Matrices y determinantes

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Mgs. Mario Suárez
MATRICES Y DETERMINANTES CON EXCEL Y GRAFH
Por: Mario Orlando Suárez Ibujes
mgsmariosuarez@gmail.com
MATRICES
Se llama matriz de orden mxn, sobre un cuerpo de los números reales a una “caja”, “cuadro”, etc. que
contiene mxn números reales dispuestos en m filas y n columnas. Una matriz es una tabla ordenada de
escalares 𝑎𝑖𝑗 de la forma:
𝐴 =
(
𝑎11 𝑎12
𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22
𝑎23 … 𝑎2𝑛
𝑎31
…
𝑎 𝑚1
𝑎32
…
𝑎 𝑚2
𝑎33
…
𝑎 𝑚3
…
…
𝑎 𝑚4
𝑎3𝑛
…
𝑎 𝑚𝑛)
= (𝑎𝑖𝑗)
A los números reales 𝑎𝑖𝑗 se les llama elementos de la matriz. Los términos horizontales son las filas de la
matriz y los verticales son sus columnas. El primer subíndice (𝑖) indica la fila, el segundo (𝑗) indica la
columna. Por ejemplos el elemento 𝑎23 es el que está en la segunda fila y la tercera columna. Las
dimensiones de la matriz son m y n
Las matrices se denotan usualmente por letras mayúsculas, A, B, C,……., y los elementos de las mismas
por letras minúsculas, a, b, c,…..
OPERACIONES CON MATRICES
SUMA Y RESTA
Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo orden, es decir, deben tener el mismo
número de filas y de columnas. Para sumar o restar se suman o restan los términos que ocupan el mismo
lugar en las matrices.
Ejemplos ilustrativos
Dado las matrices 𝐴 = (
1 2 3
4 5 6
) y 𝐵 = (
2 −2 −3
4 −1 −3
) calcular:
1) 𝐴 + 𝐵
2) 𝐴 − 𝐵
3) 𝐵 − 𝐴
Solución:
1) 𝐴 + 𝐵 = (
1 + 2 2 + (−2) 3 + (−3)
4 + 4 5 + (−1) 6 + (−3)
) = (
3 0 0
8 4 3
)
2) 𝐴 − 𝐵 = (
1 − 2 2 − (−2) 3 − (−3)
4 − 4 5 − (−1) 6 − (−3)
) = (
−1 4 6
0 6 9
)
3) 𝐵 − 𝐴 = (
2 − 1 −2 − 2 −3 − 3
4 − 4 −1 − 5 −3 − 6
) = (
1 −4 −6
0 −6 −9
)

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Los cálculos en Excel se muestran a continuación:
a) Escribir las matrices A y B. Seleccionar las casillas en donde se calculará la respuesta, que para este
ejemplo es E4:F5
b) Digitar el =, seleccionar las celdas de la matriz A (B1:D2), digitar el +, y seleccionar las celdas de la
matriz B (G1:I2), es decir, digite la fórmula =B1:D2+G1:I2
c) Presione CTRL+SHIFT+ENTER al mismo tiempo
d) Los demás cálculos se muestran en la siguiente figura:

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MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
El producto de un escalar 𝑘 por la matriz 𝐴, escrito 𝑘 ∙ 𝐴 o simplemente 𝑘𝐴, es la matriz obtenida
multiplicando cada entrada de 𝐴 por 𝑘
Ejemplos ilustrativos
Sea 𝐴 = (
−2 4
−8 6
), calcular
1) 2𝐴
2)
1
2
𝐴
Solución:
1) 2𝐴 = 2 (
−2 4
−8 6
) = (
2 ∙ (−2) 2 ∙ 4
2 ∙ (−8) 2 ∙ 6
) = (
−4 8
−16 12
)
1)
1
2
𝐴 =
1
2
(
−2 4
−8 6
) = (
1
2
∙ (−2)
1
2
∙ 4
1
2
∙ (−8)
1
2
∙ 6
) = (
−1 2
−4 3
)
Los cálculos en Excel se muestran a continuación:
a) Escribir la matriz y el escalar. Seleccionar las casillas donde se calculará la multiplicación
b) Escribir la fórmula B4*B1:C2, que representa la multiplicación de 2 (B4) por la matriz A (B1:C2)

