1. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DO ENSINO SECUNDÁRIO
MATEMÁTICA A
10º ANO
Cursos Científico-Humanísticos de
Ciências e Tecnologias e de Ciências Socioeconómicas
Autores
Jaime Carvalho e Silva (Coordenador)
Maria Graziela Fonseca
Arsélio Almeida Martins
Cristina Maria Cruchinho da Fonseca
Ilda Maria Couto Lopes
Homologação
22/02/2001

2. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
Cursos Gerais de
Ciˆncias Naturais, Ciˆncias e Tecnologias, Ciˆncias S´cio-Econ´micas
e
e
e
o
o
1
Introdu¸˜o
ca
A Matem´tica aparece, para os Cursos Gerais de Ciˆncias Naturais, Ciˆncias e Tecnologias
a
e
e
e Ciˆncias S´cio-Econ´micas, como uma disciplina trienal da componente de Forma¸˜o
e
o
o
ca
Espec´
ıfica a que ´ atribu´ uma carga hor´ria semanal de 4h 30m dividida por aulas de
e
ıda
a
90 minutos ao longo de 33 semanas lectivas.
A componente de Forma¸˜o Espec´
ca
ıfica destina-se a promover uma forma¸˜o cient´
ca
ıfica e
t´cnica s´lida, no dom´
e
o
ınio do conhecimento do respectivo curso, em que a Matem´tica ´
a
e
considerada uma das disciplinas essenciais do dom´
ınio do conhecimento respectivo e est´
a
concebida de forma a respeitar o princ´
ıpio de continuidade pedag´gica, contrariando a
o
fragmenta¸˜o e atomiza¸˜o de saberes, facilitando e exigindo uma gest˜o mais integrada
ca
ca
a
dos programas.
A Matem´tica ´ uma disciplina muito rica que, num mundo em mudan¸a, abrange ideias
a
e
c
t˜o d´
a ıspares como as que s˜o utilizadas na vida de todos os dias, na generalidade das
a
profiss˜es, em in´meras ´reas cient´
o
u
a
ıficas e tecnol´gicas mais matematizadas e, ao mesmo
o
tempo, ´ uma disciplina que tem gerado contribui¸˜es significativas para o conhecimento
e
co
humano ao longo da hist´ria.
o
O programa de Matem´tica ´ organizado por grandes temas. Por um lado, os temas
a
e
matem´ticos tˆm de ser escolhidos de tal modo que competˆncias fundamentais que a
a
e
e
aprendizagem matem´tica pode favorecer sejam contempladas. Por outro, eles tˆm de estar
a
e
ligados a necessidades reais e fornecer instrumentos de compreens˜o do real com utilidade
a
compreens´
ıvel imediata. Devem ainda poder ser motor de compreens˜o da Matem´tica
a
a
como um todo em que cada tema se relaciona com outros e em que a aprendizagem de
cada assunto beneficia a aprendizagem de outros. Cada assunto, embora desenvolvido
mais detalhadamente dentro da lecciona¸˜o de um tema, deve ser assunto interessante e
ca
util na abordagem dos diversos temas.
´
Ao longo dos trˆs anos do ensino secund´rio, os estudantes abordar˜o os seguintes temas:
e
a
a
n´meros e geometria, incluindo vectores e trigonometria; fun¸˜es reais e an´lise infinitesiu
co
a
mal; estat´
ıstica e probabilidades.

3. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
2
A abordagem da Geometria inclui assuntos de geometria sint´tica e m´trica, geometria
e
e
anal´
ıtica e vectorial e trigonometria com as competˆncias de c´lculo num´rico a elas assoe
a
e
ciadas.
A abordagem das fun¸˜es reais considerar´ sempre estudos dos diferentes pontos de vista
co
a
- gr´fico, num´rico e alg´brico - sobre tipos simples de fun¸˜es, desde as alg´bricas inteiras
a
e
e
co
e
o ano), passando pelas fraccion´rias e acabando nas transcena
(que s˜o as tratadas no 10¯
a
dentes - exponenciais e logar´
ıtmicas ou trigonom´tricas. Neste grande tema, ser´ realizada
e
a
uma abordagem ao c´lculo de varia¸˜es e de limites, bem como ao estudo da continuidade,
a
co
sem recurso inicial `s defini¸˜es simb´licas rigorosas.
a
co
o
A abordagem da Estat´
ıstica e das Probabilidades completar´ as aprendizagens b´sicas,
a
a
com algumas novas no¸˜es e ferramentas que n˜o podiam ser compreendidas no ensino
co
a
b´sico. O ensino de todos estes temas tem de ser suportado em actividades propostas
a
a cada estudante e a grupos de estudantes que contemplem a modela¸˜o matem´tica, o
ca
a
trabalho experimental e o estudo de situa¸˜es realistas sobre as quais se coloquem quest˜es
co
o
significativas e se fomente a resolu¸˜o de problemas n˜o rotineiros.
ca
a
As quest˜es de l´gica e de teoria de conjuntos s˜o referidas entre os temas transversais,
o
o
a
com um determinado desenvolvimento. Procura-se, deste modo, influenciar os professores no sentido de n˜o abordar estas quest˜es como conte´ do em si, mas de as utilizar
a
o
u
quotidianamente em apoio do trabalho de reflex˜o cient´
a
ıfica que os actos de ensino e de
aprendizagem sempre comportam, e s´ na medida em que elas vˆm esclarecer e apoiar uma
o
e
apropria¸˜o verdadeira dos conceitos. Como temas transversais consideram-se as formas
ca
de organizar o pensamento e as actividades de resolu¸˜o de problemas, as aplica¸˜es e a
ca
co
modela¸˜o matem´tica, aspectos da hist´ria da matem´tica, da comunica¸˜o matem´tica
ca
a
o
a
ca
a
e da utiliza¸˜o da tecnologia. N˜o podem nem devem ser localizadas temporalmente na
ca
a
lecciona¸˜o e muito menos num determinado ano de escolaridade, antes devem ser aborca
dadas a medida que forem sendo necess´rias e ` medida que for aumentando a compreens˜o
`
a
a
a
sobre os assuntos em si, considerando sempre o sentido de oportunidade, as vantagens e
as limita¸˜es.
co
Em muitos aspectos, a organiza¸˜o dos temas e as indica¸˜es metodol´gicas integram
ca
co
o
informa¸˜es sobre a oportunidade de abordar quest˜es de experimenta¸˜o no ensino da
co
o
ca
matem´tica, de integrar o recurso a tecnologia, de abordar conceitos de l´gica e racioc´
a
`
o
ınio,
de incorporar a hist´ria da matem´tica assim como informa¸˜es sobre novos tipos de
o
a
co
instrumentos de avalia¸˜o.
ca
Os inevit´veis problemas das transi¸˜es entre ciclos tornaram necess´rio conceber o 10o ano
a
co
a
¯
de uma nova forma, particularmente nas primeiras semanas de aulas, em que estrat´gias
e
de recupera¸˜o e de acompanhamento dos jovens devem ter uma grande relevˆncia. Nesse
ca
a
sentido, considera-se um m´dulo inicial no qual se incluem conceitos pr´vios considerados
o
e
verdadeiramente essenciais e estruturantes que dever˜o ser especialmente trabalhados com
a
os estudantes nas primeiras duas ou trˆs semanas de aulas do 10o ano e sempre que se
e
¯
venha a revelar necess´rio. O programa de Matem´tica contempla este m´dulo inicial.
a
a
o
Pretende-se que os estudantes sejam colocados perante a resolu¸˜o de problemas escoca
lhidos que permitir˜o despistar dificuldades e deficiˆncias na forma¸˜o b´sica e acertar
a
e
ca a
estrat´gias de remedia¸˜o. A estrat´gia assente na resolu¸˜o de problemas evita ainda que
e
ca
e
ca
os estudantes sem dificuldades sejam desgastados em revisita¸˜es expositivas de assuntos
co
que j´ dominam.
a

4. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
3
Sempre que o professor detectar nos estudantes lacunas inultrapass´veis em temas de ciclos
a
anteriores, deve desencadear mecanismos de remedia¸˜o. Os apoios integrados nestes
ca
mecanismos devem ser organizados de forma diversificada, n˜o se limitando a meras aulas
a
de repeti¸˜o. As escolas devem estudar os melhores meios de pˆr em pr´tica um sistema de
ca
o
a
apoio e remedia¸˜o, introduzindo mecanismos de avalia¸˜o e regula¸˜o da sua actividade
ca
ca
ca
e dos seus resultados, nomeadamente criando condi¸˜es institucionais —- tempo, hor´rios
co
a
compat´
ıveis, designa¸˜o dos professores —- e organizativas —- tempo, constitui¸˜o de
ca
ca
grupos de estudantes/turmas a propor para apoio.
2
Apresenta¸˜o do Programa
ca
2.1
Finalidades
O ensino da Matem´tica participa, pelos princ´
a
ıpios e m´todos de trabalho praticados,
e
na educa¸˜o do jovem para a autonomia e solidariedade, independˆncia empreendedora,
ca
e
respons´vel e consciente das rela¸˜es em que est´ envolvido e do ambiente em que vive.
a
co
a
Genericamente, a Matem´tica ´ parte imprescind´ da cultura human´
a
e
ıvel
ıstica e cient´
ıfica
que permite ao jovem fazer escolhas de profiss˜o, ganhar flexibilidade para se adaptar a
a
mudan¸as tecnol´gicas ou outras e para sentir-se motivado a continuar a sua forma¸˜o ao
c
o
ca
longo da vida. A Matem´tica contribui para a constru¸˜o da l´
a
ca
ıngua com a qual o jovem
comunica e se relaciona com os outros, e para a qual a Matem´tica fornece instrumentos de
a
compreens˜o mais profunda, facilitando a selec¸˜o, avalia¸˜o e integra¸˜o das mensagens
a
ca
ca
ca
necess´rias e uteis, ao mesmo tempo que fornece acesso a fontes de conhecimento cient´
a
´
ıfico
a ser mobilizado sempre que necess´rio.
a
Finalmente, a Matem´tica ´ uma das bases te´ricas essenciais e necess´rias de todos os
a
e
o
a
grandes sistemas de interpreta¸˜o da realidade que garantem a interven¸˜o social com
ca
ca
responsabilidade e d˜o sentido a condi¸˜o humana.
a
`
ca
Assim, podemos apresentar como finalidades da disciplina no ensino secund´rio:
a
• Desenvolver a capacidade de usar a Matem´tica como instrumento de interpreta¸˜o
a
ca
e interven¸˜o no real;
ca
• Desenvolver as capacidades de formular e resolver problemas, de comunicar, assim
como a mem´ria, o rigor, o esp´
o
ırito cr´
ıtico e a criatividade;
• Promover o aprofundamento de uma cultura cient´
ıfica, t´cnica e human´
e
ıstica que
constitua suporte cognitivo e metodol´gico tanto para o prosseguimento de estudos
o
como para a inser¸˜o na vida activa;
ca
• Contribuir para uma atitude positiva face a Ciˆncia;
` e
• Promover a realiza¸˜o pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de autonomia
ca
e solidariedade;
• Contribuir para o desenvolvimento da existˆncia de uma consciˆncia cr´
e
e
ıtica e interventiva em ´reas como o ambiente, a sa´de e a economia entre outras, formando
a
u
para uma cidadania activa e participativa.

