem três meninos e duas meninas é dado por:a) 5.400b) 6.200c) 6.800d) 7.200e) 7.80017) (Ministério Público de Santa Catarina - ACAFE)Seis pessoas, entre elas Pedro, estão reunidas para escolher entre si, a diretoria de um clube. Esta é formada por umpresidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. O número de maneiras para a composição da diretoria,onde José não é o presidente, será:a) 120b) 360c) 60d) 150e) 30018)Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo nomínimo um diretor?a) 25b) 35c) 45d) 55e) 6519) (AFRE MG - ESAF)
    • matematicaconcursos.blogspot.comSete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfiledeterminou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos.Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderáser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:a) 420b) 480c) 360d) 240e) 6020)(MPU - ESAF)Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expô-los em uma mesma parede, lado a lado. Todos osseis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que os deGotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O número de diferentesmaneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual aa) 20.b) 30.c) 24.d) 120.e) 360.Gabarito 1. C 8. C 15. C 2. E 9. E 16. A 3. C 10. A 17. E 4. E 11. D 18. D 5. C 12. D 19. A 6. B 13. D 20. D 7. A 14. CLista 2 – Preparatória para o ENEM e vestibulares em geral Caro leitor, você está diante de vários exercícios que estão separados por terem métodos de resoluçãosemelhantes. Lembre-se sempre que devemos nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a ação solicitada peloproblema e vermos quais decisões devem ser tomadas. O estudo dos números de possibilidades deve começar sempre pelas etapas em que há restrição, dandopreferência para aquelas onde a restrição é maior.i) Formação de Números1. Quantos são os números naturais de cinco algarismos, na base 10, que têm todos os algarismos distintos e nenhumdeles igual a 8, 9 ou 0? Quantos deles são pares?2. Quantos números ímpares, cada um com três algarismos, podem ser formados com os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, se arepetição de algarismos for permitida?3. Cada um dos participantes de uma corrida de bicicleta é identificado por meio de um número, múltiplo de cinco,formado por três algarismos. O algarismo das centenas é tirado do conjunto A = {1, 2, 3, 4} e os demais pertencem aoconjunto B = {0, 5, 6, 7, 8, 9}. Determine o número máximo de ciclistas participantes dessa corrida.4. Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não têm algarismos adjacentes iguais?a) 59 b) 9 · 84 c) 8 · 94 d) 85 e) 955. Palíndromo é uma seqüência de algarismos cuja leitura da direita para a esquerda ou da esquerda para direita resultano mesmo número. Por exemplo, 2.002 é um palíndromo. Quantos palíndromos existem com cinco algarismos, dadoque o primeiro algarismo é um número primo?a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500ATENÇÃO COM: PELO MENOS E AO MENOS
    • matematicaconcursos.blogspot.com6. Usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9, existem x números de 4 algarismos, de modo que pelo menos 2 algarismossejam iguais. O valor de x é:a) 505 b) 427 c) 120 d) 625 e) 384Obs.: O que não nos interessa é que todos os algarismos sejam diferentes. Nesse tipo de problema basta calcularmostodos os números que podemos formar (com algarismos repetidos ou não) e subtrair pelos números com algarismosdistintos sobrando, assim, o que é solicitado pelo problema.7. Quantos números de 4 algarismos podemos formar nos quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez?Obs,: Quando queremos que algo apareça pelo menos uma vez devemos calcular todas as possibilidades(independentemente do número de vezes que esse “algo” apareça) e subtrair pelo número de vezes em que ele nãoaparece.8. Quantos números de seis algarismos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nuncaocupam posições adjacentes, mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes?a) 144 b) 180 c) 240 d) 188 e) 3609.O número de múltiplos de três, com quatro algarismos distintos, escolhidos entre 3, 4, 6, 8 e 9, é:a) 24 b) 36 c) 48 d) 72 e) 9610. Permutando-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 2, 4, 6 e 7 e escrevem-se os números assim formadosem ordem crescente. Determine:a) que