1. ELASTICIDAD OBJETIVOS. Establecer el módulo de Young de diferentes materiales. EQUIPO. Platina de metal Portamasas Fuente de bajo voltaje Tornillo Vernier Bombilla Masas RESUMEN. En esta práctica, estableceremos el módulo de Young de material determinado. Para esto, contaremos con un dispositivo conformado por una platina de metal sostenida por dos apoyos separados una determinada distancia, además contaremos con una fuente de bajo voltaje y un tornillo Vernier, los cuales se encargarán de las mediciones de deflexión de la viga. Lo que haremos será someter a un cuerpo (en este caso una platina metálica) a la acción de fuerzas, de tal manera que por acción de dichas fuerzas, el cuerpo sufra deformaciones micrométricas (deflexión), las cuales serán medidas con el equipo descrito anteriormente. Realizando un análisis teórico y mediante deducción de fórmulas, se llega a establecer la relación que existe entre la deformación que sufre el cuerpo y la fuerza que se le aplica; esta relación será comprobada a lo largo del experimento. Se realizarán mediciones de fuerza aplicada F y deflexión máxima Ymáx. Encontraremos la relación existente entre estas magnitudes mediante un gráfico Ymáx vs F; y posteriormente determinaremos el módulo de Young del material del cual esta hecho el cuerpo (platina de metal). Luego de obtener los resultados se realizará una discusión de los criterios empleados en el desarrollo de la práctica y comprobaremos que los resultados obtenidos sean coherentes. INTRODUCCIÓN. Deformación de los sólidos Habitualmente pensamos en un sólido como en un objeto que tiene forma y volumen definidos. En el estudio de la mecánica, para no complicar las cosas, se supone que los objetos no se deforman cuando fuerzas externas actúan sobre ellos. En realidad todos los objetos son deformables. Es decir, es posible modificar la forma o el tamaño de un objeto (o ambas cosas) mediante la aplicación de fuerzas externas. Cando las fuerzas desaparecen, el objeto tiende a recuperar su forma y tamaño originales, lo que significa que la deformación exhibe un carácter elástico. Las propiedades elásticas de los sólidos se analizan en términos de esfuerzo y deformación. El esfuerzo se relaciona con la fuerza que causa un cambio de forma; la deformación es una medida del grado de cambio de forma. Se encuentra que, para esfuerzos suficientemente pequeños, el esfuerzo es proporcional a la deformación, y la constante de proporcionalidad depende del material que se deforma y de la naturaleza del cambio de forma. Esta constante de proporcionalidad recibe el nombre de módulo elástico: Módulo elástco=esfuerzodeformación Módulo elástico Un modulo elástico es un tipo de constante elástica que relaciona una medida tensión relacionada con la tensión y una medida relacionada con la deformación. Los materiales elásticos isótropos quedan caracterizados por un módulo elástico y un coeficiente elástico (o razón entre dos deformaciones). Es decir, conocido el valor de uno de los módulos elásticos y del coeficiente de Poisson se pueden determinar los otros módulos elásticos. Los materiales ortótropos o anisótropos requieren un número de constantes elásticas mayor. Las constantes elásticas que reciben el nombre de módulo elástico son las siguientes: Módulo de Young. Se le designa por. Está asociado directamente con los cambios de longitud que experimenta un cable, un alambre, una varilla, etc. cuando está