Trabajo final de la cátedra Estructuras de Programación basado en deribadas

1. Estructuras de Programación
Profesorado de
Matemática
Orellano,
Mariana
201
5
FF
H A

2.  Derivada en un punto. Función derivada.
 Propiedades de la derivada.
 Ejemplo de cálculo de la derivada.
 Teorema de Rolle.
 Teorema de Lagrange.

3. Sea 𝑓 una función real definida en un intervalo abierto
𝑎, 𝑏 , y supongamos que 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 .
Diremos que 𝑓 es diferenciable en 𝑐 siempre que exista el
límite
lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 −𝑓(𝑐)
𝑥−𝑐
.
El límite, designado por 𝑓ʹ(𝑐), se llama derivada de 𝑓 en 𝑐.
Una función 𝑓 es derivable en un intervalo 𝑎, 𝑏 , si 𝑓 es derivable en cada
uno de los puntos pertenecientes al intervalo 𝑎, 𝑏 .
a b 𝒳
𝒴
c
𝑦 = 𝑓(𝑥)

4.  Si 𝑓 y 𝑔 son dos funciones derivables, entonces 𝑓 ± 𝑔 también es derivable, vale
𝑓 ± 𝑔 ʹ 𝑥 = 𝑓ʹ 𝑥 ± 𝑔ʹ 𝑥
 Si 𝑓 es una función derivable y 𝑐 ∈ ℝ entonces la función 𝑐 ∙ 𝑓 es derivable, vale
𝑐 ∙ 𝑓 ʹ 𝑥 = 𝑐 ∙ 𝑓ʹ(𝑥)
 Si 𝑓 y 𝑔 son dos funciones derivables, entonces el producto 𝑓 ∙ 𝑔 también es
derivable, vale 𝑓 ∙ 𝑔 ʹ 𝑥 = 𝑓ʹ 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔ʹ 𝑥
 Si 𝑓 y 𝑔 son dos funciones derivables con 𝑔(𝑥) ≠ 0,
𝑓
𝑔
también es derivable, vale
𝑓
𝑔
ʹ
𝑥 =
𝑓ʹ 𝑥 ∙𝑔 𝑥 −𝑓(𝑥)⋅𝑔ʹ(𝑥)
𝑔(𝑥) 2
 Regala de la Cadena. Si 𝑓 es derivable en 𝑥 y 𝑔 los es en 𝑓(𝑥), entonces 𝑔 ∘ 𝑓 es
derivable en 𝑥, vale 𝑔 ∘ 𝑓 ʹ 𝑥 = 𝑔ʹ 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑓ʹ 𝑥 .
 Si 𝑓 es una función biyectiva y derivable en 𝑥 con 𝑓ʹ(𝑥) ≠ 0, entonces la función
inversa 𝑓−1
es derivable en 𝑓(𝑥), vale 𝑓−1
ʹ 𝑓 𝑥 =
1
𝑓ʹ(𝑥)

5.  Calcular la derivada de 𝑓 𝑥 = 𝑥
5
2 siendo 𝑥 = 1.
𝑓 𝑥 = 𝑥
5
2
𝑓ʹ 𝑥 =
5
2
𝑥
5
2
−1
𝑓ʹ 𝑥 =
5
2
𝑥
5
2
−
2
2
𝑓ʹ 𝑥 =
5
2
𝑥
3
2
𝑓ʹ 𝑥 =
5 𝑥3
2
Reemplazamos 𝑥 = 1 en 𝑓ʹ(𝑥)
𝑓ʹ 1 =
5 13
2
=
5
2
𝒴
𝒳

6. Sea 𝒇 una función continua 𝒂, 𝒃 , derivable en 𝒂, 𝒃 y 𝒇 𝒂 = 𝒇 𝒃 , entonces
existe al menos un punto 𝒙 𝟎 ∈ 𝒂, 𝒃 tal que 𝒇ʹ 𝒙 𝟎 = 𝟎.
2) Supongamos que 𝑓 no es contante.
Como 𝑓 es continua en 𝑎, 𝑏 , por el teorema de Weierstrass, existen dos puntos 𝑥0, 𝑥1 ∈
𝑎, 𝑏 tal que: 𝑓 𝑥1 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑓 𝑥0 ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 .
1) Supongamos que 𝑓 𝑥 = 𝑐 para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , luego 𝑓ʹ 𝑥 = 0 ∀ 𝑥, se verifica el teorema.
• Supongamos, entonces que 𝑥0 ≠ 𝑎; 𝑥0 ≠ 𝑏, luego 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 y 𝑓 𝑥 ≤ 𝑓 𝑥0 ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 ,
luego en 𝑥0 se produce un máximo relativo, y como 𝑓 es derivable en 𝑎, 𝑏 será 𝑓ʹ 𝑥0 = 0.
• Análogamente, suponemos que 𝑥1 ≠ 𝑎; 𝑥1 ≠ 𝑏, luego 𝑥1 ∈ 𝑎, 𝑏 y 𝑓 𝑥1 ≤ 𝑓 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 ,
luego en 𝑥1 se produce un mínimo relativo, y como 𝑓 es derivable en 𝑎, 𝑏 será 𝑓ʹ 𝑥1 = 0.

