Limites exercicios

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Limites exercicios

  1. 1. 1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Lista de Exercícios de Calculo I – Limites e Continuidade 1) O gráfico a seguir representa uma função f de [6, 9] em . Determine: a) f (2) b) lim ( ) 2 f x x   c) lim ( ) 2 f x x   d) lim ( ) 2 f x x e) f (2) f) f (7) 2) Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura constante. A medida que o gás é comprimido, o volume V decresce até que atinja uma certa pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás assume forma líquida. Observando a figura a seguir, determine: a) V p  100 lim b) V p  100 lim c) V p 100 lim  3) Dada a função f definida por:          2 , 1 2, 1 4 , 1 ( ) 2 2 x se x se x x se x f x . Esboce o gráfico de f e calcule o seu limite quando x tende a 1. 4) Um paciente em um hospital recebe uma dose inicial de 200 miligramas de um medicamento. A cada 4 horas recebe uma dose adicional de 100 mg. A quantidade f(t) do medicamento presente na corrente sangüínea após t horas é exibida na figura a seguir. Determine e interprete: a) lim ( ) 8 f t t   b) lim ( ) 8 f t p   5) O gráfico a seguir representa uma função f de [3, 4[ em . Determine: UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ PR
  2. 2. 2 a) f (1) b) lim ( ) 1 f x x   c) lim ( ) 1 f x x   6) Calcule o limite, se existir: a) lim( 5 1) 3 2 1     x x x x b) lim( 2 4 3) 3 2 1     x x x x c) lim (4x 2x 2x 1) 3 2 x 2     d) x 5 x 5x 4 lim 2 2 x 3     e) x 2 x 7x 10 lim 2 x 2     f) x 3 x 2x 3 lim 2 x 3     g) x x 3x x 5x 2x lim 2 4 3 2 x 0      h) x 2x 1 x 4x 3 lim 5 3 x 1      i) x 6 x 36 lim 2 x 6    j) x 3x 2 x 1 lim 2 2 x 1     k) x 2 x 32 lim 5 x 2    l) x 10x 36x 54x 27 x 8x 18x 27 lim 4 3 2 4 3 2 x 3         m) 2x 4 x 2 lim x 2    n) x 2 x 4 lim x 4    o) 2 4 x x lim x0   p) 2 2 x x lim x0   q) x 1 2 3 x lim x 1     r) x 1 1 x lim x0   s) x 2 1 2x 3 lim x 4     t) 3x 5x 1 1 2x 3x 2 2 lim 2 2 x 2        7) Calcule os limites laterais, se existir: a) h h h h 4 5 5 lim 2 0      b) 2 2 lim ( 3) 2      x x x x
  3. 3. 3 c) 2 2 lim ( 3) 2      x x x x 8) Calcule os limites no infinito, se existir: a) 3 4 3 lim 2 2     x x x x b) 5 3 3 2 lim 2    x x x c) 2 6 3 lim 2    x x x d) x x x    2 4 3 lim e) x x x    lim 1 2 f) x x x x    2 lim g) x x 1 lim  h) x x 1 lim 2   i) lim 4 2    x x x j) x x e  lim k) 2 2 1 lim      x x l) 3 1 1 lim      x x m)            x x e 1 lim 3 n) lim ln 1 2   x x o) lim ln 1 2   x x p) lim 1 2    x x x 9) Se 4 9 ( ) 4 7 2 x   f x  x  x  para x  0, encontre lim ( ) 4 f x x . 10) Se 2 ( ) 2 4 2 x  g x  x  x  para todo x , encontre lim ( ) 1 g x x . 11) Encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaixo: a) 1 1   x y b) 1 2 1 2 2     x x x y c) 3 4    x x y d) 1 2   x x y 12) Calcule o limite: a) x x lim2  g) x x 3 limlog  b) x x      3 1 lim h) x x 3 0 lim log   c) x x      3 1 lim 0 i) x x limln  d) 4 1 1 lim2   x x j) x x lim ln 2 0  e) senx x lim2 6   k) x x 2 1 limlog  f) 2 1 4 2 2 1 3 5 3 lim3      x x x x x x l) x x 2 1 0 lim log   13) Mostre que: a) 12 4 0 lim(1 3x) x e x    b) x 2 1 x 0 lim(1 2x)  e  c) 3 3 1 x 1 x 0 e e 3 x 1 lim         d) 7 4 x 1 x 0 e 7 4x 1 lim        e) e 1 lim(1 x) e x 1 1 x 0      f) π 1 x 1 x 0 e π x 1 lim        14) Calcule os seguintes limites: a) 2 n 1 lim 1         n n
