Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
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CAPÍTULO V – A TRANSFORMADA DE LAPLACE
1. TRANSFORMADAS INTEGRAIS:
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ℱ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ξξξ==ξ ò
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Teorema: (Condições suficientes para a existência da transformada de Lapla...
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Por exemplo, se f(t) é uma função que, para t positivo, assume o valor um,...
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ℒ ( ) ( )[ ] atgbtfa =+ ℒ ( )[ ] btf + ℒ ( )[ ] ( ) ( )sbGsaFtg += (4.1)
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Exemplo 14: Sabendo que ℒ ( )[ ]
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Usando a função de Heaviside (vide Apêndice A, seção 2), a função f(t) ac...
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  1. 1. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace 1 CAPÍTULO V – A TRANSFORMADA DE LAPLACE 1. TRANSFORMADAS INTEGRAIS: Quando uma função f(x), com x ∈ D, é definida em termos de uma função F(ξ), com ξ ∈ Ω, através de uma relação integral do tipo ( ) ( ) ( ) ξξξ= òΩ d,xKFxf , (1.1) dizemos que f(x) é a transformada integral da função F( )ξ pelo kernel (núcleo) ),x(K ξ e usamos a notação: ( )[ ]x;F)x(f ξℑ= . (1.2) Devemos notar que o operador ℑ definido por (1.1) e (1.2) é linear, isto é, se ( )[ ] ( )xfx,F 11 =ξℑ , ( )[ ] ( )xfx,F 22 =ξℑ e 21 cec são constantes arbitrárias, então ( ) ( )[ ] ( ) ( )xfcxfcx,FcFcT 22112211 +=ξ+ξ . (1.3) Para escolhas particulares do kernel usaremos símbolos especiais para o operador transformada integral ℑ. Por exemplo: 1) Se Ω é toda a reta real e ( ) π =ξ ξ 2 e .xK xj , dizemos que f(x) é a transformada (exponencial) de Fourier de F( )ξ , ou ℱ ( )[ ] ( ) ( ) ξξ==ξ ò +∞ ∞− ξ deFxfF xj . (1.4) 2) Se Ω é toda a reta real e ( ) π ξ =ξ 2 )xsen( .xK , dizemos que f(x) é a transformada seno de Fourier de F( ),ξ ou ℱ ( )[ ] ( ) ( ) ( )ò +∞ ∞− ξξξ==ξ dxsinFxfFS . (1.5) 3) Se Ω é toda a reta real e ( ) π ξ =ξ 2 )xcos( .xK , dizemos que f(x) é a transformada coseno de Fourier de F( ),ξ ou
  2. 2. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace 2 ℱ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ξξξ==ξ ò +∞ ∞− dxcosFxfFC . (1.6) 4) Se Ω é o semi eixo real positivo e ( )xJ),x(K ξξ=ξ ν , onde ( )xJ ξν denota a função de Bessel de primeiro tipo e ordem ν, dizemos que f (x) é a transformada de Hankel de F( )ξ , ou ℋ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ξξξξ==ξ ò +∞ ν dxJFxfF 0 . (1.7) Ainda temos as transformadas de Laplace, onde x e),x(K ξ− =ξ e Ω é o semi-eixo real positivo; a transformada de Mellin, onde ( ) 1 x,xK −ξ =ξ e Ω é o semi-eixo real positivo, etc... Geralmente, o problema no qual a transformada integral é aplicada pede a determinação da função F( )ξ quando f(x) é uma função conhecida. Esta solução é encontrada através dos teoremas de inversão, que são da forma, ( )[ ] ( ) ( ) ( )ò ξ=ξ=ℑ− D 1 dx,xHxfFxf , (1.8) onde ),x(H ξ denota o kernel da transformada integral inversa 1− ℑ . 2. A TRANSFORMADA DE LAPLACE Definição: Seja f(t) uma função real definida para .0t > Então a transformada de Laplace de f(t), denotada por ℒ ( )[ ]tf é definida por: ℒ ( )[ ] ( ) ( )dttfesFtf 0 st ò +∞ − == , (2.1) onde assumimos que s é um parâmetro complexo. Dizemos que a transformada de Laplace existe se a integral (2.1) converge para algum valor de s, caso contrário esta transformada não existirá. Observação: Em muitas aplicações a variável s pode ser restrita a valores reais. Exemplos: Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções: 1. ( ) 1tf = ℒ ( )[ ]=tf ℒ[ ] ( ) =úû ù êë é −−=−== + ∞→ ∞−∞ − ò 0jyxR R 0 st 0 st eelim s 1 s e dte1
