Matrizes e determinantes res

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Matrizes e determinantes res

  1. 1. MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES01) Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a 2 x 3, 3 x 4 e 4 x 2, então (A . (B . C)) 2 temordema) 2b) 3c) 4d) 6e) 12 SOLUÇÃOREGRA: Para multiplicar matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número delinhas da segunda matriz, ou seja:B 3 x 4 .C 4 x 2 = (BC )3 x 2 ⇒ A2 x 3 .(BC )3 x 2 = [ A(BC )]2 x 2 cujo quadrado também é de mesma ordemRESPOSTA: A 1 1 202) Se A =   , então A é a matriz − 1 − 1 1 1a)   − 1 − 1 0 0b)  0 0  1 1c)  1 1  − 1 − 1d)  1 1  2 2e)    − 2 − 2 SOLUÇÃO 1 1 1 1   1−1 1 −1  0 0A2= A x A ⇒  .− 1 − 1 = − 1 + 1 − 1 + 1 ⇒  0 0    − 1 − 1      RESPOSTA: B  1 + 0 + 0  103) Na igualdade matricial  x + 2 + 0  = 1     y + 2 x + 3 1   
  2. 2. o valor de x + y é:a) –2b) –1c) 0d) 1e) 2 SOLUÇÃO 1 + 0 + 0  1 x + 2 + 0  = 1 x + 2 = 1 ⇒ x = 1 − 2 = −1 ⇒ x = −1 y + 2x + 3 =1 ⇒ y + 2(-1)+3=1   y + 2 x + 3 1   y – 2+3=1 ⇒ y = −2 + 2 = 0 ⇒ y = 0 Logo, x + y = -1RESPOSTA: B04) O diagrama abaixo representa uma mapa rodoviário, mostrando as estradas que ligam as cidades 1, 2, 3e 4. [ ]A matriz A = aij 4 x 4 associada a este mapa é definida da seguinte forma:a ij = 1 se i está ligada diretamente a ja ij = 0 se i = j ou i não tem ligação direta com j . Sabendo que i, j referem-se às cidades do mapa e variamno conjunto { ,2,3,4} , assinale a alternativa incorreta 1a) a ij = a jib) a 21 = a 23 = a 24c) a ii = 0d) a ij + a ji = 1e) a ij ≥ 0 SOLUÇÃOTrata-se de uma questão sobre composição de matrizes.  a11 a12 a13 a14  0 1 0 0 a   1A=  21 a 22 a 23 a 24  conforme os dados, teremos: 1 0 1   a31 a32 a33 a34  0 1 0 1     a 41 a 42 a 43 a 44  0 1 1 0Analisando as alternativas verificamos que aij = a ji , entãoaij + a ji ≠ 1RESPOSTA: D
  3. 3. 05) Considere as afirmativas I - Uma matriz de ordem 3 x 4 jamais admitirá inversa II – Nem toda matriz quadrada tem determinante III- A transposta de uma matriz linha é uma matriz colunaEstá errada/ estão erradasa) apenas Ib) apenas IIc) apenas IIId) apenas I e IIe) apenas II e III SOLUÇÃOAfirmativa I é correta pois somente as matrizes quadradas, cujo determinante é diferente de zero, admitem amatriz inversaAfirmativa II é errada pois todas as matrizes quadradas tem determinanteAfirmativa III é correta pois a matriz transposta é obtida trocando-se, ordenadamente as linhas pelas colunasRESPOSTA: B 2 3 06) Sendo A = 1 − 4, em relação ao determinante da matriz transposta de A, podemos afirmar que   0 2   a) vale 9b) vale –9c) vale 0 1d) vale - 9f) não existe SOLUÇÃO 2 1 0Calculando-se a transposta da matriz dada teremos: A t =   .Conforme sabemos, somente as  3 − 4 2matrizes quadradas admitem determinante. Como a transposta de A não é quadrada, o determinante para elanão existe.RESPOSTA: E 1 − 1 2 07) A matriz A de ordem 3, é definida na forma aij = 2i − j . Se a matriz B é igual a 0 − 1 1 , a soma   3 1 2   dos elementos da diagonal principal da matriz C = A . B éa) 10b) 12c) 14d) –12e) –26
