1. Matriks
Berdasarkan buku Aljabar Linear Dasar
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona mhd@ittelkom.ac.id

2. Pengertian
 Definisi: Matrik adalah susunan bilangan atau fungsi
yang diletakkan atas baris dan kolom serta diapit
oleh dua kurung siku.
 Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri atau
elemen matrik.
 Lambang matrik dilambangkan dengan huruf besar,
sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan
huruf kecil.
 Matrik mempunyai ukuran yang disebut Ordo yang
menyatakan banyak baris x banyak kolom
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona mhd@ittelkom.ac.id

3. Lambang Matrik
Secara umum sebuah matrik dapat ditulis:
 a11
a
A =  21
 

a m1
a12  a1n 
a 22  a 2 n 


 

a m 2  a mn 
atau
penulisan yang lebih singkat :
[ ]
A = aij
dengan i=1, 2, ..., m dan j=1, 2, ..., n.
Indek pertama (i) menyatakan baris ke-i dan indeks kedua
(j) menyatakan kolom ke-j.
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

4. Contoh Matriks
A=  2

π
− 2 0,23451
3
7
x 2 +1
B= 
 sin x
1032
− 2 ln x 
3 x +1 
e

0 

80 − 13
4
Dalam contoh di atas ordo(A)= 2x5 dan ordo(B)=2x2
a23= 1032
b23= tidak ada
b21= sin x
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

5. Persamaan Matrik
jika ordonya sama dan entri yang seletak bernilai sama,
matrik A dan B adalah sama ditulis A=B
Contoh:  2a
Jika A= 
1
3
4b

dan
 − 2 3c 
B= 
c 3 + b


dan A=B,
maka
a = -1, b = 1, dan c = 1.
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

6. Jenis Matriks (1/7)
 Matrik Bujursangkar  banyak baris = banyak kolom
a11
A = a 21

a 31

a12
a 22
a32
a13 
a 23 

a33 

Diagonal Utama
 Matrik Segitiga Atas,
matrik bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utama bernilai
nol
a11
0

 

0
a12
a 22

0
 a1n 
 a2n 

  

 a nn 
0
0

0

0
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
2 −1
0 3
0 4
0 0
8
6

9

1

7. Jenis Matriks (2/7)
 Matrik Segitiga Bawah,
matrik bujursangkar yang semua entri di atas diagonal utama bernilai
nol
 Matrik Diagonal,
 a11
a
 21
 

a n1
0
a 22

an2
 0 
 0 

  

 a nn 
0
0 0
0 4
0

3 2 − 6

0 − 7 5 9
0
0

0

1
matrik bujursangkar yang semua entri di luar diagonal utama bernilai
nol
0  0   5 9 0 0 0
a
11
0

 

0
0 

  

 a nn 
a 22 

0
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
0

0

0
4 0 0

0 − 6 0

0 0 0

8. Jenis Matriks (3/7)
 Matrik Satuan,
matrik diagonal yang entri pada diagonal utama bernilai satu,
lambang: In, n menyatakan ordo matrik satuan
1 0 0
0 1 0
1 0 0 

I2= 1 0
0 1 0 
I4=  0 0 1
0 1 
I3= 




0 0 1 
 Matrik skalar,
0 0 0


matrik diagonal yang semua entri pada diagonal utama bernilai
sama, asalkan tidak nol. atau c≠0. Efek dari perkalian sebarang
matrik dengan matrik skalar adalah seperti mengalikan matrik
sebarang tersebut dengan skalar c.
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
0
0

0

1

9. Jenis Matriks (4/7)
 c 0  0
0 c  0 


      =c


0 0  c

1 0  0
0 1  0 


      = cIn


0 0  1

 Matrik Nol,
matrik yang semua entrinya nol. Dengan lambang: O jika ordo
dipentingkan ditulis O35 untuk menyatakan matrik nol dengan ordo 3x5
O23= 0
0 0
0 0 0 


0
0

0
O53= 
0
0

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
0
0
0
0
0
0
0

0

0
0


10. Jenis Matriks (5/7)
 Matrik Invers,
matrik bujursangkar A disebut mempunyai invers, jika terdapat
matrik B, sehingga memenuhi BA=AB=I, lambang: invers matrik
B biasanya dinyatakan oleh A-1
Untuk matrik berordo 2x2, telah diberikan rumus
pencariannya, yaitu:
1  d − c
a c  , maka A-1 =
A= 
ad − bc − b a 



b d 
 4 − 3 − 4 3 
1
 2 3
-1
A= 
, maka A = 2.4 − 3.3 − 3 2  =  3 − 2

 

