Las funciones de Bessel son soluciones a la ecuación diferencial de Bessel y se presentan al encontrar soluciones separables a las ecuaciones de Laplace y Helmholtz en coordenadas cilíndricas o esféricas. Existen dos tipos principales de funciones de Bessel: las funciones de Bessel de primera especie Jα(x) y las funciones de Bessel de segunda especie Yα(x). Las funciones de Bessel tienen aplicaciones importantes en problemas de propagación de ondas, potenciales estáticos y procesamiento de señales.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas
U.N.E.F.A
Guacara Edo. Carabobo
Integrantes:
Lotero Marvin 15.979.718
Borjas Juan 15.606.482
Ing. Telecomunicaciones
Sección 004-N
Enero 2010
Función de Bessel

2. En matemáticas, funciones de Bessel, primero definido por el matemático Daniel
Bernoulli y generalizado por Friedrich Bessel sea canónico soluciones y(x) de
Bessel la ecuación diferencial:
Para una α arbitraria del número verdadero o complejo (orden de la función de
Bessel). El caso especial más común y más importante es donde está el α número
entero n.
Aunque el α y el −α producen la misma ecuación diferencial, es convencional
definir diversas funciones de Bessel Para estas dos órdenes (e.g., de modo que
las funciones de Bessel Sean sobre todo funciones lisas del α). Las funciones de
Bessel También se conocen como Funciones del cilindro o Armónicos cilíndricos
porque se encuentran en la solución a Ecuación de Laplace en coordenadas
cilíndricos.
Definición
Dado que es una ecuación diferencial de segundo orden, deben de haber dos
soluciones independientes. El depender de las circunstancias, sin embargo, las
varias formulaciones de estas soluciones es conveniente, y las diversas
variaciones son descritas más adelante.
Uso de las Funciones de Bessel
La ecuación de Bessel se presenta al encontrar soluciones separables a Ecuación
de Laplace y Ecuación de Helmholtz en cilíndrico o coordenadas esféricos. Las
funciones de Bessel Son por lo tanto especialmente importantes para muchos
problemas de propagación de la onda, potenciales estáticos, y así sucesivamente.
En solucionar problemas en sistemas coordinados cilíndricos, uno obtiene las
funciones de Bessel De la orden del número entero (α = n); en problemas
esféricos, uno obtiene las órdenes del mitad-número entero (α = n+½). Por
ejemplo:
• ondas electromagnéticas en un cilíndrico guía de onda
• conducción del calor en un objeto cilíndrico.
• modos de la vibración de una circular fina (o anulares) membrana artificial
(por ejemplo a tambor u otro membranophone).
• problemas de la difusión en un enrejado.

3. Las funciones de Bessel También tienen características útiles para otros
problemas, tales como proceso de señal (e.g., vea Síntesis de FM, Ventana de
Kaiser, o Filtro de Bessel).
Funciones de Bessel de la primera clase: Jα
Funciones de Bessel De la primera clase, denotadas como Jα(x), son las
soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que son finitas en el origen (x = 0)
para el α no negativo del número entero, y diverge como x los acercamientos
ponen a cero para el α negativo del no-número entero. El tipo de la solución (e.g.
número entero o no-número entero) y normalización de Jα(x) es definido por sus
características debajo. Que las soluciones de la orden del número entero, es
posible definan la función por su Serie de Taylor extensión alrededor x = 0:
Γ (z) es la función Gamma de Euler, una generalización del factorial para números
complejos. Para α no enteros, se necesitan expansiones en series de potencias
más generales.
Estas funciones cumplen que:
• Si , entonces Jα(x) y J − α(x) son linealmente independientes, y por
tanto dan una solución general de la ecuación de Bessel.
• Si , entonces J − α(x) no está definida en x = 0.
• Si , entonces se cumple: J − n(x) = ( − 1)nJn(x), por lo que las dos
soluciones dejan de ser linealmente independientes. En este caso, la
segunda solución linealmente independiente será una función de Bessel de
segunda especie.
Las gráficas de las funciones de Bessel nos muestras son funciones oscilatorias
(como las funciones seno o coseno) que decaen proporcionalmente a
(como nos lo mostrarán las formas asintóticas de estas funciones más abajo),
aunque los ceros de estas funciones no son, en general, periódicos, excepto de
forma asintótica para grandes x.