  4. 4. SOLUÇÃOInicialmente devemos compor a matriz A  a11 a12 a13  1 0 − 1A = a 21 a 22 a 23  = 3 2 1  Substituindo-se em C = A . B teremos:      a31 a32 a33  5 4 3      1 0 − 1 1 − 1 2 1.1 + 0.0 + (−1).3 1.(−1) + 0.(−1) + (−1).1 1.2 + 0.1 + (−1).2C= 3 2 1 .0 − 1 1  ⇒  3.1 + 2.0 + 1.3 3.(−1) + 2.(−1) + 1.1 3 .2 + 2 .1 + 1 .2  ⇒     5 4 3  3 1 2     5 .1 + 4 .0 + 3 .3  5.(−1) + 4.(−1) + 3.1 5 .2 + 4 .1 + 3 .2  − 2 − 2 0 C =  6 − 4 10  . Somando-se os elementos da diagonal principal, teremos: (-2) + (-4) + 20 = 14    14 − 6 20  RESPOSTA: C −1 2 3   3 408) Sendo A =   4 − 5 − 6  , B =  2 1  e sendo a matriz C o resultado do produto matricial B x A,       então o elemento de maior valor absoluto dessa matriz éa) C 13b) C 12c) C 11d) C 21e) C 23 SOLUÇÃOFazendo-se o produto C = A x B teremos:  3 4  −1 2 3   3(−1) + 4.4 3.2 + 4(−5) 3.3 + 4(−6)  13 − 14 − 15 C=  .  2 1  4 − 5 − 6  ⇒ C=   2(−1) + 1.4 2.2 + 1(−5) 2.3 + 1(−6)   ⇒ C=   2 −1        0  Para achar o valor absoluto devemos considerar o valor do elemento independentemente do sinal, logo oalgarismo de maior valor absoluto é o –15 localizado na primeira linha e na terceira coluna, ou seja C 13RESPOSTA: A a b  1+ log 2 309) Seja a matriz A =  , em que a = 2 , b = 5 log5 25 , c = log 3 27 e d = log 2 32 . Uma matriz real c d B, quadrada de ordem 2, tal que A . B é igual a matriz identidade de ordem 2, é:  1 5  1 5  1 5  − − 9a)  15 18  b)  18    c) 15 18  1 1  1 1 1 1 −   −     15 9   15 15  15 9 
  5. 5. 6 25 5 5d)   e)   6 10  10 25 SOLUÇÃOa = 21+ log 2 3 ⇒ a = 2 log 2 2+ log 2 3 ⇒ a = 2 log 2 ( 2.3) ⇒ a = 2 log 2 6 ⇒ a = 6b = 5 log5 25 ⇒ b = 25 c cc = log 3 27 ⇒ 27 = 3 ⇒ 33 = 3c 2 ⇒ 3 = ⇒ c = 6 2 dd = log 2 32 ⇒ 32 = 2 d ⇒ 2 5 = 2 d 2 ⇒ 5 = ⇒ d = 10 2 6 25 x yLogo, a matriz A será igual a: A =   . Consideremos a matriz B =   . Considerando-se o 6 10  z k enunciado A . B = I 2 , teremos:6 25  x y  1 0 6 x + 25 z 6 y + 25k  1 06 10 . z k  = 0 1 ⇒  6 x + 10 z 6 y + 10k  = 0 1 . Fazendo-se a propriedade de igualdade de        matrizes fica:6 x + 25 z = 1 6 y + 25k = 0 1 5 1 e  . Resolvendo-se os sistemas teremos: x = - , y = ,z= e6 x + 10 z = 0 6 y + 10k = 1 9 18 15  1 5  1 − 9 18 k = - . Então, a matriz B =  15 1 1  −   15 15 RESPOSTA: B x y 1 z   , B = 0 z  e A.B = B , então x + y + z é t10) Se A =  1 0   a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 SOLUÇÃO  x + 0 xz + yz   x z ( x + y )  = B ⇒ B = 1 t tFazendo-se o produto entre A e B, teremos:  . Aplicando-se a 1 + 0 z+0   z   x = 1  z( x + y) = 0 1 0   x z ( x + y )  igualdade de matrizes, teremos:   = 1  ⇒ z = 1 , logo, substituindo valor de z em z z  z   z = z  z (x + y ) = 0 ⇒ 1.( x + y ) = 0 ⇒ x + y = 0x+y+z=0 +1 ⇒ x+y+z=1RESPOSTA: B
