Los numeros

Matemática para todos “La matemática es la reina de las
ciencias y la aritmética es la reina de
Fascículo las matemáticas”

El mundo de los números Carl Friedrich Gauss
Números I
Matemático alemán (1777-1855)

Una flor en forma de espiral.
En la corola de un girasol se forman
dos grupos opuestos de espirales. Hay
34 espirales en el sentido de las agujas
del reloj y 55 en sentido opuesto. Estos
números pertenecen a la sucesión de
Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34,
55, 89...
Fotografía: Rogelio Chovet

Descubriendo el mundo de los números
¿Qué tienen en común
estos objetos?
Todos presentan números que
llevan implícita una información.
En la cédula aparece el número
que identifica a cada ciudadano
mayor de una cierta edad. En
un billete se expresa la cantidad
de bolívares que representa
(bolívares 500) y la serie a la
que pertenece (149838217).

La etiqueta de cualquier producto en el mercado
presenta en números la capacidad del envase, la
fecha de expedición y la de vencimiento, así como
un código de barras que identifica al producto.

Podríamos continuar revisando diversas situaciones de nuestra vida cotidiana
en las cuales los números están presentes.

En todas estas situaciones los números utilizados responden a los principios del
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL.

En este sistema de numeración se utilizan diez símbolos
denominados dígitos o cifras que representan ideas de
cantidad. 0123456789
23 32
Cada cifra tiene un valor diferente según su posición. Es y se utilizan
decir, la misma cifra colocada en diferente lugar representa es diferente de las mismas
cantidades distintas. cifras
Centenas Decenas Unidades

El valor de una cifra depende de la posición que ocupa en 100 10 1
3 3 2
el número. Cada posición a la izquierda es diez veces
mayor que la que le precede.

3 centenas 3 decenas 2 unidades

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1

N ú m e r o s e n e l t i e m p o

Prehistoria ca 15000 años a.C. ca 3400 años a.C. ca 2000 años a.C. s. V d.C. s. XII d.C.
Las ideas se comunican Paleolítico superior. La Invención de los símbolos Símbolos escritos, sistema Sistema posicional. Sistema Sistema de numeración
verbalmente invención de marcas para escritos representan ideas de numeración posicional de numeración maya de decimal en Europa
contar: las muescas de cantidades. Sistema babilónico base 20. Sistema de nume-
egipcio aditivo ración Inca, base 10 verbal
y representación en quipú

El actual sistema decimal de numeración o sistema hindú-arábigo, que utiliza el valor de posición, es la culminación
de muchos siglos de contribuciones de varios sistemas de numeración. Los babilonios al principio de 2000 a.C., los
chinos en el siglo I a.C. y los Mayas en el siglo V d.C. ya habían desarrollado sistemas de numeración posicionales.
Para escribir números, las cifras cumplen la misma función que las letras del alfabeto para escribir palabras. Observa
los diferentes símbolos que en el transcurso de la historia se utilizaron para escribir números.

Maya Hindú Griego

Árabe

Egipcio Babilónico

Binario (base 2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010

Interesante
Al tiempo que en Europa se adoptaba el sistema de numeración
hindú-arábigo, considerado como uno de los más importantes
inventos de la humanidad, los incas en Sudamérica usaban el quipú:
tiras de algodón con nudos que representaban la notación posicional
como un sistema decimal de numeración, es decir, un sistema de 215 31 102 348
base 10. Observa la representación de cantidades en un quipú.

La introducción de un símbolo que representara la ausencia de cantidad encontró grandes
obstáculos. Se decía: “si los números se inventaron para contar, es absurdo inventar un
símbolo para contar nada”.

Los waraos en Venezuela poseen un sistema fonético muy vinculado con sus manos
1 Isaka, 2 Manamo . . . . . 5 Mojobasi, 6 Mojo matama isaka (uno de otra mano).

En los sistemas de numeración de los babilonios, griegos, egipcios, romanos, chinos y
mayas, no se puede reconocer la magnitud de los números por la longitud de su escritura.
Esta es una de las ventajas del sistema decimal de numeración posicional: con una sola
mirada, sin leer los números, se puede comparar con la longitud de su escritura.