  3. 3. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace 3 ( ) s 1 1ysenjycoselim s 1 Rx R =úû ù êë é −+−= ∞→ , se Re( ) 0s > , (2.2) onde foi considerado que jyxs += . 2. ( ) ( )atHtf −= ℒ ( )[ ] ( ) s e s e dtedtatHeatH as a stst 0 a st − +∞ −−∞+ ∞+− =−==−=− ò ò , se Re( ) 0s > . (2.3) 3. ( ) ( )attf −δ= ℒ ( )[ ] ( )ò ∞ −− =−δ=−δ 0 asst edtateat , se Re( ) 0s > . (2.4) 4. ( ) at etf = ℒ[ ] as 1 as e dtee 0 t)as( 0 t)as(at − = − −== ∞−−∞ −− ò , se Re( ) as > . (2.5) 5. ( ) )atcos(tf = ℒ[ ] 22 0 22 st 0 st as s as )atcos(a)atsen(s edt)atcos(e)atcos( + = + −− == ∞+ −∞+ − ò , se Re( ) 0s > . (2.6) 6. 1pcom,t)t(f p −>= ℒ[ ] 1p0 pu 1p0 p u 0 pstp s )1p( duue s 1 s u d s u edttet + ∞+ − + ∞+ −∞+ − +Γ ==÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ == òòò , (2.7) (vide Eq. (1.1), seção 1 do Apêndice A) onde foi realizada a mudança de variável u = st, considerando que s > 0 seja real. Nos exemplos acima, fica claro que a transformada de Laplace converge numa certa região do plano complexo. Uma das propriedades que caracterizam a transformada de Laplace é que esta região é descrita pela equação Re(s) > a, onde a é uma constante real. Por outro lado, podem ocorrer funções para as quais a transformada de Laplace não existe, isto é, a integral (2.1) diverge para todos os valores de s. Assim, torna-se importante conhecer condições para a existência da transformada de Laplace de uma certa função. Então, apresentaremos um teorema que estabelece a existência desta transformada
  4. 4. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace 4 para uma classe de funções bastante ampla. Com este objetivo, inicialmente, definiremos funções seccionalmente contínuas e funções de ordem exponencial. Definição: Uma função f(t) é dita seccionalmente contínua ou contínua por partes num intervalo a < t < b, se este intervalo pode ser subdividido em um número finito de intervalos nos quais a função f(t) é contínua e possui limites finitos a direita e à esquerda. Um exemplo de função seccionalmente contínua é mostrado graficamente na Fig. 2.1. Esta função tem descontinuidades nos pontos .t,t,t,t 4321 Note que existem os limites à esquerda e à direita nos pontos it , para i = 1,2,3 e 4 e, também, os limites à direita em a e à esquerda em b. Figura 2.1: função contínua por partes. Definição: Uma função real é dita de ordem exponencial γ (real), se existem M e T, constantes reais positivas, tais que ( ) Mtfe t <γ− ou ( ) t eMtf γ < , para todo t > T. Exemplos: 1. ( ) 2 ttf = é de ordem exponencial 3, por exemplo, pois t322 ett <= , para todo t > 0 2. ( ) 3 t etf = não é uma função de ordem exponencial pois ( ) ∞→∞→== γ−γ−γ− tse,eeee 233 tttttt . (2.8) Em outras palavras, as funções de ordem exponencial não podem crescer, em valor absoluto, mais que uma exponencial t eM γ , quando t cresce. Funções limitadas, tais como seno e coseno, são sempre de ordem exponencial, bem como as funções polinomiais também o são.
  5. 5. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace 5 Teorema: (Condições suficientes para a existência da transformada de Laplace) Se, para todo real positivo T, f(t) é uma função seccionalmente contínua no intervalo finito 0 < t < N e é de ordem exponencial γ , para t > N, então sua transformada de Laplace F(s) existe para todo s > γ . Prova: Seja T um real positivo. Então, ( ) ( )dttfedttfedt)t(fe T tsT 0 ts 0 st òòò +∞ −−+∞ − += . (2.9) Como f(t) é seccionalmente contínua no intervalo 0 < t < T, temos que a primeira integral no lado direito da equação (2.8) existe. Como f(t) é de ordem exponencial γ, para t > T, também existe a segunda integral, como podemos observar abaixo: ( ) ( ) ( ) γ− =≤≤≤ γ∞+ −∞+ −∞+ −∞+ − òòòò s M dteeMdttfedttfedttfe t 0 ts 0 ts T ts T ts . (2.10) Assim, a transformada de Laplace de f(t) existe, para todo s > γ . Observação: Note que as condições do teorema são suficientes mas não necessárias para a existência da transformada de Laplace, ou seja, se uma função não pertence ao grupo especificado ela pode, ou não, possuir transformada de Laplace. Por exemplo, ( ) )ecos(et2tf 22 tt = não é de ordem exponencial, mas sua transformada de Laplace existe, pois: ,0)sRe(se,dt)esen(es1sen dt)e(sines)e(sinedt)e(coset2e 2 2222 t 1 st 0 tst 0 tsttt 0 st >+−= =+=úû ù êë é ò òò ∞ − ∞ − +∞ −∞ − (2.11) onde foi utilizada integração por partes, considerando st eu − = e )e(senv 2 t = . A integral que aparece no lado direito da equação (2.11) existe, pois: s 1 dtedt)e(sinedt)e(sine 0 st 0 tst 0 tst 22 =≤≤ òòò ∞ −∞ −∞ − , se Re(s) > 0. (2.12) 3. A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE: Definição: Se a transformada de Laplace de uma função f(t) é F(s), isto é, se ℒ ( )[ ] ),s(Ftf = então f(t) é chamada de transformada inversa de Laplace de F(s) e, simbolicamente, podemos escrever f(t) = ℒ ( )[ ]sF1− .