  6. 6. [ ]11) Sendo A = aij uma matriz quadrada de ordem 2, com aij = j 2 − 2i , e B = bij [ ] 2x2 onde bij = 2 − i + j , então:a) det ( A + B ) = −9b) det ( A + B ) = 11c) det ( A + B ) = 24d) det ( A + B ) = −10e) det ( A + B ) = 10 SOLUÇÃO a a12 Construindo-se a matriz A, teremos: A =  11 ⇒ a 11 = 12 − 2.1 = −1 ; a 12 = 2 2 − 2.1 = 2 a 21 a 22    − 1 2a 21 = 12 − 2.2 = −3 ; a 22 = 2 2 − 2.2 = 0 ⇒ A=  − 3 0Construindo-se a matriz B, teremos: B = ⇒ b 11 = 2 −1+1 = 1 ; b 12 = 2 −1+ 2 = 2 1  1 2b 21 = 2 − 2+1 = ; b 22 = 2 −2+ 2 = 1 ⇒ B =   2 0,5 1  0 4Somando-se os elementos correspondentes de A e B fica: A + B =  ⇒ − 2,5 1 0 4det ( A + B ) = = 0.1 − 4.(− 2,5) ⇒ det ( A + B ) = 10 − 2,5 1RESPOSTA: E x + y 1  3 112) Dadas as matrizes A =   e B = − 5 − 1 , calcule x e y de modo que A = B  − 5 x − y  a) x = 1 e y = 2 b) x = -1 e y = -2 c) x = -2 e y = 1 d) x = y = 2 e) x = y = 1 SOLUÇÃOIgualam-se os elementos correspondentes e após forma-se um sistema de equaçõesx + y = 3 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1 ; 1 + y = 3 ⇒ y = 2 x − y = −1RESPOSTA: A13) Os elementos da diagonal principal da matriz A = aij são tais que:a) i ≠ j b) i π j c) i ≤ j d) i φ j e) i = j SOLUÇÃORESPOSTA: E14) Se A é uma matriz do tipo m x n, e se B é uma matriz do tipo p x m, então o produto B.A é
  7. 7. a) não existe b) é de ordem p x n c) é de ordem n x pd) é de ordem m x n e) nenhum resultado SOLUÇÃOREGRA: Para multiplicar matrizes o número de colunas da 1ª matriz é igual ao número de linhas da 2ª matrizB.A=pxnRESPOSTA: B15) Sabendo que os produtos das matrizes A e B é tal que AB = I 2 , podemos afirmar que:a) A 2 x 3 e B 3 x 2b) A 2 x 2 e B 2 x 2c) A 2 x1 e B 1x 2d) todas as opções acima estão corretase) nenhuma resposta certa SOLUÇÃO 1 0I2=   0 1 RESPOSTA: D16) Para que seja possível efetuar o produto de uma matriz A 2 x 4 por uma matriz B (m +1)xma) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) -3 SOLUÇÃORegra: Para multiplicar matrizes é necessário que o número de colunas da 1ª matriz seja igual ao número delinhas da 2ª.4 = m + 1 ⇒ 4 −1 = m ⇒ m = 3RESPOSTA: D 2 1   − 1 217) Dadas as matrizes A =   e B =  0 1 , o determinante da matriz A . B é 1 − 2   a) –7 b) –5 c) 3 d) 4 e) 5Obs.: Devemos efetuar o produto e após calcular o determinante − 2 + 0 4 +1 − 2 5 −2 5A.B=  = ⇒detA.B = = 0 − (− 5) = 5  −1+ 0 2 − 2 −1 0   −1 0RESPOSTA: E18) Dadas as matrizes
  8. 8. 2 m n  4 A=   , B = 1  e C = 0 , e sabendo que A . B = C, podemos concluir que: 1 4      m a) m + n = 10 b) m – n = 8 c) m . n = -48 d) =3 e) m n = 144 n SOLUÇÃO 2 m   n   4  2n + m   4 1 4 .1  = 0 ⇒  n + 4  = 0 Através da igualdade formamos um sistema de equações         2n + m = 4 Substituindo-se o valor de n na 1ª equação, teremos 2 . (− 4 ) + m = 4 ⇒ n + 4 = 0 ⇒ n = −4− 8 + m = 4 ⇒ m = 12 Logo, fica m.n = 12.