Descubriendo los números

Si quisiéramos contar el número de granos que hay sobre esta
mesa, buscaríamos una manera de organizarlos sin tener que
contarlos uno por uno.

Una forma de contarlos es
agrupándolos de 10 en 10 y
pegar cada grupo de 10 en una
paleta.

Luego se agrupan en
cuadros de exactamente 10
paletas.

Centenas
100 100
Observa que cada cuadro
tiene 10 paletas y cada
paleta 10 granos. Decenas Unidades
Obtenemos finalmente: 10 7
2 cuadros 10
3 paletas 10
7 granos sueltos
2 Centenas
¡Tenemos en total 237
granos!
3 Decenas
7 Unidades
Yendo más allá Agrupamos 1 724 granos así:
En caso de poder agrupar 1 724 granos
10 cuadros de 10 paletas 172 paletas y 4 granos
en cada pila, obtenemos 17 cuadros y 2 paletas y 4 granos
unidades de mil. 1 pila y 7 cuadros y 2 paletas y 4 granos

Unidades de mil Centenas Decenas unidades

1 7 2 4

Descubriendo operaciones: la adición
Conteo de unidades sucesivas

0 1 2 3 4 5 6 7 8

4+3=7
“Sumando” con paletas y granos

5 5
+ +7
7 12

Reúno paletas y granos

165
+ 72
y

165
+ 72
237

Reto
Cuadrado Mágico
Coloca los números del 1 al 9 de
manera tal que todas las columnas,
Números triangulares filas y diagonales mayores sumen 15.

Representa y
escribe el próximo
número triangular

1 3 6 10

Descubriendo operaciones: la sustracción

8-5=3
Quitando Completando Comparando
Tengo 8 caramelos y Tengo 5 caramelos y Víctor tiene 8 caramelos
regalo 5 necesito 8 y María tiene 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8

La sustracción ... o “pido prestado”
¿Alguna vez te has preguntado qué quiere decir “pido prestado” cuando estás efectuando
una sustracción?
Fíjate en el ejemplo.
Usaremos monedas, las cuales nos resultan familiares. La única limitación en esta
situación es que tenemos sólo monedas de 1, 10 y 100 bolívares.

Tenemos 245 bolívares así representados y necesitamos pagar 72 bolívares.
¿Qué podemos hacer?
• Quitamos 2 bolívares.
• Ahora para pagar los 70
restantes, sólo tengo 4
monedas de 10.
• Para poder tener las 7 que
necesito, cambiamos una
moneda de 100 en 10
monedas de 10.

Ahora puedo sacar las 7 monedas de 10 que necesito de las 14 que tengo, y dos monedas de uno para pagar los
72 bolívares, por lo que me quedan 173 Bolívares. “Pido prestado” al
2 una centena

245 Minuendo

-72 Sustraendo

173 Diferencia


Descubriendo operaciones: la multiplicación
3 x 5 = 15
Área de
3 veces 5 Suma abreviada 3 filas de 5 fichas rectángulos

3x5 5+5+5 3 filas de 5 Área de
fichas rectángulos

Propiedad distributiva
3
(3 + 5) x 4 = (3 x 4) + (5 x 4)
3
8x4 = 12 + 20 y 5

32 = 32 5 4
4

4
La propiedad distributiva ayuda a comprender el procedimiento que se usa para multiplicar números de
varias cifras.

Reto
Usando la propiedad distributiva lo podemos explicar. • Completa lo que falta de la tabla.
325 x 42 = • Sombrea los resultados 1x1, 2x2, 3x3,
325 x (40 + 2) = 4x4...
(325 x 40) + (325 x 2) = • Sombrea en otro color los múltiplos de 5
(325 x 4 x 10) + 650 = que están entre 20 y 50.
(1 300 x 10) + 650 = • ¿Qué observas?
13 000 + 650 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
13 650
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 9 12 15 18 21 24 27 30
Números rectangulares 4 16 20 24 28 32 36 40
Representa y 5 25 30 35 40 45 50
escribe el próximo
número rectangular 6 12 36 42 48 54 60
7 49 56 63 70
8 32 64 72 80