lugar ocupa o número 62417b) que número ocupa o 66º lugar11. Considere os algarismos do número 786415. Forme todos os números de 6 algarismos distintos e coloque-os emordem crescente. Qual a posição ocupada pelo número dado?12. Realizadas todas as permutações simples com os algarismos 0, 3, 4, 6 e 7 e colocados os números assim obtidos emordem decrescente, qual a posição do número 46307?ii) Comissões com Cargos Definidos1. De um grupo de 10 pessoas, 5 são escolhidas pra comporem uma comissão que é formada por um presidente, umvice-presidente, um 1º secretário, um 2º secretário e um tesoureiro. Quantas comissões podem ser formadas?2. Na convenção de um partido para lançamento da candidatura de uma chapa ao governo de certo estado havia 3possíveis candidatos a governador, sendo dois homens e uma mulher, e 6 possíveis candidatos a vice-governador, sendoquatro homens e duas mulheres. Ficou estabelecido que a chapa governador/vice-governador seria formada por duaspessoas de sexos opostos. Sabendo que os nove candidatos são distintos, o número de maneiras possíveis de se formar achapa é:a) 18 b) 12 c) 8 d) 6 e) 43. De um grupo de cinco executivos, selecionados pela diretoria de uma empresa para ocuparem os cargos de presidentee vice-presidente, dois são irmãos. Considerando que a empresa não nomeia irmãos para ocuparem simultaneamente oscargos, de quantas maneiras distintas podem ser feitas as nomeações?a) 18 b) 20 c) 22 d) 16Obs.: Quando queremos que duas pessoas não estejam juntas devemos calcular todas as possibilidades e excluir aquelasem que as duas estão juntas. Nesse caso, devemos calcular todas as possibilidades (independentemente das restriçõesaplicadas aos irmãos) e subtrai pelo fato dos irmãos serem presidente e vice.4. O conselho administrativo de um sindicato é constituído por doze pessoas, das quais uma é o presidente desseconselho. A diretoria do sindicato tem quatro cargos a serem preenchidos por membros do conselho, sendo que opresidente da diretoria e do conselho não devem ser a mesma pessoa. De quantas maneiras diferentes esta diretoriapoderá ser formada?a) 40 b) 7.920 c) 10.890 d) 11! e) 12!5. Sete pessoas, entre elas Bento e Paulo, estão reunidas para escolher, entre si, a diretoria de um clube formada por umpresidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. Determine o número de maneiras de compor a diretoria,onde Paulo é vice-presidente e Bento não é presidente nem tesoureiro.
    • matematicaconcursos.blogspot.comiii) Ocupação de Lugares Definidos1. Numa sala há 5 lugares e 7 pessoas. De quantos modos diferentes essas pessoas podem ser colocadas, ficando 5sentadas e 2 em pé?2. Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. Determine o número de modos distintos das pessoas ocuparem as cadeiras.3. Sete amigos vão ao cinema e ocupam uma fileira que possui sete cadeiras. Dentre eles, Ari, Bia e Cid fazem questãode ocupar ou as posições extremas ou a posição central da fileira. Sendo N o número de formas diferentes de todos seacomodarem, qual o valor de N:12?4. De quantas maneiras podemos sentar 4 moças e 4 rapazes numa fila de 8 assentos, de modo que nunca haja nem doisrapazes vizinhos nem duas moças sentadas uma ao lado da outra?5. De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquemjuntas?Obs.: Quando queremos que duas pessoas não fiquem juntas, devemos calcular todas as possibilidades e excluir aquelasem que elas estão juntas.6. De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquemjuntas e duas outras, Helena e Pedro, permaneçam juntas?iv) Anagramas1. Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO”.a) possíveis?b) que começam e terminam por vogal?c) que têm as vogais e as consoantes intercaladas?d) que têm as letras c, a, p juntas nessa ordem?e) que têm as letras c, a, p juntas em qualquer ordem?f) que têm a letra p em primeiro lugar e a letra a em segundo?g) que têm a letra p em primeiro lugar ou a letra a em segundo?h) que têm a letra p em primeiro lugar ou a letra a em segundo ou a letra c em terceiro?i) nos quais a letra a é uma das letras à esquerda de p e a letra c é uma das letras à direita de p?2. As permutações das letras da palavra “ALGUM” foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras decinco letras em um dicionário. Determine a 85ª palavra nessa lista.3. O número de anagramas da palavra vestibulando, que não apresentam as cinco vogais juntas, é:a) 12! b) 8!.5! c) 12! – 8!