sometido a la acción de esfuerzos de tracción o de compresión. Por esa razón se le llama también módulo elástico longitudinal. Módulo de compresibilidad. Se le designa por. Está asociado con los cambios de volumen que experimenta un material bajo la acción de esfuerzos (generalmente compresores) que actúan perpendicularmente a su superficie. No implica cambio de forma, tan solo de volumen. Módulo elástico transversal. Se le designa por . Está asociado con el cambio de forma que experimenta un material bajo la acción de esfuerzos cortantes. No implica cambios de volumen, tan solo de forma. También se le llama módulo elástico tangencial y módulo elástico cortante. En el Sistema Internacional de Unidades, los módulos se expresan en newtons/metro cuadrado (N/m2) y el coeficiente es adimensional. Valores representativos del módulo elásticoSustanciaMódulo deYoung (Pa)Módulo decorte (Pa)Módulovolumétrico (Pa)Aluminio7.0*10102.5*10107.0*1010Latón9.1*10103.5*10106.1*1010Cobre 11*10104.2*101014*1010Acero20*10108.4*101016*1010Tungsteno35*101014*101020*1010Vidrio 6.5-7.8*10103.6-3.2*1010 5.0-5.5*1010Cuarzo5.6*10102.6*10102.7*1010Agua--0.21*1010Mercurio--2.8*1010 PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL. Revisamos que el equipo esté correctamente instalado y que funcione normalmente. Utilizando un calibrador Vernier, medimos el ancho b y el espesor h de la sección transversal de la platina metálica. Además, medimos con una regla de madera la distancia L que están separados los apoyos donde descansa la platina; ajustamos las mediciones realizadas con su respectiva incertidumbre al Sistema Internacional SI. Luego, la platina de metal es sometida a la carga concéntrica, utilizando un portamasas (masas: 0.5 Kg, 1.0 Kg, 2.0 Kg). El valor de la fuerza que actúa sobre la viga es exactamente el peso (mg) de la masa colocada. Una fuente de bajo voltaje alimenta un circuito que se cierra al entrar en contacto el tornillo Vernier metálico con la varilla; una bombilla se enciende cada vez que el circuito se cierra. Antes de colocar la primera masa (0.5 Kg) se ajusta el tornillo Vernier de tal manera que el bombillo esté entre encendido y apagado, es decir que esté apenas en contacto con la platina. Luego de ser colocada la masa1, la platina sufrirá una deflexión máxima a causa del peso de dicha masa1; esta deflexión podrá ser medida usando la escala vertical del tornillo, el avance de un milímetro en l vertical corresponde a una vuelta completa del tornillo. En este punto nos daremos cuenta que el bombillo se apagó nuevamente, esto quiere decir que debemos ajustar el tornillo que esté en contacto co la platina otra vez. Medimos la deflexión máxima para la carga m1. La escala horizontal indica la fracción de vuelta, tiene 100 divisiones lo que significa que la fracción más pequeña corresponde a un avance en la vertical de 0.01 mm. Se realizan las combinaciones de masas (0.5 Kg), (1.0 Kg), (0.5 Kg, 1.0Kg), (2.0 Kg), (0.5 Kg, 2.0 Kg), (1.0 Kg, 2.0 Kg) y (0.5 Kg, 1.0 Kg, 2.0 Kg), para obtener al menos 7 datos de fuerza aplicada y deflexión máxima. Con las combinaciones de masas se procede de la misma manera que con la masa m1= 0.5 Kg. Se aumenta la carga progresivamente y se baja la punta del tornillo hasta que entre en contacto con la varilla, en ese momento la lámpara se debe encender. Realizamos una tabla de datos “TABLA #1”, la cual deberá contener datos de fuerza aplicada F=mg y deflexión máxima Ymáx. Se recomienda que para cada carga se tome varias lecturas de Ymáx, con el fin de obtener un promedio. A continuación, se realiza un gráfico Ymáx vs F con los datos de la “TABLA #1”. Se calcula el valor de la pendiente de la recta con su respectiva incertidumbre. Se usará el ajuste de la ecuación Ymáx=L348EI F para la deflexión máxima Ymáx y la carga F para establecer el valor del módulo de Young E del material de la varilla. Con la ayuda del valor de la pendiente de la recta se establece el módulo de Young E de la varilla. RESULTADOS. Datos. - Datos obtenidos por medición directa. Ancho b de la sección transversal de la platina: b±δb=31.60±0.05×10-3 m Espesor h de la sección transversal de la platina: h±δh=6.70±0.05×10-3 m Distancia L de separación de los apoyos donde descansa la platina: L±δL=800±1×10-3 m - Datos de fuerza aplicada F y deflexión máxima Ymáx. Para establecer la fuerza aplicada, se calcula el peso de las masas colocadas en la platina de metal. F1=m1g=0.5 Kg9.8ms2=4.9 N; Ymáx1=25×10-5 m F2=m2g=1.0 Kg9.8ms2=9.8 N; Ymáx2=70×10-5 m F3=m3g=1.5 Kg9.8ms2=14.7 N; Ymáx3=113×10-5 m F4=m4g=2.0 Kg9.8ms2=19.6 N; Ymáx4=140×10-5 m F5=m5g=2.5 Kg9.8ms2=24.5 N; Ymáx5=190×10-5 m F6=m6g=3.0 Kg9.8ms2=29.4 N; Ymáx6=230×10-5 m F7=m7g=3.5 Kg9.8ms2=34.3 N; Ymáx7=290×10-5 m Tablas. La tabla de datos que se muestra a continuación “TABLA #1”, contiene datos de fuerza aplicada F y deflexión máxima Ymáx. TABLA #1 F (N)Ymáx (m) *10-54.9259.87014.711319.614024.519029.423034.3290 Cálculos. - Cálculo de la pendiente m de la recta de la gráfica Ymáx vs F. y2±δy2=24±1×10-4 m x2±δx2=33±1 N y1±δy1=6±1×10-4 m x1±δx1=8±1 N m=y2-y1x2-x1 m=24-6×10-4 m33-8 N m=18×10-4 m25 N m=0.72×10-4 N/m - Cálculo del Momento de Inercia I del área de la sección transversal. b±δb=31.60±0.05×10-3 m h±δh=6.70±0.05×10-3 m I=bh312 I=(31.60×10-3 m)(6.70×10-3 m)312 I=7.92×10-10 m4 - Cálculo del valor del módulo de Young E usando la pendiente. La gráfica obedece al modelo matemático Ymáx=L348EIF, por lo tanto la pendiente de la recta es m=L348EI, y de donde es posible despejar el módulo de Young E: L±δL=800±1×10-3 m m±δm=0.72±0.14×10-4 m/N I±δI=7.92±0.19×10-10 m4 E=L348mI E=(800×10-3 m)3480.72×10-4 m/N(7.92×10-10 m4) E=1.9×1011Nm2=1.9×1011 Pa Errores. - Error de la pendiente. y2±δy2=24±1×10-4 m x2±δx2=33±1 N y1±δy1=6±1×10-4 m x1±δx1=8±1 N a=y2-y1 δa=δy2+δy1 a=24-6×10-4 m δa=1+1×10-4 m a=18×10-4 m δa=2×10-4 m b=x2-x1 δb=δx2+δx1 b=33-8 N δb=1+1 N b=25 N δb=2 N m=ab m=ab-1 δm=⃒dmda⃒δa+⃒dmdb⃒δb δm=⃒1b⃒δa+⃒-ab2⃒δb δm=1252×10-4+18×10-4252(2) δm=1.376×10-5 m/N δm=0.1376×10-4 m/N δm=0.14×10-4 m/N Por lo tanto: m±δm=0.72±0.14×10-4 m/N - Error del Momento de Inercia del área de la sección transversal. b±δb=31.60±0.05×10-3 m h±δh=6.70±0.05×10-3 m I=bh312 δI=⃒dIdb⃒δb+⃒dIdh⃒δh δI=⃒h312⃒δb+⃒bh24⃒δh δI=6.70×10-33120.05×10-3+31.60×10-36.70×10-324(0.05×10-3) δI=1.8985×10-11 m4 δI=0.19×10-10 m4 Por lo tanto: I±δI=7.92±0..19×10-10 m4 - Error del módulo de Young. L±δL=800±1×10-3 m m±δm=0.72±0.14×10-4 m/N I±δI=7.92±0.19×10-10 m4 E=L348mI E=L3m-1I-148 δE=⃒dEdL⃒δL+⃒dEdm⃒δm+⃒dEdI⃒δI δE=⃒L216mI⃒δL+⃒-L348m2I⃒δm+⃒-L348mI2⃒δI δE=800×10-32160.72×10-47.92×10-101×10-3+800×10-33480.72×10-427.92×10-100.14×10-4+800×10-33480.72×10-47.92×10-102(0.19×10-10) δE=4.038×1010 Pa δE=0.4×1011 Pa Por lo tanto: E±δE=(1.9±0.4)×1011Pa Figuras. A continuación se muestra algunas figuras que ilustran el proceso de la práctica. 624840203835 Una viga sometida a una carga concentrada en su centro, se deforma de manera que se puede considerar que las fibras cercanas a la concavidad se contraen y aquellas que se encuentran próximas al lado convexo se alargan. 15240488315 De acuerdo a la ley de Hooke, la deformación unitaria δ de estas fibras es proporcional al esfuerzo σ. La resultante F de las fuerzas aplicadas a las fibras sobre la fibra neutra debajo de ella crean el momento flexionante M. 8439151905 El momento flexionante en una sección transversal de la viga se obtiene de la condición de equilibrio de momentos, para la sección izquierda de la viga. 386080272415 La flexión de una viga se puede describir con la forma que toma la fibra neutra. 824865117475 Experimento. DISCUSIÓN. El objetivo de esta práctica era el de establecer el módulo de Young de diferentes materiales, en este caso (el material del cual está hecha una platina metálica). El criterio aplicado fue que la deformación de los sólidos presenta un carácter elástico hasta cierto punto, es decir que a medida que se aumenta la fuerza aplicada a un cuerpo, su deformación es cada vez mayor. En efecto, eso pudo observarse cuando de incrementaba una fuerza concéntrica aplicada a una platina de metal, a causa de dicha fuerza la platina sufría una deflexión. De acuerdo al análisis teórico realizado, se llegó a establecer una relación entre la deflexión máxima y la fuerza aplicada Ymáx=L348EIF, en esta ecuación está implicado en módulo de Young que es una característica de cada material. Al graficar Ymáx vs F se espera que ambas magnitudes estén en proporción directa, según lo explicado anteriormente. La pendiente de la gráfica ayudará a determinar el coeficiente Young debido a que m=L348EI; donde L es la distancia a la cual están separados los apoyos de la platina, E es el módulo de Young e I es el momento de torsión generado en el área de la sección transversal. Se espera que con el módulo de Young encontrado se pueda conocer de que material está hecha la platina metálica. CONCLUSIONES. Al realizar el análisis teórico y deducción de fórmulas se encontró que la deflexión máxima y la fuerza aplicada están en una proporción directa, esto fue verificado cuando se realizó el gráfico Ymáx vs F, se obtuvo una línea recta que partía desde el origen. A la recta de este gráfico se le calculó el valor de la pendiente, con el fin de utilizarlo para determinar el módulo de Young; este valor fue m±δm=0.72±0.14×10-4 m/N. Además se estableció el momento de torsión del área de la sección transversal I=bh312 y cuyo valor fue I±δI=7.92±0.19×10-10 m4 . Estos m e I fueron utilizados para el cálculo del módulo de Young E, el cual después de aplicar la ecuación E=L348mI , dio una valor de E±δE=(1.9±0.4)×1011Pa ; Pa=N/m2. Para realizar una correcta interpretación de este resultado debemos consultar una tabla que contenga los valores del módulo de Young para diferentes materiales y comparar; observar valores aproximados. Se puede concluir entonces, que el material del cual está hecha la platina sometida al ensayo es acero, por tener un módulo de Young igual a 2.0*1011 Pa; es decir el valor obtenido experimentalmente es muy aproximado al valor teórico. Este procedimiento es válido para poder determinar el módulo de Young de cualquier material. BIBLIOGRAFÍA. SERWAY, Raymond. Física, Edic. 5, Pearson Educación, México, 2001. Guía de Física Experimental II, Instituto de Ciencias Físicas de la ESPOL (ICF) 1998.