2 6 12 20 9
10 30
81 90
100


Descubriendo operaciones: la división
Dividendo 17 3 Divisor
17 = 3 x 5 + 2
Residuo 2 5 Cociente

Repartiendo Agrupando
Se quiere repartir 17 caramelos entre tres ¿Cuántos paquetes de tres caramelos
niños de manera que cada niño reciba la se pueden hacer con 17 caramelos?
misma cantidad. ¿Cuántos caramelos le
tocan a cada niño? ¡5 paquetes!
... y sobran 2
¡5 caramelos caramelos.
a cada niño!
... y sobran 2
caramelos.

Cálculo mental
2 436 : 12 152 : 8

2 436 = 2 400 + 36 152 = 160 - 8
(2 400 + 36) : 12 = (160 - 8) : 8 =
2 400 : 12 + 36 : 12 = 160 : 8 - 8 : 8 =
200 + 3 = 20 - 1 =
203 19
Compruebo Compruebo
203 x 12 = 2 436 19 x 8 = 152

Retos

• ¿Qué número dividido por 2, luego por 3, luego por 5 y finalmente
por 7 da como resultado 10?

• ¿Qué número dividido 5 veces por la mitad es igual a 100?

Carl Friedrich Gauss
(1777-1855) Leonardo Pisano
Apodado Fibonacci (1180-alrededor de 1250)

Gauss dio señales de ser un genio antes de cumplir tres años. A esa edad aprendió a Fibonacci era hijo de un mercader de Pisa, Bonaccio
leer y a hacer cálculos aritméticos con tanta habilidad que descubrió un error en los (de aquí se origina el sobrenombre, “figlio di Bonaccio”).
cálculos realizados por su padre para cancelar salarios. Nacido en una modesta cabaña Viajó al África septentrional, a Egipto, Siria y Grecia,
de Alemania e hijo de padres muy pobres, sus contribuciones a la matemática, la física donde aprendió los métodos algebraicos árabes y el
y otras ramas de la ciencia, como la astronomía, fueron de una importancia extraordinaria. sistema de numeración hindú-arábigo. Con su obra
A Gauss, en su vejez, le encantaba contar la siguiente anécdota: A los diez años de Liber Abaci, difundió en Europa la notación árabe de
edad, su maestro le propuso en clase el cálculo de una suma complicada para su edad. los números, la cual usa nueve cifras y el cero, y
Apenas el maestro había terminado de dictar el problema, Gauss puso en la mesa del también la barra horizontal para escribir fracciones.
maestro su pizarra con el resultado de la suma. Se reconocen como números de Fibonacci los números
Observa el problema que el maestro propuso: de la sucesión 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... en los que
Calcular la suma de los números enteros consecutivos desde 1 hasta 100 cada número es la suma de los dos términos que lo
1 + 2 + 3 + 4 + 5 +..........+ 100 preceden.

120 Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1

Fascículo

Matemática para todos
El mundo de los números Algoritmo de la división
Queremos dividir Bs. 1 353 entre 12

• Un billete de Bs. 1 000 no lo
puedo repartir entre 12.
• Cambio el billete de Bs. 1 000
1’353 12
en 10 monedas de 100.

• Ahora tengo 13 monedas de Bs. 100. Bs. 100 a 13’53 12
• Reparto entre 12. cada uno
- 12
• Le toca una moneda de Bs. 100 a cada 1
1
uno y sobra una moneda de Bs. 100.