·5! d) 12! – 8! e) 12! – 7!·5!4. Quantos anagramas da palavra caderno apresentam as vogais em ordem alfabética?a) 2.520 b) 5.040 c) 1.625 d) 840 e) 680v) Comissões sem Cargos Definidos1. De um grupo de 7 pessoas, quantas comissões contendo 4 pessoas podemos formar?2. A diretoria de uma firma é constituída por 7 diretores brasileiros e 4 japoneses. Quantas comissões de 3 brasileiros e3 japoneses podem ser formadas?3. Uma organização não governamental de proteção ao meio ambiente possui em seu quadro 8 técnicos do sexofeminino e 8 do sexo masculino. Para sua representação em um encontro internacional, esta organização deverá, comseus técnicos, formar uma equipe de 5 pessoas, sendo 3 homens e 2 mulheres. O número de equipes que podem serformadas com esses técnicos é:a) 18.806 b) 1.568 c) 936 d) 392 e) 844. De um pelotão com 10 soldados, quantas equipes de cinco soldados podem ser formadas se em cada equipe umsoldado é destacado como líder?
    • matematicaconcursos.blogspot.coma) 1.260 b) 1.444 c) 1.520 d) 1.936.Obs.: Como em cada equipe um soldado é destacado como líder, temos que em cada equipe podemos ter 5 líderes, istoé, a equipe formada pelos soldados A, B, C, D e E com o A sendo o líder é uma, com o B sendo o líder é outra e assimpor diante.5. Para a seleção argentina foram convocados dois goleiros, 6 zagueiros, 7 meios de campo e 4 atacantes. De quantosmodos é possível escalar a seleção com 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meios de campo e 2 atacantes?6. Um time de futebol de salão deve ser escalado a partir de um conjunto de 10 jogadores, entre eles Rômulo eGuilherme. De quantas formas isso pode ser feito, se Rômulo e Guilherme devem, necessariamente, ser escalados?7. Você faz parte de um grupo de 12 pessoas, 5 das quais deverão ser selecionadas para formar um grupo de trabalho.De quantos modos você poderá fazer parte do grupo a ser formado?a) 182 b) 330 c) 462 d) 782 e) 79208. Dispomos de 10 produtos para montagem de cestas básicas. O número de cestas que podemos formar com 6 dessesprodutos, de modo que um determinado produto seja sempre incluído, éa) 252 b) 210 c) 126 d) 120 e) 249. Antônio e Bruno são membros atuantes do Grêmio Estudantil e estão se formando numa turma de 28 alunos. Umacomissão de formatura, com 5 membros, deve ser formada para a organização dos festejos. Quantas comissões podemser formadas de modo que Antônio e Bruno sejam membros?a) 2600 b) 9828 c) 9288 d) 3276 e) 2810. Um administrador de um fundo de ações dispõe de ações de 10 empresas para a compra, entre elas as da empresa Re as da empresa S.a) De quantas maneiras ele poderá escolher 7 empresas, entre as 10?b) Se entre as 7 empresas escolhidas devem figurar obrigatoriamente as empresas R e S, de quantas formas ele poderáescolher as empresas?11. De um grupo de 10 pessoas deseja-se formar uma comissão com 5 membros. De quantas formas isso pode ser feito,se duas pessoas específicas ou fazem parte da comissão, ou não?12. Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 será selecionado para uma excursão. De quantas maneiras o grupopoderá ser formado se dois dos dez são marido e mulher e só irão juntos?13. A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo,incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneirasdistintas se pode formar essa comissão?a) 70 b) 35 c) 45 d) 5514. Um químico possui 10 tipos de sustâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se,entre as dez, duas somente não podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva?Obs.: Novamente, quando queremos que duas “coisas” não fiquem juntas, devemos calcular todas as possibilidades eexcluir aquelas em que essas “coisas” estão juntas.15. De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, em um grupo de 7 homens e 4mulheres?16. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10pessoas de modo que:a) nenhum membro seja matemático?b) todos os matemáticos participem da comissão?c) haja exatamente um matemático na comissão?d) pelo menos um membro da comissão seja matemático?17. Numa escola, há 10 professores de Matemática e 15 de Português. Pretende-se formar, com esses professores, umacomissão de sete membros.a) Quantas comissões distintas podem ser formadas?