(− 4 ) = −48RESPOSTA: C 1 3 19) Para que a matriz B =   admita inversa, x deverá ser 2 x a) = -6 b) = 6 c) ≠ 6 d) ≠ −6 e) ≠ 0 SOLUÇÃOREGRA: Para uma matriz admitir inversa ⇒ determinante tem que ser diferente de zero (∆ ≠ 0 )1 3 ≠ 0 ⇒ 1.x − 3.2 ≠ 0 ⇒ x − 6 ≠ 0 ⇒ x ≠ 62 xRESPOSTA: C  2 1   x   − 120) Se  − 1 5 . y  =  2 , então x + y é igual a:          4 2 1 2 3a) - b) - c) - d) e) 11 11 11 11 11 SOLUÇÃOFazendo-se o produto, formamos um sistema de equações, ou seja:2 x + y = −1 Multiplicando-se por 2 a segunda equação teremos:− x + 5 y = 2(.2)2 x + y = −1 3 Anulando-se os termos em x, fica: 11y = 3 ⇒ y = . Substituindo-se o valor de y− 2 x + 10 y = 4 11 3 15 7 7na 2ª equação, teremos: -x + 5y = 2 ⇒ -x = 2 – 5 .   ⇒ - x = 2 - ⇒ -x= . (− 1) ⇒ x = -  11  11 11 11 7 3 4Conclusão: x + y = - + = − 11 11 11
  9. 9. RESPOSTA: A 2 x + ky − 4 z = 0 20) Para que o sistema linear − x − y − z = −1 tenha solução, K não pode ser − 2 x + 2 y + 2 z = −6 a) 0 b) –4 c) 4 d) –12 e) 12 SOLUÇÃORegra: Sistema com solução ⇒ ∆ ≠ 0 (Lembrar que ∆ é formado pelos coeficientes das variáveis) 2 k −4 2 k∆ = −1 −1 −1 −1 −1 −1 2 2 −1 2⇒ ∆ = 2.(− 1).2 + k .(− 1).(− 2 ) + (− 4 )(− 1).2 − (− 4 )(− 1)(− 2 ) − k .(− 1).2 − 2.(− 1).2 ⇒ ∆ = −4 + 2k + 8 + 8 + 2k + 4 ⇒ . . .∆ = 4k + 16 ≠ 0 ⇒ k ≠ −4 . Concluímos então que K não pode ser –4RESPOSTA: B x + y + z = 2 21) A solução do sistema linear 2 x − 3 y − 2 z = 2 é uma terna ( x, y, z ). O valor de x 2 + y 2 + z 2 é − x + 2 y + 2 z = 1 a) 14 b) 6 c) 2 d) 8 e) 3 SOLUÇÃOREGRAS: 1ª) Calcula-se inicialmente o determinante principal ( ∆ ) que é formado pelos coeficientes dasincógnitas 2ª) Calculam-se os determinantes das incógnitas (∆x, ∆y, ∆z ) 1 1 1 1 1∆ = 2 − 3 − 2 2 − 3 ⇒ ∆ = −6 + 2 + 4 − 3 − 4 + 4 = −3 −1 2 2 −1 2 2 1 1 2 1∆x = 2 − 3 − 2 2 − 3 ⇒ ∆x = −12 − 2 + 4 + 3 − 4 + 8 = −3 1 2 2 1 2 1 2 1∆y = 2 2 − 2 ⇒ ∆y = 4 + 4 + 2 + 2 − 8 + 2 = 6 −1 1 2 1 1 2∆z = 2 − 3 2 ⇒ ∆z = −3 − 2 + 8 − 6 − 2 − 4 = −9 −1 2 1 −3 6 −9 = 3 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 = 12 + (− 2) + (3) = 2 2Então, teremos: x = = 1, y= = −2 z= −3 −3 −3
  10. 10. 1 + 4 + 9 = 14RESPOSTA: A x + 3 y − 2z = 5 22) Para que o sistema de equações 2 x − y + 2 z = 0 seja incompatível, n deve ser 3 x + 2 y − nz = 0 a) igual a zero b) diferente de zero c) igual a 2 d) diferente de 5 e) igual a 5 SOLUÇÃOREGRA: Sistema incompatível ⇒ determinante (∆ ) igual a zero1 3 −21 32 − 1 2 2 − 1 = 0 ⇒ n + 18 − 8 + 6 + 6n − 4 = 0 ⇒ n = 03 2 −n 3 2RESPOSTA: A23) Para que o sistema abaixo seja compatível e determinado, m deverá serx + y − z = 42 x + 2 y + mz = 84 x + my = 15a) ℜ b) –2 e 4 c) ℜ − {− 2,4} d) ℜ − {− 4,2} e) ℜ ∗ SOLUÇÃOREGRA: Sistema compatível e determinado ⇒ Determinante ( ∆ ) ≠ 01 1 −12 2 m ≠ 0 Aplicando-se a Regra de Sarrus teremos:4 m 01.2.0 + 1.m.4 + (− 1).2.m − (− 1).2.4 − 1.2.0 − 1.m.m ≠ 0 ⇒ 4m − 2m + 8 − m 2 ≠ 0 ⇒ − m + 2m + 8 ≠ 0⇒ m 2 − 2m − 8 ≠ 0 Usando a fórmula de Baskara obteremos: m ≠ 4 e m ≠ −2RESPOSTA: C24) O sistema x - y = 2 2x +my=4 terá uma única soluçãoa) somente para m = -2 b) somente para m = 4 c) para qualquer m reald) somente para m = 0 e) para qualquer m ≠ −2 SOLUÇÃOREGRA: Sistema com uma única solução refere-se a um sistema possível e determinado ⇒ det ≠ 0