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c) Presione CTRL+SHIFT+ENTER al mismo tiempo
d) Los demás cálculos se muestran en la siguiente figura:
MULTIPLICACIÓN ENTRE MATRICES
Para poder multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera matriz deber ser igual al número
de filas de la segunda matriz. La matriz resultado del producto quedará con igual número de filas de la
primera matriz y con igual número de columnas de la segunda matriz.
Es decir, si se tiene la primera matriz A de orden 2x3 y una segunda matriz B de orden 3x2, si se puede
multiplicar 𝐴𝑥𝐵, ya que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B, y
la matriz resultante de la multiplicación tendrá orden 2x2.
Propiedades de la multiplicación de matrices:
1) 𝐴𝑥𝐵 ≠ 𝐵𝑥𝐴
2) 𝐴𝑥(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝑥𝐵 + 𝐴𝑥𝐶
3)𝑘(𝐴𝑥𝐵) = 𝐴𝑥(𝑘𝐵), 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑘 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟
4)(𝐴𝑥𝐵)𝑥𝐶 = 𝐴𝑥(𝐵𝑥𝐶)
5)(𝐵 + 𝐶)𝑥𝐴 = 𝐵𝑥𝐴 + 𝐶𝑥𝐴

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Ejemplos ilustrativos
Dado 𝐴 = (
1 2 3
4 5 6
) , 𝐵 = (
1 2
2 3
1 2
) , 𝐶 = (
−1 1
−3 2
−2 3
) 𝑦 𝑘 = 2 calcular:
1)𝐴𝑥𝐵
2)𝐵𝑥𝐴
3)𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑟 𝐴𝑥(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝑥𝐵 + 𝐴𝑥𝐶
Solución:
1)𝐴𝑥𝐵 = (
1 2 3
4 5 6
) 𝑥 (
1 2
2 3
1 2
) = (
1 ∙ 1 + 2 ∙ 2 + 3 ∙ 1 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 2
4 ∙ 1 + 5 ∙ 2 + 6 ∙ 1 4 ∙ 2 + 5 ∙ 3 + 6 ∙ 2
) = (
8 14
20 35
)
Los cálculos en Excel se muestran a continuación:
a) Escribir las matrices. Seleccionar las celdas donde se calculará la multiplicación
b) Insertar función. En la ventana de Insertar función, En seleccionar una categoría, escoger Matemáticas y
trigonométricas. En Seleccionar una función, escoger MMULT.

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c) Clic en Aceptar en la ventana de Insertar función para que aparezca la ventana Argumentos de función.
En la ventana Argumentos de función, en la casilla Matriz 1, seleccionar las celdas de la matriz A (B1:D2),
y en la casilla Matriz 2, seleccionar las celdas de la matriz B (G1:H3).
d) Presione CTRL+SHIFT+ENTER al mismo tiempo
2)𝐵𝑥𝐴 = (
1 2
2 3
1 2
) 𝑥 (
1 2 3
4 5 6
) = (
1 ∙ 1 + 2 ∙ 4 1 ∙ 2 + 2 ∙ 5 1 ∙ 3 + 2 ∙ 6
2 ∙ 1 + 3 ∙ 4 2 ∙ 2 + 3 ∙ 5 2 ∙ 3 + 3 ∙ 6
1 ∙ 1 + 2 ∙ 4 1 ∙ 2 + 2 ∙ 5 1 ∙ 3 + 2 ∙ 6
) = (
9 12 15
15 19 24
9 12 15
)
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:

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3) Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
POTENCIA DE MATRICES
La potencia es una multiplicación abreviada
Ejemplo ilustrativo
Dada la matriz 𝐴 = (
2 2
0 2
) , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝐴 + 𝐴2
+ 𝐴3
+ 𝐴4
Solución:
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:

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DETERMINANTES
El Determinante de la Matriz 𝐴 = (
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
) es el número real denotado por |𝐴| , en el cual:
𝑎11 𝑦 𝑎22 = 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
𝑎12 𝑦 𝑎21 = 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑎
El determinante de la Matriz 𝐴 = (
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
) es definido por el producto de los elementos de la diagonal
principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria, es decir,
|𝐴| = |
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
|
|𝐴| = 𝑎11 ∙ 𝑎22 − 𝑎12 ∙ 𝑎21
El Determinante de la matriz 𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
) es definido de algunos modos, siendo uno el
siguiente:
|𝐴| = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
| = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
𝑎33 𝑎31 𝑎32
|
Un determinante de orden 3 es igual a la suma algebraica de la multiplicación de los elementos de la
diagonal principal menos la suma algebraica de la multiplicación de los elementos de la diagonal
secundaria
|𝐴| = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1) Si se intercambian las filas por las columnas de un determinante su valor no se altera
Ejemplo:
|
2 4
3 1
| = |
2 3
4 1
|
Resolviendo los determinantes se obtiene la igualdad:
2 − 12 = 2 − 12
12 = 12

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2) Si todos los elementos de una fila o columna son ceros, el valor del determinante es cero
Ejemplo:
|
0 4
0 1
| = 0 − 0 = 0
3) Si se intercambian dos filas o dos columnas continuas en un determinante, el valor de éste cambia de
signo
Ejemplo:
|
2 4
3 1
| = − |
3 1
2 4
|
Resolviendo los determinantes se obtiene la igualdad:
2 − 12 = −(12 − 2)
−2 = −(2)
−2 = −2
4) Si un determinante tiene dos filas o dos columnas igual o proporcionales, su valor es cero.
Ejemplos:
|
1 4
1 4
| = 4 − 4 = 0
|
1 4
3 12
| = 12 − 12 = 0
5) Si todos los elementos de una fila o una columna de un determinante se multiplica por un mismo
número k, el valor del determinante queda multiplicado por k
Ejemplo:
|
2 ∙ 3 4
3 ∙ 3 1
| = 3 |
2 4
3 1
|
Resolviendo se obtiene la igualdad:
6 − 36 = 3(2 − 12)
−30 = 3(−10)
−30 = −30
6) Si todos los elementos de una fila o una columna son expresados como la suma de dos o más números,
el determinante puede expresarse como la suma de dos o más determinantes
Ejemplo:
|
2 + 5 4
3 + 5 1
| = |
2 4
3 1
| + |
5 4
5 1
|
7 − 32 = (2 − 12) + (5 − 20)
−25 = −10 − 15
−25 = −25

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7) Si a cada uno de los elementos de una fila o columna se le multiplica por un número k, y a este resultado
se le suma a otra fila o columna, el valor del determinante no se altera. Esta propiedad es utilizada en el
método del Pibote para calcular el valor de un determinante
Ejemplo:
|
2 3
8 1
| = |
2 3
8 + 2 ∙ (−4) 1 + 3. (−4)
|
Realizando las operaciones se obtiene la igualdad
|
2 3
8 1
| = |
2 3
8 − 8 1 − 12
|
|
2 3
8 1
| = |
2 3
0 −11
|
2 − 24 = −22 − 0
−22 = −22
DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Ejemplo ilustrativo Nº 1
Resolver el siguiente sistema por el método gráfico, método de Cramer y por el método de Cayley
{
2𝑥 + 𝑦 = 4
3𝑥 + 𝑦 = 5
Solución:
1) Método gráfico
Para graficar se elabora la tabla de valores, para lo cual usualmente se despeja la 𝑦. Despejando se obtiene:
𝑦 = 4 − 2𝑥 ; 𝑦 = 5 − 3𝑥
Elaborando la tabla de valores se obtiene:
x y 𝑦 = 4 − 2𝑥 x y 𝑦 = 5 − 3𝑥
-3 10 𝑦 = 4 − 2(−3) = 10 -3 14 𝑦 = 5 − 3(−3) = 14
-2 8 𝑦 = 4 − 2(−2) = 8 -2 11 𝑦 = 5 − 3(−2) = 11
-1 6 𝑦 = 4 − 2(−1) = 6 -1 8 𝑦 = 5 − 3(−1) = 8
0 4 𝑦 = 4 − 2(0) = 4 0 5 𝑦 = 5 − 3(−0) = 5
1 2 𝑦 = 4 − 2(1) = 2 1 2 𝑦 = 5 − 3(1) = 2
2 0 𝑦 = 4 − 2(2) = 0 2 -1 𝑦 = 5 − 3(2) = −1
3 -2 𝑦 = 4 − 2(3) = −2 3 -4 𝑦 = 5 − 3(3) = −4