    • matematicaconcursos.blogspot.comb) Quantas comissões distintas podem ser formadas com, pelo menos, um professor de Matemática?c) Quantas comissões distintas podem ser formadas com, pelo menos, dois professores de Matemática e, pelo menos,três professores de Português?Obs.: Quando queremos que algo apareça pelo menos uma vez devemos calcular todas as possibilidades e excluiraquelas em que esse “algo” não aparece.18. Um cientista recebeu 5 cobaias para usar em seu estudo sobre uma nova vacina. Seus cálculos indicaram que onúmero de maneiras possíveis de escolher pelo menos 3 cobaias é:a) 10. b) 16. c) 50. d) 120. e) 60.19. O corpo clínico da pediatria de um certo hospital é composto por 12 profissionais, dos quais 3 são capacitados paraatuação junto a crianças que apresentam necessidades educacionais especiais. Para fins de assessoria, deverá ser criadauma comissão de 3 profissionais, de tal maneira que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitação referida. Quantascomissões distintas podem ser formadas nestas condições?a) 792. b) 494. c) 369. d) 136. e) 108.20. Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. Dequantas formas distintas tal comissão poderá ser formada?21. Deseja-se formar comissões de 5 pessoas de um grupo de 5 homens e 6 mulheres. Quantas comissões serãoformadas se, em cada uma, haverá, no máximo, uma mulher?22. Na convenção de um partido para lançamento da candidatura de uma chapa ao governo de certo estado havia 3possíveis candidatos a governador, sendo dois homens e uma mulher, e 6 possíveis candidatos a vice-governador, sendoquatro homens e duas mulheres. Ficou estabelecido que a chapa governador/vice-governador seria formada por duaspessoas de sexos opostos. Sabendo que os nove candidatos são distintos, o número de maneiras possíveis de se formar achapa éa) 18. b) 12. c) 8. d) 6. e) 4.Obs.: Devemos analisar o fato do governador ser homem e o vice mulher ou o governador ser mulher e o vice homem.23. No saguão de um teatro, há um lustre com 10 lâmpadas, todas de cores distintas entre si. Como medida de economiade energia elétrica, o gerente desse teatro estabeleceu que só deveriam ser acesas, simultaneamente, de 4 a 7 lâmpadas,de acordo com a necessidade. Nessas condições, de quantos modos distintos podem ser acesas as lâmpadas desse lustre?a) 664 b) 792 c) 852 d) 912 e) 1.04424. Dos 30 candidatos ao preenchimento de 4 vagas em certa empresa, sabe-se que 18 são do sexo masculino, 13 sãofumantes e 7 são mulheres que não fumam. De quantos modos podem ser selecionados 2 homens e 2 mulheres entre osnão fumantes?a) 140 b) 945 c) 2 380 d) 3 780 e) 57 12025. Em uma reunião há 12 rapazes, 4 dos quais usam óculos, e 16 garotas, 6 das quais usam óculos. De quantos modospossíveis podem ser formados casais para dançar se quem usa óculos só deve formar par com quem não os usa?a) 192 b) 104 c) 96 d) 88 e) 76vi) Figuras Geométricas1. São dados 12 pontos num plano, 3 a 3 não colineares. O número de retas distintas determinadas por esses pontos éa) 66 b) 78 c) 83 d) 95 e) 1312. O número de segmentos de reta que podem ser traçados tendo como extremidades dois dos vértices de um polígonode 7 lados éa) 14 b) 21 c) 35 d) 42 e) 493. Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma corda.Determine número total de cordas assim formadas.4. Quinze garotas estão posicionadas numa quadra esportiva para uma apresentação de ginástica, de modo que não seencontram três em uma linha reta, com exceção das garotas que trazem uma letra estampada na camiseta e que estãoalinhadas formando a palavra AERÓBICA. Determine o número de retas determinadas pelas posições das quinzegarotas.