• Cambio la moneda de Bs. 100 en 10 135’3 12
monedas de Bs. 10. Bs. 10 a - 12
cada uno 11
• Ahora tengo 15 monedas de Bs. 10. 15
• Las reparto entre 12. - 12
• Le toca una moneda de Bs. 10 a cada
uno y sobran 3 monedas de Bs. 10.
3

• Cambio las 3 monedas de Bs. 10 en 1353’ 12
monedas de Bs. 1. - 12
• Ahora tengo 33 monedas de Bs. 1 112
15
• Las reparto entre 12. - 12
• Tocan 2 monedas de Bs. 1 a cada uno
y sobran 9 monedas de Bs. 1. 33
- 24
9
Bs. 2 a cada uno

A cada uno le toca un total de Bs. 112
y sobran 9 monedas de Bs. 1 1 353 =
112 x 12 + 9

121

Números y códigos
Número clave

Un código es un grupo de símbolos que relacionados representan información.
Los códigos existen hace miles de años, tal como se aprecia en los jeroglíficos,
el alfabeto griego, números romanos, el código Morse.
Actualmente hablamos del código genético (ADN), código de barras, código
bidimensional, etc.
En esta sección hablaremos del código de barras.
El código de barras es un elemento identificador que se visualiza como una
combinación de 30 o más rayas negras de diferente grosor y de cifras que pueden
ser leídas por un lector óptico (scanner) que reconoce caracteres. Este código
proporciona información individual de cada producto o servicio y facilita el manejo
de la información por su precisión ya que cada artículo tiene una identificación
única en cualquier parte del mundo. Por ejemplo:
3 representa el país de origen
065890 características del fabricante
000643 características del producto
Para verificar si el código corresponde a ese producto la computadora realiza las
siguientes operaciones:
1) Suma las cifras colocadas en los lugares pares a partir de la derecha.
2) Multiplica esta suma por la primera cifra a la izquierda.
3) Se suman las cifras de lugar impar comenzando por la tercera cifra de la
derecha.
4) Se suman los resultados de los pasos 2 y 3, la diferencia entre este resultado
y la decena superior debe coincidir con el número clave. De no ser así hay
algún error en el código o en la lectura que amerita ser revisado.
Su uso ha sido principalmente en el área comercial, pero también se está utilizando
en control de acceso de personas, en inventarios, en centros asistenciales, entre
otros. Por ejemplo, cuando usted paga en la caja de un supermercado, ésta,
además de cobrarle recoge la información del tipo de producto, el tamaño,
ubicación, fecha de expedición, etc. Todo el código responde a normas aprobadas
por el “Código Universal de Productos” (UPC). La utilización del código de barras
en la vida cotidiana ha simplificado y automatizado el proceso de recolección de
datos en los comercios e industrias.


Números y deportes
¿Cómo sería la práctica de deportes si no tuviéramos números?
¿Qué perderíamos?
• ¿Cómo podríamos determinar el ganador de un partido?
• ¿Cuándo decimos que un partido se terminó?
• ¿Cómo mediríamos la cancha para cada deporte?
• ¿Cuántos jugadores tendría cada equipo?
• ¿Qué tamaño y peso tendrían las pelotas para cada deporte?
• ¿Cómo podríamos saber qué equipo gana un campeonato?
• ¿Cómo podríamos determinar el mejor jugador de un campeonato?
Sin números, la práctica deportiva perdería gran parte de su interés. Eso sin contar con el
hecho de que en algunos casos sería imposible de llevarse a cabo, ya que careceríamos
de cosas tan elementales como medida de la cancha, de la pelota con que se juega y el
número de jugadores, entre otras cosas.
Además, ¿qué sería de la afición al béisbol, por ejemplo, si no pudiéramos saber qué equipo
va ganando el campeonato, o qué jugador va punteando en número de hits conectados?
A veces nos parece que un jugador de fútbol corre muchísimo durante un partido completo
pero, ¿podríamos saber cuánto corre realmente si no pudiéramos contar con números?
A continuación te ofrecemos información numérica fundamental para la práctica de dos
deportes que gozan de una gran popularidad: el baloncesto y el fútbol.
7,32 m
15 m

altura del arco: 2,44 m 5,05 m
5,8 m

11,1 m

altura del tablero: 2,75 m
100 a 110 m

1,8 m
28 m

64 a 75 m

El balón de fútbol debe tener una circunferencia máxima entre 69 y 70 cm. Debe estar a
una presión de 1,1 atmósferas.