  6. 6. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace 6 Por exemplo, se f(t) é uma função que, para t positivo, assume o valor um, a menos de um conjunto de pontos isolados, então ℒ[ ]=1 ℒ ( )[ ]=tH ℒ ( )[ ] s 1 tf = . Assim, ℒ )t(fou)t(Hou1 s 11 =ú û ù ê ë é− . Observe que, como a transformada de Laplace só leva em consideração a parte da função definida para t ≥ 0, então podemos afirmar que, neste intervalo, H(t) = 1. Além disto, a transformada de Laplace é uma integral definida, logo “desconsidera” descontinuidades evitáveis. Do ponto de vista físico, funções como f(t) são “anormais” e não devem ser consideradas, assim podemos encarar um como sendo a transformada inversa de Laplace da função complexa . s 1 )s(F = Neste sentido, a transformada inversa de Laplace de uma função F(s) é única. Existe uma fórmula para a inversão da transformada de Laplace de uma função F(s), com Re(s) > α, definida pela integral de Mellin, ( ) ( )ò ∞+γ ∞−γπ = j j ts dssFe j2 l tf , (3.1) onde γ é um real qualquer tal que α>γ , a qual é uma fórmula bastante geral, mas que não será empregada aqui, pois não estudamos a integração por resíduos. Esta fórmula origina muitos métodos numéricos para determinar a transformada inversa de Laplace de uma função F(s). Um método bastante simples e, portanto, muito usado é a inversão por quadratura de Gauss, que é a definida por: ÷ ø ö ç è æ = å = t s F t s A)t(f k M 1k k k , (3.2) onde kA e ks são parâmetros complexos tabelados (vide Stroud & Secrest, Gaussian Quadrature). Neste estudo, nos restringiremos a inversão da transformada de Laplace através de métodos que usem uma tabela. Para tanto, vamos usar as técnicas de decomposição em frações parciais (ou diretamente os teoremas de Heaviside) e de completamento de quadrados, as quais serão vistas ao longo do texto deste material. 4. PROPRIEDADES DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE: Nas propriedades a seguir, assumiremos que todas as funções envolvidas obedecem o teorema da existência, a não ser que se diga o contrário. Propriedade 1: (LINEARIDADE) Se ℒ[f(t)] = F(s) e ℒ[g(t)] = G(s), então, para quaisquer a e b constantes complexas,
  7. 7. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace 7 ℒ ( ) ( )[ ] atgbtfa =+ ℒ ( )[ ] btf + ℒ ( )[ ] ( ) ( )sbGsaFtg += (4.1) ou ℒ ( ) ( )[ ] asGbsFa1 =+− ℒ ( )[ ] bsF1 +− ℒ ( )[ ] ( ) ( )tgbtfasG1 +=− . (4.2) Observação: Este resultado pode ser estendido facilmente para mais de duas funções. Prova: direta da definição. Exemplo 1: ℒ úû ù êë é −+− te5)t2(cos32t4 = 4ℒ 3]t[ 2 − ℒ[ ] 5)t2cos( + ℒ =− ]e[ t 1s 5 4s s3 s 8 1s 1 4s s3 s !2 4 2323 + + + −= + + + −= . Exemplo 2: Encontre a transformada inversa de Laplace, f(t), de )6s)(2s)(1s( 16s2s3 )s(F 2 −+− +− = . Sabe-se que a função racional acima pode ser escrita como a soma de funções racionais mais simples, da forma: ( ) )6s( C )2s( B )1s( A sF − + + + − = , (4.3) ou, efetuando a soma destas frações, ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )6s2s1s 2s1sC6s1sB6s2sA sF −+− +−+−−+−+ = . (4.4) Assim, igualando a expressão original da F(s) com a Eq. (4.4), obtemos que, ( )( ) ( )( ) ( )( )2s1sC6s1sB6s2sA16s2s3 2 +−+−−+−+=+− . (4.5) Em princípio, poderíamos obter A, B e C, igualando os coeficientes das potências de s. No entanto, este não seria o método mais rápido e eficiente, pois no caso, conduz a um sistema de três equações e três incógnitas. É fácil observar que estas igualdades valem sempre, isto é, para todo o valor de s. Assim, escolhendo valores para s que tornem nulos dois termos do lado direito da igualdade (4.5), deveremos ter: ( )( ) 15 17 Aou16236121A1s −=+−=−+Þ= , ( )( ) 3 4 Bou164126212B2s =++=−−−−Þ−=