    • matematicaconcursos.blogspot.com5. Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do planocontém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos?a) 210 b) 315 c) 410 d) 415 e) 5216. Marcam-se 5 pontos sobre uma reta r e 8 pontos sobre outra reta paralela a r. O número de triângulos que existem,com vértices nesses pontos, éa) 60 b) 286 c) 30 d) 40 e) 220Obs.: Precisamos de três pontos pra formar um triângulo. Devemos sempre escolher 3 pontos quaisquer dentre todosque temos e excluir o fato de escolher 3 pontos em cada uma das retas.7. No interior de um terreno retangular, foram fincadas nove estacas, conforme indicado na figura. Pretende-sedemarcar nesse terreno lotes triangulares de modo que em cada vértice haja uma estaca. O número de lotes distintos queé possível demarcar é:a) 42 b) 76 c) 84 d) 988. Observe a figura.Nessa figura, o número de triângulos que se obtém com vértices nos pontos D, E, F, G, H, I, J éa) 20 b) 21 c) 25 d) 31 e) 359. Maria determinou o número de triângulos que pode se formar com os vértices de um polígono de 7 lados. Essenúmero encontrado por Maria éa) 7 b) 21 c) 28 d) 35 e) 7010. São dados n pontos, dois a dois distintos entre si, 4 dos quais pertencem a uma reta r e os demais encontram-sesobre uma reta paralela a r. Se podem ser construídos 126 quadriláteros com vértices nesses pontos, então n é umnúmeroa) quadrado perfeito. b) primo. c) múltiplo de 7. d) menor que 10. e) maior que 15.vii) Apertos de mão e Tabelas (grupos)1. Um jornalista foi designado para cobrir uma reunião de ministros de estado. Ao chegar ao local da reunião, descobriuque havia terminado. Ao perguntar ao porteiro o número de ministros presentes, ele disse: "Ao saírem, todos osministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de mão". Com base nessa informação, qual foi onúmero de ministros presentes ao encontro?2. Em certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (nasaída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedemcom um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma
    • matematicaconcursos.blogspot.comcomemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descritaacima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão?a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 203. Numa recepção há 50 homens e 30 mulheres. O número de apertos de mão possíveis, sabendo-se que 70% dasmulheres não se cumprimentam entre si, éa) 3160 b) 1435 c) 2950 d) 1261 e) 2725.4. Em um campeonato de futebol, cada um dos 12 times disputantes joga contra todos os outros uma só vez. O númerototal de jogos desse campeonato é :a) 32 b) 36 c) 48 d) 60 e) 66.5. Um torneio de xadrez no qual cada jogador joga com todos os outros tem 351 partidas. O número de jogadoresdisputando é:a) 22 b) 27 c) 26 d) 19 e) 236. O campeonato brasileiro tem, em sua primeira fase, 28 times que jogam todos entre si. Nesta primeira etapa, onúmero de jogos é de:a) 376 b) 378 c) 380 d) 388 e) 3967. Uma liga esportiva elaborou um campeonato de futebol que será disputado em dois turnos. Em cada turno, cada clubejogará exatamente uma partida contra cada um dos outros participantes. Sabendo que o total de partidas será de 306, onúmero de clubes que participarão do campeonato é igual a:a) 34 b) 18 c) 17 d) 12 e) 98. Um programa de TV organizou um concurso e, na sua fase final, promoveu o confronto entre os finalistas, de modoque cada um deles se confrontava com cada um dos outros uma única vez. Se foram gravados 28 confrontos, é corretoafirmar que o número de finalistas foi:a) 2 b) 4 c) 7 d) 8 e) 149. Nove times de futebol vão ser divididos em 3 chaves, todas com o mesmo número de times, para a disputa daprimeira fase de um torneio. Cada uma das chaves já tem um cabeça de chave definido. Nessas condições, o número demaneiras possíveis e diferentes de se completarem as chaves é:a) 21 b) 30 c) 60 d) 90 e) 12010. Um campeonato de futebol foi disputado por 10 equipes em um único turno, de modo que cada time enfrentou cadaum dos outros apenas uma vez. O vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor não ganha ponto algum; emcaso de empate, cada equipe ganha 1 ponto. Ao final do campeonato, tivemos a seguinte pontuação: Equipe 1 - 20 pontos Equipe 2 - 10 pontos Equipe 3 - 14 pontos Equipe 4 - 9 pontos Equipe 5 - 12 pontos Equipe 6 - 17 pontos Equipe 7 - 9 pontos Equipe 8 - 13 pontos Equipe 9 - 4 pontos Equipe 10 - 10 pontosDetermine quantos jogos desse campeonato terminaram empatadosviii) Caminhos Diferentes1. Em um tabuleiro quadrado, de 5 x 5, mostrado na figura I, deseja-se ir do quadrado esquerdo superior (ES) aoquadrado direito inferior (DI). Somente são permitidos os movimentos horizontal (H), vertical (V) e diagonal (D),conforme ilustrado na figura II.