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Graficando se obtiene:
Para resolver empleando el programa Graph se procede de la siguiente manera:
a) Se abre el programa

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b) Se inserta Función
c) En la casilla f(x) se escribe 4 -2x. En intervalo se escoge los valores en la cual se desea que tenga la
función en el eje x, que en este caso es -2 hasta el 5. En puntos extremos tanto en Inicio como en Fin se
escoge las saetas (flechas). En estilo de línea se escoge la línea continua. En Color se escoge el color
deseado, que para este ejemplo es rojo. En Grosor se escoge el grosor de la línea, que para este ejemplo es
de grosor 2. Clic en Aceptar

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d) Para insertar cuadro de texto, clic en Función y luego en Insertar cuadro de texto, o F8. En el cuadro de
texto escribir y = 4-2x
e) Clic en Aceptar en la ventana de cuadro de texto.

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f) Repetir los pasos anteriores para la función y = 5-3x
g) Clic en Editar y luego clic en Ejes, o Ctrl+A, para que aparezca la ventana Editar ejes

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h) En la Ventana Editar Ejes, clic en Configuración para agregar título. En título escribir el nombre que se
desea que aparezca como título del gráfico, que en este caso es Sistema de ecuaciones.
i) Clic en Aceptar en la ventana Editar Ejes, y aparece el título del gráfico

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j) Clic en Calcular, y luego en Evaluar para determinar el punto de intersección entre las dos funciones.
k) Seleccionar una función. En la parte inferior izquierda aparece una ventana, en esta ventana en Ver en,
seleccionar intersección. Clic en cualquier parte del gráfico, y aparece dos líneas que señalan el punto de
intersección, que en este ejemplo es (1,2)

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l) Para escribir el punto de intersección, clic en función y luego en Insertar serie de puntos.
m) En la ventana Insertar serie de puntos escribir 1 en X y 2 en Y. Escoger el Estilo, Color y Tamaño del
Marcador, que en este ejemplo es un círculo color negro de tamaño 3. En Rótulos seleccionar ver
coordenadas y escoger la posición Derecha o cualquier otra.

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n) Clic en Aceptar
El gráfico en Excel se procede de la siguiente manera:
a) Se realiza los cálculos respectivos. Luego clic en Insertar, escoger Gráfico de Dispersión.

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b) En gráfico de Dispersión, escoger Dispersión con líneas rectas y marcadores.
c) Realizar todas las mejores respectivas
2) Método de Gabriel Cramer
Este método consiste en resolver sistemas de ecuaciones aplicando los determinantes, este método fue
desarrollado por el matemático Suizo Gabriel Cramer (1704-1752).
{
2𝑥 + 𝑦 = 4
3𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 =
Δ𝑥
Δ
=
|
4 1
5 1
|
|
2 1
3 1
|
=
4 ∙ 1 − 1 ∙ 5
2 ∙ 1 − 1 ∙ 3
=
4 − 5
2 − 3
=
−1
−1
= 1
𝑦 =
Δ𝑦
Δ
=
|
2 4
3 5
|
|
2 1
3 1
|
=
2 ∙ 5 − 4 ∙ 3
−1
=
10 − 12
−1
=
−2
−1
= 2