El balón del baloncesto debe tener una circunferencia máxima de 75 a 78 cm y un peso
de 600 a 650 gramos. Se infla a una presión de aire tal, que cuando se deje caer de una
altura aproximada de 1,80 m, debe rebotar hasta una altura mínima de 1,20 m y máxima
de 1,40 m.

Interesante:
Un jugador de fútbol puede
correr entre 11 y 13 kilómetros
durante un partido completo.


123

Ventana didáctica
Estrategias sugeridas al docente

Tres juegos con la calculadora
La calculadora, lejos de ser solamente un instrumento para sacar cuentas engorrosas,
puede utilizarse, entre otras cosas, para desarrollar habilidades de estimación, para
reforzar concepciones básicas en el manejo de números y para desarrollar estrategias
de resolución de problemas.
Lo increíble es que esto podemos lograrlo tan sólo jugando con ella. A continuación
proponemos tres juegos que se pueden realizar en cualquier sitio.

El cero en no más de cinco pasos
• Se juega entre dos personas.
• El jugador A introduce en la calculadora un número de tres cifras menor o igual a 900.
• El jugador B debe reducir el número a cero en no más de cinco pasos.
• Para reducir al cero, solamente puede usar operaciones básicas, en las cuales sólo use números de una cifra.
Ejemplo:
• El jugador A introduce el número 703 en la calculadora.
• El jugador B puede seguir el siguiente procedimiento.

-3= :7= :5= :5= -4=

Eliminando cifras Gana el que acumule 10 puntos
• Cada participante trabaja con su propia calculadora.
• Se propone un número de siete cifras, ninguna de las cuales se repite.
• Se pide eliminar un dígito del número, aplicando solamente una operación.
• Se pide el relato de lo realizado y se califica según el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
• Se introduce 5382749.
• Se pide eliminar el 7. El participante reporta sólo la El participante reporta sólo la
operación sobre el dígito que debe operación y los dígitos con los que El participante reporta la operación
ser eliminado la hizo y el número que resta
menos siete. menos siete, cero, cero. menos setecientos.

Pierde un punto Ni gana ni pierde el punto Gana un punto

Los factores morochos Gana el que acumule 10 puntos
• Cada participante trabaja con su propia calculadora.
• Se propone un número que sea un cuadrado perfecto.
• Se pide estimar qué número multiplicado por sí mismo dé el número propuesto.
• Se pide que se efectúe la multiplicación.
• Se califican los resultados de acuerdo al siguiente ejemplo.
Ejemplo:
• Se propone 3969.
• Se puede seguir el siguiente procedimiento:
- El participante reporta 631, que tiene más cifras que la raíz cuadrada del número propuesto y de cuya cifra
de las unidades (1) al elevarlo al cuadrado no se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto
(9). Pierde dos puntos.
- El participante reporta 633, un número que tiene más cifras que la raíz cuadrada del número propuesto y de
cuya cifra de las unidades se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto. Pierde un punto.
- El participante reporta 75, que tiene el mismo número de cifras que la raíz cuadrada del número propuesto y
de cuya cifra de las unidades no se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto. Ni gana
ni pierde puntos.
- El participante reporta 67, que tiene el mismo número de cifras que la raíz cuadrada del número propuesto y
de cuya cifra de las unidades se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto. Gana un punto.
- El participante reporta 63, la raíz cuadrada del número propuesto. Gana dos puntos.


Tengo que pensarlo
El número de la casa de Yolanda
Si el número de la casa de Yolanda es múltiplo de tres,
se trata de un número comprendido entre el 50 y el 59.
Si el número de la casa no es múltiplo de 4, entonces
es un número comprendido entre 60 y 69.
Si el número no es múltiplo de 6, entonces se trata de
un número comprendido entre el 70 y el 79.
¿Cuál es el número de la casa de Yolanda?