    • matematicaconcursos.blogspot.comCom base nessa situação e com o auxílio dos princípios de análise combinatória, julgue os itens que se seguem.(0) Se forem utilizados somente movimentos horizontais e verticais, então o número de percursos possíveis será igual a70.(1) Se forem utilizados movimentos horizontais e verticais e apenas um movimento diagonal, o número de percursospossíveis será igual a 140.(2) Utilizando movimentos horizontais, verticais e três movimentos diagonais, o número de percursos possíveis é iguala 10.2. É dado um tabuleiro quadrado de 4 × 4. Deseja-se atingir o quadrado inferior direito a partir do quadrado superioresquerdo. Os movimentos permitidos são os representados pelas setas abaixo.De quantas maneiras isso é possível?3. Na figura abaixo, está representada parte da planta de um bairro. Marina deve caminhar de sua casa ao shopping,onde pretende ir ao cinema, por um dos caminhos mais curtos. Quantos são os possíveis caminhos para Marina ir:a) de casa ao shopping?b) de casa ao shopping, passando antes na casa de sua amiga Renata?ix) Técnica dos (–) e ( | )1. De quantos modos podemos colocar em fila 5 sinais de (–) e 7 sinais de ( | )?2. De quantos modos podemos colocar em fila 5 sinais de (–) e 7 sinais de ( | ), de modo que não haja dois sinais (–)juntos?3. Uma fila tem 20 cadeiras, nas quais devem sentar-se 8 meninas e 12 meninos. De quantos modos isso pode ser feitose 2 meninas não devem ficar em cadeiras contíguas?4. Quantos são os anagramas da palavra MISSISSIPPI nos quais não possuem 2 letras I juntas?
    • matematicaconcursos.blogspot.com5. Quantos são os anagramas da palavra PERSISTÊNCIA nos quais não possuem 2 das letras A, S, R e T juntas?x) Problemas de Numeração1. De quantas maneiras podem ser escolhidos 3 números naturais distintos, de 1 a 30, de modo que sua soma seja par?Justifique sua resposta.2. De quantas maneiras se pode escolher 3 números distintos do conjunto A = {1, 2, 3, ..., 50} de modo que sua somaseja um múltiplo de 3}3. Escolhemos cinco números, sem repetição, dentre os inteiros de 1 a 20. Calcule quantas escolhas distintas podem serfeitas, sabendo que ao menos dois dos cinco números selecionados devem deixar um mesmo resto quando divididos por5.4. Três números inteiros distintos de -20 a 20 foram escolhidos de forma que seu produto seja um número negativo. Onúmero de maneiras diferentes de se fazer essa escolha éa) 4.940 b) 4.250 c) 3.820 d) 3.640 e) 3.280.xi) Ordenação1. De quantas formas podemos alinhar em ordem crescente de altura 4 pessoas de um grupo de 9 pessoas, sabendo quetodas elas têm estaturas diferentes?2. Considere nove barras de metal que medem, respectivamente: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 metros. Quantas combinaçõesde cinco barras, ordenadas em ordem crescente de comprimento, podem ser feitas de tal forma que a barra de 5 metrosocupe sempre a quarta posição?a) 32 b) 16 c) 20 d) 18 e) 1203. Uma classe de Educação Física de um colégio é formada por dez estudantes, todos com alturas diferentes. As alturasdos estudantes, em ordem crescente, serão designadas por h1, h2‚ h3, ..., h10 (h1<h2‚<...