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Los cálculos en Excel se proceden de la siguiente manera:
a) Insertar función. En esta ventana, en Seleccionar una categoría, escoger Matemáticas y trigonométricas.
Seleccionar MDETERM.
b) Clic en Aceptar en la ventana anterior y aparece la ventana Argumentos de función
c) En la ventana Argumentos de función, en Matriz, seleccionar las celdas del determinante Δ𝑥, que en este
ejemplo es B6:C7

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d) Clic en Aceptar, y queda calculado el determinate Δ𝑥
e) Repetir los pasos anteriores para terminar de resolver el sistema
3) Método de Arthur Cayley
Este método consiste en resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando la matriz inversa, este método
fue desarrollado por el matemático Inglés Arthur Cayley (1821-1895).
La solución del sistema se obtiene aplicando
𝑋 = 𝐴−1
𝑥 𝐵
Donde:
𝑋 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠
𝐴−1
= 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠
𝐵 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

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Mgs. Mario Suárez
{
2𝑥 + 𝑦 = 4
3𝑥 + 𝑦 = 5
𝑋 = (
𝑥
𝑦) ; 𝐴 = (
2 1
3 1
) ; 𝐵 = (
4
5
)
Para calcular la matriz inversa, uno de los métodos es empleando la siguiente fórmula:
𝐴−1
=
1
|𝐴|
∙ 𝐴𝑑𝑗 𝐴
Donde:
|𝐴| = 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴
𝐴𝑑𝑗 𝐴 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
Calculando el determinante se obtiene:
|𝐴| = |
2 1
3 1
| = 2 ∙ 1 − 1 ∙ 3 = 2 − 3 = −1
Para calcular la Matriz de los cofactores MC, dada la matriz:
𝐴 = (
2 1
3 1
)
Los signos comienza con +, y luego se van alternando los signos.
(
+ −
− +
)
Se anula la fila y columna del 2 (sobra el 1). El número que sobra se escribe en el lugar del 2.
Se anula la fila y columna del 1 (sobra el 3), El número que sobra se escribe en el lugar del 1.
Se anula la fila y columna del 3 (sobra el 1), El número que sobra se escribe en el lugar del 3.
Se anula la fila y columna del 1 (sobra el 2), El número que sobra se escribe en el lugar del 1.
Se obtiene la matriz de los cofactores:
𝑀𝐶 = (
+(1) −(3)
−(1) +(2)
) = (
1 −3
−1 2
)
Luego se calcula la Matriz Adjunta de la matriz A, la cual es la matriz traspuesta de la matriz de los
cofactores, es decir, la primera fila de la matriz de los cofactores se transforma en la primera columna de la
matriz inversa, y la segunda fila de la matriz de los cofactores se transforma en segunda columna de la
matriz adjunta. Obteniéndose:
𝐴𝑑𝑗 𝐴 = (
1 −1
−3 2
)
Nota: Comparando la matriz adjunta con la matriz A se observa que los elementos de la diagonal principal
de la matriz A se intercambian con respecto a los elementos de la diagonal principal de la matriz adjunta, y
los elementos de la diagonal secundaria conservan en el mismo puesto pero cambian de signo en la matriz
adjunta.

23. 23
Mgs. Mario Suárez
Calculando la matriz inversa se obtiene:
𝐴−1
=
1
|𝐴|
∙ 𝐴𝑑𝑗 𝐴
𝐴−1
= −1 ∙ (
1 −1
−3 2
) = (
−1 1
3 −2
)
Resolviendo el sistema con el método de Arthur Cayley se tiene:
𝑋 = 𝐴−1
𝑥 𝐵
(
𝑥
𝑦) = (
−1 1
3 −2
) 𝑥 (
4
5
)
(
𝑥
𝑦) = (
−4 + 5
12 − 10
)
(
𝑥
𝑦) = (
1
2
)
Entonces la respuesta es 𝑥 = 1 ; 𝑦 = 2
Para calcular la matriz inversa en Excel se procede de la siguiente manera:
a) Se selecciona las celdas donde se calculará la respuesta
b) Se inserta función. En la ventana Insertar función en seleccionar una categoría se selecciona
Matemáticas y trigonométricas. En Matemáticas y trigonométricas se escoge MINVERSA. Clic en Aceptar