  4. 4. 4 b) n 3 lim 1 n n        c) 1 x x lim x x        d) x 5 lim 1 1         x x e)   sen x sen x x 1 lim 1    15) Calcule os limites abaixo: a)     x 1 ln 2 x lim Fazer x+ 1 = u  x+1  b)     x 2 ln 3 x lim Fazer x+ 2 = u  x+2  c) x x 0 2 1 lim  x  d) senx x 0 e 1 lim  senx  e)  2 x 0 ln 1 x lim  x  f) 3 x 1 ln x lim  x 1 g)  cossec x x 0 lim 1+senx ( Fazer sen x = u)  h) 1 x 4 x 4 1+x lim 5         i) x x 0 x 10 1 lim  5 1   (dividir por x Num. e Den.) j) x x 2 lim 1+  x       16) Seja        , 2 2 3 , 2 ( ) x x x x f x . a) Determine lim ( ) e lim ( ) 2 2 f x f x x x     b) Existe lim ( ) 2 f x x ? Se existe, qual é? Se não, por quê? c) Determine lim ( ) 4 f x x   e lim ( ) 4 f x x   . d) Existe lim ( ) 4 f x x ? Se existe, qual é? Se não, por quê? 17) Determine o limite das funções trigonométricas, se existirem: a) x x 1 limcos  b)    cos lim 0 c) x x x 5 sen lim 0 d)               2 cos lim 2   x x x e)       x x x sen sen lim f) 0 2 2 sen (1 cos ) lim x x x x   g) t 2t sen (3t) lim 0 h) sen (3 ) sen (2 ) lim 0 x x x i) x x x sen ( ) lim 2 0 j) x x x tg ( ) lim 2 0 k)     t t t sen ( ) lim 18) Ache os limites lim f (x) x a  , lim f (x) x a  e lim f (x) xa , caso existam. a) ; 4 4 4 ( )     a x x f x b) ; 5 5 5 ( )      a x x f x c) ; 8 8 1 ( )     a x f x
  5. 5. 5 19) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. Caso não exista, justifique. g) f(4) h)f(0) i) f(-5) d) lim ( ) e) lim ( ) f) lim ( ) ) lim ( ) b) lim ( ) c) lim ( ) x 4 4 4 0 0 0 - f x f x f x a f x f x f x x x x x x          20) Calcule os seguintes limites laterais: 9 f ) lim 36 6 e) lim 4 2 ) lim 4 c) lim 2 b) lim 4 2 ) lim 2 3 2 6 2 2 2 4 2 2                      x x x x x x d x x x x x x a x x x x x x 21) Seja              2, se 2 1, se 1 2 1 , se 0 1 ( ) 2 x x x x f x a) Quais são o domínio e a imagem de f ? b) Em que pontos c existe lim f (x) xc ? c) Em quais pontos existe apenas o limite à esquerda? d) Em quais pontos existe apenas o limite à direita? 22) Calcule a) lim (5x 3x 2x 1) 3 2 x     b) lim (2x x 2x 1) 5 4 2 x     c) lim ( 3x 2x 1) 4 2 x     d) lim (3x 5x 8) 4 2 x    e) lim ( 5x 3x 2) 3 x     f) lim ( x 3x 2) 2 x     g) x x 3 2x 3x x 1 lim 2 3 2 x       h) x 1 2x 1 lim 2 2 x    i) x 3 3x lim x 2  j) 9x 5x x 3 3x 5x 2x 1 lim 3 2 3 2 x        k) 4x 8x 7 2x 5x 8 lim 5 3 2 x      l) x 7 5x 2x 1 lim 3 2 x     m) 3 3 2 x (x 1) x x x 1 lim      n) 2x(3x 1)(4x 1) (3x 2) lim 3 x     o) x 1 x x 1 lim 2 x     p) x 1 x x 1 lim 2 x     q) x 1 2x 3x 5 lim 4 2 x     r) x 1 2x 3x 5 lim 4 2 x     23) Responda: a) Do gráfico de f mostrado abaixo, diga os números nos quais f é descontínua e explique por quê. b) Para cada um dos números indicados na parte (a), determine se f é contínua à direita ou à esquerda, ou nenhum deles.
  6. 6. 6 24) Esboce o gráfico de uma função que é contínua em toda parte, exceto em x  3 e é contínua à esquerda em x  3. 25) Esboce o gráfico de uma função que tenha descontinuidade de salto em x  2 e um descontinuidade removível em x  4 , mas seja contínua no restante. 26) Se f e g forem contínuas, com f (3)  5 e lim[2 ( ) ( )] 4 3    f x g x x , encontre g(3) . 27) Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que cada uma das funções abaixo é contínua em um dado número a. a) ( ) 7 , 4 2 f x  x   x a  b) ( ) ( 2 ) , 1 3 4 f x  x  x a   c) , 1 1 2 3 ( ) 3 2     a x x x f x 28) Explique por que a função é descontínua no número dado a. Esboce o gráfico da função. a) f (x)  ln x  2, a  2 b) , 1 2, se 1 , se 1 1 1 ( )         a x x f x x c) , 0 , se 0 , se 0 ( ) 2        a x x e x f x x d) , 1 1, se 1 , se 1 ( ) 2 1 2          a x x x x x f x e) , 0 1 , se 0 0, se 0 cos , se 0 ( ) 2          a x x x x x f x 29) Para quais valores da constante c a função f é contínua em (,) ?         , se 2 2 , se 2 ( ) 3 2 x cx x cx x x f x 30) Encontre os valores de a e b que tornam f contínua em toda parte.                     2 , se 3 3, se 2 3 , se 2 2 4 ( ) 2 2 x a b x ax bx x x x x f x
  7. 7. 7 Respostas 1) a) 3 b) 2 c) 5 d) não existe e) 0 f) 0 2) a) 0,8 b) 0,4 c) não existe 3) lim ( ) 3 1   f x x 4) a) 150 b) 250 5) a) 4 b) -2 c) 4 6) a) 8 b) 4 c) -5-6 2 d) 5 e) -3 f) -6 g) -2 h) -1/3 i) 12 j) -2 k) 80 l) 2 m) 0 n) 4 o) 4 p) 2 2 q) -1/4 r) 2 s) 4/ 3 t) 5/ 14 7) a) 5 2 b) 1 c) -1 8) a)1/3 b)0 c)0 d) 2 e)0 f) 1 g) 0 h)2 i) + j) 0 k)1 l) 1 m) 4 n) + o) + p) 0 9) 7 10) 2 11)
  8. 8. 8 d) Verticais: x = 1 e x = -1 12) a)  b)  c) 1 d) 8 e) 2 f) 6 g)  h)  i)  j)  k)  l)  14) a) e b) e3 c) e-1 d) e5 e) e 15) a) 1 b) 1 c) 1/ e 2 log d) 1 e) 2 f) 3 g) e h) 5 e i) 1/ log5 j) e2 16) a) lim ( ) 2 2    f x x e lim ( ) 1 2    f x x b) Não existe lim ( ) 2 f x x , pois os limites laterais são diferentes c) lim ( ) 3 4    f x x e lim ( ) 3 4    f x x d) lim ( ) 3 4   f x x , pois os limites laterais são iguais. 17) a) 1 b) 0 c) 1/5 d) 1 e)-1 f) 0 g) 3/2 h) 2/3 i) 0 j) 0 k) -1 18) a) lim ( ) 1 4    f x x , lim ( ) 1 4     f x x e lim ( ) 4 f x x  b) lim ( ) 1 5    f x x , lim ( ) 1 5     f x x e lim ( ) 5 f x x  c)     lim ( ) 8 f x x ,     lim ( ) 8 f x x e lim ( ) 8 f x x  19) a) +  b) -  c) não existe d) -  e) -  f) não existe g) não existe h) não existe i) não existe j) não existe 20) a) - b)  c) - d)  e)  f)  21) a) D(f) = [0,2] e Im(f) = [0,1] U{ 2} b) 0 < c < 1 e 1 < c < 2 c) c = 2 d) c = 0 22) a)  b)  c)  d)  e)  f)  g)  h)2 i) 0 j)1/3 k)0 l)  m) 1/3 n) 9/8 o)1 p) 1 q) 2 r) 2 24) 26) g(3) = 6 28) a) c) e) 29) c = 2/3 30) a = b = 1/2

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