  11. 11. 1 −1 ≠ 0 ⇒ m + 2 ≠ 0 ⇒ m ≠ −22 mRESPOSTA: E25) Dado o sistema de equações linearesx + y + z = β x − y + αz = 1 x − y − z = −1com α , β ∈ ℜ , então,a) Se α ≠ −1, o sistema é possível e determinadob) Se α = −1 e β ≠ 1 , o sistema é possível e determinadoc) Se α ≠ −1, o sistema é impossíveld) Se α ≠ −1 e β = 1, o sistema é possível e indeterminadoe) Se α = −1 e β = 1, o sistema é possível e determinado SOLUÇÃOREGRA: Sistema possível e determinado ⇒ determinante diferente de zero ( ∆ ≠ 0 )1 1 1 1 11 − 1 α 1 − 1 ⇒ 2α ≠ −2 ⇒ α ≠ −11 −1 −11 −1RESPOSTA: A26) O sistema  2 x + 6 y = 10 será indeterminado se m for igual a   mx + 9 y = 15a) –2 b) 0 c) 2 d) 3 e) 6 SOLUÇÃOREGRA: Sistema indeterminado ⇒ determinante igual a zero (∆ = 0 ) 2 6 = 0 ⇒ 18 − 6m = 0 ⇒ 6m = 18 ⇒ m = 3m 9RESPOSTA: D27) As ternas ordenadas (x1 , y1 , z1 ) e (x 2 , y 2 , z 2 ) são soluções distintas do sistema x + ay + bz = 0ax + y + bz = 0− x + y + z = 0Então, o valor absoluto de a éa) a b b) a c) b d) 1 e) 0
  12. 12. SOLUÇÃOO enunciado nos dá um sistema homogêneo (termos independentes todos nulos). Tendo mais de uma soluçãoestamos diante de um sistema indeterminado, logo , o determinante principal é nulo. 1 a b a 1 b = 0 ⇒ 1 − ab + ab + b − a 2 − b = 0 ⇒ 1 − a 2 = 0 ⇒ a 2 = 1 ⇒ a = ±1 Logo a = 1 −1 1 1RESPOSTA: D28) A condição necessária e suficiente para que o sistema linear sobre 3x − y = 16ℜ não tenha solução é que seja ax − 3 y = 24a) a ≥ 9 b) a ≤ 9 c) a φ 9 d) a ≠ 9 e) a = 9 SOLUÇÃOREGRA: Sistema sem solução ⇒ determinante (∆ = 0 )3 −1 = 0 ⇒ −9 + a = 0 ⇒ a = 9a −3RESPOSTA: E29) O conjunto solução do sistema sobre x + 2 y + z = 6ℜ é  x + 2 y + 3z = 4a) θ b) {(7,0,−1)} c) {(7,0,−1), (6,1,−1)(9,1,−1)}d) ℜ e) {(7 − 2t , t ,−1) / t ∈ ℜ} SOLUÇÃOMontamos um sistema de equações no qual multiplicamos a 2ª equação por (-1)x + 2 y + z = 6 x + 2 y + 3z = 4(− 1)x + 2 y + z = 6 ⇒ −2 z = 2 ⇒ z = −1 Substituindo-se o valor de z na 1ª equação, teremos:− x − 2 y − 3 z = −4 x + 2y + z = 6 ⇒ x + 2y – 1 = 6 ⇒ x = 6 + 1 – 2y ⇒ x = 7 –2y. Logo, teremos: {(7 − 2 y, y,−1) / y ∈ ℜ} ou {(7 − 2t , t ,−1) / t ∈ ℜ}RESPOSTA: E ax + by = 230) O sistema sobre ℜ em x, y  tem a única solução (0,1) se e somente se ax + y = 1a) a = 0 e b = 2
  13. 13. b) a ≠0 e b=2c) a ≠0e b ≠1d) a = 0 ou b = 1e) b=2 SOLUÇÃOREGRA: Uma única solução ⇒ Determinante diferente de zero (∆ ≠ 0 ) a b ≠ 0 ⇒ a − ab ≠ 0 ⇒ a(1 − b ) ≠ 0 ⇒ a ≠ 0 a 1Solução (0,1) ; substituindo em ax + by = 2 teremos: a . 0 + b . 1 = 2 ⇒ b = 2RESPOSTA: B31) O conjunto solução do sistema2 x + y + 3 z = 03 x − 2 y + z = 0 éx − 3 y − 2z = 0a) {(1,1,−1)}b) constituído apenas pela solução nulac) vaziod) finito, mas constituído por mais de uma soluçãoe) infinito SOLUÇÃOREGRA: Todos os elementos nulos após a igualdade ⇒ Sistema homogêneoDiscussão: ∆ = 0 ⇒ o sistema admite infinitas soluções ∆ ≠ 0 ⇒ o sistema admite uma única solução 2 1 3 2 1 ∆ = 3 − 2 1 3 − 2 ⇒ ∆ = 8 + 1 − 27 − (− 6 − 6 − 6 ) ⇒ ∆ = −18 + 18 = 0 1 −3 −2 1 −3RESPOSTA: E  x − 2 y + 3 z = −1 32) O sistema sobre ℜ2 x − y − z = b terá solução apenas se o valor de b for igual a − x − 4 y + 11z = −11 a) 6 b) 4 c) 1 d) –11 e) –12 SOLUÇÃOREGRA: Para que o sistema tenha solução ⇒ ∆ = 0; ∆ x = 0; ∆ y = 0; ∆ z = 0 Para o calculo de b fazemos:
  14. 14. −1 −2 3 −1 −2∆x = b −1 −1 b − 1 = 0 ⇒ 11 − 22 − 12b − (33 − 4 − 2b ) = 0 ⇒ 10b − 40 = 0 ⇒ 10b = 40 ⇒ b = 4 − 11 − 4 11 − 11 − 4RESPOSTA: B ax + by = c33) Suponha que o sistema linear  onde x e y são variáveis e a, b, c, d, e, f são números reais dx + ey = f fixos, admita diferentes soluções. Considere as afirmativas a bI. =0 d e a cII. =0 d f c bIII ≠0 f eQuais estão corretas?a) Apenas I b) Apenas I e II c) Apenas I e III d) Apenas II e III e) I, II e III SOLUÇÃOREGRAS Diferentes soluções ⇒ Sistema Possível e Indeterminado, logo:a b ≠ ⇒ Sistema Possível e Determinado (uma única solução)d ea b c = = ⇒ Sistema Possível e Indeterminado ( várias soluções)d e fa b c = ≠ ⇒ Sistema Impossível ( não tem solução), logo teremos:d e f a bI) = 0 verdadeiro d e a cII) = 0 verdadeiro d f c bIII) ≠0 f eRESPOSTA: B π34) Se a = , o valor do determinante 4
  15. 15. sen a cos a 1 sen a cos acos a 1 sen a cos a 1 Com a aplicação da regra de Sarrus , ficaremos com: 1 sen a cos a 1 sen a 1 2 1 2a) - b) zero c) + d) –2+2 2 e) 4 - 4 2 2 2 2 2 SOLUÇÃO 2∆ = 3. sen 45°. cos 45° − 1 − (cos 45°) − (sen 45°) 3 3 Obs.: sen45°=cos45°= 2 3 3 2 2  2  2 3 2 2 1 2∆ = 3. . −1−      2  −  2  ⇒ ∆ = 2 −1− 4 − 4 = 2 − 2 2 2    RESPOSTA: A 2 −1 3 1 1 2 1 035) O valor do determinante é 2 1 0 1 0 1 2 1a) 2 b) 0 c) –2 d) –20 e) –10 SOLUÇÃOREGRA: Determinante de ordem 4 usamos o TEOREMA DE LAPLACE, selecionando-se inicialmente a filaque apresente a maior quantidade de zeros. Selecionando-se a 3ª coluna, teremos:∆ = 3.cof (3) + 1.cof (1) + 0.cof (0 ) + 2.cof (2 ) 1 2 0Cálculo do cofator de 3 ⇒ (− 1) . 2 1 1 = (− 1) .(− 4 ) ⇒ 1.(− 4 ) = −4 1+ 3 4 0 1 1 2 −1 1Cálculo do cofator de 1 ⇒ (− 1) 1 = (− 1) .4 ⇒ (− 1).4 = −4 2+ 3 5 .2 1 0 1 1Cálculo do cofator de 0 ⇒ 0 2 −1 1Cálculo do cofator de 2 ⇒ (− 1) 0 = (− 1) .2 ⇒ (− 1).2 = −2 4+3 7 .1 2 2 1 1Conclusão: ∆ = 3.(− 4 ) + 1.(− 4 ) + 0.cof (0 ) + 2.(− 2 ) ⇒ ∆ = −20RESPOSTA: D
  16. 16. x 1 2 1 336) Dada a desigualdade 0 1 1 ≤ , a alternativa correta é −2 1 1 2 xa) x ∈ [2,4] b) {x ∈ ℜ / − 2 ≤ x ≤ 4 } c) x ≤ −2 ou x ≥ 4 d) x ≤ 4 e) x ≥ −2 SOLUÇÃOREGRAS: Determinante de 3ª ordem ⇒ Regra de Sarrus Determinante de 2ª ordem ⇒ Diagonal Principal menos Diagonal Secundáriax +1 − 2 − 2 x ≤ 1 + 6 ⇒ x 2 − 2 x − 8 ≤ 0 . Resolvendo-se a inequação do 2º grau teremos: 2[− 2,4] ou -2 ≤ x ≤ 4RESPOSTA: B [ ]37) Sendo A = aij uma matriz quadrada de ordem 2 e a ij = i 2 − j , então o determinante da matriz A é igual aa) –3 b) –1 c) 2 d) 3 e) 4 SOLUÇÃO a a12 Construindo-se a matriz A, teremos: A =  11  ⇒ a11 = 1 − 1 = 0 , 2 a 12 = 12 − 2 = −1 a 21 a 22  0 − 1a 21 = 2 2 − 1 = 3 , a 22 = 2 2 − 2 = 2 Logo a matriz A será representada por A =   ⇒ 3 2  0 −1det A = = 0.2 − (− 1).3 = 3 3 2RESPOSTA: D 2x x 138) Sejam a, b e c as raízes do polinômio P(x) = 3 x 0 1 , então a 2 +b 2 + c 2 é igual a x x x −1 25 16 16 25 5a) b) c) d) e) 4 9 4 9 3 SOLUÇÃODeterminante de 3ª ordem ⇒ Regra de Sarrus2x x 1 2x x3x 0 1 3 x 0 ⇒ P(x) = 2 x.0.