<h9<h10). O professor vaiescolher cinco desses estudantes para participar de uma demonstração na qual eles se apresentarão alinhados, em ordemcrescente de suas alturas. Dos C10,2 = 252 grupos que podem ser escolhidos, em quantos, o estudante, cuja altura é h7,ocupará a posição central durante a demonstração?a) 7 b) 10 c) 21 d) 45 e) 60xii) Linha de Pascal1. A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caráter é um conjunto de 6 pontos dispostos emforma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais. Por exemplo, a letra A é representada porO número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile éa) 12 b) 31 c) 36 d) 63 e) 7202. Uma sala tem 10 portas. Calcule o número de maneiras diferentes que essa sala pode ser aberta.a) 10! /5! b) 500 c) 10 d) 10! e) 210 – 13. O código de barras, contido na maior parte dos produtos, industrializados, consiste num conjunto de várias barras quepodem estar preenchidas com cor escura ou não. Determine a quantidade de códigos que podemos formar com 7 barrassabendo que não podemos ter todas as barras da mesma cor.4. Um químico possui 9 essências diferentes que ele mistura pra formar perfumes de fragrâncias diferentes. Quantosperfumes diferentes ele pode fazer, sabendo que ele usa pelo menos 2 dessas fragrâncias?xiii) Permutações Circulares
    • matematicaconcursos.blogspot.com1. De quantas maneiras 7 pessoas podem sentar-se em torno de uma mesa circular, sendo que duas determinadaspessoas não devem estar juntas?2. De quantas maneiras 8 meninos e 8 meninas podem formar uma roda para brincar sem que pessoas do mesmo sexofiquem juntas?3. Qual seria a resposta do exercício anterior se todas as meninas ficassem juntas?4. De quantas maneiras 8 casais podem sentar-se em uma roda gigante de 8 bancos de dois lugares cada um, com cadacasal em um banco?5. De quantos modos 12 crianças podem ocupar os 6 bancos de dois lugares em uma roda gigante?6. Um cubo deve der pintado, cada face de uma cor, utilizando-se exatamente 5 cores sendo que as únicas faces demesma cor devem ser opostas. De quantas maneiras isso pode ser feito?7. Se 4 meninos e quatro meninas vão brincar de roda, de quantas maneiras poderão dar as mãos, com a condição de quepelo menos duas meninas estejam juntas?Gabaritoi) Formação de Números 3. c1. 2520; 1080 4. d2. 503. 48 v) Comissões sem Cargos Definidos4. e 1. 355. d 2. 1406. a 3. b7. 3168 4. a8. a 5. 63009. d 6. 5610.a) 81º 7. bb) 46721 8. c11. 597º 9. d12. 58º 10. a) 120 b) 56ii) Comissões com Cargos Definidos 11. 1121. 30240 12. 982. c 13. d3. a 14. 1404. c 15. 3715. 80 16. a) C15, 10 b) C15, 5iii) Ocupação de Lugares Definidos c) 5. C15, 91. 2520 d) C20, 10 – C15, 102. 1680 17. a) 480.7003. 12 b) 474.2654. 1152 c) 394.485 18. biv) Anagramas 19. d1.a) 8! 20. 125b) 12.6! 21. 31c) 1152 22. cd) 720 23. be) 4320 24. bf) 720 25. dg) 9360h) 13080 vi) Figuras Geométricasi)6720 1. a2. MLAGU 2. b
    • matematicaconcursos.blogspot.com3. 284.785. a6. e7. b8. d9. d10. bvii) Apertos de mão e Tabelas (grupos)1. 62. b3. c4. e5. b6. b7. b8. d9. d10. 17viii) Caminhos Diferentes1. V, V, F2. 63 maneiras3. a) 642b) 210ix) Técnica dos (–) e ( | )1. 7922. 563. 8!.12!.C13, 84. 73505. 105.8!x) Problemas de Numeração1. 20302. 65443. 144804. axi) Ordenação1. 1262. b3. dxii) Linha de Pascal1. d2. e3. 1264. 502xiii) Permutações Circulares1. 4802. 7!.8!3. (8!)24. 7!.285. 12!/66. 5.3!7. 7! – 3!.4!