  8. 8. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace 8 e ( )( ) 5 14 Cou16623632616A6s =+×−×=+−Þ= . Assim, ( ) ( ) ( ) ( )6s 1 5 14 2s 1 3 4 1s 1 15 17 sF − + + + − −= . (4.6) Esta técnica é denominada Separação em Frações Parciais. Agora, o cálculo da transformada inversa de F(s) é simples, bastando para tanto, usar a linearidade (4.2) e a equação (2.5). Temos então que: ( ) t6t2t e 5 14 e 3 4 e 15 17 tf ++−= − . (4.7) Não é difícil observar que este método sempre fornece resultados rápidos para a transformada inversa de Laplace, desde que tenhamos F(s) como uma função racional, com o grau do numerador menor que o grau do denominador e o denominador com raízes simples. Resumindo este procedimento, tem-se o teorema de Heaviside: Teorema de Heaviside: Seja uma função racional ( ) ( )sQ sP , onde P(s) e Q(s) são polinômios, com grau(P(s)) < grau(Q(s)) = N. Se todas as raízes ns de Q(s), com n = l, 2,..., N, são simples, então: ℒ ( ) ( ) ts N ln n 1 neA sQ sP å = − =ú û ù ê ë é , (4.8) onde ( ) ( ) ( ) ( )n n n ss n sQ sP sFsslimA n ′ =−= → , (4.9) sendo que ( )nsQ′ denota a derivada de Q(s), calculada na raiz ns . Exemplo 3: Encontre a transformada inversa de Laplace, f(t), de F(s) = 1sss 1 23 +++ . Podemos ver que ( ) ( ) ( ) )1s)(js(js1s)1s(1sss)s(Q 223 ++−=++=+++= , ou seja, temos três raízes distintas, 1s,js,js 32l −=−== . Assim, podemos usar o teorema de Heaviside,
  9. 9. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace 9 considerando 1)s(P = e 1s2s3)s(Q 2 ++=′ , ou seja, 4 j1 2)2( j22 j22 1 )j(Q )j(P 22 −− = +− −− = +− = ′ , 4 j1 2)2( j22 j22 1 )j(Q )j(P 22 +− = +− +− = −− = −′ − e 2 1 )1(Q )1(P = −′ − . Concluindo, temos que: )tsen( 2 1 )tcos( 2 1 e 2 1 e 4 j1 e 4 j1 e 2 1 )t(f tjtjtt +−= −− + +− += −−− , (4.10) Na equação (4.10), usamos a expressão da exponencial complexa para transformar jt e e jt e− em sem(t) e cos(t). Observem que, após esta transformação, a função f(t) é uma função real (sem nenhum termo imaginário). Este fato sempre ocorrerá na inversão da transformada de Laplace. Propriedade 2: (PRIMEIRO TEOREMA DA TRANSLAÇÃO) Se ℒ ( )[ ] )s(Ftf = , então ℒ ( )[ ] ( )asFtfe ta −= (4.11) ou ℒ ( )[ ] ( )tfeasF at1 =−− . (4.12) Este resultado pode também ser chamado de propriedade do amortecimento, pois se a função f(t) for “amortecida” pelo fator exponencial at e− , com a > 0, então a transformada de Laplace será deslocada para a esquerda a unidades em relação a nova variável s. Prova: ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( )òò +∞ −−+∞ − −=== 0 tas 0 atstta )as(Fdttfedttfeetfe . Exemplo 4: Sabendo que ℒ[ ] , 4s s )t2cos( 2 + = calcule ℒ ])t2cos(e[ t− . ℒ [ ] ( ) 5s2s 1s 41s 1s )t2cos(e 22 t1 ++ + = ++ + =−− . (4.13) Exemplo 5: Calcule ℒ ú û ù ê ë é +− −− 20s4s 4s6 2 1 . ℒ ú û ù ê ë é +− −− 20s4s 4s6 2 1 = ℒ ( ) ( ) ú ú û ù ê ê ë é +− +−− 162s 82s6 2 1 = 6ℒ ( ) ú ú û ù ê ê ë é +− −− 162s 2s 2 1 + 2ℒ ( ) ú ú û ù ê ê ë é +− − 162s 4 2 1 = )t4(sine2)t4(cose6 t2t2 += . (4.14)