7. • Verifica el Teorema de Rolle en el intervalo 1,3 de la función:
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3
i. 𝑓 es una función polinómica; por lo tanto es continua en ℝ y, en particular, es continua en 1,3 .
Por lo tanto, ∃c ∈ 1,3 , tal que 𝑓ʹ 𝑐 = 0. Hallamos 𝑐:
ii. 𝑓 es un función polinómica; por lo tanto es derivable en ℝ y, en particular, es derivable en 1,3 .
iii. 𝑓 1 = 12
− 4 ⋅ 1 + 3 = 0
𝑓 3 = 32 − 4 ⋅ 3 + 3 = 0
∴ 𝑓 1 = 𝑓 3 = 0
𝑓ʹ 𝑥 = 2𝑥 − 4
𝑓ʹ 𝑐 = 2𝑐 − 4 𝑐 = 2

8. Sea 𝒇 una función continua en 𝒂, 𝒃 y derivable en 𝒂, 𝒃 , entonces existe al
menos un punto 𝒙 𝟎 ∈ 𝒂, 𝒃 tal que: 𝒇ʹ 𝒙 𝟎 =
𝒇 𝒃 −𝒇 𝒂
𝒃−𝒂
Consideremos la función 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝜆𝑥, esta función es continua en 𝑎, 𝑏 y derivable en 𝑎, 𝑏 .
Determinamos 𝜆 de modo que sea 𝑔 𝑎 = 𝑔 𝑏
𝑔 𝑎 = 𝑓 𝑎 + 𝜆𝑎 y 𝑔 𝑏 = 𝑓 𝑏 + 𝜆𝑏, luego:
𝑓 𝑎 + 𝜆𝑎 = 𝑓 𝑏 + 𝜆𝑏 𝜆 = −
𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎
𝑏 − 𝑎
Luego: 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 −
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
𝑏−𝑎
𝑥
Por el Teorema de Rolle, existe por lo menos un punto 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 tal que
𝑔ʹ 𝑥0 = 0 y como 𝑔ʹ 𝑥0 = 𝑓ʹ 𝑥0 −
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
𝑏−𝑎
, entonces:
𝑓ʹ 𝑥0 −
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
𝑏−𝑎
= 0, luego: 𝑓ʹ 𝑥0 =
𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎
𝑏 − 𝑎

9. • Estudiar si la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2
verifica el Teorema de Lagrange en 2,4 y calcular el
valor 𝑐 que satisface la conclusión de dicho teorema.
Solución
i. 𝑓 es una función polinómica; por lo que 𝑓 es continua en ℝ y en particular en 2,4 .
ii. 𝑓ʹ 𝑥 = 2𝑥; 𝑓ʹ ∃ ∀ 𝑥 ∈ ℝ; por lo que 𝑓 es derivable en 2,4 .
Entonces ∃𝑐 ∈ 2,4 , tal que:
𝑓ʹ 𝑐 =
𝑓 4 − 𝑓 2
4 − 2
=
16 − 4
2
= 6 1
𝑓ʹ 𝑐 = 2𝑐 2
Igualando 1 y 2 , se obtiene:
2𝑐 = 6 𝑐 = 3 y 𝑓 3 = 9

10. Quiero comenzar esta reflexión agradeciendo a los profes Liliana Ríos (la mami)
y Mario Videla; ya que fueron ellos los que hicieron que el cursado de esta cátedra
fuese agradable, divertido, nos hicieron sentir que podemos confiar.
Al comenzar el cursado pensé que iba a ser tedioso y aburrido, pero me equivoque.
Es una materia en la que aprendí muchísimo, aumente mi conocimiento en cosas
que creía saber; además me llevo muchos recuerdos lindos de esta experiencia.
Algo que cambiaría es que hubiésemos podido ver algunos temas más a fondo,
como Geogebra, Latex ; pero entiendo que por cuestiones de tiempo no se puedo.
Resumiendo, termino este periodo contenta y agradecida por todo lo aprendido y
por las personas que conocí.
Gracias
Mariana