( x − 1) + x.1.x + 1.3 x.1 − 1.0.x − x.3 x.( x − 1) − 2 x.1.x ⇒ x x x −1 x xx 2 + 3x 2 − 3x 3 + 3x 2 − 2x 2 ⇒ −3 x 3 + 5 x 2 = 0 ⇒ 3 x 3 − 5 x 2 = 0 . Temos uma equação incompleta do 2º grau
  17. 17. 5que resolvida nos dará: x 2 .(3 x − 5) = 0 raízes 0, 0 e 3 2 5 25Substituindo-se no enunciado, teremos: a +b + c = 0 + 0 +   = 2 2 2 2 2 3 9RESPOSTA: D 2 x x39) Em ℜ , a solução da equação − 1 − 2 − 1 = 8 − log 2 4 , é 3 1 2a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 SOLUÇÃOREGRAS: Determinante de 3ª ordem: Regra de Sarrus Logaritmo: propriedades operatórias-8-3x-x+6x+2x+2=8-log 2 2 2 ⇒ 4x – 6 = 8 – 2 . log 2 2 ⇒ 4x = 14 – 2 . 1 ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3RESPOSTA: B 1 log b a40) Calculando-se o determinante da matriz ∆ = teremos: log a b 1a) ∆ = 1 b) ∆ = 0 c) ∆ = −1 d) ∆ = 2 e) ∆ = 3 SOLUÇÃOREGRA: Determinante de 2ª ordem ⇒ diagonal principal – diagonal secundária∆ = 1 − log a b. log b a ⇒ ∆ = 1 − 1 = 0RESPOSTA: B43) O valor do determinante associado a matriz identidade é:a) 1 b) 0 c) 3 d) –1 e) –3 SOLUÇÃOMatriz Identidade: A diagonal principal é formada através de elementos unitários e os demais elementos sãotodos nulos 1 0 0I 3 = 0 1 0 = 1 Propriedade: elementos situados acima e abaixo da diagonal principal nulos ⇒ resultado 0 0 1igual ao produto dos elementos da diagonal principalRESPOSTA: A
  18. 18.  x 0 044) Dada a matriz A = 0 x 1  com o valor de x real, a afirmativa correta é:   1 3 2  a) o determinante de A é positivo se, e somente se, -1 < x < 0 3b) o determinante de A é negativo se, e somente se, < x < 2 2 3c) o determinante de A é negativo se, e somente se, 0 < x < 2d) o determinante de A é zero se x = 1e) o determinante de A é sempre deferente de zero, para todo x real SOLUÇÃOREGRA: Determinante de 3ª ordem ⇒ Regra de Sarrus x 0 0x 00 x 1 0 x ⇒ 2 x 2 − 3 x (inequação do II grau)1 3 21 3REGRAS: Verificar o sinal de a (+) 3 Calcular as raízes: 2 x 2 − 3x = 0 ⇒ x(2 x − 3) = 0 ⇒ x1 = 0 e x 2 = 2 32x 2 −3 x < 0 para 0 < x < 2RESPOSTA: C45) Considere uma matriz A 4 x 4 . Se det A = −6 e det (2 A) = x − 97 , então o valor de x éa) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 SOLUÇÃOPROPRIEDADE: Se uma matriz quadrada M de ordem n for multiplicada por um valor real K, então seudeterminante fica multiplicado por k n , ou seja: det (K .M ) = K n . det M ⇒ det (2 A) = 2 4. det A ⇒ 2 4.(− 6)⇒ 16. (-6) = -96 (− 6 ) = −96Pelo enunciado, temos: det (2 A) = x − 97 ⇒ −96 = x − 97 ⇒ x = 97 − 96 = 1RESPOSTA: D  1 146) Sabendo-se que o determinante da matriz inversa de A =   é igual a 1 2 , o valor de C é: C 1 1a) –1 b) 0 c) d) 1 e) 2 2 SOLUÇÃO