1 2 58 _ _ _
1 3 Sumas iguales
En la figura cada letra representa
Fibonacci una cifra.
La sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8.... Recibe el
nombre de sucesión de Fibonacci.
Escribe los números que corresponden
C B A
Todas las cifras (1 al 9) están
representadas por una letra distinta.
Se sabe que la suma de cada
13

al noveno y duodécimo lugar. columna o fila es igual a 13.
D
¿Cuál cifra representa la letra E?

G F E 13

13

123456789 = 2 000 H
Dos mil
Utilizando la cifras del 1 al 9, coloca entre ellas los
I
signos + - x : de tal manera que obtengas 2 000. 13

El cubo
Coloca las cifras del 1 al 8 en cada
vértice del cubo de tal forma que
la suma de las cifras de los vértices
de cada cara sea 18.

Edificio en Tokio, Japón

125

¡A jugar!

Materiales
• Dos juegos de cartas como los siguientes:

1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Versión 1 • Dos jugadores Versión 2 • Hasta 4 jugadores
1 El jugador Nº 1 selecciona cuatro cartas verdes. 1 Hasta cuatro jugadores pueden jugar. En este
caso, se necesitarían dos juegos de cartas ver-
2 El jugador Nº 2 selecciona una carta amarilla.
des.
3 El jugador Nº 1 debe combinar los números de
2 Cada jugador toma cuatro cartas verdes y una
sus cuatro cartas verdes con operaciones aritmé-
amarilla.
ticas básicas (+, -, x, :) hasta obtener el número
escrito en la carta amarilla. 3 Cada uno trata de resolver el problema plantea-
do en la versión 1.
4 Si resuelve el problema, gana un punto.
4 Cuando un jugador falla, el jugador a su derecha
5 Si el jugador Nº 1 no puede resolver el problema,
tiene la oportunidad de resolverlo y ganar un punto
el jugador Nº 2 tiene la oportunidad de resolverlo
adicional. De fallar este también, le toca el turno al
y gana un punto si lo logra.
jugador de la derecha y así sucesivamente.
6 Se inicia el juego siguiente barajando las cartas
5 El juego termina cuando se agotan las posibilida-
y cambiando los roles de los jugadores.
des de resolución para todos los problemas.

Gana quien primero complete 10 puntos
Ejemplo:

3 4 5 9 2 4 : [5 - (9:3)] = 2


Información actualizada
Bibliografía
De Guzmán, Miguel (1994). Para pensar mejor. Editorial
Pirámide. Madrid, España.
Díaz, Godino J. y otros (1999). Didáctica de la
matemática. Editorial Síntesis. Madrid España.
Jiménez, Douglas (1999). La aventura de la matemática.
Editorial CEC (Libros de El Nacional). Caracas, Venezuela.
Marcano, Gisela (2001). La multiplicación (mimeografía).
Fondo Editorial Cenamec, Caracas, Venezuela.
Marcano, Gisela (2000). A jugar con los dedos
(mimeografía). Fondo Editorial Cenamec, Caracas,
Venezuela.
Rico, L., Castro, E. y Castro, E. (1987). Números y
operaciones. Editorial Síntesis. Madrid, España. Videos
Theoni, Pappas (2000). More joy of mathematics. World Donald en el país de las matemágicas. Walt Disney, EE.UU.
Publishing Tetra. EE.UU. Sistemas de numeración. Video de la Universidad Nacional
Abierta. Caracas, Venezuela.

Páginas web Revistas
Math resources inc : http://www.mathresources.com Boletines de la Enseñanza de la Matemática. ASOVEMAT.
Teacher created materials. http://www.teachercreated.com Venezuela
Editorial Síntesis. http://www.sintesis.com Educación Matemática. Grupo Editorial Iberoamérica.
Serapio Rendón 125, Col. San Rafael 06470, México, DF.
For the Learning of Mathematics. F.L.M. Pibl. Co. 4336
Marcil Avenue. Montreal, Canadá.
Petit X. IREM de Grenoble. BP 41 38402. S. Martin
D’Heres (Francia).
Revista EMA. http:/www.ued.uniandes.edu.co. Bogotá,
Colombia.