 3 4
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

11. Jenis Matrik (6/7)
Untuk mencari invers matrik bujursangkar dengan ordo
lebih dari 2, akan dibicarakan pada bagian berikutnya.
Metode yang digunakan ada dua, yaitu: menggunakan
matrik elementer (eliminasi Gauss-Jordan) dan
menggunakan determinan bersama dengan matrik
adjoin.
Namun dasar untuk menghitungnya tetap harus
memperhatikan eliminasi Gauss dan definisi determinan.
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

12. Contoh
 Apakah matrik di bawah ini termasuk: matriks
segitiga atas, segitiga bawah, diagonal,
ataukah skalar?
0
0

0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0

0
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

13. Jawab
Termasuk matrik segitiga atas
Termasuk matrik segitiga bawah
Termasuk matrik diagonal
Bukan matrik skalar, karena entry pada
diagonal utama nol semua, walaupun sama
semua
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

14. Jenis Matriks (7/7)
 Matrik Simetri, yaitu
matriks bujursangkar yang memenuhi sifat A = AT
3
1

− 2

1
5
4
− 2
4 

0 

 Matrik Skew-Simetri,
matrik bujur sangkar yang memenuhi syarat AT = -A.
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

15. Contoh
Jika matrik A di bawah ini termasuk matrik skew-simetri, tentukan a,
b, dan c
0 1 0
A= a
Jawab:
AT =

b

0
c
0 a b   0 − 1 0 
1 0 c  = -A
=
− a 0 − 2

 

0 2 0   − b − c 0 

 

2

0

Sehingga didapat persamaan-persamaan:
a = -1, b = 0, c = -2, 1= -a, 0 = -b, 2 = -c,
berarti:
a = -1, b = 0, dan c = -2
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

16. Operasi Matriks
 Penjumlahan Matrik
 Perkalian Matrik dengan Skalar
 Transpos Matrik
 Perkalian Dua Matrik
 Trase Matrik
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

17. Penjumlahan matrik
Jika A=[aij], dan B=[bij]
Jumlah matrik A dan B ditulis:
C=A+B
Syarat: ordo A = ordo B
Aturan:
cij=aij+bij
{entri yang seletak dijumlahkan}
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

18. Contoh
4 − 3
 − 1 2 2 − 5
3 12 − 2 4 
A= 
, B= 
, C=


3
2 2


 7 4 5 10 
 3 1 − 7
Hitung: A+B, B+C
Jawab:
 − 1 2 + 3 1 2 2 + ( − 2) − 5 + 4 
 − 1 2 2 − 5  3 1 2 − 2 4 
A+B=  7 4 3 5 10  +  3 1 − 7 =  7 + 3 4 3 5 + 1 10 + (− 7)



 

 3 0 − 1
A+B= 

10 5 3 5 3 
B+C=tidak terdefinisi, karena ordo C ≠ ordo B
back
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

19. Perkalian dengan Skalar
A=[aij] dan k skalar, maka:
kA=[kaij] {semua entri dikalikan dengan k}
7
 3 1 2 − 2 4   (− 4). 2 (− 4).(− 2) (− 4).4 
(-4) 
 =  (− 4).3 (− 4).1 (− 4).(− 7)

 3 1 − 7 
=
 − 14 8 − 16
 − 12 − 4 28 


Akibat:
-A = (-1)A, sehingga A – B = A + (-B)
back
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

20. Transpos matrik
A=[aij], i=1, 2, ..., n ; j=1, 2, ..., m
Jika B=AT , dan B=[bji], maka
bji = aji{kolom matrik A menjadi baris matrik AT}
A=
A =
T
− 2
3