  10. 10. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace 10 O processo realizado na primeira igualdade da equação (4.14) acima é conhecido como completamento de quadrados. Exemplo 6: Mostre que ℒ ( ) )!1n( et as 1 at1n n 1 − = ú ú û ù ê ê ë é − − − , onde a é qualquer complexo e n é natural. Usando a propriedade 2 acima e a equação (2.7) da seção 2 acima, obtemos que ℒ ( ) at n 1 e as 1 = ú ú û ù ê ê ë é − − ℒ )n( e s 1 at n 1 Γ =ú û ù ê ë é− ℒ )!1n( et s )n( at1n n 1 − =ú û ù ê ë éΓ − − , (4.15) pois )!1n()n( −=Γ (vide propriedade 3, da seção 1, do Apêndice A). Exemplo 7: Calcule a transformada inversa de Laplace da função ( ) 2/1 3s2)s(F − += . ℒ ( ) 2 1 3s2 1 2 1 1 = ú ú ú û ù ê ê ê ë é + − ℒ 2/t3 2 1 1 e 2 1 2 3 s 1 −− = ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ + ℒ t2 e 2 1 t 2 e s 1 t32/1t3 2/1 1 π = ÷ ø ö ç è æ Γ =ú û ù ê ë é −−− − . (4.16) Exemplo 8: Calcule a transformada inversa de Laplace de ( )3 2 1s s )s(F − = . Usando a decomposição em frações parciais, a função F(s) é rescrita como: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 323 2 1s C1sB1sA 1s C 1s B 1s A 1s s − +−+− = − + − + − = − . (4.17) Então, comparando os numeradores da equação (4.17), obtemos que A = 1, B = 2 e C = 1. Assim ,pela linearidade da transformada inversa de Laplace e pelo exemplo 5 acima, concluímos que: ℒ ( ) ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ++= ú ú û ù ê ê ë é − − 2 t t21e 1s s 2 t 3 2 1 . (4.18) Devemos observar que, neste caso, temos uma raiz tripla em s = 1. Assim, não podemos aplicar o teorema de Heaviside neste problema. No entanto, abaixo apresentamos uma generalização deste teorema para o caso de funções racionais cujo denominador tenha raízes múltiplas. Teorema de Heaviside Generalizado: Consideremos a mesma situação do teorema de Heaviside. Se 1s é uma raiz de Q(s) de multiplicidade m e as demais (n - m) raízes de Q(s) são simples temos que:
  11. 11. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace 11 ( ) ( ) åå +== − + ú ú û ù ê ê ë é − = n 1mk ts k m 1k km kts k1 eA !km tA etf , (4.19) onde ( ) ( ) ( ){ } m,...,3,2,1kpara,sFss ds d !1k 1 limA m 11k 1k ss k 1 =− − = − − → , (4.20) e ( ) ( ) n),...,2m(),1m(kpara,sFsslimA k ss k k ++=−= → . (4.21) Exemplo 9: Calcule ℒ ( ) ( )ú ú û ù ê ê ë é +− +−− 3s1s 19s9s2 2 2 1 . Usando o teorema de Heaviside Generalizado, considerando que o denominador de F(s) tem como raízes 1mcom,3se,2mcom,1s 21 =−=== , vemos que a transformada inversa de Laplace desta função tem a forma: f( ) ( ) ( ) t3 3 22 2 12 lt eA !22 tA !12 tA et − −− + ú ú û ù ê ê ë é − + − = , (4.22) onde: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3s 19s9s2 lim 3s1s 19s9s2 1s !11 1 limA 2 1s2 2 2 1s 1 = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + +− = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ +− +− − − = →→ , (4.23) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3s )19s9s2()3s)(9s4( lim 3s1s 19s9s2 1s ds d !12 1 limA 2 2 1s2 2 2 1s 2 −= ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + +−−+− = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ +− +− − − = →→ (4.24) e ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1s 19s9s2 lim 3s1s 19s9s2 3slimA 2 2 3s2 2 3s 3 = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ − +− = +− +− += −→−→ . (4.25) Concluindo, ( ) ( ) t3t e42t3etf − +−= . (4.26) Exemplo 10: Calcule ℒ ( ) ( ) ú ú û ù ê ê ë é ++ +− 22 1 2s1s 3s2 .