5. Departamento do Ensino Secund´rio
a
2.2
4
Matem´tica A
a
Objectivos e competˆncias gerais
e
Valores/Atitudes
Desenvolver a confian¸a em
c
si pr´prio:
o
Exprimir e fundamentar as
suas opini˜es.
o
Revelar esp´
ırito cr´
ıtico, de
rigor e de confian¸a nos seus
c
racioc´
ınios.
Abordar situa¸˜es novas
co
com interesse, esp´
ırito de iniciativa e criatividade.
Procurar a informa¸˜o de
ca
que necessita.
Desenvolver interesses culturais:
Manifestar vontade de
aprender e gosto pela
pesquisa.
Interessar-se por not´
ıcias e
publica¸˜es relativas ` Maco
a
tem´tica e a descobertas ciena
t´
ıficas e tecnol´gicas.
o
Apreciar o contributo da
Matem´tica para a coma
preens˜o e resolu¸˜o de proba
ca
lemas do Homem atrav´s do
e
tempo.
Desenvolver h´bitos de traa
balho e persistˆncia:
e
Elaborar e apresentar os trabalhos de forma organizada e
cuidada.
Manifestar persistˆncia na
e
procura de solu¸˜es para uma
co
situa¸˜o nova.
ca
Capacidades/Aptid˜es
o
Desenvolver a capacidade
de utilizar a Matem´tica
a
na interpreta¸˜o e interca
ven¸˜o no real:
ca
Analisar situa¸˜es da vida
co
real identificando modelos
matem´ticos que permitam a
a
sua interpreta¸˜o e resolu¸˜o.
ca
ca
Seleccionar estrat´gias de
e
resolu¸˜o de problemas.
ca
Formular hip´teses e prever
o
resultados.
Interpretar e criticar resultados no contexto do problema.
Resolver problemas nos
dom´
ınios da Matem´tica, da
a
F´
ısica, da Economia, das
Ciˆncias Humanas, ...
e
Desenvolver o racioc´
ınio e
o pensamento cient´
ıfico:
Descobrir rela¸˜es entre conco
ceitos de Matem´tica.
a
Formular generaliza¸˜es a
co
partir de experiˆncias.
e
Validar conjecturas; fazer
racioc´
ınios
demonstrativos
usando m´todos adequados.
e
Compreender a rela¸˜o enca
tre o avan¸o cient´
c
ıfico e o progresso da humanidade.
Conhecimentos
Ampliar o conceito
n´mero:
u
de
Aperfei¸oar o c´lculo em IR
c
a
e C e operar com express˜es
o
racionais, com radicais, exponenciais, logar´
ıtmicas e
trigonom´tricas.
e
Resolver equa¸˜es, ineco
qua¸˜es e sistemas.
co
Usar as no¸˜es de l´gica inco
o
dispens´veis ` clarifica¸˜o de
a
a
ca
conceitos.
Ampliar conhecimentos de
Geometria no Plano e no
Espa¸o:
c
Resolver problemas usando
modelos f´
ısicos e geom´tricos
e
(de incidˆncia, paralelismo e
e
perpendicularidade, sec¸˜es,
co
a
´reas e volumes).
Utilizar vectores em referencial ortonormado.
Resolver problemas de trigonometria, incluindo o uso
de generaliza¸˜es das no¸˜es
co
co
de ˆngulos, arcos e raz˜es
a
o
trigonom´tricas.
e
Iniciar o estudo da An´lise
a
Infinitesimal:
Interpretar fen´menos e reo
solver problemas recorrendo a
fun¸˜es e seus gr´ficos, por
co
a
via intuitiva, anal´
ıtica e usando calculadora gr´fica.
a
Estudar sucess˜es definidas
o
de diferentes formas.
Aproxima¸˜o gradual dos
ca
conceitos de continuidade,
derivadas e limites.
Aplicar conhecimentos de
An´lise Infinitesimal no esa
tudo de fun¸˜es reais de
co
vari´vel real.
a
continua

6. Departamento do Ensino Secund´rio
a
5
Matem´tica A
a
Valores/Atitudes
Desenvolver o sentido da
responsabilidade:
Capacidades/Aptid˜es
o
Desenvolver a capacidade
de comunicar:
Responsabilizar-se pelas
suas iniciativas e tarefas.
Avaliar situa¸˜es e tomar
co
decis˜es.
o
Comunicar conceitos, racioc´
ınios e ideias, oralmente e
por escrito, com clareza e progressivo rigor l´gico.
o
Interpretar textos de
Matem´tica.
a
Exprimir o mesmo conceito
em diversas formas ou linguagens.
Usar correctamente o vocabul´rio espec´
a
ıfico da Matem´tica.
a
Usar a simbologia da Matem´tica.
a
Apresentar os textos de forma clara e organizada.
Desenvolver o esp´
ırito de
tolerˆncia e de coopera¸˜o:
a
ca
Colaborar em trabalhos de
grupo, partilhando saberes e
responsabilidades.
Respeitar a opini˜o dos oua
tros e aceitar as diferen¸as.
c
Intervir na dinamiza¸˜o de
ca
actividades e na resolu¸˜o de
ca
problemas da comunidade em
que se insere.
Conhecimentos
Ampliar
conhecimentos
de Estat´
ıstica e Probabilidades:
Interpretar e comparar distribui¸˜es estat´
co
ısticas.
Resolver problemas envolvendo c´lculo de probabilia
dade.
Resolver problemas de contagem.
Conhecer aspectos da
Hist´ria da Matem´tica:
o
a
Conhecer personalidades e
aspectos da cria¸˜o e desenca
volvimentos de alguns conceitos dentro da Hist´ria da
o
Matem´tica e sua rela¸˜o
a
ca
com momentos hist´ricos de
o
relevˆncia cultural ou social.
a
A subdivis˜o dos Objectivos e Competˆncias Gerais em Valores/Atitudes, Capacidades/
a
e
/Aptid˜es e Conhecimentos ´ uma caracter´
o
e
ıstica fundamental do programa de Matem´tica
a
do Ensino Secund´rio.
a
Para a generalidade dos cidad˜os e especialmente para aqueles que v˜o utilizar conhecia
a
mentos matem´ticos secund´rios, conv´m esclarecer que o ensino da Matem´tica n˜o deve
a
a
e
a
a
limitar-se a desenvolver a capacidade de usar as ferramentas do of´
ıcio: s´
ımbolos, regras
l´gicas e c´lculos. Se ´ leg´
o
a
e
ıtima a preocupa¸˜o em ensinar a manejar as ferramentas, ela
ca
n˜o pode prejudicar o essencial da aprendizagem da Matem´tica que deve ser procurado
a
a
ao n´ das ideias.
ıvel
Muitos problemas foram, s˜o e ser˜o resolvidos sem recurso a nota¸˜es cient´
a
a
co
ıficas e `s
a
ferramentas de c´lculo tal como a comunidade matem´tica as conhece hoje. Um cidad˜o
a
a
a
com forma¸˜o secund´ria necessita mais de no¸˜es que de nota¸˜es para enfrentar as
ca
a
co
co
situa¸˜es que precise de compreender (e esclarecer) e os problemas que tenha de resolver.
co
N˜o quer isto dizer que o trabalho com as ferramentas matem´ticas possa ser posto de
a
a
lado no ensino secund´rio, mas antes quer dizer que o uso das ferramentas ´ ensinado
a
e
e aprendido no contexto das ideias e da resolu¸˜o de problemas interessantes, enfim em
ca
situa¸˜es que exijam o seu manejo e em que seja clara a vantagem do seu conhecimento.
co
Finalmente, as aprendizagens significativas em Matem´tica n˜o podem excluir caraca
a
ter´
ısticas t´
ıpicas do ensino experimental, sendo que as competˆncias adquiridas por via
e
da Matem´tica devem contribuir para alicer¸ar conhecimentos e formas de pensar sobre a
a
c
ciˆncia experimental.
e
A Matem´tica nas suas conex˜es com todos os ramos de saber ´ uma contribui¸˜o decisiva
a
o
e
ca
na cria¸˜o de condi¸˜es para a consciˆncia da necessidade da educa¸˜o e da forma¸˜o ao
ca
co
e
ca
ca
longo da vida, com vista a enfrentar mudan¸as profissionais e as incontorn´veis adapta¸˜es
c
a
co
a
`s inova¸˜es cient´
co
ıficas e tecnol´gicas.
o

7. Departamento do Ensino Secund´rio
a
2.3
Matem´tica A
a
6
Vis˜o geral dos temas e conte´dos
a
u
´
E indispens´vel que o professor, al´m de conhecer bem o programa de cada ano que
a
e
vai leccionar, tenha um conhecimento global do programa do ensino secund´rio (para
a
ter conhecimento das conex˜es estabelecidas entre os diversos temas), bem como uma
o
perspectiva integradora dos programas dos ciclos do ensino b´sico.
a
A escolha dos temas foi feita tendo em conta os conte´ dos presentes em anteriores prograu
mas e a preocupa¸˜o de algum equil´
ca
ıbrio entre as principais areas da Matem´tica:
´
a
• C´lculo Diferencial
a
• Geometria (no plano e no espa¸o)
c
• Fun¸˜es e sucess˜es
co
o
• Probabilidades (com An´lise Combinat´ria) e Estat´
a
o
ıstica
Os temas cl´ssicos de An´lise, lgebra e Geometria est˜o presentes nestes conte´ dos, ema
a
a
u
bora o segundo se encontre distribu´ pelos outros temas. Esta classifica¸˜o deve ser
ıdo
ca
considerada de forma muito relativa, tendo-se sempre em aten¸˜o que, no corpo do proca
grama, assumem importˆncia significativa tanto t´cnicas espec´
a
e
ıficas como estrat´gias que,
e
constituindo uma base de apoio que os estudantes utilizam na sua actividade matem´tica
a
independentemente do tema, atravessam o programa de forma transversal. Referimo-nos
aos temas transversais
• Comunica¸˜o Matem´tica
ca
a
• Aplica¸˜es e Modela¸˜o Matem´tica
co
ca
a
• Hist´ria da Matem´tica
o
a
• L´gica e Racioc´
o
ınio Matem´tico
a
• Resolu¸˜o de Problemas e Actividades Investigativas
ca
• Tecnologia e Matem´tica
a
que, sendo de dif´ quantifica¸˜o, n˜o s˜o por isso menos importantes que os temas antes
ıcil
ca
a a
referidos.
O programa de cada ano desenvolve-se por grandes temas, a tratar pela ordem indicada
no programa. Deve ser feita uma planifica¸˜o adequada de modo que n˜o seja prejudicado
ca
a
o tratamento de nenhum dos temas e sejam integrados os conte´dos do tema transveru
sal que se mostrem aconselhados. Tudo o que os temas transversais prop˜em deve ser
o
abordado sistematicamente ao longo do ciclo. N˜o existem indica¸˜es taxativas sobre
a
co
a sua distribui¸˜o ao longo dos anos, mas o desenvolvimento dos temas e as indica¸˜es
ca
co
metodol´gicas v˜o sugerindo alguns momentos onde os diversos temas transversais podem
o
a
ser explorados. A cria¸˜o de um ambiente prop´ ` resolu¸˜o de problemas deve constica
ıcio a
ca
tuir um objectivo central nas pr´ticas dos professores j´ que a resolu¸˜o de problemas ´
a
a
ca
e

8. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
7
um m´todo fundamental e ´ considerada no programa n˜o s´ como indica¸˜o metodol´gica
e
e
a o
ca
o
mas tamb´m como tema. Contribui¸˜o fundamental para o desenvolver a capacidade dos
e
ca
alunos de raciocinar matematicamente e de usar a Matem´tica em situa¸˜es diversas, a
a
co
resolu¸˜o de problemas aparece neste programa tamb´m como motiva¸˜o, como sistema
ca
e
ca
de recupera¸˜o e como forma privilegiada para suscitar a comunica¸˜o oral e escrita.
ca
ca
Para cada tema indica-se uma previs˜o do n´mero de aulas necess´rias a sua abordagem
a
u
a
`
na lecciona¸˜o. N˜o sendo mais do que uma previs˜o, essa indica¸˜o deve ser encarada
ca
a
a
ca
com flexibilidade, sem preju´ do peso relativo e da profundidade do tratamento deseızo
jado que o n´mero de aulas previsto indicia. O professor deve ter como preocupa¸˜o
u
ca
fundamental abordar e desenvolver, em cada ano, os variados t´picos do programa, pois
o
eles fornecem m´todos matem´ticos diversificados e desempenham fun¸˜es diferentes toe
a
co
das imprescind´
ıveis para, em conjunto, contribu´
ırem para a forma¸˜o integral do cidad˜o
ca
a
aut´nomo e livre. Nunca se deve valorizar um conte´do de tal forma que se possa prejuo
u
dicar irremediavelmente a forma¸˜o em algum dos grandes temas ou no desenvolvimento de
ca
alguma das capacidades/aptid˜es reportadas na redac¸˜o das finalidades e dos objectivos
o
ca
gerais deste programa de ensino.
As Conex˜es entre os diversos temas s˜o consideradas fundamentais neste programa, para
o
a
que os estudantes possam ver que os temas s˜o aspectos complementares de uma mesma
a
realidade.
Foi dada uma posi¸˜o de destaque ` Geometria e s˜o dadas indica¸˜es que permitem
ca
a
a
co
que seja retomada em praticamente todos os outros temas do Programa. Nos temas
de Geometria procura-se um equil´
ıbrio entre a Geometria por via intuitiva e a Geometria
Anal´
ıtica, de modo a desenvolver tanto o racioc´ geom´trico directo como a resolu¸˜o de
ınio
e
ca
problemas de geometria por via alg´brica, sem esquecer o desenvolvimento de capacidades
e
de visualiza¸˜o geom´trica.
ca
e
c
Inicia-se o 10o ano com o estudo da Geometria no Plano e no Espa¸o, porque a Geo¯
metria ´, por excelˆncia, um tema formativo no sentido mais amplo do termo que, pela
e
e
resolu¸˜o de problemas apropriados desenvolve variadas capacidades, desde a observa¸˜o
ca
ca
ao racioc´
ınio dedutivo, ao mesmo tempo que deixa perceber verdadeiras conex˜es entre
o
´
os v´rios temas da Matem´tica, da lgebra a An´lise e ` Estat´
a
a
`
a
a
ıstica. E por isso que ´
e
t˜o importante, desde o in´
a
ıcio, trabalhar com a Geometria, tentando superar algumas
(n˜o todas necessariamente) eventuais dificuldades ou lacunas que os estudantes tenham.
a
Come¸ar por este tema permite o desenvolvimento de capacidades de visualiza¸˜o e rec
ca
presenta¸˜o atrav´s de figuras que t˜o necess´rias s˜o para o estudo de todos os outros
ca
e
a
a
a
temas. O professor deve aproveitar todas as liga¸˜es entre os temas em cada ano e de
co
cada ano com os anos anteriores, por forma que o estudante encare a Matem´tica como
a
um todo integrado e n˜o como um conjunto fragmentado em temas, ao mesmo tempo que
a
possibilita a amplia¸˜o e consolida¸˜o de cada conceito, sempre que ele ´ retomado. Em
ca
ca
e
particular o professor deve estabelecer conex˜es entre os temas de cada ano; o facto de se
o
recomendar que sejam tratados em momentos separados n˜o pode significar que, dado o
a
primeiro ele seja esquecido e meramente substitu´ pelo segundo.
ıdo
Este texto ´ constru´ tendo por base 33 semanas lectivas de que se contam um m´
e
ıdo
ınimo
de 30 semanas efectivas de aulas (incluindo avalia¸˜o); tendo em mente que a avalia¸˜o
ca
ca

9. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
8
n˜o se deve circunscrever a aulas especificamente reservadas a tal nem se deve limitar
a
a testes escritos (isto ´, que o professor dever´ recorrer a instrumentos diversificados de
e
a
avalia¸˜o ao longo do ano lectivo integrando-os na aprendizagem matem´tica dos alunos),
ca
a
as aulas reservadas exclusivamente para testes escritos n˜o devem ultrapassar cerca de 5%
a
das aulas; temos assim um m´
ınimo de 28 semanas de lecciona¸˜o, ou seja, um m´
ca
ınimo de
84 aulas (correspondentes a 126 horas).

10. Departamento do Ensino Secund´rio
a
9
Matem´tica A
a
Quadro Resumo
Distribui¸˜o dos temas em cada ano
ca
10o ano
¯
Geometria no Plano e no
Espa¸o I
c
11o ano
¯
Geometria no Plano e no
Espa¸o II
c
12o ano
¯
Probabilidades e Combinat´ria
o
Resolu¸˜o de problemas de
ca
Geometria no plano e no
espa¸o.
c
Geometria Anal´
ıtica.
O m´todo cartesiano para ese
tudar Geometria no plano e
no espa¸o.
c
Problemas
envolvendo
triˆngulos.
a
C´
ırculo trigonom´trico e
e
fun¸˜es seno, co-seno e tanco
gente.
Produto escalar de dois vectores e aplica¸˜es.
co
Intersec¸˜o, paralelismo e
ca
perpendicularidade de rectas
e planos.
Programa¸˜o linear (breve
ca
introdu¸˜o)
ca
Introdu¸˜o ao c´lculo de
ca
a
probabilidades
Distribui¸˜o de frequˆncias
ca
e
e distribui¸˜o de probabilica
dades
An´lise combinat´ria.
a
o
Fun¸˜es e Gr´ficos. Funco
a
co
¸˜es polinomiais. Fun¸˜o
ca
m´dulo.
o
Fun¸˜es racionais e com
co
radicais. Taxa de varia¸˜o
ca
e derivada.
Fun¸˜o, gr´fico e represenca
a
ta¸˜o gr´fica.
ca
a
Estudo intuitivo de propriedades da:
– fun¸˜o quadr´tica;
ca
a
– fun¸˜o m´dulo.
ca
o
Fun¸˜es polinomiais (graus
co
3 e 4).
Decomposi¸˜o de polin´ca
o
mios em factores.
Problemas
envolvendo
fun¸˜es ou taxa de varia¸˜o.
co
ca
Propriedades das fun¸˜es do
co
tipo f (x) = a + b/(cx + d)
Aproxima¸˜o experimental
ca
da no¸˜o de limite.
ca
Taxa de varia¸˜o e derivadas
ca
em casos simples.
Opera¸˜es com fun¸˜es.
co
co
Composi¸˜o e invers˜o de
ca
a
fun¸˜es.
co
Fun¸˜es exponenciais e
co
logar´
ıtmicas.
Limites e
Continuidade. Conceito de
Derivada e Aplica¸˜es.
co
Estat´
ıstica
Sucess˜es reais.
o
Estat´
ıstica - Generalidades
Organiza¸˜o e interpretaca
ca
¸˜o de caracteres estat´
ısticos
(qualitativos e quantitativos).
Referˆncia a distribui¸˜es
e
co
bidimensionais (abordagem
gr´fica e intuitiva).
a
Defini¸˜o e propriedades.
ca
Exemplos (o caso das progress˜es)
o
Sucess˜o (1 + 1/n)n e pria
meira defini¸˜o de e
ca
Limites: infinitamente grandes e infinitamente pequenos.
Limites reais e convergˆncia.
e
Temas
Teoria de limites
C´lculo diferencial
a
Problemas de optimiza¸˜o.
ca
Trigonometria e n´meros
u
complexos.
Fun¸˜es seno, co-seno ;
co
c´lculo de derivadas
a
Introdu¸˜o hist´rica dos
ca
o
n´meros complexos
u
Complexos na forma
alg´brica
e
e
na
forma
trigonom´trica; opera¸˜es e
e
co
interpreta¸˜o geom´trica
ca
e
Transversais
Comunica¸˜o Matem´tica
ca
a
Hist´ria da Matem´tica
o
a
Resolu¸˜o de Problemas e Actividades Investigativas
ca
Aplica¸˜es e Modela¸˜o Matem´tica
co
ca
a
L´gica e Racioc´
o
ınio Matem´tico
a
Tecnologia e Matem´tica
a

11. Departamento do Ensino Secund´rio
a
2.4
Matem´tica A
a
10
Sugest˜es Metodol´gicas Gerais
o
o
As finalidades e objectivos enunciados determinam que o professor, ao aplicar este programa, contemple equilibradamente:
• o desenvolvimento de atitudes;
• o desenvolvimento de capacidades;
• a aquisi¸˜o de conhecimentos e t´cnicas para a sua mobiliza¸˜o.
ca
e
ca
Tendo como pressuposto ser o estudante agente da sua pr´pria aprendizagem, prop˜e-se
o
o
uma metodologia em que
• os conceitos s˜o constru´
a
ıdos a partir da experiˆncia de cada um e de situa¸˜es cone
co
cretas;
• os conceitos s˜o abordados sob diferentes pontos de vista e progressivos n´
a
ıveis de
rigor e formaliza¸˜o;
ca
• se estabelece maior liga¸˜o da Matem´tica com a vida real, com a tecnologia e com
ca
a
as quest˜es abordadas noutras disciplinas, ajudando a enquadrar o conhecimento
o
numa perspectiva hist´rico-cultural.
o
Neste contexto, destaca-se a importˆncia das actividades a seleccionar, as quais dever˜o
a
a
contribuir para o desenvolvimento do pensamento cient´
ıfico, levando o estudante a intuir,
conjecturar, experimentar, provar, avaliar e ainda para o refor¸o das atitudes de autonomia
c
e de coopera¸˜o. Cabe ao professor, de acordo com a realidade da turma, encontrar
ca
o equil´
ıbrio entre o n´mero de trabalhos individuais, trabalhos de grupo, trabalhos de
u
projecto e actividades investigativas, a realizar dentro e fora da aula, assim como o espa¸o
c
para a sua pr´pria interven¸˜o: dinamizando, questionando, fazendo s´
o
ca
ınteses, facultando
informa¸˜o ...
ca
O programa pretende dar continuidade, sem mudan¸a brusca de n´
c
ıvel, as aprendizagens
`
o
ıvel
realizadas no 3o ciclo, agora coincidente com o ensino obrigat´rio, ajustando-se ao n´ de
¯
desenvolvimento e de cultura dos estudantes. Parte-se, quando poss´
ıvel, de problemas e
situa¸˜es experimentais para que, com o apoio na intui¸˜o, o estudante aceda gradualmente
co
ca
a
` formaliza¸˜o dos conceitos. S˜o identificadas situa¸˜es para estabelecer conex˜es entre
ca
a
co
o
os diversos temas de forma a proporcionar uma oportunidade de relacionar os v´rios
a
conceitos, promovendo uma vis˜o integrada da Matem´tica. Deu-se prioridade a cria¸˜o
a
a
`
ca
de condi¸˜es para uma grande diversidade de tipos de trabalho em Matem´tica, tanto
co
a
de car´cter geral como espec´
a
ıficos de cada tema, em detrimento de um aprofundamento
que na maioria das vezes ´ ilus´rio se n˜o for cimentado na compreens˜o dos processos
e
o
a
a
elementares. A utiliza¸˜o obrigat´ria da tecnologia que, al´m de ferramenta, ´ fonte de
ca
o
e
e
actividade, de investiga¸˜o e de aprendizagem, pretende tamb´m preparar os estudantes
ca
e
para uma sociedade em que os meios inform´ticos ter˜o um papel consider´vel na resolu¸˜o
a
a
a
ca
de problemas de ´
ındole cient´
ıfica.
Capacidade de utilizar a Matem´tica
a

12. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
11
A an´lise de situa¸˜es da vida real e a identifica¸˜o de modelos matem´ticos que permia
co
ca
a
tam a sua interpreta¸˜o e resolu¸˜o, constituem uma oportunidade de abordar o m´todo
ca
ca
e
cient´
ıfico. Em todos os temas do programa de matem´tica (Geometria, Fun¸˜es e Esa
co
tat´
ıstica) se podem encontrar ferramentas fundamentais de modela¸˜o. O papel da mateca
m´tica como instrumento de modela¸˜o da realidade ´ incontorn´vel: um modelo matea
ca
e
a
m´tico ´ uma descri¸˜o matem´tica do mundo real. A resolu¸˜o de problemas, meio
a
e
ca
a
ca
privilegiado para desenvolver o esp´
ırito de pesquisa, deve contemplar, al´m de situa¸˜es
e
co
do dom´
ınio da Matem´tica, outras, da F´
a
ısica, da Economia, da Geometria Descritiva, ...
As actividades de investiga¸˜o revelam-se tamb´m de particular interesse pois constituem
ca
e
um modo privilegiado para refor¸ar uma abordagem do m´todo cient´
c
e
ıfico.
Racioc´
ınio dedutivo
No ensino secund´rio, o estudante dever´ ser solicitado frequentemente a justificar procesa
a
sos de resolu¸˜o, a encadear racioc´
ca
ınios, a confirmar conjecturas, a demonstrar f´rmulas
o
e alguns teoremas. No¸˜es muito elementares de L´gica devem ser introduzidas a meco
o
`
dida que se revelem uteis ` clarifica¸˜o de processos e de racioc´
´
a
ca
ınios. A Axiom´tica das
a
Probabilidades (muito simples) visa dar aos estudantes alguma cultura sobre a constru¸˜o
ca
hipot´tico-dedutiva de uma Ciˆncia. Alguns problemas de Geometria no Espa¸o podem
e
e
c
ser excelentes oportunidades para praticar o racioc´
ınio dedutivo.
Capacidades, c´lculo e formalismo
a
Em cada tema ´ importante encontrar-se um equil´
e
ıbrio entre o desenvolvimento significativo dos conceitos, capacidades e aptid˜es e o dom´
o
ınio do c´lculo. Do mesmo modo,
a
a introdu¸˜o da l´gica, da linguagem matem´tica e simb´lica, das formas de racioc´
ca
o
a
o
ınio
cient´
ıfico (matem´tico e outros) deve estar presente em todas as ocasi˜es, impregnar o
a
o
quotidiano da aprendizagem matem´tica, sem se transformar num conte´do com valor
a
u
em si mesmo. O grau de formalismo deve sempre ter em conta o n´
ıvel de maturidade
matem´tica dos estudantes e deve surgir, se poss´ como necessidade, depois de o proa
ıvel
fessor ter a certeza que o estudante apropriou verdadeiramente o conceito.
Comunica¸˜o
ca
Tendo em conta a estreita dependˆncia entre os processos de estrutura¸˜o do pensamento e
e
ca
da linguagem, ´ absolutamente necess´rio que as actividades tenham em conta a correc¸˜o
e
a
ca
da comunica¸˜o oral e escrita. O estudante deve verbalizar os racioc´
ca
ınios e discutir processos, confrontando-os com outros. Deve ser capaz de argumentar com l´gica e recorrer,
o
sempre que tal for aconselh´vel, a linguagem simb´lica da Matem´tica, a sua precis˜o e ao
a
`
o
a
`
a
seu poder de s´
ıntese. Esta evolu¸˜o decorrer´ naturalmente da necessidade de comunicar
ca
a
aos outros as suas ideias. Assim, deve ser incentivada com alguma regularidade a realiza¸˜o
ca
de trabalhos designados genericamente por “composi¸˜es matem´ticas”. A comunica¸˜o
co
a
ca
matem´tica (oral ou escrita) ´ um meio importante para que os estudantes clarifiquem o
a
e
seu pensamento, estabele¸am conex˜es, reflictam na sua aprendizagem, aumentem o apre¸o
c
o
c
pela necessidade de precis˜o na linguagem, conhe¸am conceitos e terminologia, aprendam
a
c
a ser cr´
ıticos. Cada estudante deve receber do professor est´
ımulo e oportunidades frequentes para falar, escrever, ler e ouvir nas aulas de matem´tica (e fora delas) pois assim
a
estar˜o a organizar, consolidar e ampliar o seu conhecimento matem´tico. O estudante
a
a
deve possuir oportunidades para expor um tema preparado, a resolu¸˜o de um problema
ca

13. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
12
ou a parte que lhe cabe num trabalho de grupo. Os trabalhos escritos, individuais ou de
grupo, quer sejam pequenos relat´rios, monografias, ..., devem ser apresentados de forma
o
clara, organizada e com aspecto gr´fico cuidado; recomenda-se que sejam, na medida do
a
poss´
ıvel, apresentados oralmente perante a turma e discutidos com os colegas e o professor.
O trabalho de grupo e em pares favorece a comunica¸˜o matem´tica pois os estudantes
ca
a
ganham em partilhar com os colegas e com o professor os seus m´todos de resolu¸˜o ou
e
ca
as justifica¸˜es dos seus racioc´
co
ınios.
Perspectiva hist´rico-cultural
o
Actividades com uma perspectiva hist´rica humanizam o estudo da disciplina, mostrando
o
a Matem´tica como ciˆncia em constru¸˜o e em constante interac¸˜o com outras ciˆncias.
a
e
ca
ca
e
Proporcionam tamb´m excelentes oportunidades para pesquisa de documenta¸˜o. A ine
ca
forma¸˜o sobre a g´nese e o percurso de um conceito ao longo dos tempos e a sua rela¸˜o
ca
e
ca
com o progresso da humanidade pode fomentar, ou aumentar, o interesse pelo tema em
estudo, ao mesmo tempo que constitui uma fonte de cultura. Segundo D. J. Struik, o
autor do livro “Hist´ria Concisa das Matem´ticas”, o uso da Hist´ria da Matem´tica na
o
a
o
a
aula ´ muito importante porque:
e
• satisfaz o desejo de saber como se originaram e desenvolveram os assuntos em
matem´tica;
a
• o estudo dos autores cl´ssicos pode proporcionar grande satisfa¸˜o por si s´, mas
a
ca
o
tamb´m pode ser util no ensino e na investiga¸˜o;
e
´
ca
• ajuda a compreender a nossa heran¸a cultural, n˜o apenas pelas aplica¸˜es que a
c
a
co
matem´tica tem tido, e ainda tem, a astronomia, f´
a
`
ısica e outras ciˆncias, mas tamb´m
e
e
pela rela¸˜o que tem tido, e continua a ter, com campos t˜o variados como a arte, a
ca
a
religi˜o, a filosofia e os of´
a
ıcios;
• oferece um campo de discuss˜o comum com estudantes e professores de outras ´reas;
a
a
• permite temperar o ensino e as conversas com algumas perip´cias.
e
Papel do professor
Na concretiza¸˜o da metodologia proposta cabe ao professor ser simultaneamente dica
namizador e regulador do processo de ensino-aprendizagem, criando situa¸˜es motivadoras
co
e adoptando uma estrat´gia que implique o estudante na sua aprendizagem e desenvolva
e
a sua iniciativa. Assume, neste n´
ıvel de ensino, importˆncia fundamental o contrato
a
pedag´gico a estabelecer com o estudante, na negocia¸˜o e defini¸˜o de consensos para os
o
ca
ca
projectos de trabalho, na participa¸˜o activa e respons´vel na gest˜o do processo ensinoca
a
a
aprendizagem. Em particular deve ser fomentado o trabalho de grupo e o trabalho de pares
de estudantes. A valoriza¸˜o da vertente formativa da disciplina, s´ pode ser alcan¸ada
ca
o
c
fomentando uma atitude positiva do estudante face a Matem´tica.
`
a

14. Departamento do Ensino Secund´rio
a
2.4.1
Matem´tica A
a
13
Avalia¸˜o
ca
Avaliar os conhecimentos matem´ticos dos estudantes significa reunir e analisar dados
a
sobre o que estes sabem a respeito de conceitos e m´todos matem´ticos. Estes dados
e
a
devem ser utilizados tanto pelos professores como pelos estudantes; os professores dever˜o
a
utiliz´-los para ajudar os estudantes a adquirir conhecimentos profundos e ideias claras
a
sobre os conte´dos matem´ticos. Pretende-se que a avalia¸˜o em Matem´tica n˜o se
u
a
ca
a
a
restrinja a avaliar o produto final mas tamb´m o processo de aprendizagem e permita que
e
o estudante seja um elemento activo, reflexivo e respons´vel da sua aprendizagem.
a
O professor n˜o deve reduzir as suas formas de avalia¸˜o aos testes escritos, antes deve
a
ca
diversific´-las. Deve propor ao estudante um conjunto de tarefas de extens˜o e estilo
a
a
vari´veis, algumas delas individuais e outras realizadas em grupo, de modo que, no cona
junto, reflictam equilibradamente as finalidades do curr´
ıculo. S´ assim se contribuir´ para
o
a
promover outras competˆncias e capacidades que se pretendem desenvolver no ensino see
cund´rio. Em particular recomenda-se fortemente que, em cada per´
a
ıodo, mais do que
um dos elementos de avalia¸˜o seja obrigatoriamente uma redac¸˜o matem´tica (sob a
ca
ca
a
forma de resolu¸˜o de problemas, demonstra¸˜es, composi¸˜es/reflex˜es, projectos, reca
co
co
o
lat´rios, notas e reflex˜es hist´ricas ou outras) que reforce a importante componente da
o
o
o
comunica¸˜o matem´tica (o trabalho pode ser proveniente de um trabalho individual, de
ca
a
grupo, de um trabalho de projecto ou outro julgado adequado). No corpo do programa
aparecem muitas referˆncias que poder˜o propiciar a utiliza¸˜o de novos instrumentos de
e
a
ca
avalia¸˜o.
ca
As actividades de aprendizagem dever˜o ser encaradas como tarefas de avalia¸˜o reprea
ca
sentando, neste caso, o tempo empregue na sua execu¸˜o um claro benef´ para a aprenca
ıcio
dizagem dos estudantes. O professor pode ficar a conhecer o que os estudantes s˜o caa
pazes de fazer perante um problema concreto ou mediante uma proposta de investiga¸˜o.
ca
Esses dados podem ser utilizados para orientar aprendizagens posteriores que ofere¸am,
c
aos estudantes, oportunidade de ir integrando as novas aprendizagens de forma positiva
e consciente. A realiza¸˜o dessas actividades em trabalho de grupo permite aos estuca
dantes adquirir uma certa pr´tica para enfrentar novos problemas ou ideias matem´ticas
a
a
escrevendo e explicando claramente os seus resultados e comunicando as suas observa¸˜es
co
e solu¸˜es de forma clara, primeiro aos colegas em pequeno grupo, depois a turma e ao
co
`
professor. A interac¸˜o com outros estimula a apari¸˜o de novos problemas, de novas
ca
ca
ideias e de descobertas adicionais. Os estudantes deparam-se com formas diferentes da
sua de resolver problemas e a compreens˜o conceptual ´ mais profunda e duradoura.
a
e
O professor, observando, interpelando os grupos discutindo com os estudantes, receber´
a
de imediato grande quantidade de informa¸˜o que se deseja possa ser complementada,
ca
sempre que poss´
ıvel, com a avalia¸˜o posterior de relat´rios.
ca
o
Mas, ´ claro, os testes escritos, em si mesmos, tˆm aspectos muito positivos e s˜o muito
e
e
a
importantes. Eles dever˜o aparecer em momentos de s´
a
ıntese e cumprir uma fun¸˜o difeca
renciada da dos outros instrumentos. A n´ do Ensino Secund´rio existir´ sempre um
ıvel
a
a
certo n´mero de provas de ambito nacional ou regional. Por um lado, o professor deve
u
ˆ
ter em conta na sua avalia¸˜o a existˆncia destas provas (realizando provas de estilos
ca
e
diversificados, incluindo por exemplo algumas quest˜es de escolha m´ ltipla, que preparem
o
u
os estudantes para enfrentar os momentos de avalia¸˜o global), mas, por outro lado, deve
ca
dessacraliz´-las pois a verdadeira prepara¸˜o para essas provas ´ feita trabalhando com
a
ca
e

15. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
14
regularidade e afinco ao longo do ano.
Para garantir um equil´
ıbrio entre as diversas formas de avalia¸˜o recomenda-se fortemente
ca
que, na classifica¸˜o final de um per´
ca
ıodo, o peso dos testes escritos n˜o ultrapasse, em regra,
a
metade do peso do conjunto dos diferentes momentos de avalia¸˜o.
ca
Recomenda-se tamb´m a utiliza¸˜o de testes em duas fases que permitem o desenvolvie
ca
mento da persistˆncia na procura de solu¸˜es para situa¸˜es novas, para al´m de cone
co
co
e
tribu´
ırem para uma atitude de reflex˜o sobre a aprendizagem. Recomenda-se ainda a
a
procura, nas brochuras de apoio ao programa, de exemplos e reflex˜es que ajudem a dio
versifica¸˜o dos instrumentos de avalia¸˜o que este programa preconiza.
ca
ca
2.5
Recursos
Todas as Escolas Secund´rias devem dotar-se quanto antes de Laborat´rios de Matem´tica.
a
o
a
A did´ctica prevista para a Matem´tica no ensino secund´rio pressup˜e a possibilidade
a
a
a
o
de uso de materiais e equipamentos diversificados:
• Material de desenho para o quadro e para o trabalho individual (r´gua, esquadro,
e
compasso, transferidor,...);
• Material para o estudo da Geometria no espa¸o (s´lidos geom´tricos, constru´
c
o
e
ıdos
em diversos materiais: placas, arames, palhinhas, acetatos, acr´
ılico, pl´stico, “polya
dron”, s´lidos de enchimento,...);
o
• Quadro quadriculado e papel milim´trico;
e
• meios audiovisuais (retroprojector, acetatos e canetas, diapositivos, v´
ıdeo, ...);
• Livros para consulta e manuais;
• Outros materiais escritos (folhas com dados estat´
ısticos, fichas de trabalho, fichas de
avalia¸˜o, ...);
ca
Prevˆ-se a possibilidade de recorrer a fontes para fornecimento de dados estat´
e
ısticos (autarquias, clubes, hospitais, empresas, institutos, cooperativas,...) incluindo em formato
de CD-ROM e na Internet.
• Calculadoras gr´ficas com possibilidade de utiliza¸˜o de programas;
a
ca
• Computadores;
• Sensores de recolha de dados quer para as calculadoras gr´ficas quer para os coma
putadores.
Os recursos escolhidos dever˜o ter em vista tanto a sua utiliza¸˜o na pr´pria sala do
a
ca
o
Laborat´rio de Matem´tica, como uma utiliza¸˜o de recursos adequados em salas de aulas
o
a
ca
´
indiferenciadas. E considerado indispens´vel o uso de
a
• calculadoras gr´ficas (para trabalho regular na sala de aula ou para demonstra¸˜es
a
co
com todos os estudantes, usando uma calculadora com “view-screen”);
• uma sala de computadores com “software” adequado para trabalho t˜o regular
a
quanto poss´
ıvel;

16. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
15
• um computador ligado a um “data-show” ou projector de v´
ıdeo (para demonstra¸˜es,
co
simula¸˜es ou trabalho na sala de aula com todos os estudantes ao mesmo tempo).
co
2.5.1
Tecnologia
N˜o ´ poss´
a e
ıvel atingir os objectivos e competˆncias gerais deste programa sem recorrer
e
a
` dimens˜o gr´fica, e essa dimens˜o s´ ´ plenamente atingida quando os estudantes traa
a
a oe
balham com uma grande quantidade e variedade de gr´ficos com apoio de tecnologia
a
adequada (calculadoras gr´ficas e computadores). O trabalho de modela¸˜o matem´tica
a
ca
a
s´ ser´ plenamente atingido se for poss´ trabalhar na sala de aula as diversas fases do
o
a
ıvel
processo de modela¸˜o matem´tica, embora n˜o seja exig´ que sejam todas tratadas sica
a
a
ıvel
multaneamente em todas as ocasi˜es; em particular, recomenda-se a utiliza¸˜o de sensores
o
ca
de recolha de dados acoplados a calculadoras gr´ficas ou computadores para, nalgumas
a
situa¸˜es, os estudantes tentarem identificar “modelos matem´ticos que permitam a sua
co
a
interpreta¸˜o”. N˜o se trata aqui de substituir o c´lculo de papel e l´pis pelo c´lculo com
ca
a
a
a
a
apoio da tecnologia, mas sim combinar adequadamentee os diferentes processos de c´lculo,
a
sem esquecer o c´lculo mental. Na express˜o feliz de Miguel de Guzm´n, os estudantes
a
a
a
devem ser preparados para um ”di´logo inteligente com as ferramentas que j´ existem”. O
a
a
uso de tecnologia facilita ainda uma participa¸˜o activa do estudante na sua aprendizagem
ca
como j´ era preconizado por Sebasti˜o e Silva, quando escrevia no ”Guia para a utiliza¸˜o
a
a
ca
do Compˆndio de Matem´tica” que ”haveria muit´
e
a
ıssimo a lucrar em que o ensino . . . fosse
. . . tanto quanto poss´ laboratorial, isto ´, baseado no uso de computadores, existentes
ıvel
e
nas pr´prias escolas ou fora destas, em laborat´rios de c´lculo”. O estudante deve contudo
o
o
a
ser confrontado, atrav´s de exemplos concretos, com os limites da tecnologia e, caso haja
e
tempo, pode ser referido o problema da m´quina de Turing, tal como o faz Ian Stewart
a
quando aborda os limites da computabilidade no seu livro ”Os problemas da Matem´tica”.
a
Uso de calculadoras gr´ficas
a
As calculadoras gr´ficas (que s˜o tamb´m calculadoras cient´
a
a
e
ıficas complet´
ıssimas), ferramentas que cada vez mais se utilizar˜o correntemente, devem ser entendidas n˜o s´ como
a
a o
instrumentos de c´lculo mas tamb´m como meios incentivadores do esp´
a
e
ırito de pesquisa.
O seu uso ´ obrigat´rio neste programa. Tendo em conta a investiga¸˜o e as experiˆncias
e
o
ca
e
realizadas at´ hoje, h´ vantagens em que se explorem com a calculadora gr´fica os seguintes
e
a
a
tipos de actividade matem´tica:
a
• abordagem num´rica de problemas;
e
• uso de manipula¸˜es alg´bricas para resolver equa¸˜es e inequa¸˜es e posterior conco
e
co
co
firma¸˜o usando m´todos gr´ficos;
ca
e
a
• uso de m´todos gr´ficos para resolver equa¸˜es e inequa¸˜es e posterior confirma¸˜o
e
a
co
co
ca
usando m´todos alg´bricos;
e
e
• modela¸˜o, simula¸˜o e resolu¸˜o de situa¸˜es problem´ticas;
ca
ca
ca
co
a
• uso de cen´rios visuais gerados pela calculadora para ilustrar conceitos matem´ticos;
a
a
• uso de m´todos visuais para resolver equa¸˜es e inequa¸˜es que n˜o podem ser
e
co
co
a
resolvidas, ou cuja resolu¸˜o ´ impratic´vel, com m´todos alg´bricos;
ca e
a
e
e

17. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
16
• condu¸˜o de experiˆncias matem´ticas, elabora¸˜o e an´lise de conjecturas;
ca
e
a
ca
a
• estudo e classifica¸˜o do comportamento de diferentes classes de fun¸˜es;
ca
co
• antevis˜o de conceitos do c´lculo diferencial;
a
a
• investiga¸˜o e explora¸˜o de v´rias liga¸˜es entre diferentes representa¸˜es para uma
ca
ca
a
co
co
situa¸˜o problem´tica.
ca
a
Os estudantes devem ter oportunidade de entender que aquilo que a calculadora apresenta
no seu ´cran pode ser uma vis˜o distorcida da realidade; al´m do mais, o trabalho feito
e
a
e
com a m´quina deve ser sempre confrontado com conhecimentos te´ricos, assim como o
a
o
´
trabalho te´rico deve ser finalizado com uma verifica¸˜o com a m´quina. E importante
o
ca
a
que os estudantes descrevam os racioc´
ınios utilizados e interpretem aquilo que se lhes
apresenta de modo que n˜o se limitem a “copiar” o que vˆem. A calculadora vai permitir
a
e
que se trabalhe com um muito maior n´mero de fun¸˜es em que diversas caracter´
u
co
ısticas,
como os zeros e os extremos, n˜o se podem determinar de forma exacta; estas fun¸˜es
a
co
´ muito
s˜o importantes pois aparecem no contexto da resolu¸˜o de problemas aplicados. E
a
ca
importante desenvolver a capacidade de lidar com elementos de que apenas uma parte
se pode determinar de forma exacta; ´ importante ir sempre chamando a aten¸˜o dos
e
ca
estudantes para a confronta¸˜o dos resultados obtidos com os conhecimentos te´ricos; sem
ca
o
estes aspectos n˜o se pode desenvolver a capacidade de resolver problemas de aplica¸˜es da
a
co
matem´tica e a capacidade de analisar modelos matem´ticos. Com os cuidados referidos,
a
a
e como experiˆncias em Portugal e noutros pa´
e
ıses mostram, a calculadora gr´fica dar´
a
a
uma contribui¸˜o positiva para a melhoria do ensino da Matem´tica.
ca
a
Uso de computadores
O computador, pelas suas potencialidades, nomeadamente nos dom´
ınios da Geometria
dinˆmica, da representa¸˜o gr´fica de fun¸˜es e da simula¸˜o, permite actividades n˜o s´
a
ca
a
co
ca
a o
de explora¸˜o e pesquisa como de recupera¸˜o e desenvolvimento, pelo que constitui um
ca
ca
valioso apoio a estudantes e professores, devendo a sua utiliza¸˜o considerar-se obrigat´ria
ca
o
neste programa. V´rios tipos de programas de computador s˜o muito uteis e enquadrama
a
´
se no esp´
ırito do programa. Os programas de Geometria Dinˆmica, de C´lculo Num´rico
a
a
e
e Estat´
ıstico, de Gr´ficos e Simula¸˜es e de lgebra Computacional fornecem diferentes
a
co
tipos de perspectivas tanto a professores como a estudantes. O n´mero de programas
u
dispon´
ıveis no mercado portuguˆs aumenta constantemente.
e
Neste sentido recomenda-se enfaticamente o uso de computadores, tanto em salas onde os
estudantes poder˜o ir realizar trabalhos pr´ticos, como em salas com condi¸˜es para se dar
a
a
co
uma aula em ambiente computacional (nomeadamente nos Laborat´rios de Matem´tica),
o
a
al´m do partido que o professor pode tirar como ferramenta de demonstra¸˜o na sala de
e
ca
aula usando um “data-show” com retroprojector ou projector de v´
ıdeo. Os estudantes
devem ter oportunidade de trabalhar directamente com um computador, com a frequˆncia
e
poss´ de acordo com o material dispon´
ıvel
ıvel. Nesse sentido as escolas s˜o incentivadas a
a
equipar-se com o material necess´rio para que tal tipo de trabalhos se possa realizar com
a
a regularidade que o professor julgar aconselh´vel.
a
Uso da internet

18. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
17
Estando todas as Escolas Secund´rias ligadas a Internet o professor n˜o deve deixar de tirar
a
`
a
todo o partido deste novo meio de comunica¸˜o. Na bibliografia final s˜o indicados alguns
ca
a
s´
ıtios recomendados; esses s´
ıtios contˆm liga¸˜es para muitos outros de interesse. Para o
e
co
trabalho com os estudantes apresentam-se como exemplos proveitosos os de projectos como
”Pergunta Agora” ou ”Investiga e Partilha” onde os estudantes podem colocar d´vidas ou
u
partilhar a resolu¸˜o de problemas (os projectos podem ser acedidos a partir da p´gina
ca
a
da APM-Associa¸˜o de Professores de Matem´tica). Como exemplo de um projecto de
ca
a
interesse geral para professores e estudantes e para divulga¸˜o da Matem´tica aponta-se
ca
a
o do projecto ”Atractor-Matem´tica Interactiva” que pode ser visto em:
a
http://www.fc.up.pt/atractor
Deve ser explorada a utiliza¸˜o da Internet como forma de cria¸˜o de uma boa imagem da
ca
ca
Matem´tica. A participa¸˜o em projectos internacionais ´ uma dessas formas. Algumas
a
ca
e
possibilidades s˜o a comemora¸˜o do dia do PI, a participa¸˜o no Maior Acontecimento
a
ca
ca
de Matem´tica do Mundo e a participa¸˜o na Ca¸a ao Tesouro na Internet; indica¸˜es
a
ca
c
co
sobre essas actividades podem ser vistas, respectivamente, em:
http://www.exploratorium.edu/learning studio/pi/
http://www.nctm.org/about/wlme/
http://softciencias.ccg.pt/

19. Departamento do Ensino Secund´rio
a
3
Matem´tica A
a
18
Desenvolvimento do Programa
Apresenta-se, para cada ano e para cada grande tema, o desenvolvimento que pretende
citar exaustivamente todos os conte´dos obrigat´rios e facultativos. Em alguns casos, por
u
o
se entender necess´rio um esclarecimento particular referem-se objectivos precisos nesse
a
desenvolvimento dos temas. H´ quem pense que se pode substituir o programa no seu
a
todo pela lista de itens de conte´do fornecidos no desenvolvimento dos diversos temas.
u
N˜o ´ assim. As indica¸˜es metodol´gicas que acompanham o desenvolvimento dos temas
a e
co
o
esclarecem as quest˜es estrat´gicas da metodologia de ensino e do ”fazer matem´tica”,
o
e
a
definem as formas de abordar os conte´dos, sugerem oportunidades de introduzir outros
u
conceitos e de estabelecer conex˜es, de utilizar tecnologia, de experimentar, etc., e s´ por
o
o
isso s˜o importantes e imprescind´
a
ıveis partes do programa a par dos conte´dos. Podeu
mos mesmo dizer que a forma de aprender a fazer matem´tica ´ um conte´do do ensino
a
e
u
de Matem´tica. Para al´m disso, as indica¸˜es metodol´gicas s˜o importantes e impresa
e
co
o
a
cind´
ıveis neste programa j´ que ´ nelas que se estabelecem em pormenor, para al´m da
a
e
e
forma de abordagem, a profundidade requerida e o rigor exigido nas formaliza¸˜es dos
co
conceitos e defini¸˜es, para al´m do tipo de exerc´
co
e
ıcios e actividades que podem ser propostos aos estudantes. Resumindo, cada conte´do do ensino secund´rio de Matem´tica n˜o
u
a
a
a
est´ mais do que esbo¸ado no desenvolvimento dos temas; para efeitos deste programa, as
a
c
indica¸˜es metodol´gicas n˜o s˜o simples indica¸˜es e concorrem at´ para a defini¸˜o dos
co
o
a a
co
e
ca
conte´dos de ensino. De acordo com o desenvolvimento de cada tema e o grau de prou
fundidade a atribuir a abordagem de cada conte´do, faz-se corresponder um determinado
`
u
n´mero de horas a lecciona¸˜o de cada tema. Embora isso n˜o constitua uma instru¸˜o
u
`
ca
a
ca
r´
ıgida, ´ uma referˆncia para a planifica¸˜o sugerindo tempos para a abordagem de cada
e
e
ca
tema, de modo a que, mesmo com preju´ do aprofundamento deste ou daquele conte´do
ızo
u
espec´
ıfico, todos os temas sejam abordados com todos os estudantes. Al´m do mais alguns
e
t´picos s˜o de tratamento facultativo; estes v˜o indicados com um (*). Estes t´picos n˜o
o
a
a
o
a
significam um aumento do programa, mas fornecem uma boa ocasi˜o de propiciar mais
a
matem´tica a estudantes mais interessados, mesmo que haja apenas um ou dois desses esa
tudantes em cada turma. Caso seja julgado conveniente pode indicar-se a estes estudantes
o estudo de algum dos t´picos facultativos sob a forma de trabalho de projecto ou eso
tudo extra aula. As indica¸˜es metodol´gicas, ao sugerir actividades e preocupa¸˜es a ter,
co
o
co
acabam tamb´m por sugerir diversifica¸˜o de tipos de instrumentos e de oportunidades de
e
ca
avalia¸˜o das aprendizagens.
ca