5

7 
− 3

4 

− 2 3 5
 7 − 3 4


back
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

21. Perkalian dua Matrik
A =[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m
B=[bjk], k=1, 2, ..., p {banyak kolom A=banyak baris B}
C=AB
cik=ai1b1k + ai2b2k + …+aimbmk=

ai
m
∑a b
j =1
ij jk
 vektor baris ke-i dari matrik A
bk vektor kolom ke-k dari matrik B
entri matrik C adalah: cik =
 
ai• bk
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

22. Contoh Perkalian Matrik (1/ 2)
 − 3 1 4  , B=  0
A= 
1


 2 − 1 − 5
2
4 1  , dan C=AB

− 2 − 6 7 


3
2
 
 
1
[ 2 − 1 − 5]   4 – 1 – 35 = -32
=
c23=
 
7
 
c21=
0
[ 2 − 1 − 5]  1  = 0 – 1 + 10 = 9
 
 − 2
 
2
[ − 3 1 4 ] 1  =
c13=
 
7 
 
-6 + 1 + 28 = 23
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

23. Contoh Perkalian Matrik (2/2)
c21=
3
[ − 3 1 4]  4 =

 
− 6
 
C=AB
− 3 1 4 
=
2 − 1 − 5


-9 + 4 – 24 = -29
0
1

− 2

3
4
−6
2
1

7

 − 7 − 29 23 
= 
9 32 − 32

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
back

24. Trase matrik
A=[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., n
{harus matrik bujur sangkar}
Trase(A)=a11 + a22 + …+ ann
{penjumlahan dari seluruh entri pada diagonal utama}
2
3
A =
− 4

0
−2
1
3
5 ,

1

trase(A)= 2 – 2 + 1 = 1
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

25. Sifat-sifat Operasi Matrik (1/4)
Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan
skalar
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
A+B=B+A
{sifat komutatif}
(A+B)+C=A+(B+C) {sifat asosiatif}
A+O=O+A=A
{sifat matrik nol, identitas penjumlahan}
A+(-A)= -A+A=O {sifat negatif matrik}
k(A+B)=kA+kB
{sifat distributif terhadap skalar k}
(k+l)A=kA+lA
{sifat distributif terhadap skalar k dan l}
(kl)A=k(lA)
{sifat asosiatif terhadap perkalian skalar}
1A=A
{sifat perkalian dengan skalar 1 (satu)}
Kedelapan sifat ini, nantinya akan dinyatakan sebagai aksioma (kebenaran
tanpa perlu dibuktikan) sebagai syarat berlakunya Ruang Vektor
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

26. Sifat-sifat Operasi Matrik (2/4)
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
AB≠BA {tidak berlaku komutatif perkalian}
(AB)C=A(BC) {sifat asosiatif}
AI=IA=A {sifat matrik satuan, identitas perkalian}
AO=OA=O
{sifat matrik nol}
(A+B)T = AT + BT {sifat transpos matrik terhadap
penjumlahan}
Jika AB=O, tidak dijamin berlaku: A=O atau B=O
atau BA=O
(kA)B=k(AB)=A(kB)
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

27. Contoh AB≠BA
 − 1 2   4 1  0 − 5 
AB = 
  2 − 2  = 6 − 6 
 0 3 
 

4 1  − 1 2 − 4 11 
BA = 
  0 3  =  − 2 − 2
 2 − 2 
 

Sehingga: AB≠BA
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

28. Contoh AB=0
0 0 
1 0
A=
 B = 3 − 4


 2 0
1 0  0 0   0 0 
AB = 
 3 − 4 = 
, berarti AB=O
 2 0 
 0 0 
Tetapi
0 0  1 0  =  0 0 
BA = 
, berarti BA≠O
3 − 4  2 0  − 5 0


 

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

29. Sifat-sifat Operasi Matrik (3/4)
16. trase(A+B) = trase(A) + trase(B)
17. trase(AT) = trase(A)
18. trase(kA) = k trase(A)
19. trase(Inxn) = n
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

30. Sifat-sifat Operasi Matrik (4/4)
20. (A+B)C=AC+BC
21. C(A+B)=CA+CB
22. (AB)T = BTAT
{urutan operasi dibalik}
23. (kA)T=kAT
24. An = AA … A, jika n ≠0, dan I, jika n=0
Sebanyak n
25. ArAs kr+s, jika
=A 0
d1