  12. 12. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace 12 Como a função F(s) tem as raízes duplas 2se1s 21 −=−= , pelo teorema de Heaviside Generalizado temos a solução: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ú ú û ù ê ê ë é − + − + ú ú û ù ê ê ë é − + − = −− − −− − !22 tB !12 tB e !22 tA !12 tA etf 22 2 12 1t2 22 2 12 1t , (4.27) onde: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2s 3s2 lim 2s1s 3s2 1s !11 1 limA 21s22 2 1s 1 = + + = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ++ + + − = −→−→ , (4.28) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2s 2s23s22s2 lim 2s1s 3s2 1s ds d !12 1 limA 4 2 1s22 2 1s 2 = + ++−+ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ++ + + − = −→−→ , (4.29) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1s 3s2 lim 2s1s 3s2 2s !11 1 limB 22s22 2 2s 1 −= + + = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ++ + + − = −→−→ (4.30) e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1s 1s23s21s2 lim 2s1s 3s2 2s ds d !12 1 limB 4 2 2s22 2 2s 2 = + ++−+ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ++ + + − = −→−→ . (4.31) Concluindo, ( ) ( )t2t eettf −− −= . (4.32) Exercício: Aplique o teorema generalizado de Heaviside no exemplo 8 acima. Propriedade 3: (SEGUNDO TEOREMA DA TRANSLAÇÃO) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = , então ℒ ( )[ ] ( )sFe)at(Hatf as− =−− (4.33) onde a > 0 é um dado real, ou ℒ ( ) ( ) ( )atfatH]sFe[ as1 −−=−− . (4.34) Prova: Considerando que a seja real positivo, ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ==−=−−=−− òòò ∞ −−∞ −∞ − duufedtatfedt)at(Hatfe)at(Hatf 0 aus a st 0 st
  13. 13. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace 13 ( ) ( )sFeduufee as 0 suas −∞ −− == ò , (4.35) onde foi feita a mudança de variável u = t - a. Exemplo 11: Sabendo que ℒ[ ] , s !3 t 4 3 = calcule ℒ ( )( ) ]2t.2tH[ 3 −− . Pela propriedade 3 acima, ℒ ( )( ) 4 s2 3 s e6 ]2t.2tH[ − =−− . Exemplo 12: ℒ ÷ ø ö ç è æ π −÷ ø ö ç è æ π −= ú ú û ù ê ê ë é + π− − 3 tsin 3 tH 1s e 2 3/s 1 . Exemplo 13: Calcule a transformada inversa de Laplace da função ( ) 13s4s 4s3e )s(F 2 s3 +− − = − . È importante ressaltar que para aplicar a decomposição em frações parciais (ou o teorema de Heaviside), a função F(s) deve ser racional. Portanto, o primeiro passo a ser executado neste problema é o uso da propriedade 3. Assim, ℒ ( ) ú ú û ù ê ê ë é +− −− − 13s4s 4s3e 2 s3 1 =ℒ )3t(H 13s4s 4s3 3tt 2 1 −ú û ù ê ë é +− − −= − . (4.36) Agora, para resolver a transformada inversa de Laplace que aparece no lado direito da equação (4.36), poderemos usar a decomposição em frações parciais. No entanto, as raízes do polinômio do denominador da função racional são complexas, o que dificulta um pouco os cálculos envolvidos (estes cálculos ficam como exercício). Assim, é mais conveniente aplicar o completamento de quadrados no denominador desta função, ou seja, ℒ =ú û ù ê ë é +− −− 13s4s 4s3 2 1 ℒ ÷ ø ö ç è æ += ú ú û ù ê ê ë é +− +−− )t3sen( 3 2 )t3cos(3e 9)2s( 2)2s(3 t2 2 1 , (4.37) sendo que, na última igualdade da Eq. (4.37), utilizamos a propriedade 2. Concluindo, ℒ [ ] )3t(H))3t(3sen( 3 2 ))3t(3cos(3e)s(F )3t(21 −÷ ø ö ç è æ −+−= −− . (4.38) Propriedade 4: (MUDANÇA DE ESCALA) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = então ℒ ( )[ ] ÷ ø ö ç è æ = a s F a 1 atf . Observação: A prova desta propriedade fica como exercício.
  14. 14. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace 14 Exemplo 14: Sabendo que ℒ ( )[ ] 1s 1 tsen 2 + = , encontre ℒ[ ])t3sen( . Pela propriedade 4 acima, ℒ[ ] ( ) 9s 3 13/s 1 3 1 )t3sen( 22 + = + = . Propriedade 5: (MULTIPLICAÇÃO POR T) Se ℒ ( )[ ] )s(Ftf = , então, para todo n natural, ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )sF1s ds Fd 1tft nn n n nn −=−= . (4.39) Prova: Sabendo que ( )ò ∞ − = 0 st dttfe)s(F , esta prova é obtida usando-se o Princípio da Indução sobre n. Na base de indução (n = 1), usamos a regra de Leibnitz para diferenciação, ou seja, ( ) [ ] ( ) ( )( ) −=−= ∂ ∂ = òòò ∞+ −−∞+∞+ − 0 stst 00 st dttftedttfe s dttfe ds d ℒ ( )[ ]tft , (4.40) isto é, ℒ ( )[ ] ( )sF ds d tft −= , o que comprova a validade da equação (4.39) para n = 1. No passo de indução, vamos supor então que a Eq. (4.39) é valida para n = k, e vamos mostrar sua validade para n = k+1. Assim, ℒ ( ) =+ ]tft[ 1k ℒ ( )( )[ ] ds d tftt k −= ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )s ds Fd 1s ds Fd 1 ds d tft 1k 1k 1k k k kk + + + −=−−= , (4.41) o que demonstra esta propriedade. Exemplo 15: Se ℒ[ ] 2s 1 e t2 − = , então, pela propriedade 5 acima, temos que ℒ[ ] ( )2 t2 2s 1 2s 1 ds d te − =÷ ø ö ç è æ − −= (4.42) e ℒ[ ] ( )32 2 t22 2s 2 2s 1 ds d et − =÷ ø ö ç è æ − = . (4.43) Exemplo 16: Calcule a transformada de Laplace de ïî ï í ì ≥ <≤ = − 4tse,te 4t0se,0 )t(f t3 .