24. 24
Mgs. Mario Suárez
c) En la ventana Argumentos de función, en Matriz, seleccionar las celdas de la matriz A, que en este
ejemplo es C4:D5
d) Presionar al mismo tiempo CTRL+SHIFT+ENTER
Los demás cálculos en Excel para resolver el sistema por el método de Arthur Cayley se muestran en la
siguiente figura:

25. 25
Mgs. Mario Suárez
Ejemplo ilustrativo Nº 2
{
4𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = −6
3𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 30
6𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 33
1) Método de Gabriel Cramer
Calculando la x se obtiene:
𝑥 =
Δ𝑥
Δ
=
|
−6 −1 5
30 3 −4
33 2 −3
|
|
4 −1 5
3 3 −4
6 2 −3
|
=
−147
−49
= 3
Calculando la y se obtiene:
𝑥 =
Δ𝑥
Δ
=
|
4 −6 5
3 30 −4
6 33 −3
|
|
4 −1 5
3 3 −4
6 2 −3
|
=
−147
−49
= 3
Calculando la z se obtiene:
𝑥 =
Δ𝑥
Δ
=
|
4 −1 −6
3 3 30
6 2 33
|
|
4 −1 5
3 3 −4
6 2 −3
|
=
147
−49
= −3
Recuerde que para resolver un determinante de orden 3 se puede emplear los siguientes métodos de
resolución:
a) Método de Sarrus
Δ = |
4 −1 5
3 3 −4
6 2 −3
|
Primera forma de Sarrus.- Repitiendo las dos primeras filas
Δ = 4 ∙ 3 ∙ (−3) + 3 ∙ 2 ∙ 5 + 6 ∙ (−1) ∙ (−4) − 5 ∙ 3 ∙ 6 − (−4) ∙ 2 ∙ 4 − (−3) ∙ (−1) ∙ 3
Δ = −36 + 30 + 24 − 90 + 32 − 9 = −49

26. 26
Mgs. Mario Suárez
Segunda forma de Sarrus.- Repitiendo las dos primeras columnas.
Δ = 4 ∙ 3 ∙ (−3) + (−1) ∙ (−4) ∙ 6 + 5 ∙ 3 ∙ 2 − 5 ∙ 3 ∙ 6 − 4 ∙ (−4) ∙ 2 − (−1) ∙ 3 ∙ (−3)
Δ = −36 + 24 + 30 − 90 + 32 − 9 = −49
b) Método del triángulo
Δ = −36 + 30 + 24 − 90 − 9 + 32 = −49
c) Método de Por Menores. Se emplea cualquier fila o columna de la matriz de los signos. En este
ejemplo se empleó la primera fila. Se realiza la respectiva ley de los signos con la primera fila del
determinante de la matriz A
(
+ − +
− + −
+ − +
)
Δ = |
4 −1 5
3 3 −4
6 2 −3
| = 4 |
3 −4
2 −3
| + 1 |
3 −4
6 −3
| + 5 |
3 3
6 2
|
Δ = 4(−1) + 1(15) + 5(−12) = −4 + 15 − 60 = −49
d) Método del Pibote
Multiplicando la segunda fila por -2 y sumando el resultado a la tercera fila.
Δ = −2 |
4 −1 5
3 3 −4
6 2 −3
| = |
4 −1 5
3 3 −4
0 −4 5
|
-6 -6 8
6 2 -3
0 -4 5
Multiplicando la primera fila por -3/4 y sumando el resultado a la segunda fila.
−3/4
|
4 −1 5
3 3 −4
0 −4 5
| = |
4 −1 5
0 15/4 −31/4
0 −4 5
|
-3 3/4 -15/4
3 3 -4
0 15/4 -31/4