k
k
 0 d2
26. D =  


0
 0

r 0 
dan s bilangan asli

0 
 
k
 dn 


Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

31. Contoh Tambahan (1/3)
2 − 1
Jika A = 
, dan B =
1 3 
T
 6 0  
6
T

 = 
(A + B) = 
8 1 
0


4 1 
7 − 2 


8
1

 2 1  4 7 
A +B =
− 1 3 + 1 − 2 =


 
T
T
 4 7   2 1
1 25 
B A =

 = 
1 − 2 − 1 3
4 − 5




T
T
 6 8
 0 1


T
 1
4 
1 25 
(AB)T =  
 = 
 25 − 5 
4 − 5





 2 1 4 7 
A B =
=
− 1 3 1 − 2


 
T
T
 9 12 
− 1 − 13


Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

32. Contoh Tambahan (2/3)
(½B) =
T
2

 7
 2
 2 72 
2  =


   1 2 −1
−1 
T
1

2 − 1
A= 
, dan B =
1 3 
4 7   2 7 2 
½ BT = ½ 
 =  1 2 −1

1 − 2  
− 4 2 
–2 A = 
− 2 − 6


− 2 0 
–2IA = 
0 − 2


2 − 1
1 3  =


− 4 2 
 − 2 − 6


Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
4 1 
7 − 2 



33. Contoh Tambahan (3/3)
2 − 1 2 − 1
A = AA= 
=
1 3  1 3 



2
3 − 5
8


A 3 = A 2A = 
5
3 − 5
5 8 


2 − 1
A= 
, dan B =
1 3 
2 − 1  1 − 18
1 3  = 18 19 


 
trase(A) = 2 + 3 = 5
trase(B) = 4 + (-2) = 2
6 0 ) = 6 + 1 = 7
trase(A+B) = trase( 
8 1


Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
4 1 
7 − 2 



34. Tantangan 1
0 
Jika
 12
4
 1 2 B =  0 − 2 C = 


A=
− 3


−1 3 
− 3 0


2 0 
E=
0 − 3


Hitunglah:
1. BA, AB
2. E2, E3, E100,
3. A2 + 2A + I,(A+I)2,
4. (BC - D)T, CTBT– DT,
5. 3C(BA), C(3B)A, (CB)(3A),
6. trase(A + E)
A.
− 5
0 1

1
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
3
 0 − 2 1
D =  − 1 3 4


 1 2 0 1



35. Tantangan 2
B. Tentukan persamaan-persamaan dalam variabel-
variabel x, y, z, dan w, yang terbentuk, sehingga
berlaku persamaan matrik di bawah ini:
 2 1 − 1 7
 6 8 0 3


2x
 x

 y
 45
− y + z  = -

3
 x + w w − 2 y + x


z
z


Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
46
87 


36. Tantangan 3
C.
D.
E.
Tentukan syarat agar berlaku: (A + B)2=A2 + 2AB + B2, jika A
dan B berordo 2x2
Tentukan syarat agar berlaku: A2 – B2 = (A - B)(A + B), jika A
dan B berordo 2x2
Tentukan persamaan-persamaan dalam variabel-variabel x,
y, dan z, sehingga persamaan memenuhi persamaan matrik
berikut:
 x + y 3x + y 
 x + z x + y − 2z


= − 1
9

1 
− 17 

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

37. Tantangan 4
F.
Tunjukkan bahwa Sistem Persamaan Linier :
2x − 3y
x
G.
H.
= 1

+ 4 y = 2
dapat dinyatakan sebagai persamaan AX=B [petunjuk:
tentukan matrik A, X dan B]
Jika matrik A, X, dan B hasil dari soal di atas tentukan invers
A atau A-1 dan tentukan solusi persamaan AX=B, dengan
mengingat sifat I = AA-1 .
Tunjukkan bahwa, jika A matrik skew-simetri, maka
trace(A)=0
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id

38. Tantangan 5
I.
J.
K.
L.
M.
Buktikan jika D matrik diagonal, maka Dk adalah matrik
diagonal yang entri-entrinya adalah entri pada diagonal
utama D dipangkatkan k.
Tunjukkan bahwa jika A matrik bujursangkar, maka matrik S
= ½ (A + AT) adalah matrik simetri.
Tunjukkan bahwa jika A matrik bujursangkar, maka matrik R
= ½ (A - AT) adalah matrik skew-simetri.
Dari kedua matrik pada dua soal di atas, tunjukkan berlaku
hubungan A = S + R.
Jika A matrik bujursangkar 2x2, tunjukkan bahwa AA T
berbentuk matrik simetri.
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id