Trigonometria

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Trigonometria

  1. 1. MATEMÁTICA PROF. HOMERO E-MAIL: prof.homero@globo.com TRIGONOMETRIA01) “ a “ e “ 3a” são o cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo, respectivamente. A tg do ângulo oposto ao menor lado, éa) 10 / 10 b) 2 / 4 c) ½ d) 2 / 2 e) 2 2 SOLUÇÃOAplicando o teorema de Pitágoras , fica:(3a )2 = a 2 + x 2 ⇒ 9a 2 = a 2 + x 2 ⇒ x 2 = 8a 2 ⇒ x = 8a 2 ⇒ x = 2a 2 a 1 2 2tgm = = x = 2a 2 2 2 2 4RESPOSTA: B02) Se y = 3 cos x − 1, então y varia no intervaloa) [2,4] b) [− 1,1] c) [− 1,3] d) [− 3,1] e) [− 4,2] SOLUÇÃOSubstituímos o cos x pelo seu valor máximo (+ 1) e valor mínimo (− 1)y = 3 cos x − 1. : y = 3.1 − 2 e y = 3(− 1) − 1 = −4 [− 4,2]RESPOSTA: E03) Assinale a alternativa corretaa) sen 300º< sem 230º < sen 200ºb) sen 230º< sem 300º < sen 200ºc) sen 230º< sem 200º < sen 300ºd) sen 200º< sem 230º < sen 300ºe) sen 300º<sem 200º < sen 230º
  2. 2. MATEMÁTICA PROF. HOMERO E-MAIL: prof.homero@globo.comRESPOSTA: A04) Sabendo que sec x = a e tg x = b, o valor de sen x éa) a − b 2 2 b) b 2 − a 2 + 1 c) a/b d) b/a e) a . b SOLUÇÃO sen xsec x = a tgx = b cos x = 1 / a =b sec 2 x = 1 + tg 2 x cos x sen xa2 = 1+ b2 = b. : sen x = b / a 1 aRESPOSTA: D tgx + tgy05) A expressão é idêntica a cot gx + cot gya) 1 b) 2 c) tgx + tgy d) tg 2 x + tg 2 y e) tgx.tgy SOLUÇÃO sen x sen y sen xx cos y + sen yx cos x x tgx + tgy cos x cos y cos xx cos y = =cot gx + cot gy cos x cos y sen yx cos x + sen xx cos y x sen x sen y sen xx sen y sen ( x + y ) sen xx sen y sen xx sen y x = = tgxxtgycos xx cos y sen ( x + y ) cos xx cos tRESPOSTA: E06) O valor de m que satisfaz simultaneamente sen x = (m 3 ) e cos x = 6m é 3 3a) 2 b) 1 c) ½ d) 0 e) –3 SOLUÇÃO
  3. 3. MATEMÁTICA PROF. HOMERO E-MAIL: prof.homero@globo.comsen 2 x + cos 2 x = 1 (m 3 ) + (2 6m ) 2 = 1. : 3m 6m x = 1. : 9m = 9 m= 1 3 3 9 9RESPOSTA: B07) O valor de 4 sen 15º éa) 2 b) 2 6 c) 2− 6 d) 6+ 2 e) 6− 2 SOLUÇÃO4. sen 15º = 4.(sen 45º −30º ) = 4.(sen 45º. cos 30º − sen 30º. cos 45º ) =  2  3 1 2   4.  . − .  = 4 6 − 2  = 6 − 2  2  2 2 2   4 4      RESPOSTA: E08) o período da função f (x) = 3 sen ( x / 2 ) éa) π b) 2 π c) 3 π d) 4 π e) 5 π SOLUÇÃO  x 2π 2πf ( x ) = 3 sen  p= = = 4π 2 k 1RESPOSTA: D 2 cos x09) Se tgx = 2 , a expressão vale 3 sen xa) ½ b) 1/3 c) 2/3 d) 5 /3 e) 2 5 / 3 SOLUÇÃO 2 2 1 1tgx = 2 . cot gx = . = 3 3 2 3RESPOSTA: B10) o valor de sen 30º - cos 60º é 1− 2 2 −1 3− 2a) 0 b) 1 c) d) e) 2 2 2 SOLUÇÃOsen 30º − cos 60º = 1 / 2 − 1 / 2 = 0RESPOSTA: A11) A soma das duas menores soluções positivas da equação sen (3 x − π 4 ) = 0 é:
  4. 4. MATEMÁTICA PROF. HOMERO E-MAIL: prof.homero@globo.com π 3π 3πa) b) c) π d) e) 2 π 2 4 2 SOLUÇÃO π π π 3x - = 0 ⇒ 3x = ⇒x= 4 4 12 π 5π 5π π 5π 6π π 3x - = π ⇒ 3x = ⇒x= , então na soma, teremos: + = = 4 4 12 12 12 12 2RESPOSTA: A12) Um ponto A dista 2 cm de um círculo de 3 cm de raio. São traçadas tangentes AB e AC ao círculo. O seno do ângulo BÂC é: 21 22 23 24 25a) b) c) d) e) 25 25 25 25 25 SOLUÇÃOLembrar que uma reta tangente a uma circunferência forma 90° com o raio no ponto de tangência. 3 4 24Sen 2x = 2 sen x . cos x = 2 . . = 5 5 25RESPOSTA: D π13) Sabendo-se que cot g x = 1 2 e 0 < x < , pode-se afirmar que o valor de sen x é 2 5 2 5 5a) 1 10 b) 2 5 c) d) e) 5 5 2 SOLUÇÃO 1 5 5 2 5 2 5cos sec 2 x = 1 + cot g 2 x ⇒ 1 + = ⇒ cos sec x = ⇒ sen x = . = 4 4 2 5 5 5RESPOSTA: D14) Tendo em conta a figura, considere estas afirmações
  5. 5. MATEMÁTICA PROF. HOMERO E-MAIL: prof.homero@globo.comI - Se y for 5, o ângulo de x será de 90 0II - Se y for maior que 5, o triângulo será obtusânguloIII- Para qualquer valor de y a área do triângulo será 6 u.a.Está correta/ estão corretasa) apenas I e II b) apenas I e III c) apenas II e III d) todas as afirmaçõesf) apenas I SOLUÇÃOAnalisando as afirmações dadas, teremos:I – Aplicando-se a lei dos co-senos: y 2 = 3 2 + 4 2 − 2.3.4 cos x ⇒ 5 2 = 25 − 24. cos x ou cos x = 0 ⇒ x = 90 0 ou x = 270 0 . Conforme sabemos, a medida de qualquer ângulo interno de um triângulo pertence ( )ao intervalo 0 0 ,180 0 . Logo, 270 0 não serveII – Consideremos como sendo a o lado maior do triângulo e b e c os outros dois lados, teremosa 2 > b 2 + c 2 ⇒ triângulo obtusânguloa 2 = b 2 + c 2 ⇒ triângulo retânguloa 2 < b 2 + c 2 ⇒ triângulo acutânguloCom base nas relações acima escrevemos: y 2 > 3 2 + 4 2 ⇒ y 2 > 25 , o que torna a afirmação correta 3.4. sen xIII- A = ⇒ A = 6. sen x , o que torna a afirmação falsa 2RESPOSTA: A 3 π 15) Sendo que sen x = , com x ∈  , π  , então a tangente desse ângulo x é 4 2  3 39 3 13a) - b) - c) 3 d) - e) - 13 13 13 4 SOLUÇÃOAplica-se a equação fundamental da trigonometria e a relação da tg sen xsen 2 x + cos 2 x = 1 e tgx = cos x 2 3 3 13  4  + cos x = 1 ⇒ cos x = 1 − 16 ⇒ cos x = − 4 2 2  13 4 3 39tgx = ⇒ tgx = − o que racionalizando dá: tgx = − − 13 4 13 13RESPOSTA: B
  6. 6. MATEMÁTICA PROF. HOMERO E-MAIL: prof.homero@globo.com16) Em relação às funções trigonométricas f ( x ) = sen x e g ( x ) = 2 − cos 3 x , são feitas as seguintes afirmações: I - O período de f ( x ) é 2 π II - A imagem de g ( x ) é [− 1,1] III – O domínio de f ( x ) é diferente do domínio de g ( x )Pode-se afirmar que é / são verdadeirasa) apenas II b) I, II e III c) apenas I d) apenas III e) apenas I e III SOLUÇÃOAnalisando separadamente cada uma das afirmações dadas, teremos:I – O período normal da função sen é 2 π , o que torna correta a afirmaçãoII – Basta atribuir a g ( x ) o maior e o menor valor que a função cos pode assumir, que são os valores 1 e –1,respectivamente. Fazendo cos 3 x = 1 fica g ( x ) = 2 − 1 = 1 Fazendo cos 3 x = −1 fica g ( x ) = 2 − (− 1) = 3 ⇒ I ( f ) = [1,3] , o que torna a afirmação falsaIII- O domínio das funções sen e cos é o mesmo, ou seja, o conjunto dos números reais, logo a afirmação éfalsaRESPOSTA: C 1 π 17) Sabendo-se que sen x = 2 e que x está no intervalo  2 , π  , então o valor da expressão   cos x + tgxy= é sec x − cot gx 5 3 3a) - b) 3 c) d) - e) 1 2 2 3 SOLUÇÃOUsamos a equação fundamental da trigonometria para encontrar o valor do cos x 2 1 3sen 2 x + cos 2 x = 1 ⇒   + cos 2 x = 1 ⇒ cos x = ± . Como x é arco de 2º quadrante usamos o sinal 2 2(− ) ⇒ cos x = − 3 2 sen x 1 cos xtgx = ; sec x = , cot gx = , em função destas relações teremos: cos x cos x sen x sen x cos 2 x + sen x cos x + cos x ⇒ y = cos x cos 2 x + sen xy= ⇒y= . sen x Fazendo-se a substituição na expressão 1 cos x sen x − cos 2 x sen x − cos 2 x − cos x sen x cos x. sen x pelos valores obtidos, fica:
  7. 7. MATEMÁTICA PROF. HOMERO E-MAIL: prof.homero@globo.com 2  3 1 −  + 3 1  2  2 1 +y=   . ⇒y= 4 2 .1 ⇒ y = − 5 1  2 3 2 1 3 2 2 − −  − 2  2  2 4  RESPOSTA: A18) Dadas as afirmativas:I. f ( x ) = sen x é uma função periódicaII Se cos x = 0,75, então x pertence ao primeiro quadranteIII Se tgx = −2, então x pertence ao terceiro ou ao quarto quadranteÉ correto o que se afirma ema) I apenas b) II apenas c) II e III apenas d) I e III apenas e) I, II e III SOLUÇÃOAnalisando-se as alternativas dadas, temos:I – Todas as funções trigonométricas são periódicas, logo está correta a afirmaçãoII – A alternativa o cos + apenas no 1º quadrante, mas conforme sabemos ele também é + no 4º quadrante, oque torna falso o item dadoIII- A alternativa dá a tg negativa no 3º e 4º quadrante, o que torna a afirmativa falsa pois a tg é negativa no2ºe 4º quadrantesRESPOSTA: A 3 π19) Sabendo-se que cos x = − e que < x < π , o valor de sen x é 4 2 13 13 4+ 3 13 13a) b) - c) d) e) - 4 4 4 16 2 SOLUÇÃOUsando-se a equação fundamental da trigonometria fica: 2  3 3 3 16 − 3 13 13sen x + cos x = 1 ⇒ sen x +  − 2 2 2   4  = 1 ⇒ sen x + 16 = 1 ⇒ sen x = 1 − 16 = 16 = 16 ⇒ sen x = 16 2 2 2   13 13sen x = ± ⇒ sen x = ± . Conforme o enunciado o arco x pertence ao 2º quadrante, logo teremos que 16 4 13sen x = + 4RESPOSTA: A20) Considere as expressõesA = sen 2 x + tg 2 x + cos 2 x e B = cos sec x. sec x. sen x, sendo x ≠ k π 2 e k um número inteiro. A funçãotrigonométrica equivalente a A/B éa) tgx b) cot gx c) cos x d) sec x e) cos sec x
  8. 8. MATEMÁTICA PROF. HOMERO E-MAIL: prof.homero@globo.com SOLUÇÃOUsamos a equação fundamental da trigonometria e função cos sec anteA sen 2 x + cos 2 x + tg 2 x 1 + tg 2 x sec 2 x = = = = sec xB 1 sec x sec x . sec x. sen x sen xRESPOSTA: D 1 π21) Se cos 2 x = e < x < π , então a tgx vale 25 2 24 2 6 2 6a) b) 2 6 c) d) - e) -2 6 5 5 5 SOLUÇÃOUsando a equação fundamental da trigonometria, teremos: 1 24 24sen 2 x + cos 2 x = 1 teremos: sen 2 x + = 1 ⇒ sen x = ± ⇒ sen x = ± 25 25 5 1 1 1Do enunciado temos que cos 2 x = ⇒ cos x = ± ⇒ cos x = ± . Como x ∈ 2º quadrante, temos: 25 25 5 24 1sen x = + e cos x = − . Calculando-se a tg fica: 5 5 24 sen xtgx = = 5 = − 24 = − 2 2.6 = −2 6 cos x 1 − 5RESPOSTA: E22) Analise as seguintes sentenças trigonométricas:I. (1 + cos x )(1 − cos x ) = sen 2 x para todo x real .II cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x para todo x realIII sen x + cos x = 1 para todo x real.Pode-se afirmar quea) I e II são falsasb) II e III são falsasc) I e III são verdadeirasd) I e II são verdadeirase) II e III são verdadeiras SOLUÇÃOAnalisando-se as alternativas dadas, teremos:I . Multiplicando-se (1 + cos x )(1 − cos x ) = 12 − cos 2 x = sen 2 x o que dá como correta a alternativa .
  9. 9. MATEMÁTICA PROF. HOMERO E-MAIL: prof.homero@globo.comII. Desenvolvendo-se o arco duplo 2x temos: cos 2 x = cos(x + x ) = cos x. cos .x − sen x. sen x = cos 2 − sen 2 x , oque dá como correta a alternativaIII. Ao substituirmos o arco x pelo valor π fica: sen π + cos π = 0 + (− 1) = −1 ⇒ Para o valor π temossen x + cos x ≠ 1, logo a afirmativa é falsaRESPOSTA: D23) Se f (x ) = sen x, então, para todo x real f (2 x ) é igual a b) 2 f ( x ) d) [ f ( x )] 2a) 2 sen 2 x c) 2 sen x cos x e) cos 2 x SOLUÇÃO f ( x ) = sen x ⇒ f (2 x ) = sen 2 x ⇒ f (2 x ) = sen ( x + x )sen ( x + x ) = sen x. cos x + sen x. cos x = 2 sen x. cos x ⇒ f (2 x ) = 2 sen x. cos xRESPOSTA: C24) Sabendo que x + y = 90 0 e x – y = 60 0 , então o valor de sen x + sen y é 2 3 6a) 0 b) c) d) e) 6 2 2 2 SOLUÇÃOA partir do enunciado formamos um sistema de equações x + y = 90 0 Resolvendo-se o sistema, teremos 2 x = 150 0 ⇒ x = 75 0 , substituindo-se este valor na 1ª x − y = 60 0equação, fica: 75 0 + y = 90 0 ⇒ y = 15 0 . ( ) (sen x + sen y = sen 75 0 + sen 15 0 ⇒ sen 45 0 + 30 0 + sen 45 0 − 30 0 )Desenvolvendo-se o seno da soma e da diferença ficaremos com: 6+ 2 6− 2 6+ 4+ 6− 4 2 6 6sen x + sen y = + ⇒ ⇒ = 4 4 4 4 2RESPOSTA: D π25) Sabendo-se que cot gx = 1 2 e 0 < x < , pode-se afirmar que o valor de sen x é 2 5 2 5 5a) 1 10 b) 2 5 c) d) e) 5 5 2 SOLUÇÃOLembrando a relação entre a cos sec x e a cot gx fica: 2 1 1 4 +1 5 5cos sec x = 1 + cot g x ⇒ cos sec x = 1 +   = 1 + = 2 2 2 = ⇒ cos sec x = . Sabendo que o seno é 2 4 4 4 2 2 5 2 5o inverso da cos sec temos: sen x = . = 5 5 5
  10. 10. MATEMÁTICA PROF. HOMERO E-MAIL: prof.homero@globo.comRESPOSTA: D26) Para todo x real, o valor da expressão 1 1 + é igual a1 + tg x 1 + cot g 2 x 2a) 1 b) 2 c) 2 + tg 2 x + cot g 2 x d) sec 2 x + cos sec 2 x 1f) sec x + cos sec 2 x 2 SOLUÇÃO 1 1 1 1 1 1 + ⇒ + ⇒ + ⇒ cos 2 x + sen 2 x = 11 + tg x 1 + cot g x 2 2 sec x cos sec 2 x 2 1 1 cos x sen 2 x 2RESPOSTA: A π  sen (π − x ) + cos − x 27) A expressão 2  vale cos(π + x ).tg (2π − x )a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 SOLUÇÃO π Lembrar que: sen (π − x ) = sen x cos − x  = sen x cos(π + x ) = − cos x 2 tg (2π − x ) = −tgxSubstituindo os valores acima na equação dada, teremos:sen x + sen x 2. sen x ⇒ =2− cos x. − tgx sen x − cos x. cos xRESPOSTA: E 128) Se sen x − cos x = , então sen 2 x é igual a 5 24 4 3 2 1a) b) c) d) e) 25 5 5 5 5 SOLUÇÃORegra: Elevam-se os dois membros da equação ao quadrado 2(sen x − cos x ) =  1  ⇒ sen 2 x − 2. sen x. cos x + cos 2 x = 1 2   5 25Aplicando-se a equação fundamental da trigonometria e o arco duplo sen 2 x , fica:
  11. 11. MATEMÁTICA PROF. HOMERO E-MAIL: prof.homero@globo.comsen x + cos x = 1 e sen 2 x = 2. sen x. cos x 2 2 1 24 Fazendo a substituição, teremos: 1 - sen 2 x = ⇒ sen 2 x = 25 25RESPOSTA: A29) O valor do lado c na figura éa) 20 b) 3 5 c) 7 5 d) 5 e) 5 7 SOLUÇÃO 1Lei dos cos sen os; ⇒ c 2 = 15 2 + 10 2 − 2.15.10. cos 60 0 ⇒ c 2 = 225 + 100 − 300. ⇒ c 2 = 175 2⇒ c = 175 ⇒ c = 5 7RESPOSTA: E30) O valor da expressão 1 7 2 cos180 0 − 3 sen 90 0 + 0 − é cos 360 tg135 0a) –11 b) –10 c) 1 d) 3 e) 7 SOLUÇÃOLembrar que por redução de quadrante tg135 0 = tg 45 0 = −1 1 7Então na expressão dada fica: 2 (− 1) − 3.1 + − ⇒ −2 − 3 + 1 + 7 = 3 1 −1RESPOSTA: D x 331) Se tg = , então sen x é igual a 2 3 1 3 3a) 3 b) 6 c) d) e) 2 2 6 SOLUÇÃOx 3 = 30 0 ⇒ x = 2.30 0 ⇒ x = 60 0 ⇒ sen 60 0 =2 2RESPOSTA: D
  12. 12. MATEMÁTICA PROF. HOMERO E-MAIL: prof.homero@globo.com32) Á área do triângulo da figura é:a) 18 b) 9 c) 10 d) 36 e) 40 SOLUÇÃO 1 0 6.12. a.b. sen C 6.12. sen 30 2 ⇒ A = 6.12. 1 . 1 ⇒ A = 18A= ⇒ A= ⇒ A= 2 2 2 2 2RESPOSTA: A 133) O menor valor de , com x real, é: 3 − cos x 1 1 1a) b) c) d) 1 e) 3 6 4 2 SOLUÇÃOO menor valor do cos x = −1 será substituído no valor de x. Lembrar que –1 é o valor mínimo do cos e +1 éo valor máximo 1 1 1 1 = = =3 − cos x 3 − (− 1) 3 + 1 4RESPOSTA: B ( )34) O valor de tg10 0 + cot g10 0 . sen 20 0 é: 1 5a) b) 1 c) 2 d) e) 4 2 2 SOLUÇÃO sen 10 0 cos10 0   sen 2 10 0 + cos 2 10 0  1 cos10 0 + sen 10 0 . sen 20 ⇒   0 . sen 20 0 ⇒  sen 10 0. cos10 0  0 0 . sen 20 0    sen 10 . cos10 ( )Lembrando que sen 20 0 = sen 2.10 0 ⇒ 2. sen 10 0. cos10 0 ⇒ sen 10 0. cos10 0 = sen 20 0 2 logo, teremossen 20 0 2 0 ⇒ sen 20 0. =2sen 20 sen 20 0 2RESPOSTA: C
  13. 13. MATEMÁTICA PROF. HOMERO E-MAIL: prof.homero@globo.com sen 135 0 + sen 150 035) O valor de é cos 210 0a) - 3 3 ( .1+ 2 ) b) 3 3 .1+ 2 ( ) c) 2 2 (1+ 3 ) d) - 2 2 ( .1− 3 ) e) 3 3 ( .1− 2 ) SOLUÇÃOTrata-se de uma questão de redução ao primeiro quadrante ou seja: 2 1 +sen 45 0 + sen 30 0 − cos 30 0 ⇒ 2 3 3 ( 2 ⇒ − 1 .1+ 2 ⇒ − 3 .1+ 2 3 ) ( ) − 2RESPOSTA: A36) A expressão tg 2 5 − sec 2 5 vale:a) 0 b) 1 c) –1 d) 5 e) –5 SOLUÇÃO ( )REGRA: sec 2 x = 1 + tg 2 x ⇒ tg 2 5 − 1 + tg 2 5 ⇒ tg 2 5 − 1 − tg 2 5 = −1RESPOSTA: C 137) A expressão mais simples para 2 2 + 1 − sec 2 x é cos x. cos sec xa) sec 2 x b) cos 2 x c) 0 d) 1 e) –1 SOLUÇÃOREGRA; Lembrar que 1 1cos sec 2 x = Daí, fica: + 1 − sec 2 x ⇒ tg 2 x + 1 − sec 2 x ⇒ sec 2 x − sec 2 x = 0 sen 2 x 1 cos 2 x. sen 2 xRESPOSTA: C38) Se A = sen 580 0 , B = sen − 780 0( ) e C = cos 350 0 , então:a) A < B < C b) B < A < C c) A < C < B d) B < C < A e) C < B < A SOLUÇÃOUsando redução de quadrante, fica:sen 580 0 = sen 220 0 = − sen 40 0 ⇒ A = − sen 40 0 ( ) ( )sen − 780 0 = sen − 60 0 ⇒ B = − 2 3cos 350 0 = cos10 0
  14. 14. MATEMÁTICA PROF. HOMERO E-MAIL: prof.homero@globo.com 3Como conclusão, teremos: - < − sen 40 0 < cos10 0 , então B < A < C 2RESPOSTA: B 0 0 1 π39) Se x + y = , então cos x sen x 0 é igual a: 3 sen y cos y 0 1 2 3 3a) c) d) 3 e) 2 2 2 3 SOLUÇÃOO enunciado nos dá um determinante de 3ª ordem ao qual aplicamos a regra de Sarrus 0 0 1 0 0cos x sen x 0 cos x sen y ⇒ cos x. cos y − sen x. sen y ⇒ cos( x + y ) . Como no enunciado foi dado quesen y cos y 0 sen y cos y π π 1 x+ y = , temos que: cos = 3 3 2RESPOSTA: A cos 285 0 + sen 165 0 − sen 195 040) Se A= então log A 3 vale: cos 75 0 1 1 3 1a) b) c) d) e) 24 3 9 4 2 SOLUÇÃOAtravés da redução de quadrante, teremos: sen 15 0 + sen 15 0 + sen 15 0 3. sen 15 0A= ⇒ A= ⇒ A=3 sen 15 0 sen 15 0 1CONCLUSÃO: log A 3 = log 3 3 = x ⇒ 3 x = 3 ⇒ 3 x = 31 2 ⇒ x = 2RESPOSTA: D

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