El documento describe el álgebra de Boole, incluyendo sus elementos, operadores y postulados de Huntington. El álgebra de Boole se define en un conjunto de elementos B con los operadores binarios de suma y multiplicación, siguiendo 6 postulados como la cerradura, elementos identidad, conmutatividad y distribución. También presenta teoremas como la doble negación y funciones booleanas definidas por tablas de verdad.

1. ALGEBRA DE BOOLE
“El álgebra booleana, como cualquier otro sistema matemático
deductivo, puede definirse con un conjunto de elementos, un conjunto
de operadores y un número de axiomas no probados o postulados. En
1854 George Boole presentó un tratamiento sistemático de la lógica, y
desarrolló para este propósito un sistema algebraico que ahora se
conoce como álgebra booleana. En 1938 C. E. Shannon introdujo un
álgebra booleana de dos valores denominada álgebra de interruptores,
en la cual demostró que las propiedades de los circuitos eléctricos y
estables con interruptores, pueden representarse con esta álgebra. Para
la definición formal del álgebra booleana, se emplean los postulados
formulados por E. V. Hungtington en 1904. Estos postulados o axiomas
no son únicos para definir el álgebra booleana. Se han usado otros
conjuntos de postulados.” [6]
El álgebra booleana es una estructura algebraica definida en un
conjunto de elementos B junto con dos operadores binarios + y 
siempre y cuando se cumpla con 6 postulados de Huntington

2. Postulados de Huntington
1
a) B es un conjunto cerrado respecto al operador +
b) B es un conjunto cerrado respecto al operador 
Un conjunto B esta cerrado respecto a un operador binario si, para
cada par de elementos de B, el operador binario especifica una regla
para obtener un número único de B. Por lo tanto:
x, y  B
1(a) x + y  B
1(b) x  y  B

3. Postulados de Huntington
2
a) Existe un elemento identidad en el conjunto B para el operador +
b) Existe un elemento identidad en el conjunto B para el operador 
Un conjunto B tiene un elemento identidad respecto a una operación
binaria * en B si existe un elemento Z  B con la propiedad: Z * x = x *
Z = x para cualquier x  B. Por lo tanto en el álgebra boolena los
elementos identidad son: 0 para la operación + y 1 para la operación 
x, Z  B
2(a) x + Z = Z + x = x
2(b) x  Z = Z  x = x

4. Postulados de Huntington
3
a) B es un conjunto conmutativo respecto al operador +
b) B es un conjunto conmutativo respecto al operador 
Un operador binario * en un conjunto B se dice que es conmutativo
siempre que: x * y = y * x para x, y  B. Por lo tanto:
x, y  B
3(a) x + y = y + x
3(b) x  y = y  x

5. Postulados de Huntington
4
a)  es distributivo sobre +
b) + es distributivo sobre a 
Si * y  son dos operadores binarios en un conjunto B , se dice que * es
distributivo sobre  siempre que: x*(y  z) = (x * y)  (x * z). Por lo tanto:
x, y, z  B
4(a) x  (y + z) = (x  y) + (x  z)
4(b) x + (y  z) = (x + y)  (x + z)

6. Postulados de Huntington
5
Para cada elemento x  B, existe un elemento x’  B (llamado
complemento de x) tal que:
a) x + x’ = 1
b) x  x’ = 0

7. Postulados de Huntington
6
Existen al menos 2 elementos x, y  B tales que x z y.
B = {0,1]

8. Postulados de Huntington
El álgebra booleana se parece en algunos
aspectos al álgebra ordinaria. Sin embargo, se
debe tener cuidado de no sustituir las reglas del
álgebra boleana por las reglas de el álgebra
tradicional cuando no son aplicables.

9. Teoremas del Álgebra de Boole
1a
x+x=x
Deducción:
x + x = (x + x)  1
= (x + x)  (x + x’)
= x + (x  x’)
=x+0
=x
por el postulado 2(b) de Huntington
5(a)
4(b)
5(b)
2(a)

10. Teoremas del Álgebra de Boole
1b
xx=x
Deducción:
xx
= (x  x) + 0
= (x  x) + (x  x’)
= x  (x + x’)
=x1
=x
por el postulado 2(a) de Huntington
5(b)
4(a)
5(a)
2(b)

11. Teoremas del Álgebra de Boole
2a
x+1=1
Deducción:
x + 1 = 1  (x + 1)
= (x + x’)  (x + 1)
= x + (x’  1)
= x + x’
=1
por el postulado 2(b) de Huntington
5(a)
4(b)
2(b)
5(a)

12. Teoremas del Álgebra de Boole
2b
x0=0
Deducción:
x  0 = 0 + (x  0)
= (x  x’) + (x  0)
= x  (x’ + 0)
= x  x’
=0
por el postulado 2(a) de Huntington
5(b)
4(a)
2(a)
5(b)

13. Teoremas del Álgebra de Boole
3
(x’)’=x
Deducción:
Si x = 1
x' 0 por el postulado 5
=
5(a) x + x’ = 1
o
1+0=1
5(b) x  x’ = 0
o
10=0
Entonces el complemento de 0 es 1 por lo tanto:
x' 0 o
=
(x’)’ = 1 = x

14. Teoremas del Álgebra de Boole
4a
x + (x  y) = x
Deducción:
x+xy=x1+xy=x
= x  (1 + y)
= x  (y + 1)
=x1
=x
por el postulado 2(b) de Huntington
4(a)
3(a)
2(a)
2(b)

15. Teoremas del Álgebra de Boole
4b
x  ( x + y) = x
Deducción:
x  ( x + y) = (x + 0)  ( x + y)
= x + (0  y)
= x + (y  0)
=x+0
=x
por el postulado 2(a) de Huntington
4(b)
3(b)
2(b)
2(a)

16. Teoremas del Álgebra de Boole
Otros teoremas válidos para la álgebra boleana:
5. Teorema asociativo.
x + (y + z) = (x + y) + z
x  (y  z)= (x  y)  z
6. Teorema de Morgan
(x + y)’ = x’  y’
(x  y)’ = x’ + y’
7. Teorema de Adyacencia Lógica
x  y + x  y’ = x
(x + y)  (x + y’) = x

17. Funciones Booleanas
Una función booleana es una expresión formada
por variables binarias, los operadores OR, AND,
NOT y el signo de igual. También puede estar
presente el paréntesis y el símbolo de negación.

18. Funciones Booleanas
La Operación OR se define así:
z0 + 0 = 0
z0 + 1 = 1
z1 + 0 = 1
z1 + 1 = 1

19. Funciones Booleanas
La función AND se define de la siguiente manera:
z0  0 = 0
z0  1 = 0
z1  0 = 0
z1  1 = 1

20. Funciones Booleanas
La función NOT (negación) se define como se
muestra a continuación:
z 0’ = 1
z 1’ = 0

21. Funciones Booleanas
Un ejemplo de función boleana seria:
S = x  y’ + z
Para conocer el valor de S para diferentes valores
de las variables x, y, z se genera la tabla de
verdad de la función.

22. Funciones Booleanas
x
0
0
0
0
1
1
1
1
y
0
0
1
1
0
0
1
1
z
0
1
0
1
0
1
0
1
y’
1
1
0
0
1
1
0
0
x  y’
0
0
0
0
1
1
0
0
Tabla de verdad de la función S = x  y’ + z
S
0
1
0
1
1
1
0
1