    • matematicaconcursos.blogspot.comMódulo 8 – Combinações Completas Atenção: Verifique, corretamente, se o concurso que você deseja fazer cobra esse assunto. Geralmente, elenão é cobrado. Verifique! De quantos modos podemos comprar 3 doces em uma padaria que tem 4 tipos de doces diferentes? A solução para esse problema não é C4,3. Seria, se ele afirmasse que deveríamos escolher 3 docesDIFERENTES sabendo que temos a nossa disposição 4 tipos diferentes. Nesse caso, de 4 elementos diferentes,deveríamos escolher 3 desse elementos (sem que a ordem a ordem de escolha importe) e isso pode ser feito de C 4,3. A resposta para esse caso é CR4,3, isto é, de 4 tipos de doces diferentes queremos escolher 3 tipos de doces não,necessariamente, distintos. Suponha que temos a nossa disposição 4 tipos de doces. A saber: Brigadeiro (B), cajuzinho (C), josefina (J) esonho (S). Podemos escolher 3 tipos da seguinte forma:BBB BBC CCB JJB SSB BCJCCC BBJ CCJ JJC SSC BCSJJJ BBS CCS JJS SSJ BJSSSS CJS Essas são as CR4,3 = 20 combinações completas possíveis para esse caso. Podemos pensar nesse problema da seguinte forma: Seja a equação B + C + J + S = 3, com B, C, J, S naturais. Podemos interpretar que cada solução para essaequação linear representa uma possível forma de escolhermos os 3 doces. Por exemplo, a solução (1, 0, 0, 2) significaque desses 4 doces que temos a disposição queremos comprar 1 doce B e 2 doces S (é o caso B B S, descrito acima).Agora, resta sabermos como determinamos o total de soluções inteiras e não negativas de uma equação linear da formax1 + x2 + x3 + x4 + ... + xn = p, com xi natural, sendo i natural, 1 ≤ i ≤ n.OBSERVAÇÃO:Cn,p é o total de possibilidades de escolhermos p elementos DISTINTOS de um total de n elementos distintosdados.CRn,p é o total de possibilidades de escolhermos p elementos DISTINTOS OU NÃO DISTINTOS de um total de nelementos distintos dados ou CRn,p é o número de soluções da equação linear da forma x 1 + x2 + x3 + x4 + ... + xn = pem inteiros não negativos. Agora, vamos resolver a equação B + C + J + S = 3 em inteiros não negativos. Observe o esquema a seguir:B+C+J+S=3| + | + + | (isso significa a solução B = 1, C = 1, J = 0 e S = 1) + | | + | | + (isso significa a solução B = 0, C = 2, J = 2 e S = 0) Para cada mudança de posição desses 6 símbolos, sendo 3 sinais ( | ) e 3 sinais ( + ) temos uma e somente umanova solução para essa equação. Resta-nos, agora, determinarmos de quantos modos podemos TROCAR DE LUGAResses 6 símbolos, ou seja, devemos PERMTUAR esse 6 símbolos, sendo que um deles aparece repetido 3 vezes e ooutro também 3 vezes. Logo, o total de permutações é P6 3,3 = C6,3 = CR4,3 = 6!/3!.3! = 20. Portanto, essa equação tem20 soluções nos inteiros não negativos. Agora, analisaremos o total de soluções naturais da equação x 1 + x2 + x3 + x4 + ... + xn = p. Nesse caso,teríamos p sinais ( | ) e n – 1 sinais ( + ). Logo, o total de soluções naturais dessa equação seria a permutação de p + n –1 símbolos sendo que um deles aparece repetido p vezes e o outro n – 1 vezes, ou seja, o total de soluções é dado por:P p + n – 1 p, n – 1 = (p + n – 1)!/p!.(n – 1)! = Cp + n – 1, p = CRn, pATENÇÃO: Procure sempre usar o raciocínio das equações lineares para solucionar um problema de combinaçõescompletas. Nos exercícios, termos exemplos em que poderemos limitar algumas (ou até mesmo todas) das incógnitas daequação inferiormente ou superiormente.