4. Como casos particulares, se tienen las dos primeras funciones de Bessel enteras:
Funciones de Bessel de primera especie, Jα(x), para órdenes enteros α=0,1,2.
Funciones de Bessel de la segunda Especie: Yα
Las funciones de Bessel de segunda especie, denotadas por Yα(x), son soluciones
de la ecuación diferencial de Bessel, Estas funciones divergen en el origen (x = 0).
A estas funciones Yα(x) también se les llama a veces funciones de Neumann o de
Weber, y a veces se denotan por Nα(x). Para α; no enteros, se definen a partir de
las funciones de primera especie Jα(x) mediante la siguiente fórmula:

5. En el caso en el que tengamos un orden entero n, la función es definida como el
siguiente límite sólo válido para α no enteros:
Que nos da el siguiente resultado en forma integral:
Para el caso en el que tengamos α no enteros, la definición de Yα(x) es
redundante (como queda claro por su definición de arriba). Por otro lado, cuando α
es entero, Yα(x) es la segunda solución linealmente independiente de la ecuación
de Bessel, además, de forma similar a lo que ocurría con las funciones de primera
especie, se cumple que:
Ambas Jα(x) y Yα(x) son funciones holomorfas de x en el plano complejo cortado
por el eje real negativo. Cuando α es un entero, no hay puntos de ramificación, y
las funciones de Bessel son funciones enteras de x. Si fijamos x, entonces las
funciones de Bessel son funciones enteras respecto a la variable α.
Funciones de Bessel de segunda especie, Yα(x), para órdenes α=0,1,2.
Propiedades de las Funciones de Bessel

6. Integrales de Bessel
Otra definición de las funciones de Bessel para valores enteros de n es la
siguiente representación integral de la función de Bessel:
Esta fue la forma con la que Bessel definió a estas funciones y de esta definición
obtuvo distintas propiedades de la función. Otra representación integral es la
siguiente:
Relación con las series Hipergeometricas
Las funciones de Beesel se pueden expresar en función de las funciones
hipergeométricas como:
Esta expresión está relacionada con la expresión de las funciones de Bessel en a
partir de la función de Bessel-Clifford.
Solución General de la Ecuación de Bessel
La solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro α viene
dada en términos de las funciones de Bessel ordinarias o de las funciones de
Hankel. Dicha solución general puede expresarse como:
Donde A y B son dos constantes arbitrarias.

7. Funciones Esféricas de Bessel jn,yn
Cuando se soluciona la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas por
separación de variables, la ecuación radial tiene la forma:
Donde n es un entero positivo. Las dos soluciones linealmente independientes de
esta ecuación se denominan funciones esféricas de Bessel jn(x) y yn(x), y están
relacionadas con las funciones de Bessel ordinarias Jn(x) y Yn(x) por:
yn se escribe también como nn o ηn. A esta función a veces se le llama función
esférica de Neumann.
Las funciones esféricas de Bessel se pueden obtener a partir de las siguientes
fórmulas:
Para n = 0,1 y 2 tenemos:

8. Las funciones esféricas de Hankel se definen de forma análoga a las no esféricas:
De hecho, esto nos dice que existen expresiones cerradas de las funciones de
Bessel de orden semientero en término de funciones trigonométricas y, por tanto,
también de las funciones esféricas de Bessel. De esto se deduce que, para n
entero no negativo se tiene:
También existen análogos esféricos de las funciones de Bessel modificadas:
kn(x) se pueden escribir, usando así:
Regla de Carson

9. La regla de Carson es el nombre común que se le da a una regla general conocida
en telecomunicaciones referente al ancho de banda, y que establece que
aproximadamente toda la potencia (~98%) de una señal consistente en una
portadora senoidal modulada en frecuencia está comprendida dentro de un ancho
de banda (alrededor de la frecuencia portadora) de:
BT = 2(fΔ + fm)
donde fΔ es la desviación máxima de la frecuencia instantánea f(t) (que es un
efecto de modular en frecuencia, al igual que en Amplitud Modulada (AM) se
define el índice de modulación respecto a la amplitud) respecto a la portadora fc
(asumiendo que xm(t) está normalizada en el rango ±1), y donde fm es el ancho de
banda de la señal moduladora (que se define "en banda base" y es el mismo para
la señal modulada).
Una regla de la definición de los requisitos aproximados de ancho de banda de
comunicaciones de los componentes del sistema para una señal portadora, es la
frecuencia modulada por un espectro continuo o gama de frecuencias en lugar de
una sola frecuencia.
Nota 1: La regla de ancho de banda de Carson se expresa mediante la relación
CBR = 2 ( f + f m) where CBR is the bandwidth requirement, f + f m), donde CBR
es el requisito de ancho de banda.
Nota 2: f es el portador de la máxima frecuencia de desviación, y f m es la máxima
frecuencia de modulación.
Nota 3: La regla de ancho de banda de Carson a menudo se aplica a los
transmisores, antenas, fuentes ópticas, receptores, foto detectores y otros
componentes del sistema de comunicaciones.