Un corro alrededor del mundo
Si todos los muchachos del mundo quisieran darse las
manos, podrían hacer un corro todos alrededor del mar. Si
todos los muchachos del mundo quisieran ser marineros,
Resultados harían con sus barcas un hermoso puente sobre las olas.
Se podría hacer un corro alrededor del mundo, si toda la
gente del mundo quisiera darse la mano.
Paúl Fort

El número de la casa de Yolanda: Es el 76.
Fibonacci: El noveno es 34 y el duodécimo es 144.
Sumas iguales: E vale 4.
Dos mil: tiene múltiples respuestas.

El cubo: 6 3

4 5
Suponiendo que somos, aproximadamente, 6 millardos de habitantes
y sabiendo que la circunferencia máxima de la Tierra es de
1 8 aproximadamente 40 000 km y consideramos que cada uno de
nosotros sería un eslabón de 1 m, entonces tendríamos una cadena
que podría rodear 150 veces la Tierra. Dios quiera que algún día,
7 2 todos los habitantes de la Tierra nos diéramos las manos.

127

Ernesto Medina Dagger
La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”*
Nació en Caracas en 1961. Realizó sus Durante los siglos XIX y XX se le dio un gran impulso a la Física cuando se empezó a
estudios de Física en la Universidad
Central de Venezuela, graduándose con pensar en términos de simetrías. Una simetría se expresa matemáticamente como una
honores (summa cum laude) en 1985. invariancia (ausencia de cambios) bajo una operación como la de traslación espacial,
Obtuvo el título de PhD en 1991 en el
Instituto Tecnológico de Massachusetts. temporal o, por ejemplo, una rotación. Si tomamos la figura de un cuadrado y la rotamos
Actualmente es investigador asociado alrededor de su centro en 90 grados no podemos distinguir la orientación final de la
del IVIC, profesor titular de la UCV y
pertenece al Sistema de Promoción del original, el cuadrado es entonces invariante bajo una rotación de 90 grados. En la Física,
Investigador (Nivel IV). Obtuvo el Premio
“Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación las operaciones mencionadas dan origen respectivamente a la ley de conservación de
Polar en el año 1993. energía (invariancia temporal), la ley de conservación de momentum (invariancia
Fotografía: F. Fernández traslacional) y la de conservación de momento angular (invariancia rotacional). La
presencia de todas estas invariancias juntas resulta en un mundo que no cambia en el
tiempo, que es igual en todos los puntos del espacio y en todas las direcciones. Sin
embargo, el mundo se pone interesante cuando ocurre el rompimiento de algunas de
estas simetrías, lo cual da lugar a la formación de patrones o formas que varían de
múltiples maneras en el espacio y el tiempo, lo que reconocemos intuitivamente como
“orden” en la naturaleza. Los rompimientos de simetría dan lugar a muchos fenómenos
con que convivimos, como la formación de cristales, los populares imanes o magnetos
y la misma estructura que observamos del universo hoy en día. Sin el rompimiento de
simetría no existirían los electrones, protones y neutrones que componen los átomos
y por lo tanto los átomos mismos. No existiría la vida.

Un fenómeno supremamente importante, asociado al rompimiento de la simetría, es el
surgimiento, paradójico, de una simetría exótica, la asociada a la invariancia de escalas.
Formas y objetos que vemos a una escala de magnificación particular, se repiten a
cualquier otra magnificación por encima o por debajo de la primera dando origen a
patrones que son construidos en base a sí mismos. Esto es lo que conocemos como
fractales y son las estructuras más ricas y bellas al ojo humano que ofrece la naturaleza.

El estudio de simetrías y su rompimiento está hoy en el corazón de todos los campos
de la física: la teoría de campos, la cosmología, la física de partículas, la física del estado
sólido y fenómenos críticos.
* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento,
creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más
destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo
y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.

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