  19. 19. REGRA: Para que matriz quadrada admita inversa, seu determinante deve ser diferente de zero ⇒ det A ≠ 0ou seja, 1 – C ≠ 0 1 1 1det A −1 = ⇒ = ⇒ 1 − C = 2 ⇒ C = −1 2 1− C 2RESPOSTA: A47) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 2. 2 − 1 Se det A = 5 e A.B =   , então podemos afirmar que det B é 4 3 a) –5 b) –2 c) 2 d) 5 e) 10 SOLUÇÃOPelo teorema de Binet , temos: 10det ( AxB ) = det Ax det B ⇒ det AB = 6 + 4 = 10 ⇒ 10 = det Bx5 ⇒ det B = =2 5RESPOSTA: C48) Se o sistema correspondente à equação matricial3 3  x  b 3 a . y  =  4  é um sistema indeterminado, então a . b é igual a        a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 36 SOLUÇÃOFazendo-se a multiplicação e montando-se o sistema de equações, teremos:3x + 3 y = b 3 3 Regra: Sistema indeterminado ⇒ determinante igual a zero ⇒ = 0 ⇒ 3a − 9 = 03x + ay = 4 3 a 3 b⇒ 3a = 9 ⇒ a = 3 ⇒ = 0 ⇒ 3b = 12 ⇒ b = 4 Logo: a . b = 12 3 4RESPOSTA: B49) O conjunto dos números reais x, que tornam a matriz sen ( x ) − cos( x ) cos( x ) sen (x )  inversível , é  a) θ b) {0} c) { } 1 d) [0,2π ] e) ℜ SOLUÇÃOREGRA: Para que a matriz seja inversível , seu determinante deve ser diferente de zero
  20. 20. sen x − cos x ≠ 0 ⇒ sen 2 x + cos 2 x ≠ 0 . Ora, para qualquer x ∈ ℜ , a relação obtida é igual a 1, portanto, cos x sen xsempre diferente de zero, o que nos permite concluir que qualquer x ∈ ℜ torna a matriz inversívelRESPOSTA: E a b 3a + 1 3b + 150) Se = 2, então vale 1 1 2 2a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12 SOLUÇÃOREGRA: Determinante de 2ª ordem ⇒ Diagonal principal menos diagonal secundáriaDo 1º determinante obtemos: a - b = 2 ⇒ a = b + 2Substituindo no 2º determinante teremos:3(b + 2 ) + 1 3b + 1 3b + 7 3b + 1 = ⇒ ∆ = 6b + 14 − 6b − 2 ⇒ ∆ = 12 2 2 2 2RESPOSTA: E51) A soma dos quadrados das raízes da equação x 6 2 0 0 5 0 0 =0 é 7 3 4 2 2 9 x 0a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 SOLUÇÃOREGRA: Determinante de 4ª ordem ⇒ Teorema de Laplace : Selecionamos a fila com a maior quantidadede zeros e após somamos os cofatores dos elementos selecionados , multiplicando-se cada elemento peloseu cofator .No determinante fornecido selecionamos a 2ª linha, sendo que aplicamos o teorema de Laplace no elementoa 22 .x 2 0 x 27 4 2 (− 1) 2+ 2 .5 = 0 2 x 5.2(− 1) 2+3 ( ) = 0 ⇒ x 2 − 4 (− 10) = 0 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ±22 x 0x 1 = −2 ⇒ x 2 = 4 x 2 = 2 ⇒ x 2 = 4 Logo: 4 + 4 = 8RESPOSTA: E
  21. 21. x 0 0    ( ) 252) A matriz A = 0 2 0  é tal que det A 4 = . O valor de x é x 0 0  2  1 1 1a) b) c) d) 5 e) 32 32 2 5 SOLUÇÃOREGRA: Determinante de 3ª ordem ⇒ Regra de Sarrus x 0 0 x 0 ( ) 4 20 2 0 0 2 ⇒ 2 x 2 ⇒ 2 x 2 = ⇒ 16.x 4 4 = ⇒ x 5 = x 2 x 2 = 64 32 1 ⇒x=5 1 32 ⇒x= 1 20 0 20 0RESPOSTA: B

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