  15. 15. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace 15 Usando a função de Heaviside (vide Apêndice A, seção 2), a função f(t) acima é rescrita como )4t(Hte)t(f t3 −= − . Para calcular sua transformada de Laplace podemos usar as propriedades 2, 3 ou 5, desde que tomemos certos cuidados. Por uma questão de simplicidade, aconselha-se usar, sempre que possível, primeiramente a propriedade 2, depois a 3 e, por último a 5. Assim, ℒ[ ]=)t(f ℒ[ ] s4 3ss e{)4t(H)44t( − += =−+− ℒ[ ] = þ ý ü î í ì ÷÷ ø ö çç è æ +=+ ++ − += 3ss 2 s4 3ss s 4 s 1 e}4t 2 )3s(4 )3s( )3s(41 e + ++ = +− . (4.44) Propriedade 6: (FUNÇÕES PERIÓDICAS) Se f(t) é uma função periódica com período T, isto é, f (t + T) = f(t), para todo t ≥ 0, então ℒ ( )[ ] ( ) sT T 0 st e1 dttfe tf − − − = ò . (4.45) Prova: Se f(t) é uma função periódica com período T, então, onde n é um número inteiro, temos que ( ) ( ) ( ) ( ) KK =+==+=+= nTtfT2tfTtftf . Assim, obtemos que: ( ) ( ) ( ) K+++= òòòò −−−+∞ − dt)t(fedttfedttfedttfe T3 T2 stT2 T stT 0 st 0 st , (4.46) então, fazendo mudança de variável nas integrais da Eq. (4.46), resulta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+++++= òòòò +−+−−+∞ − T 0 T2tsT 0 TtsT 0 st 0 st dtT2tfedtTtfedttfedttfe . (4.47) Usando a periodicidade da função f(t) e lembrando que å +∞ = − = 0n n x1 1 x , se 1x < , obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , e1 dttfe dt)t(fee dttfeedttfeedttfedttfe sT T 0 st T 0 st 0k ksT T 0 stsT2T 0 stsTT 0 st 0 st − − − ∞+ = − −−−−−+∞ − − == =+++= ò òå òòòò K (4.48) como queríamos demonstrar. Exemplo 17: Determine F(s) = ℒ ( )[ ]tf , onde
  16. 16. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace 16 ( ) ( ) ( ) 0ttodopara,tf2tfe 2t1se,1 1t0se,1 tf ≥=+ î í ì <≤− <≤ = . (4.49) Usando a propriedade 6 acima, obtemos que: ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 s tgh s 1 )ee(s ee e e )e1(s e1 )e1)(e1(s )e1( )e1(s ee21 e1s eee1 e1 dtedte e1 dttfe )s(F 2/s2/s 2/s2/s 2/s 2/s s s ss 2s s2 s2s s2 s2ss s2 1 0 2 1 stst s2 2 0 st ÷ ø ö ç è æ = + − =⋅ + − = −+ − = = − +− = − −−− = − − = − = − − − − −− − − −− − −−− − −− − − ò òò (4.50) Propriedade 7: (DIVISÃO POR T) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = e existe o limite t )t(f lim 0t→ , então ℒ ( ) ( )duuF t tf sò ∞+ =ú û ù ê ë é . (4.51) Exemplo 18: Como 1 t )tsen( lim 0t = → , temos que ℒ ò ∞+ − ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ = + =úû ù êë é s 1 2 s 1 tgou s 1 arctg 1u du t )tsen( . (4.52) Propriedade 8: (TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = , com )t(f ′ continua por partes, então ℒ ( )[ ] ( ) ( )0fsFstf −=′ . Prova: ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) s0fdttfesetfdttfetf 0 st 0 st 0 st +−=+=′=′ òò ∞+ − +∞ −∞+ − ℒ ( )[ ]tf . Propriedade 9 (DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = e )t(f ′ é contínua por partes, então ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )0f0fs0fs0fssFstf 1n2n2n1nn)n( −−−− −−−′−−= K . (4.53) Prova: A demonstração é obtida pelo Princípio Indução Matemática sobre n, ficando esta prova como exercício. Exemplo 19: Se ℒ[ ] 9s s )t3cos( 2 + = , calcule ℒ[ ])t3sen( . Usando a linearidade e a propriedade 8 acima, temos que