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Mgs. Mario Suárez
Empleando el método de por menores con la primera fila se obtiene:
Δ = |
4 −1 5
0 15/4 −31/4
0 −4 5
| = 4 |
15/4 −31/4
−4 5
| = 4 (
75
4
− 31) = 4 (−
49
4
) = −49
El sistema resuelto mediante el método de Gabriel Cramer empleando Excel se muestra en la siguiente
figura:
2) Método de Arthur Cayley
{
4𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = −6
3𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 30
6𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 33
𝑋 = 𝐴−1
𝑥 𝐵
Donde:
𝑋 = (
𝑥
𝑦
𝑧
) ; 𝐴 = (
4 −1 5
3 3 −4
6 2 −3
) ; 𝐵 = (
−6
30
33
)

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Mgs. Mario Suárez
Para calcular la matriz inversa, uno de los métodos es empleando la siguiente fórmula:
𝐴−1
=
1
|𝐴|
∙ 𝐴𝑑𝑗 𝐴
Donde:
|𝐴| = 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴
𝐴𝑑𝑗 𝐴 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
Calculando el determinante de la matriz A se obtiene:
|𝐴| = |
4 −1 5
3 3 −4
6 2 −3
|
|𝐴| = −36 + 30 + 24 − 90 − 9 + 32 = −49
Calculando la Matriz de los cofactores MC dada la matriz A, se anula la fila y columna del 4, luego la fila
y columna del -1, y así con los demás elementos de la matriz A.
Los signos comienza con +, y luego se van alternando los signos.
(
+ − +
− + −
+ − +
)
Entonces la matriz de los cofactores es:
𝑀𝐶 =
(
+ |
3 −4
2 −3
| − |
3 −4
6 −3
| + |
3 3
6 2
|
− |
−1 5
2 −3
| + |
4 5
6 −3
| − |
4 −1
6 2
|
+ |
−1 5
3 −4
| − |
4 5
3 −4
| + |
4 −1
3 3
|)
= (
−1 −15 −12
7 −42 −14
−11 31 15
)
Calculada la matriz de los cofactores se procede a calcular la matriz adjunta de la matriz A, la cual es la
matriz traspuesta de la matriz de los cofactores, siendo la siguiente:
𝐴𝑑𝑗 𝐴 = (
−1 7 −11
−15 −42 31
−12 −14 15
)
Calculando la matriz inversa se obtiene aplicando la fórmula:
𝐴−1
=
1
|𝐴|
∙ 𝐴𝑑𝑗 𝐴

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Mgs. Mario Suárez
Remplazando valores se obtiene:
𝐴−1
=
1
−49
∙ (
−1 7 −11
−15 −42 31
−12 −14 15
) = (
1/49 −1/7 11/49
15/49 6/7 −31/49
12/49 2/7 −15/49
)
Resolviendo el sistema con el método de Arthur Cayley se obtiene aplicando la siguiente fórmula:
𝑋 = 𝐴−1
𝑥 𝐵
Remplazando valores se obtiene:
(
𝑥
𝑦
𝑧
) = (
1/49 −1/7 11/49
15/49 6/7 −31/49
12/49 2/7 −15/49
) 𝑥 (
−6
30
33
)
Realizando la multiplicación matricial se obtiene:
(
𝑥
𝑦
𝑧
) =
(
−
6
49
−
30
7
+
363
49
−
90
49
+
180
7
−
1023
49
−
72
49
+
60
7
−
495
49 )
Realizando las operaciones respectivas en la matriz queda resuelto el sistema por el método de Cayley
(
𝑥
𝑦
𝑧
) = (
3
3
−3
)
Los cálculos en Excel empleando el método de Arthur Cayley para resolver el sistema se muestran en la
siguiente figura:

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Mgs. Mario Suárez
Ejemplo ilustrativo Nº 3
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 10
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 − 4𝑤 = 9
3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 5𝑤 = 13
𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 4𝑤 = −3
1) Método de Gabriel Cramer
Los cálculos hechos en Excel se muestran en la siguiente figura:
2) Método de Arthur Cayley
Los cálculos hechos en Excel se muestran en la siguiente figura: