1. O documento descreve um estudo sobre a composição de uma carteira de ações com risco mínimo e retorno especificado utilizando algoritmo genético e a função Solver do Excel. 2. Inicialmente, os dados de várias empresas são selecionados e calculados indicadores como retorno esperado, risco e beta para cada empresa. Isso é usado para selecionar as empresas que irão compor o portfólio. 3. Em seguida, a composição da carteira é calculada usando a função Solver do Excel e também um algoritmo

1. UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ESCOLA DE ARTES, CIÊNCIAS E HUMANIDADES
SISTEMAS DE INFORMAÇÃO
COMPOSIÇÃO DE UMA CARTEIRA DE AÇÕES
COM RISCO MÍNIMO E RETORNO
ESPECIFICADO: UM ESTUDO UTILIZANDO
ALGORITMO GENÉTICO E A FUNÇÃO SOLVER
Disciplina: ACH2036 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas
Orientador: Fernando Fagundes Ferreira
Autores:
Mário Januário Filho - 5365372
Pedro Felipe do Prado - 5365643

2. São Paulo
Dezembro / 2009
Sumário
2. Composição do portfólio com risco mínimo............................................................................ 4
2.1 Seleção dos dados .............................................................................................................. 4
2.2 Indicadores......................................................................................................................... 5
2.3 Capital Asset Price Model - CAPM................................................................................... 6
2.4 Seleção das Empresas que irão compor o Portfólio ....................................................... 7
3. Utilização do Solver................................................................................................................... 9
3.1 Resultados – Solver .......................................................................................................... 10
4. Algoritmo Genético ................................................................................................................ 11
4.1 Operadores Genéticos....................................................................................................... 11
4.1.1 Taxas de Crossover e Mutação.................................................................................. 11
4.1.2 População inicial e numero de gerações .................................................................. 11
4.2 Modos de seleção............................................................................................................. 11
4.2.1 Roleta......................................................................................................................... 11
4.2.2 Torneio....................................................................................................................... 11
4.3 Modos de crossover ......................................................................................................... 11
4.3.1 Um ponto ................................................................................................................... 11
4.3.2 Dois pontos ................................................................................................................ 12
4.3.3 Uniforme.................................................................................................................... 12
4.4 Modos de mutação........................................................................................................... 12
4.4.1 Um bit ........................................................................................................................ 12
4.3 Elitismo ............................................................................................................................. 12
5. Análise dos resultados............................................................................................................ 12
6. Considerações finais................................................................................................................ 23
7. Referencias Bibliográficas ...................................................................................................... 24
8. Bibliografia.............................................................................................................................. 24
Anexo A....................................................................................................................................... 25
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3. 1. Introdução
O presente trabalho visa calcular a composição de uma carteira de ações que
minimiza o risco para um retorno especificado. Para tal, são realizadas comparações
entre a função solver do Microsoft Excel e a codificação, em linguagem Java, de um
Algoritmo Genético (AG).
A primeira parte do trabalho apresenta o pré-processamento, ou seja, a seleção
dos ativos através de cálculos do risco, retorno e de indicadores que quantificam os
valores e comportamentos financeiros.
Estão detalhadas e justificadas as técnicas utilizadas de modelagem de
cromossomo e de função fitness consideradas adequadas ao problema.
São apresentados e confrontados os diferentes resultados obtidos através da
aplicação de diferentes técnicas de seleção, mutação e técnicas de crossover, uso de
diferentes percentuais de mutação e crossover, além da utilização da estratégia de
elitismo para a preservação dos elementos mais aptos de uma população após os ciclos
de recombinação.
Assim o presente trabalho tem por objetivo comparar e estudar os resultados
obtidos com o cálculo da carteira ótima pela função solver e pelo AG.
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4. 2. Composição do portfólio com risco mínimo
2.1 Seleção dos dados
Para a seleção das empresas foram realizadas pesquisas bibliográficas e
selecionadas empresas que obtiveram um bom desempenho na bolsa de valores de São
Paulo em 2008, conforme SALLES (2008) e CAMARGO (2009).
Os dados foram coletados no sítio www.yahoo.com.br/finance. O período
selecionado para a realização deste trabalho foi de 01/agosto/2008 a 01/setembro/2009,
onde foram considerados os valores de fechamento ajustados mensais das empresas
citadas, conforme tabela 1.
Tabela 1. Valores de fechamento das empresas e índice bovespa.
Brasil Nossa Souza
ibovespa Cosan CSN Eletrobrás Natura Petrobrás Telesp Usiminas
Date Telecom Caixa Cruz
Close* Close* Close* Close* Close* Close* Close* Close*
Close* Close* Close*
01/09/2009 55815 13,5 20,81 48,6 27,23 30,4 75,4 37,15 59,25 42,77 44,5
03/08/2009 56489 13,65 21,11 49,02 27,55 30,49 75,73 37,35 59,84 43,49 44,44
01/07/2009 54766 13,4 17,01 48,06 28,7 26,65 74,72 38,36 61,06 43,18 45,93
01/06/2009 51465 13,05 14,4 43,62 28,65 25,81 73,32 39,58 53,67 43,85 41,3
04/05/2009 53198 14 15,85 48,5 26,84 25,84 73,06 42,61 49,42 45,59 37,59
01/04/2009 47290 13,53 13,46 39,92 28,8 25,94 71,72 36,37 44,99 47,78 30,19
02/03/2009 40926 12,9 9,64 34,1 25,92 22,6 70,85 34,6 41,98 48,19 26,4
02/02/2009 38183 11,69 10,29 30,26 26,2 21,06 69,9 31,98 43,97 44,19 24,06
02/01/2009 39301 11,88 10,49 33,96 26,16 19,32 68,45 29,7 42,87 44,3 26,39
01/12/2008 37550 13,64 11,23 28 25,89 18,43 67,71 26,89 40,4 45,71 25,27
03/11/2008 36596 14,8 11,19 24,99 27 19,99 62,97 23,19 41,86 44,5 20,31
01/10/2008 37257 12,58 10,54 27,72 26,25 18,15 32,03 27,94 36,54 48 24,16
01/09/2008 49541 15,74 12,69 39,34 28,3 17,96 39,57 41,23 41,57 44,69 36,4
01/08/2008 55680 16,76 25,96 54,54 29,5 18,42 38,12 41,66 38,89 46,5 53,25
Fonte: Yahoo Finance (2009)
Mediante aos dados da tabela 1, calculou-se a variação percentual mensal de
cada empresa, conforme tabela 2.
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5. Tabela 2. Variação Percentual.
Brasil Nossa Souza
ibovespa Cosan CSN Eletrobrás Natura Petrobrás Telesp Usiminas
Telecom Caixa Cruz
1,21% 1,11% 1,44% 0,86% 1,18% 0,30% 0,44% 0,54% 1,00% 1,68% -0,13%
-3,05% -1,83% -19,42% -1,96% 4,17% -12,59% -1,33% 2,70% 2,04% -0,71% 3,35%
-6,03% -2,61% -15,34% -9,24% -0,17% -3,15% -1,87% 3,18% -12,10% 1,55% -10,08%
3,37% 7,28% 10,07% 11,19% -6,32% 0,12% -0,35% 7,66% -7,92% 3,97% -8,98%
-
-11,11% -3,36% -15,08% 7,30% 0,39% -1,83% -14,64% -8,96% 4,80% -19,69%
17,69%
-
-13,46% -4,66% -28,38% -10,00% -12,88% -1,21% -4,87% -6,69% 0,86% -12,55%
14,58%
-
-6,70% -9,38% 6,74% 1,08% -6,81% -1,34% -7,57% 4,74% -8,30% -8,86%
11,26%
2,93% 1,63% 1,94% 12,23% -0,15% -8,26% -2,07% -7,13% -2,50% 0,25% 9,68%
-
-4,46% 14,81% 7,05% -1,03% -4,61% -1,08% -9,46% -5,76% 3,18% -4,24%
17,55%
-
-2,54% 8,50% -0,36% 4,29% 8,46% -7,00% -13,76% 3,61% -2,65% -19,63%
10,75%
-
1,81% -15,00% -5,81% 10,92% -2,78% -9,20% 20,48% -12,71% 7,87% 18,96%
49,13%
32,97% 25,12% 20,40% 41,92% 7,81% -1,05% 23,54% 47,57% 13,77% -6,90% 50,66%
12,39% 6,48% 104,57% 38,64% 4,24% 2,56% -3,66% 1,04% -6,45% 4,05% 46,29%
2.2 Indicadores
Com os dados levantados foram calculados os indicadores que serviram como
base para o estudo do desempenho dos papeis das empresas. A tabela 3 apresenta o
retorno esperado (E(R)), risco (desvio-padrão) e o índice Beta (β).
Tabela 3. Indicadores - E(R), Risco e índice Beta (β).
Brasil Nossa Souza
Cosan CSN Eletrobrás Natura Petrobrás Telesp Usiminas
Telecom Caixa Cruz
E(R) 2,16% 5,22% 2,52% 0,74% -3,59% -3,61% 1,98% -2,92% 0,74% 3,44%
Risco 10,48% 32,76% 19,85% 5,10% 6,24% 15,49% 16,67% 7,62% 4,56% 22,78%
Beta (β) 0,6958 0,1854 0,5022 0,9091 0,5037 0,2390 0,5366 0,7698 -0,6504 0,4175
Os retornos de mercado podem ser representados pelo retorno de um índice de
ações, no caso o índice Bovespa. O β de mercado é igual a 1. Ativos com β maior que 1
possuem risco maior que o de mercado, e conseqüentemente maior retorno esperado,
sendo denominados ativos agressivos. Ativos com β menor que 1 possuem risco menor
que o do mercado, e conseqüentemente menor retorno esperado, sendo denominados
ativos defensivos (ROSS, 2002 apud OLIVEIRA, 2004).
Todos os ativos selecionados para este trabalho possuem β menor que 1,
portanto todos os ativos são defensivos, conforme demonstra a tabela 4.
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6. Tabela 4. Ativos defensivos.
Ativos Defensivos
Brasil Nossa Souza
Cosan CSN Eletrobrás Natura Petrobrás Telesp Usiminas
Telecom Caixa Cruz
Beta (β) 0,69577 0,18537 0,50220 0,90907 0,50372 0,23897 0,53657 0,76981 -0,65041 0,41748
2.3 Capital Asset Price Model - CAPM
A teoria básica que associa o risco e o retorno para todos os ativos é comumente
chamada de modelo de formação de preços de ativos de capital (CAPM) (GITMAN,
2002 apud OLIVEIRA, 2004).
Esse modelo é baseado em valores esperados (modelo expectacional) em que o
retorno esperado do ativo é a soma de dois fatores. O primeiro refere-se à rentabilidade
dos ativos ou das aplicações sem risco, e o segundo, ao chamado prêmio de risco. O
CAPM considera que os investidores sejam racionais e diversifiquem seus
investimentos, a fim de evitar o risco especifico (diversificado), que pode ser cancelado
por meio da diversificação primária da carteira de investimentos (SAMANEZ, 2006).
Partindo deste principio, o modelo foi calculado neste trabalho da seguinte
forma:
Rmi = Rf + βi(Rm – Rf)
Onde:
Rmi = retorno esperado do ativo i;
Rf = rentabilidade dos ativos sem risco;
Rm = rentabilidade esperada da carteira de mercado;
βi = beta do ativo i.
A taxa livre de risco utilizada foi de 0,6% (HSBC, 2009) e assim foi aplicada a
equação do CAPM, conforme tabela 5.
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7. Tabela 5. Retorno exigido através do CAPM.
CAPM
Brasil Nossa Souza
Cosan CSN Eletrobrás Natura Petrobrás Telesp Usiminas
Telecom Caixa Cruz
0,57% 0,59% 0,58% 0,57% 0,58% 0,59% 0,58% 0,57% 0,62% 0,58%
2.4 Seleção das Empresas que irão compor o Portfólio
O primeiro critério para seleção das empresas que irão compor o portfólio, foi a
análise do retorno esperado (E(R)). Nota-se que algumas das empresas selecionadas
possuem retorno esperado negativo, o que não é desejável, conforme tabela 6.
Tabela 6. Análise do retorno esperado
E(R)
Brasil Nossa
Cosan CSN Eletrobrás Natura Petrobrás Souza Cruz Telesp Usiminas
Telecom Caixa
2,16% 5,22% 2,52% 0,74% -3,59% -3,61% 1,98% -2,92% 0,74% 3,44%
Assim os papeis das empresas Natura, Nossa Caixa e Souza Cruz foram
eliminados na faze de pré-seleção, por apresentarem retornos esperado negativo.
Vale citar, que foi comparado o retorno esperado E(R) com o retorno exigido
(CAPM) com as empresas restantes, contudo nenhuma empresa foi eliminada com este
critério, pois todos os papéis apresentaram retorno esperado superior ao retorno exigido,
conforme tabela 7.
Tabela 7. Análise do retorno esperado
Retorno Esperado E(R ) X Retorno Exigido CAPM
Brasil
Cosan CSN Eletrobrás Petrobrás Telesp Usiminas
Telecom
E(R) 2,16% 5,22% 2,52% 0,74% 1,98% 0,74% 3,44%
CAPM 0,57% 0,59% 0,58% 0,57% 0,58% 0,62% 0,58%
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8. O segundo critério para seleção das empresas para compor o portfólio, foi uma
análise do E(R), Risco (desvio-padrão) e a covariância entre as empresas. Analisando a
Tabela 3, nota-se que a Eletrobrás possui o mesmo retorno esperado que a Telesp,
contudo apresenta um risco maior. Analisando a Tabela 8, observa-se que a Telesp
possui covariância negativa (o que é desejável em uma carteira com risco reduzido) com
5 empresa, enquanto a Eletrobrás apenas com uma.
Tabela 8. Matriz de Covariância
Matriz de Covariância
Brasil Telecom Cosan CSN Eletrobrás Petrobrás Telesp Usiminas
Brasil Telecom 0,01013 0,01158 0,00831 0,00173 0,00581 -0,00135 0,00877
Cosan 0,01158 0,09907 0,04203 0,00462 0,00796 0,00069 0,04707
CSN 0,00831 0,04203 0,03637 0,00258 0,02221 -0,00051 0,03867
Eletrobrás 0,00173 0,00462 0,00258 0,00240 0,00114 -0,00069 0,00361
Petrobrás 0,00581 0,00796 0,02221 0,00114 0,02564 -0,00119 0,02557
Telesp -0,00135 0,00069 -0,00051 -0,00069 -0,00119 0,00192 -0,00070
Usiminas 0,00877 0,04707 0,03867 0,00361 0,02557 -0,00070 0,04792
Assim o papel da empresa Eletrobrás foi eliminado na faze de pré-seleção, por
não ser rentável no conjunto da carteira.
O ultimo critério para seleção das empresas para compor o portfólio, foi o
cálculo e análise dos indicadores de Sharpe, Treynor. Dentre os ativos restantes, a
Telesp é o que apresenta os índices de Sharpe e Treynor menores, conforme tabela 9.
Tabela 9. Indicadores de Sharpe e Treynor
Brasil
Cosan CSN Petrobrás Telesp Usiminas
Telecom
Sharpe 14,93% 14,10% 9,68% 8,29% 3,18% 12,49%
Treynor 2,25% 24,92% 3,82% 2,58% -0,22% 6,82%
ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 8

9. Assim o papel da empresa Telesp foi eliminado, compondo por fim a carteira
com as empresas cinco empresas:
• Brasil Telecom;
• Cosan;
• CSN;
• Petrobrás e
• Usiminas.
3. Utilização do Solver
Após a pré-seleção dos das empresas utilizando heurísticas, este item abordará a
utilização da função Solver do MS Excel para efetuar o cálculo de minimização do risco
da carteira baseados em restrições adotadas.
A Função Objetivo será minimizar o risco conjunto entre as ações dado retorno
esperado, com as restrições de que a soma das porcentagens das ações na carteira é igual
a 100%, o retorno encontrado deve ser maior ou igual ao desejado e o valor percentual
de cada empresa que faz parte do portfólio deve ser maior ou igual a zero. As Células
variáveis serão as referentes à composição percentual de ações de cada empresa no
portfólio.
Assim será considerada a matriz de covariância apenas com as empresas
restantes, conforme tabela 10.
Tabela 10. Matriz de covariância das empresas restantes
Brasil Telecom Cosan CSN Eletrobrás Petrobrás Usiminas
Brasil Telecom 0,01013 0,01158 0,00831 0,00173 0,00581 0,00877
Cosan 0,01158 0,09907 0,04203 0,00462 0,00796 0,04707
CSN 0,00831 0,04203 0,03637 0,00258 0,02221 0,03867
Eletrobrás 0,00173 0,00462 0,00258 0,00240 0,00114 0,00361
Petrobrás 0,00581 0,00796 0,02221 0,00114 0,02564 0,02557
Usiminas 0,00877 0,04707 0,03867 0,00361 0,02557 0,04792
ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 9

10. Os termos de variância e de retorno são cálculos necessários para encontrar a
variância e o retorno da carteira. A somatória dos termos de variância de cada empresa
resulta na variância da carteira, enquanto a somatória dos termos de retorno resulta
retorno da carteira (OLIVEIRA, 2004), conforme tabela 11.
Tabela 11. Termos de variância e de retorno
Brasil
Telecom Cosan CSN Petrobrás Usiminas
Termos de Variância 0,77% 0,00% 0,00% 0,17% 0,00%
Termos do Retorno 7,88% 0,00% 0,00% 0,72% 0,00%
3.1 Resultados – Solver
Com os dados das Tabelas 10 e 11, foi possível chegar a um resultado com a
função solver. A tabela 12 demonstra a composição do portfólio, com a porcentagem de
cada empresa na carteira e o seu retorno médio.
Tabela 12. Termos de variância e de retorno
Brasil
Cosan CSN Petrobrás Usiminas
Telecom TOTAL
Portfolio % 82,12% 0,00% 0,00% 17,88% 0,00% 100,00%
E(R) Medio 9,59% 5,18% 3,76% 4,01% 4,20%
Por fim foram obtidos os dados da carteira através da função solver para um
retorno especificado de 6%, conforme tabela 13.
Tabela 13. Dados da carteira
Variância 0,0093593
Desv. Padrão 9,67%
Retorno Desejado 6,00%
Retorno 6,00%
Conforme o escopo proposto do trabalho, a análise do resultado será feita mais
adiante quando comparada com o retorno do algoritmo genético.
ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 10

11. 4. Algoritmo Genético
4.1 Operadores Genéticos
4.1.1 Taxas de Crossover e Mutação
MIRANDA (1998), cita que na maioria das literaturas os valores encontrados
estão na faixa de 60% a 65% para a probabilidade de crossover e entre 0,1 e 5% para a
taxa de mutação. Neste trabalho adota-se essa faixa para probabilidade de crossover e
taxa de mutação.
4.1.2 População inicial e numero de gerações
Para os casos de teste o grupo acordou em variar a quantidade de gerações entre
500 e 1000 gerações. Já a população inicial o grupo decidiu usar como mínimo 50
indivíduos, conforme citado em MIRANDA (1998), e máximo 100.
4.2 Modos de seleção
4.2.1 Roleta
O primeiro método de seleção de pais codificado neste trabalho é a maneira
clássica que a grande maioria dos pesquisadores de GA utiliza que é o método da
roleta viciada (LIDEN, 2008).
4.2.2 Torneio
LINDEN (2008), cita que existe a possibilidade de n elementos serem selecionados para
torneio, porém o método de seleção por torneio utilizado neste trabalho foi o clássico, onde
são selecionados dois elementos aleatoriamente da população, sendo que todos os elementos
possuem igual probabilidade de serem escolhidos, e o elemento selecionado com melhor
avaliação é escolhido para o crossover.
4.3 Modos de crossover
4.3.1 Um ponto
O crossover de um ponto utilizado divide o cromossomo em duas partes a partir de uma
posição aleatória e cria filhos com os dados dos pais anteriores á posição de corte e com os
dados posteriores invertidos, evitando assim que os filhos sejam cópias exatas dos pais.
ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 11

12. 4.3.2 Dois pontos
O crossover de dois pontos codificado corta os cromossomos pais em dois pontos
aleatórios, o primeiro ponto varia de zero ao tamanho do cromossomo menos um, e o
segundo ponto varia entre a posição do primeiro corte e a posição igual ao tamanho do
cromossomo menos um. Os cromossomos filhos gerados possuem as partes anteriores ao
primeiro corte e posteriores ao segundo idênticas às dos pais, sendo que as posições entre o
intervalo dos cortes são invertidas, criando assim novos elementos.
4.3.3 Uniforme
O crossover uniforme implementado percorre um a um os genes dos cromossomos pai
atribuindo aleatoriamente um valor entre 0 e 1, os cromossomos filhos serão formados da
seguinte forma, quando for atribuído valor 1 ao gene do pai 1 este será o gene de mesma
posição do filho 1, enquanto o gene do pai 2 será utilizado no filho 2, quando o valor
atribuído ao gene do pai 1 for igual a 0 o filho 1 irá receber o gene do pai 2 e o filho 2 irá
receber o gene do pai 1.
4.4 Modos de mutação
4.4.1 Um bit
O modo de mutação de um bit atribui um valor aleatório a um cromossomo e caso este
valor seja maior que a probabilidade de mutação ele irá escolher uma posição aleatória do
cromossomo e substituí-la por um valor também aleatório.
4.3 Elitismo
De acordo com os resultados obtidos em trabalhos anteriores utilizando
algoritmos genéticos, os quais demonstraram resultados superiores utilizando a
estratégia de elitismo, o grupo acordou em utilizar essa estratégia para todos os casos de
teste selecionados.
5. Análise dos resultados
Foram realizados diversos casos de testes, variando: (i) número de gerações; (ii)
tamanho da população; (iii) taxa de crossover; (iv) probabilidade de mutação e (v)
ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 12

13. método de seleção. É importante frisar que para todos os testes executados, foi definido
um retorno mínimo de 6%, exatamente como foi feito para a função Solver.
Esse retorno mínimo é passado como parâmetro para a execução do algoritmo
genético, que continua sua iteração até que o resultado do melhor elemento da última
geração atenda ao retorno mínimo especificado.
As tabelas contendo todos os casos de testes, com todos os elementos de cada
teste (não apenas o melhor de cada teste) podem ser visualizadas no Anexo I.
Em todos os casos de teste executados, os parâmetros variaram de forma igual e
seus domínios podem ser observados na Tabela 14:
Tabela 14 – Parâmetros dos casos de teste
Parâmetro Domínio
Número de gerações [ 500 , 1000 ]
Tamanho da população [ 50 , 100 ]
Taxa de crossover [ 60% , 65% ]
Probabilidade de mutação [ 1% , 5% ]
Método de seleção {roleta, torneio}
Tipo de crossover {um ponto, dois pontos, uniforme}
Retorno mínimo 6%
O primeiro conjunto de testes foi realizado fixando-se os parâmetros: (i)
crossover de um ponto e (ii) método da roleta viciada. Os dados do melhor elemento
desse caso de teste podem ser observados na Tabela 15:
ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 13

14. Tabela 15 – Melhor elemento usando-se crossover de um ponto e roleta viciada.
Risco 0,11200
Retorno 0,0677
Brasil Telecom 0,4896
Cosan 0,0618
CSN 0,1443
Petrobrás 0,3041
Usiminas 0,0000
Índice de Sharpe 0,5516
Índice de Treynor 0,0770
O segundo conjunto de testes foi realizado fixando-se os parâmetros: (i)
crossover de dois pontos e (ii) método da roleta viciada. Os dados do melhor elemento
desse caso de teste podem ser observados na Tabela 16:
ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 14

15. Tabela 16 – Melhor elemento usando-se crossover de um ponto e roleta viciada
Risco 0,11311
Retorno 0,0705
Brasil Telecom 0,5569
Cosan 0,0000
CSN 0,2658
Petrobrás 0,1329
Usiminas 0,0443
Índice de Sharpe 0,5710
Índice de Treynor 0,0805
O terceiro conjunto de testes foi realizado fixando-se os parâmetros: (i)
crossover uniforme e (ii) método da roleta viciada. Os dados do melhor elemento desse
caso de teste podem ser observados na Tabela 17:
ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 15

16. Tabela 17 – Melhor elemento usando-se crossover uniforme e roleta viciada
Risco 0,10543
Retorno 0,07575
Brasil Telecom 0,6356
Cosan 0,0000
CSN 0,0232
Petrobrás 0,2170
Usiminas 0,1240
Índice de Sharpe 0,661570059
Índice de Treynor 0,087008199
O quarto conjunto de testes foi realizado fixando-se os parâmetros: (i) crossover
de um ponto e (ii) seleção por torneio. Os dados do melhor elemento desse caso de teste
podem ser observados na Tabela 18:
ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 16

17. Tabela 18 – Melhor elemento usando-se crossover de um ponto e seleção por
torneio
Risco 0,10261
Retorno 0,0742
Brasil Telecom 0,6124
Cosan 0,0155
CSN 0,0697
Petrobrás 0,3023
Usiminas 0,0000
Índice de Sharpe 0,66540583
Índice de Treynor 0,08804181
O quinto conjunto de testes foi realizado fixando-se os parâmetros: (i) crossover
de dois pontos e (ii) seleção por torneio. Os dados do melhor elemento desse caso de
teste podem ser observados na Tabela 19:
ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 17

18. Tabela 19 – Melhor elemento usando-se crossover de dois pontos e seleção por
torneio
Risco 0,10219
Retorno 0,0786
Brasil Telecom 0,6789
Cosan 0,0550
CSN 0,0183
Petrobrás 0,2110
Usiminas 0,0367
Índice de Sharpe 0,710921223
Índice de Treynor 0,096234553
O sexto conjunto de testes foi realizado fixando-se os parâmetros: (i) crossover
uniforme e (ii) seleção por torneio. Os dados do melhor elemento desse caso de teste
podem ser observados na Tabela 20:
ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 18

19. Tabela 20 – Melhor elemento usando-se crossover uniforme e seleção por
torneio
Risco 0,11228
Retorno 0,06684
Brasil Telecom 0,4850
Cosan 0,0100
CSN 0,1850
Petrobrás 0,3100
Usiminas 0,0100
Índice de Sharpe 0,541837004
Índice de Treynor 0,068775396
Para o sétimo conjunto de testes, foram utilizados os parâmetros dos seis
melhores elementos dos testes anteriores e foi-lhes aplicada à mutação dirigida. Os
resultados do melhor elemento podem ser observados na Tabela 21:
ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 19

20. Tabela 21: Melhor elemento utilizando-se os parâmetros dos testes anteriores e
aplicando-se mutação dirigida
Risco 0,11293
Retorno 0,06929
Tipo de crossover Crossover uniforme
Método de seleção Roleta
Índice de Sharpe 0,613547879
Observando-se uma comparação entre o melhor resultado obtido utilizando-se os
algoritmos genéticos e a resposta da função Solver, temos os seguintes valores que
podem ser visualizados na Figura 1:
Solver 0,0967
AG 0,102191996
0,093 0,094 0,095 0,096 0,097 0,098 0,099 0,1 0,101 0,102 0,103
Figura 1 – Risco da Carteira definida pelo AG e Risco da Carteira definida pela
função Solver do Microsoft Excel
Através desse gráfico, observa-se que o Solver obteve um desempenho melhor
na tarefa de minimizar o risco, que no problema em questão, trata-se da função objetivo.
Entretanto, é interessante utilizar alguns índices de avaliação de desempenho de
carteiras, como Índice de Sharpe e Índice de Treynor. A Figura 2 mostra a comparação
ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 20

21. do Índice de Sharpe da carteira gerada pelo algoritmo genético e da carteira gerada pela
função Solver:
Solver 0,558428128
AG 0,710921223
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Figura 2 – Índices de Sharpe da carteira gerada pelo algoritmo genético e da
carteira gerada pela função Solver
Pôde-se observar através da Figura 2 que o algoritmo genético obteve um
desempenho melhor, de acordo com o Índice de Sharpe, do que a função Solver. Na
Figura 3, podemos observar o desempenho das carteiras em relação ao Índice de
Treynor:
ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 21

22. Solver 0,084714447
AG 0,096234553
0,078 0,08 0,082 0,084 0,086 0,088 0,09 0,092 0,094 0,096 0,098
Figura 3 – Índices de Treynor da carteira gerada pelo algoritmo genético e da
carteira gerada pela função Solver
Assim como o índice de Sharpe, o índice de Treynor também aponta para um
melhor desempenho da carteira gerada pelo algoritmo genético.
O VaR (value at risk) determina a perda máxima de uma carteira, dado uma
confiança definida. Para realizar uma comparação, este trabalho utilizou uma confiança
de 97,5% e um investimento inicial 100.000 unidades monetárias. A perda máxima para
as carteiras do Algoritmo Genético e da função Solver podem ser visualizados na Figura
4:
-18953,2 Solver
-20029,63121 AG
-20200 -20000 -19800 -19600 -19400 -19200 -19000 -18800 -18600 -18400
Figura 4: Value at Risk para as carteiras geradas pelo algoritmo genético e pela
função Solver
ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 22

23. 6. Considerações finais
A carteira ótima de ativos pode ser calculada de diferentes formas. O trabalho de
pré-processamento executado em uma planilha eletrônica permitiu restringir o número
de ativos que seriam analisados para a composição da carteira ótima, utilizando-se de
parâmetros como o retorno esperado até índices de avaliação de desempenho de ativos
como Sharpe e Treynor.
Depois de selecionados quais seriam os ativos que fariam parte da carteira, a
segunda tarefa executada foi a utilização da função Solver do Microsoft Excel para o
cálculo da carteira ótima, que minimiza o risco, dada uma restrição de retorno mínimo
igual à 6%.
Neste trabalho também foi desenvolvido um algoritmo genético, modelado para
encontrar a carteira ótima, sendo necessário fornecer-lhe dados sobre o retorno dos
ativos, risco de cada ativo, entre outros dados, exatamente como foi feito para a função
Solver do Microsoft Excel. É importante frisar que ele foi codificado de forma a
encontrar a carteira que minimiza o risco e atende a um retorno mínimo especificado.
O melhor resultado obtido utilizando-se o algoritmo genético (a carteira que
possui o menor desvio-padrão) obteve um risco maior do que o encontrado pelo Solver,
porém também obteve um melhor retorno.
As duas carteiras (a melhor gerada pelo algoritmo genético e a carteira gerada
pelo Solver) foram comparadas utilizando-se o índice de Sharpe e o índice de Treynor.
Em ambos os casos, a carteira desenvolvida pelo algoritmo genético mostrou-se
superior a carteira desenvolvida pelo Solver.
O Var também foi calculado para a carteira gerada pelo algoritmo genético e a
carteira gerada pela função Solver, demonstrando que a perda máxima da carteira
gerada pelo algoritmo genético é maior do que a perda máxima da carteira gerada pela
função Solver, já que o ultimo método encontrou um risco menor.
Levando-se em conta tais fatos, podemos dizer que o perfil do investidor deve
ser levado em conta na avaliação dos resultados obtidos pelo algoritmo genético e a
função Solver. Se o investidor é totalmente avesso ao risco, o resultado obtido
utilizando a função Solver será mais satisfatório, pois o risco da carteira gerada pelo
Solver é menor. Por outro lado, se o investidor busca um equilíbrio entre risco e retorno,
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24. o resultado obtido pelo algoritmo genético é melhor, tendo em vista melhor desempenho
segundo os índices de Sharpe e Treynor.
7. Referencias Bibliográficas
SAMANEZ, C. P. Gestão de investimentos e geração de valor. São Paulo: Pearson,
2006.
SALLES, Y. Onze ações do Ibovespa se salvam das perdas em 2008. Disponível em:
< http://www1.folha.uol.com.br/folha/dinheiro/ult91u365536.shtml> Acesso em: 29 de
outubro 2009.
SALLES, Y. Ações que dispararam em 2008 perdem fôlego em 2009. Disponível
em: <http://economia.uol.com.br/financas/investimentos/ultimas-
noticias/2009/06/25/acoes-que-dispararam-em-2008-perdem-folego-em-2009.jhtm>
Acesso em: 29 de outubro 2009.
LINDEN, R. Algoritmos Genéticos. Rio de Janeiro: Brasport, 2008.
MIRANDA, M. N.Algoritmos Genéticos: Fundamentos e Aplicações. Disponível em:
< http://www.gta.ufrj.br/~marcio/genetic.html#Escolha> Acesso em: 20 outubro 2009.
OLIVEIRA, M. H. F. Cálculo da Composição de uma Carteira de Ações que
Minimiza o Risco para um Retorno Especificado. Minas Gerais: Universidade
Federal de Itajubá, 2004.
8. Bibliografia
GOLDSCHMIDT, R. & PASSOS, E. Data Mining: um Guia Prático. São Paulo:
Campus, 2005.
LIMA, E. O. Algoritmo Genético híbrido aplicado à otimização de funções. Lavras:
Universidade Federal de Lavras, 2008.
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25. Anexo A
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