  17. 17. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace 17 ℒ[ ] 3 1 )t3sen( −= ℒ ( ) 9s 3 9s 9ss 3 1 1 9s s s 3 1 )t3cos( dt d 22 22 2 + = ú ú û ù ê ê ë é + −− −=ú û ù ê ë é − + −=ú û ù ê ë é . (4.54) Propriedade 10: (TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = , então ℒ ( ) ( ) s sF duuf t 0 =úû ù êë é ò . Exemplo 20: ℒ ( )4ss 2 du)u2sen( 2 t 0 + =úû ù êë é ò . Propriedade 11: (COMPORTAMENTO DE F(s) QUANDO +∞→s ) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = , então 0)s(Flim s = +∞→ . Propriedade 12: (TEOREMA DO VALOR INICIAL) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = , então )s(sFlim)t(flim s0t +∞→→ = . (4.55) Prova: Pela definição e propriedade 8, temos que ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( )0fsFsdttfetf 0 st −=′=′ ò +∞ − . Assim, temos que: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )úû ù êë é −úû ù êë é =−úû ù êë é =−=′ →+∞→+∞→+∞→ ∞+ − +∞→ ò tflimsFslim0fsFslim0fsFslimdttfelim 0tsss0 st s , (4.56) ou seja, ( ) ( )úû ù êë é −úû ù êë é = →+∞→ tflimsFslim0 0ts , o que demonstra esta propriedade. Propriedade 13 (TEOREMA DO VALOR FINAL) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = , então )s(sFlim)t(flim 0st →+∞→ = . (4.57) Prova: Pela definição e propriedade 8, temos que ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( )0fsFsdttfetf 0 st −=′=′ ò +∞ − . Assim, ( ) ( ) ( )0fsFslimdttfelim 0s0 st 0s −úû ù êë é =′ → ∞+ − → ò . (4.58) Mas, por outro lado,
  18. 18. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace 18 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ).0fRflim 0fRflimdttflimdttfdttfelim R R R 0R00 st 0s −úû ù êë é = =−=′=′=′ +∞→ +∞→+∞→ +∞+∞ − → òòò (4.59) Portanto, das equações (4.58) e (4.59), obtemos a fórmula (4.57), provando a propriedade 13. 5. TEOREMA DA CONVOLUÇÃO: Muitas vezes, para resolver Equações Diferenciais pela aplicação da transformada de Laplace, precisamos inverter funções do tipo [F(s).G(s)]. Para tanto, vamos definir a Convolução entre duas funções f(t) e g(t). Definição: A convolução de duas funções f(t) e g(t), denotada por gf ∗ , é definida por: ( ) ( )ò ττ−τ=∗ t 0 dtgf)t(g)t(f . (5.1) Observa-se que gf ∗ é uma função de t e, é fácil mostrar que, ( ) ( ) )t(fg)t(gf ∗=∗ , para todo t real positivo. Teorema da Convolução: Se ℒ ( )[ ] )s(Ftf = e ℒ ( )[ ] )s(Gtg = , então: ℒ ( )[ ] ( ) ( )sG.sF)t(g*f = (5.2) ou, simplesmente, ℒ ( ) ( )[ ] ( ) )t(gfsG.sF1 ∗=− . (5.3) Exemplo 1: Prove que ( )ò =− t 0 )tsen( 2 t duutcos)usen( . Considerando F(s) = ℒ[ ] 1s 1 )tsen( 2 + = e G(s) = ℒ[ ] 1s s )tcos( 2 + = , obtemos do teorema da Convolução que: ( ) =−ò t 0 duutcos)usen( ℒ ( ) ( )[ ]=− sG.sF1 ℒ ( ) ú ú û ù ê ê ë é + − 22 1 1s s (5.4) e obtemos, das propriedades 1 e 5 da seção anterior, que
  19. 19. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace 19 ℒ 2 1 )tsen(t 2 1 =ú û ù ê ë é ℒ[ ] ( ) ( ) ( )22222 1 1s s 1s s2 2 1 1s 1 ds d 1 2 1 )tsen(t + = + − −=÷÷ ø ö çç è æ + −= − , (5.5) o que comprova a afirmação acima. Exemplo 2: Calcule a transformada inversa de ( )22 1ss 1 )s(F + = . Sabe-se que ℒ t s 1 2 1 =ú û ù ê ë é− e ℒ ( ) t 2 1 et 1s 1 −− = ú ú û ù ê ê ë é + . Assim, ℒ ( ) =ú û ù ê ë é + − 22 1 1ss 1 ℒ ( ) ( )òò =−=−=∗= ú ú û ù ê ê ë é + −−−− t 0 u2t 0 ut 22 1 dueuutdueu)ut(ett 1s 1 s 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2te)2t(e2eu2teuut tt 0 uuu2 −++=−−+−−+−−= −−−− , (5.6) sendo que no cálculo da integral acima, foi utilizada duas vezes a técnica de integração por partes. Observação: Para inverter a transformada de Laplace acima, seria mais simples usar os teoremas de Heaviside. Para mais exemplos resolvidos ver os livros Transformadas de Laplace, coleção Schaum, de Murray Spiegel, ou Moderna Introdução às Equações Diferenciais, coleção Schaum, de Richard Bronson.

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