20. Departamento do Ensino Secund´rio
a
3.1
Matem´tica A
a
19
Temas Transversais
Neste programa, assumem importˆncia significativa os temas transversais – conceitos,
a
t´cnicas, m´todos e estrat´gias – de que os estudantes se devem apropriar progressivamente
e
e
e
ao longo de todo o ensino secund´rio.
a
A aprendizagem matem´tica dos estudantes passa por fases intuitivas e informais, mas,
a
desde muito cedo, mesmo estas n˜o podem deixar de ser rigorosas ou desprovidas de
a
demonstra¸˜es correctas, bem como n˜o podem passar sem um m´
co
a
ınimo de linguagem
simb´lica. Na aprendizagem da matem´tica elementar dos ensinos b´sico e secund´rio s˜o
o
a
a
a
a
absolutamente necess´rias as demonstra¸˜es matem´ticas, mas estas n˜o podem confundira
co
a
a
se com demonstra¸˜es formalizadas (no sentido de dedu¸˜es formais em teorias formais).
co
co
Neste cap´
ıtulo, chama-se a aten¸˜o para alguns assuntos que, n˜o constituindo em si
ca
a
mesmos conte´ dos do programa, s˜o alguma da essˆncia de muitos passos da aprendizagem
u
a
e
de diversos assuntos e constituem elementos que ajudam os estudantes a compreender
demonstra¸˜es e a racionalizar os desenvolvimentos desta ou daquela teoria. Como se
co
pode ver pelo corpo do programa, n˜o se pretende que a matem´tica ou matem´ticas sejam
a
a
a
introduzidas axiomaticamente, mas pretende-se que os estudantes fiquem com a ideia de
que as teorias matem´ticas s˜o estruturadas dedutivamente. Defende-se que os conceitos
a
a
fundamentais e as suas propriedades b´sicas sejam motivados intuitivamente, mas defendea
se que os alunos possam trabalh´-los at´ chegarem a formula¸˜es matem´ticas precisas,
a
e
co
a
sem que, em algum momento, se confunda o grau de precis˜o de um conceito matem´tico
a
a
com qualquer grau de ”simboliza¸˜o”. Um conceito matem´tico pode estar completa e
ca
a
rigorosamente compreendido expresso em l´
ıngua natural ou em linguagem matem´tica
a
ordin´ria que ´ uma mistura de linguagem natural, simbologia l´gica e matem´tica. A
a
e
o
a
escrita simb´lica das proposi¸˜es matem´ticas h´-de aparecer, se poss´
o
co
a
a
ıvel naturalmente,
para efeitos de precis˜o, condensa¸˜o, economia e clareza de exposi¸˜o.
a
ca
ca
O trabalho com aspectos da Hist´ria da Matem´tica ´ fundamental e deve ser realizado
o
a
e
com os mais diversos pretextos. Ao longo do programa d˜o-se algumas pistas para esse
a
trabalho, que amplia a compreens˜o dos assuntos matem´ticos com os dados da sua g´nese
a
a
e
e evolu¸˜o ao longo do tempo.
ca
Outro trabalho que assume um papel fundamental para o ensino e aprendizagem ´ todo
e
aquele que esclare¸a conex˜es (aplica¸˜es, modela¸˜o) com outros ramos da ciˆncia.
c
o
co
ca
e
A utiliza¸˜o da tecnologia no ensino da Matem´tica obriga a que, a medida que for sendo
ca
a
`
necess´rio e se justifique, se v´ esclarecendo o funcionamento das calculadoras e coma
a
putadores e as caracter´
ısticas de cada aplica¸˜o inform´tica util a matem´tica, ao mesmo
ca
a
´ `
a
tempo que se devem revelar e explicar as limita¸˜es da tecnologia dispon´
co
ıvel.

21. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
20
Desenvolvimento
Comunica¸˜o Matem´ca
a
tica
Indica¸˜es Metodol´gicas
co
o
Aplica¸˜es e Modela¸˜o
co
ca
Matem´tica.
a
Sempre que poss´
ıvel, o professor deve evidenciar aplica¸˜es da
co
Matem´tica e deve estabelecer conex˜es entre os diversos temas
a
o
matem´ticos do curr´
a
ıculo e com outras ciˆncias. Este trabalho n˜o
e
a
deve resumir-se ao enunciado e resolu¸˜o de problemas realistas que
ca
usam conhecimentos de diversas ciˆncias. Deve ser discutido com os
e
estudantes o processo de modela¸˜o matem´tica e a sua importˆncia
ca
a
a
no mundo actual.
Hist´ria da Matem´tica
o
a
A utiliza¸˜o de exemplos hist´ricos ou a referˆncia ` evolu¸˜o de
ca
o
e
a
ca
conceitos matem´ticos ajudar´ os estudantes a apreciar o contribua
a
to da Matem´tica para a compreens˜o e resolu¸˜o de problemas do
a
a
ca
Homem atrav´s do tempo. Algumas situa¸˜es sugeridas: polin´mios
e
co
o
em Pedro Nunes, hist´ria do C´lculo Diferencial, hist´ria dos n´meros
o
a
o
u
complexos. Nas brochuras de apoio ao programa podem ser encontrados muitos exemplos interessantes: origens da geometria (Geometria
10o, pg 34-39), evolu¸˜o das m´quinas de calcular (Fun¸˜es 10o, pg
ca
a
co
¯
¯
28), fun¸˜o logar´
ca
ıtmica (Fun¸˜es 12o, pg 60-62), a r´gua de c´lculo
co
e
a
¯
(Fun¸˜es 12o, pg 66-69), hist´ria do teorema fundamental da ´lgebra
co
o
a
¯
(Trigonometria e n´meros complexos, pg 79-84), etc.
u
A comunica¸˜o matem´tica deve ajudar os estudantes a organizar e
ca
a
consolidar o seu pensamento matem´tico; por isso se recomenda em
a
primeiro lugar a realiza¸˜o regular de ”composi¸˜es matem´ticas”.
ca
co
a
Al´m do mais, o estudante deve possuir oportunidades para expor
e
um tema preparado, a resolu¸˜o de um problema ou a parte que lhe
ca
cabe num trabalho de grupo. Os trabalhos escritos, individuais ou
de grupo, quer sejam pequenos relat´rios, monografias, ..., devem
o
ser apresentados de forma clara, organizada e com aspecto gr´fico
a
cuidado; recomenda-se que sejam, na medida do poss´
ıvel, apresentados oralmente perante a turma e discutidos com os colegas e o
professor. O trabalho de grupo e em pares favorece a comunica¸˜o
ca
matem´tica pois os estudantes ganham em partilhar com os colegas
a
e com o professor os seus m´todos de resolu¸˜o ou as justifica¸˜es
e
ca
co
dos seus racioc´
ınios.
L´gica e Racioc´
o
ınio
No¸˜es de l´gica
co
o
Todas as no¸˜es de l´gica e teoria de conjuntos devem ser introco
o
duzidas ` medida que v˜o sendo precisas ou recorrendo a exemplos
a
a
concretos de mat´ria usada: resolu¸˜o de equa¸˜es e inequa¸˜es,
e
ca
co
co
propriedades dos m´dulos, propriedades das fun¸˜es, axiom´tica das
o
co
a
probabilidades. Alguns pequenos exemplos ligados ao trabalho com
IR e suas propriedades podem servir como exemplos de esclarecimento
de alguma opera¸˜o l´gica. Ter´ de haver referˆncias simultˆneas a
ca o
a
e
a
opera¸˜es com condi¸˜es e opera¸˜es com conjuntos bem como ` imco
co
co
a
plica¸˜o formal e inclus˜o, para al´m das referˆncias a algumas proca
a
e
e
priedades como a transitividade. Assuntos como a lei da convers˜o,
a
as primeiras leis de De Morgan e os quantificadores n˜o podem deixar
a
de aparecer ` medida que forem necess´rios.
a
a

22. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
Desenvolvimento
No¸˜o de teorema: hip´ca
o
tese, tese e demonstra¸˜o.
ca
M´todos de demonstra¸˜o.
e
ca
Reflex˜o sobre as heur´
a
ısticas de Polya para a resolu¸˜o de problemas. Acca
tividades investigativas.
21
Indica¸˜es Metodol´gicas
co
o
No que diz respeito aos m´todos de demonstra¸˜o, eles devem ser
e
ca
referidos ` medida que v˜o sendo usados ou ap´s os estudantes terem
a
a
o
j´ utilizado os v´rios m´todos em pequenas demonstra¸˜es informais
a
a
e
co
(mesmo para confirmar as suas resolu¸˜es de problemas). N˜o est˜o
co
a
a
sugeridos explicitamente no corpo do programa, mas todo o estudo
da Geometria Anal´
ıtica se baseia numa geometria sint´tica euclidiana,
e
semi-intuitiva, semi-dedutiva em que se procuram explorar intui¸˜es
co
espaciais e habilidades dedutivas.
O h´bito de pensar correctamente, que ´ o que afinal est´ em causa,
a
e
a
deve ser acompanhado do h´bito de argumentar oralmente ou por esa
crito e, sempre que poss´
ıvel, os estudantes devem realizar exerc´
ıcios
metodol´gicos de descoberta de justifica¸˜es (que n˜o s˜o mais do
o
co
a a
que novos problemas, por vezes dentro de outros problemas cuja
resolu¸˜o carece de ser comprovada). A indu¸˜o matem´tica deve
ca
ca
a
aparecer individualizada como exemplo particular do racioc´ deduınio
tivo (quer para provar propriedades de sucess˜es, quer para provar
o
propriedades combinat´rias, se houver tempo). A abordagem de alo
gumas demonstra¸˜es directas e indirectas (e nestas, a demonstra¸˜o
co
ca
por redu¸˜o ao absurdo) ´ inevit´vel. Assumem tamb´m uma grande
ca
e
a
e
importˆncia demonstra¸˜es utilizando contra-exemplos.
a
co
A organiza¸˜o da heur´
ca
ıstica de Polya (de Guzm´n, ou outra) para
a
a resolu¸˜o de problemas deve aparecer ap´s a resolu¸˜o de v´rios
ca
o
ca
a
problemas e depois dos estudantes discutirem os procedimentos usados. Elas servir˜o como pano de fundo organizacional do pensamento
a
para atacar os problemas, de modo a que os estudantes n˜o esque¸am
a
c
´
qualquer fase importante. E importante que os estudantes se apercebam da necessidade de um plano, e que, sem que eles abandonem
a cria¸˜o dos seus pr´prios estilos de organiza¸˜o e a experiˆncia j´
ca
o
ca
e
a
existente, compreendam que o conhecimento destas heur´
ısticas vai
permitir melhor´-los. Estas organiza¸˜es de pensamento s˜o uteis
a
co
a ´
para todos os aspectos da vida e n˜o s´ para a Matem´tica.
a o
a
Sempre que poss´
ıvel, e no desenvolvimento do programa s˜o india
cadas oportunidades para isso, os estudantes devem ser envolvidos
em actividades de natureza investigativa gen´rica ou ligada a proe
blemas de interesse hist´rico. A introdu¸˜o e o desenvolvimento de
o
ca
todos estes temas ´ facilitador do ”desenvolvimento da linguagem e
e
do simbolismo para comunicar ideias matem´ticas” de modo que
a
os estudantes ”reflictam sobre, e clarifiquem, o seu pensamento
matem´tico no que diz respeito `s no¸˜es e rela¸˜es matem´ticas,
a
a
co
co
a
formulem defini¸˜es matem´ticas e exprimam generaliza¸˜es descoco
a
co
bertas atrav´s de investiga¸˜es, exprimam as no¸˜es matem´ticas
e
co
co
a
oralmente e por escrito, . . . fa¸am perguntas de clarifica¸˜o e de
c
ca
desenvolvimento relacionadas com assuntos matem´ticos que leram
a
ou ouviram falar e apreciem a economia, o poder e a elegˆncia da
a
nota¸˜o matem´tica bem como o seu papel no desenvolvimento das
ca
a
ideias matem´ticas.” Estamos em crer que estes temas, inclu´
a
ıdos em
experiˆncias variadas, s˜o facilitadores de aprendizagens que refor¸am
e
a
c
a capacidade de raciocinar logicamente, pelas oportunidades de formular e testar conjecturas e analisar contra-exemplos, de avaliar a
validade de racioc´
ınios e de construir demonstra¸˜es.
co

23. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
Desenvolvimento
22
Indica¸˜es Metodol´gicas
co
o
Finalmente, quando for oportuno (as probabilidades e a estat´
ıstica
s˜o temas e momentos apropriados na falta de outros momentos) dea
vem ser abordadas as diferen¸as entre racioc´ plaus´ e racioc´
c
ınio
ıvel
ınio
demonstrativo, ao mesmo tempo que se abordam os diversos tipos de
evidˆncia cient´
e
ıfica. Estas abordagens constituem bases seguras para
criar um esp´
ırito cr´
ıtico construtivo capaz de destrin¸ar a qualidade
c
relativa de cada uma das informa¸˜es que o estudante recebe.
co
Tecnologia e Matem´tica
a
A dimens˜o gr´fica constitui uma componente incontorn´vel do traa
a
a
balho matem´tico, pelo que ´ importnate o uso de tecnologia adea
e
quada (calculadora gr´fica ou computador)
a
´
E preciso ter presente que a ”tecnologia” em si n˜o est´ em causa
a
a
como conte´do de ensino, mas que s˜o as aprendizagens que ela pode
u
a
proporcionar que justificam o seu uso. O recurso ` tecnologia pode
a
auxiliar os estudantes na compreens˜o de conceitos matem´ticos e
a
a
prepar´-los para usar a matem´tica num mundo cada vez mais tecnoa
a
l´gico. Como qualquer ferramenta, a tecnologia pode ser utilizada de
o
um modo mais ou menos rico. Nunca deve ser utilizada como simples
substitui¸˜o de racioc´
ca
ınios b´sicos, mas sim de modo a enriquecer a
a
aprendizagem matem´tica, tornando-a mais profunda.
a
Um estudante dever´ registar por escrito, com os coment´rios jula
a
gados adequados, as observa¸˜es que fizer ao usar a calculadora
co
gr´fica, o computador ou outro material, descrevendo com cuidado
a
as propriedades constatadas e justificando devidamente as suas conclus˜es relativamente aos resultados esperados (desenvolvendo-se
o
assim tanto o esp´
ırito cr´
ıtico como a capacidade de comunica¸˜o
ca
matem´tica).
a

24. Departamento do Ensino Secund´rio
a
3.2
Matem´tica A
a
23
10o ANO
¯
M´dulo inicial
o
9 aulas de 90 minutos
Resolu¸˜o de problemas
ca
O professor dever´ propor neste m´dulo problemas ou actividades aos estudantes que permia
o
tam consolidar e fazer uso de conhecimentos essenciais adquiridos no 3o ciclo de modo tanto
¯
a detectar dificuldades em quest˜es b´sicas como a estabelecer uma boa articula¸˜o entre este
o
a
ca
ciclo e o Ensino Secund´rio. Poder´ partir de uma determinada situa¸˜o, de um determinado
a
a
ca
tema, procurando evidenciar todas as conex˜es com outros temas tomando como meta o deseno
volvimento das competˆncias matem´ticas transversais, isto ´, daquelas que atravessam todos
e
a
e
os temas e devem constituir os grandes objectivos de um curr´
ıculo de Matem´tica.
a
Uma compreens˜o mais profunda da Matem´tica s´ se verifica quando o estudante vˆ as
a
a
o
e
conex˜es, quando se apercebe que se est´ a falar da mesma coisa encarando-a de diferentes
o
a
pontos de vista. Se os estudantes est˜o a explorar, por exemplo, um problema de geomea
tria poder˜o estar a desenvolver a sua capacidade de visualizar, de fazer conjecturas e de as
a
justificar, mas tamb´m poder˜o estar a trabalhar simultaneamente com n´meros, calculando
e
a
u
ou relacionando areas e volumes, a trabalhar com propor¸˜es na semelhan¸a de figuras ou a
´
co
c
trabalhar com express˜es alg´bricas.
o
e
Os problemas a tratar neste m´dulo devem integrar-se essencialmente nos temas N´ meros,
o
u
Geometria e lgebra deixando para outra altura os problemas que se integrem no tema Fun¸˜es
co
ou Probabilidades e Estat´
ıstica.
Pretende-se que os problemas a propor ponham em evidˆncia o desenvolvimento de capacidades
e
de experimenta¸˜o, o racioc´
ca
ınio matem´tico (com destaque para o racioc´
a
ınio geom´trico) e a
e
an´lise cr´
a
ıtica, conduzindo ao estabelecimento de conjecturas e ` sua verifica¸˜o.
a
ca
A seguir s˜o apresentados enunciados dos problemas que dever˜o ser propostos aos estudantes.
a
a
Esta lista pode ser parcial ou totalmente substitu´ por outra que, em termos gerais, contemple
ıda
os mesmos conhecimentos e capacidades; esses outros problemas dever˜o, de preferˆncia, ser
a
e
retirados de documentos oficiais relativos ao Ensino B´sico.
a
Unindo os pontos m´dios de um quadril´tero encontramos sempre um paralelogramo?
e
a
Porque ´ que h´ s´ 5 s´lidos plat´nicos?
e
a o
o
o
Estudo da poss´ semelhan¸a entre garrafas de agua de uma dada marca de 33cl, 50cl, 75cl
ıvel
c
´
e 1,5l.
Como resolveu o matem´tico Pedro Nunes equa¸˜es do primeiro e do segundo graus? Podea
co
mos identificar, nos seus escritos, o uso da f´rmula resolvente ou pelo menos de alguns casos
o
particulares? Que casos Pedro Nunes n˜o considerou ou considerou imposs´
a
ıveis?
Que n´meros racionais s˜o represent´veis por d´
u
a
a
ızimas finitas? Qual a dimens˜o do per´
a
ıodo
de uma d´
ızima infinita peri´dica?
o
Alguns destes problemas poder˜o ser substitu´
a
ıdos, com vantagem, por actividades ou problemas
ligados ao mundo real, propostos e planificados por um grupo de professores do conselho de
turma de modo a integrar na sua resolu¸˜o conhecimentos de v´rias disciplinas.
ca
a
Durante este m´dulo inicial, se o professor detectar dificuldades no estudante, dever´
o
a
delinear estrat´gias de supera¸˜o dessas dificuldades. Deve fazer com que os estudantes
e
ca
tomem consciˆncia clara das responsabilidades que tamb´m lhes cabem no desenvolvimento
e
e
das suas aprendizagens. Superar dificuldades exige estudo e esfor¸o e os jovens devem
c
entender bem o seu papel neste processo.

25. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
24
Tema I - Geometria no Plano e no Espa¸o I
c
27 aulas de 90 minutos
O ensino da Geometria reveste-se da maior importˆncia devendo desenvolver no estudante
a
uma intui¸˜o geom´trica e um racioc´
ca
e
ınio espacial assim como capacidades para explorar, conjecturar, raciocinar logicamente, usar e aplicar a Matem´tica, formular e resolver
a
problemas abstractos ou numa perspectiva de modela¸˜o matem´tica. Deve ainda desenca
a
´
volver no estudante capacidades de organiza¸˜o e de comunica¸˜o quer oral quer escrita. E
ca
ca
aconselh´vel que os estudantes realizem pequenas investiga¸˜es e fa¸am depois relat´rios
a
co
c
o
utilizando linguagem matem´tica rigorosa (o que n˜o significa que o estudante deva recora
a
rer exclusiva ou prioritariamente a linguagem simb´lica). Tanto em geometria plana como
`
o
em geometria do espa¸o a pr´tica de manipula¸˜o e observa¸˜o de figuras e modelos tem
c
a
ca
ca
um papel central e decisivo no ensino das no¸˜es matem´ticas que est˜o em jogo, com
co
a
a
preju´ absoluto do ponto de vista axiom´tico. O professor deve propor actividades de
ızo
a
constru¸˜o, de manipula¸˜o de modelos e ligadas a problemas hist´ricos fazendo surgir a
ca
ca
o
partir do problema e do caminho que se faz para a sua resolu¸˜o uma grande parte dos
ca
resultados te´ricos que pretende ensinar ou recordar. A explora¸˜o de programas como
ca
putacionais pode ajudar eficazmente o estudante a desenvolver a percep¸˜o dos objectos
ca
do plano e do espa¸o e a fazer conjecturas acerca de rela¸˜es ou acerca de propriedades de
c
co
objectos geom´tricos. Devem dar-se a conhecer problemas hist´ricos e propor ao estudante
e
o
a resolu¸˜o de pelo menos um. Ser´ tamb´m conveniente dar a conhecer um pouco da
ca
a
e
Hist´ria da Geometria a qual est˜o ligados os nomes dos maiores matem´ticos de todos
o
`
a
a
os tempos (Euclides, Arquimedes, Newton, Descartes, Euler, Hilbert, entre muitos outros). Os conhecimentos dos estudantes sobre transforma¸˜es geom´tricas devem ser tidos
co
e
em considera¸˜o para serem utilizados e ampliados na resolu¸˜o de problemas concretos.
ca
ca
Mesmo quando o estudante resolve um problema por via anal´
ıtica o professor deve incentiv´-lo a fazer uma figura geom´trica de modo a tirar proveito da visualiza¸˜o do problema
a
e
ca
e a desenvolver a sua capacidade de representa¸˜o, ou seja, n˜o se deve deixar que o estuca
a
dante se limite ` resolu¸˜o exclusiva de equa¸˜es e ` utiliza¸˜o de f´rmulas. Para al´m disso
a
ca
co
a
ca
o
e
o estudante deve descrever sempre com algum detalhe o processo utilizado, justificando-o
adequadamente.
Devem apresentar-se aos estudantes problemas que possam ser resolvidos por v´rios proa
cessos (perspectiva sint´tica, geometria anal´
e
ıtica, transforma¸˜es geom´tricas, utiliza¸˜o
co
e
ca
de programas de geometria dinˆmica, perspectiva vectorial ).
a
Devem explorar-se sempre que poss´
ıvel as conex˜es da Geometria com outras ´reas da
o
a
Matem´tica e o seu desenvolvimento deve prolongar-se noutros temas.
a

26. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
Desenvolvimento
Resolu¸˜o de probleca
mas de Geometria no
plano e no espa¸o
c
(esta resolu¸˜o de problemas
ca
tem por objectivo promover
o aprofundamento da Geometria partindo da compreens˜o
a
do plano, do espa¸o e dos
c
s´lidos geom´tricos)
o
e
Alguns t´picos que poder˜o
o
a
ser estudados na resolu¸˜o
ca
de problemas ou em investiga¸˜es:
co
– estudo das sec¸˜es deterco
minadas num cubo por um
plano;
– poliedros obtidos por
truncatura de um cubo;
– composi¸˜o e decompoca
si¸˜o de figuras tridimensionca
ais;
– um problema hist´rico e
o
sua liga¸˜o com a Hist´ria da
ca
o
Geometria.
Geometria Anal´
ıtica
O m´todo cartesiano para
e
estudar geometria no plano
e no espa¸o
c
Referenciais cartesianos ortogonais e monom´tricos no
e
plano e no espa¸o. Corresc
pondˆncia entre o plano e IR2 ,
e
entre o espa¸o e IR3 .
c
Conjuntos de pontos e
condi¸˜es.
co
Lugares geom´tricos: circune
ferˆncia, c´
e
ırculo e mediatriz;
superf´
ıcie esf´rica, esfera e
e
plano mediador.
25
Indica¸˜es Metodol´gicas
co
o
As actividades devem estar ligadas ` manipula¸˜o de modelos
a
ca
geom´tricos e o professor deve insistir para que o estudante exprima
e
correctamente os seus racioc´
ınios, oralmente e por escrito, atrav´s de
e
pequenas composi¸˜es. A linguagem matem´tica utilizada deve ser
co
a
rigorosa embora seja de excluir a linguagem formal.
Os problemas a propor aos estudantes n˜o devem ser numerosos. Dea
´
vem ser ricos e n˜o se reduzir a propostas fragmentadas. E mais ima
portante um problema bem explorado do que muitos tratados apressadamente.
Aconselha-se que o professor privilegie, se poss´ atrav´s de peıvel
e
quenas investiga¸˜es, o estudo do cubo (incluindo as sec¸˜es nele
co
co
determinadas por planos que o intersectem) assim como o estudo
de alguns poliedros cujas arestas ou v´rtices est˜o assentes nas suas
e
a
faces.
´
E conveniente que o estudante fique a saber desenhar representa¸˜es
co
planas dos s´lidos com que trabalha, a descrever a intersec¸˜o do
o
ca
cubo com um plano dado, a saber construir e a desenhar uma representa¸˜o da intersec¸˜o obtida, utilizando as regras da perspectiva
ca
ca
cavaleira (o estudante deve come¸ar por modelar a situa¸˜o, por
c
ca
exemplo, com s´lidos de arestas, com s´lidos transparentes ou de
o
o
qualquer outro modo sugestivo).
Compondo e decompondo figuras planas (ou tridimensionais) o estudante deve saber calcular ou relacionar ´reas (ou volumes).
a
Os problemas devem ser escolhidos de tal modo que possam sugerir
outros e permitir abordagens segundo diferentes perspectivas (por
exemplo, recorrendo primeiro `s coordenadas e depois aos vectores).
a
O professor deve propor ao estudante actividades que o levem a sentir
a necessidade e vantagem do uso de um referencial, quer no plano
quer no espa¸o.
c
O professor pode fornecer figuras e/ou um referencial numa grelha
e pedir a coloca¸˜o da figura ou do referencial para obter “as melca
hores coordenadas” experimentando com v´rias figuras no plano e no
a
espa¸o.
c
Ser´ vantajoso que o professor aproveite os problemas com que iniciou
a
o tema, recorrendo aos modelos j´ utilizados para fazer aparecer
a
as novas no¸˜es (referencial, coordenadas, vectores, ... ) levando
co
o estudante a justificar determinadas proposi¸˜es por mais de um
co
processo. S´ mais tarde deve recorrer a desenhos em perspectiva.
o
No plano, o estudante deve descobrir as rela¸˜es entre as coordenadas
co
de pontos sim´tricos relativamente aos eixos coordenados e `s bissece
a
trizes dos quadrantes pares e ´
ımpares. No espa¸o, o estudante pode
c
tamb´m descobrir algumas rela¸˜es entre pontos sim´tricos relativae
co
e
mente aos planos coordenados, aos eixos coordenados e aos planos
bissectores dos diversos octantes.
.
continua

27. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
Desenvolvimento
26
Indica¸˜es Metodol´gicas
co
o
A circunferˆncia e a superf´ esf´rica devem ser tratadas essene
ıcie
e
cialmente como lugares geom´tricos sem a preocupa¸˜o de fazer
e
ca
m´ltiplos exerc´
u
ıcios que envolvam apenas as suas equa¸˜es (a
co
defini¸˜o de distˆncia entre dois pontos no espa¸o aparecer´, naturalca
a
c
a
mente, ligada ` determina¸˜o do comprimento da diagonal espacial
a
ca
de um paralelep´
ıpedo).
O mesmo para a mediatriz/plano mediador (neste contexto s´ se deve
o
trabalhar com equa¸˜es de rectas/planos paralelos a eixos/planos
co
coordenados ou que sejam bissectrizes/planos bissectores de quadrantes/octantes).
(*) Referˆncia ` elipse como
e
a
deforma¸˜o da circunferˆncia.
ca
e
Vectores livres no plano
e no espa¸o:
c
componentes e coordenadas
de um vector num referencial
ortonormado; vector como
diferen¸a de dois pontos.
c
Colinearidade de dois
vectores.
Equa¸˜o vectorial da recta no
ca
plano e no espa¸o.
c
Equa¸˜o reduzida da
ca
recta no plano e equa¸˜o
ca
x = x0 .
A equa¸˜o da elipse deve aparecer a partir da circunferˆncia por meio
ca
e
de uma mudan¸a afim de uma das coordenadas.
c
A soma de vectores, a soma de um ponto com um vector e o produto
de um escalar por um vector devem ser abordadas em contexto de
resolu¸˜o de problemas.
ca
Pretende-se que o estudante deduza propriedades de figuras
geom´tricas (triˆngulos e quadril´teros) usando vectores e explore
e
a
a
a liga¸˜o do c´lculo vectorial com outras ´reas.
ca
a
a
A equa¸˜o vectorial da recta surge naturalmente associada ao proca
duto de um escalar por um vector e ` colinearidade de dois vectores.
a
Pretende-se que os estudantes saibam escrever a equa¸˜o vectorial
ca
de uma recta e assim identifiquem pelas suas coordenadas os pontos
que lhe perten¸am.
c
O conhecimento da equa¸˜o reduzida da recta dever´ permitir que
ca
a
o estudante saiba escrever a equa¸˜o de qualquer recta cujo gr´fico
ca
a
lhe seja apresentado, sem para isso ser necess´rio fazer exerc´
a
ıcios
repetitivos.
Tema II - Fun¸˜es e Gr´ficos. Fun¸˜es polinomiais. Fun¸˜o m´dulo.
co
a
co
ca
o
27 aulas de 90 minutos
Os conhecimentos sobre fun¸˜es, indispens´veis para a compreens˜o do mundo em que
co
a
a
vivemos, v˜o ser ampliados com base no estudo anal´
a
ıtico, num´rico e gr´fico devendo
e
a
privilegiar o trabalho intuitivo com fun¸˜es que relacionam vari´veis da vida corrente,
co
a
da Geometria, da F´
ısica, da Economia ou de outras disciplinas. Em particular faz-se
o estudo detalhado de algumas fun¸˜es polinomiais e da fun¸˜o m´dulo e resolvem-se
co
ca
o
anal´
ıtica, gr´fica e numericamente algumas equa¸˜es e inequa¸˜es.
a
co
co
Este tema tem uma ˆnfase muito grande na liga¸˜o entre as f´rmulas e as representa¸˜es
e
ca
o
co
geom´tricas. Esta liga¸˜o ´ muito importante para todos os que utilizarem matem´tica.
e
ca e
a
A capacidade de as relacionar ´ uma capacidade fundamental para o mundo de hoje e do
e

28. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
27
futuro e assim este tema dever´ fornecer uma forma¸˜o para a vida toda t˜o b´sica como
a
ca
a a
a tabuada.
Os estudantes devem reconhecer que o mesmo tipo de fun¸˜o pode constituir um modelo
ca
para diferentes tipos de situa¸˜es problem´ticas.
co
a
Todas as fun¸˜es devem estar definidas apenas em intervalos (normalmente abertos); as
co
fun¸˜es definidas por dois ou mais ramos (cujo dom´
co
ınio ´ um intervalo ou uni˜o de intere
a
valos) apenas devem ser referidas no caso da fun¸˜o m´dulo ou a t´
ca
o
ıtulo de exemplo na
introdu¸˜o deste tema.
ca
Ao usar a calculadora gr´fica ou o computador, os estudantes devem observar que poa
dem ser apresentadas diferentes representa¸˜es gr´ficas de um mesmo gr´fico, variando as
co
a
a
escalas; devem sempre tra¸ar um n´mero apreci´vel de fun¸˜es tanto manualmente em
c
u
a
co
papel quadriculado ou papel milim´trico como usando calculadora gr´fica ou computae
a
dor escolhendo o melhor rectˆngulo de visualiza¸˜o; devem ser incentivados a elaborar
a
ca
conjecturas, evitando conclus˜es apressadas, sendo sistematicamente treinados na an´lise
o
a
cr´
ıtica de todas as suas conclus˜es. Devem ainda estudar situa¸˜es em que uma descri¸˜o
o
co
ca
qualitativa satisfat´ria do comportamento da fun¸˜o s´ ´ poss´ com um gr´fico m´ltiplo
o
ca o e
ıvel
a
u
(conjunto de gr´ficos em diferentes rectˆngulos de visualiza¸˜o).
a
a
ca
Um estudante deve ser confrontado com situa¸˜es em que os erros de aproxima¸˜o conco
ca
duzam a resultados absurdos. Como forma de evitar muitas situa¸˜es dessas, deve ser feita
co
a recomenda¸˜o gen´rica de nos c´lculos interm´dios se tomar um grau de aproxima¸˜o
ca
e
a
e
ca
substancialmente superior ao grau de aproxima¸˜o que se pretende para o resultado.
ca
Pr´-Requisitos:
e
Os estudantes devem conhecer a fun¸˜o afim; devem poder reconhecer essa fun¸˜o atrav´s
ca
ca
e
do gr´fico, esbo¸ar o gr´fico e devem conhecer algumas propriedades (monotonia e zeros
a
c
a
de forma apenas intuitiva e usando os conhecimentos de equa¸˜es). Os estudantes devem
co
o grau e resolver equa¸˜es do 2o grau. Os
co
saber resolver equa¸˜es e inequa¸˜es do 1¯
co
co
¯
estudantes devem conhecer os n´meros reais e representar intervalos de n´meros reais.
u
u
Desenvolvimento
Fun¸˜o, gr´fico (gr´fico
ca
a
a
cartesiano de uma fun¸˜o em
ca
referencial ortogonal) e representa¸˜o gr´fica.
ca
a
Indica¸˜es Metodol´gicas
co
o
Para todos os tipos de fun¸˜es devem ser dados exemplos a partir
co
de quest˜es concretas (tanto de outras disciplinas que os estudantes
o
frequentem — F´
ısica, Qu´
ımica, Economia, etc. — como de situa¸˜es
co
reais — por exemplo de recortes de jornais). Particular importˆncia
a
dever´ ser dada a situa¸˜es problem´ticas, situa¸˜es de modela¸˜o
a
co
a
co
ca
matem´tica e a exemplos de Geometria, devendo retomar-se alguns
a
exemplos estudados no tema anterior.
continua

29. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
Desenvolvimento
Estudo intuitivo de propriedades das fun¸˜es e dos
co
seus gr´ficos,
a
tanto a partir de um gr´fico
a
particular como usando calculadora gr´fica, para as
a
seguintes classes de fun¸˜es:
co
i) fun¸˜es quadr´ticas;
co
a
ii) fun¸˜o m´dulo;
ca
o
e recorrendo a:
a) an´lise dos efeitos
a
das mudan¸as de parˆmetros
c
a
nos gr´ficos das fam´
a
ılias de
fun¸˜es dessas classes (conco
siderando apenas a varia¸˜o
ca
de um parˆmetro de cada
a
vez);
b) transforma¸˜es simples
co
de fun¸˜es: dada a fun¸˜o,
co
ca
esbo¸ar o gr´fico das fun¸˜es
c
a
co
definidas por y = f(x) + a,
y = f(x + a), y = af(x),
y = f(ax), y = |f(x)|, com
a positivo ou negativo, descrevendo o resultado com recurso ` linguagem das transa
forma¸˜es geom´tricas.
co
e
28
Indica¸˜es Metodol´gicas
co
o
As propriedades sugeridas s˜o: dom´
a
ınio, contradom´
ınio, pontos
not´veis (intersec¸˜o com os eixos coordenados), monotonia, cona
ca
tinuidade, extremos (relativos e absolutos), simetrias em rela¸˜o ao
ca
eixo dos YY e ` origem, limites nos ramos infinitos. Os estudantes
a
devem determinar pontos not´veis e extremos tanto de forma exacta
a
como de forma aproximada (com uma aproxima¸˜o definida a priori)
ca
a partir do gr´fico tra¸ado na calculadora gr´fica ou computador.
a
c
a
No estudo das fam´
ılias de fun¸˜es os estudantes podem realizar peco
quenas investiga¸˜es.
co
O estudo das transforma¸˜es simples de fun¸˜es deve ser feito tanto
co
co
usando papel e l´pis como calculadora gr´fica ou computador; a
a
a
fun¸˜o f tanto pode ser dada a partir de um gr´fico como a parca
a
tir de uma express˜o anal´
a
ıtica.
(*) Referˆncia breve ` par´e
a
a
bola, a algumas das suas principais propriedades e a sua
`
importˆncia hist´rica.
a
o
Esta referˆncia breve n˜o pressup˜e nenhuma propriedade em particue
a
o
lar mas antes que os estudantes fiquem com uma vis˜o culturalmente
a
mais completa do assunto.
Resolu¸˜o de problemas
ca
envolvendo fun¸˜es polinoco
miais (com particular incidˆncia nos graus 2, 3 e 4).
e
Na resolu¸˜o de problemas deve ser dada ˆnfase especial ` Modeca
e
a
la¸˜o Matem´tica (por exemplo, usando dados concretos recolhidos
ca
a
por calculadoras gr´ficas ou computadores acoplados a sensores adea
quados). Deve ser dada ˆnfase especial ` resolu¸˜o de problemas
e
a
ca
usando m´todos num´ricos e gr´ficos, nomeadamente quando forem
e
e
a
usadas inequa¸˜es. A resolu¸˜o num´rica ou gr´fica deve ser sempre
co
ca
e
a
confrontada com conhecimentos te´ricos. Deve ser usada a resolu¸˜o
o
ca
anal´
ıtica sempre que a natureza do problema o aconselhar, por exemplo quando for conveniente decompor um polin´mio em factores. O
o
estudo anal´
ıtico dos polin´mios deve ser suscitado pela resolu¸˜o de
o
ca
problemas e a´ integrado. A resolu¸˜o anal´
ı
ca
ıtica de problemas deve
ser sempre acompanhada da verifica¸˜o num´rica ou gr´fica.
ca
e
a
Possibilidade da decomposi¸˜o de um polin´mio
ca
o
em factores (informa¸˜o).
ca
Decomposi¸˜o
ca
de
um
polin´mio em factores em
o
casos simples, por divis˜o dos
a
polin´mios e recorrendo `
o
a
regra de Ruffini. Justifica¸˜o
ca
desta regra.
(*) Estudo elementar de
polin´mios interpoladores.
o

30. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
29
Tema III - Estat´
ıstica
15 aulas de 90 minutos
Algumas das no¸˜es que se tratam nesta unidade j´ foram abordadas no 3o ciclo e, por
co
a
¯
isso, ´ poss´ em qualquer altura reinvestir nestes conhecimentos e complet´-los progrese
ıvel
a
sivamente.
O estudante dever´ ficar a saber organizar, representar e tratar dados recolhidos em bruto
a
(ou tabelados) para da´ tirar conclus˜es numa an´lise sempre cr´
ı
o
a
ıtica e sempre consciente
´ importante que o estudo da
dos limites do processo de matematiza¸˜o da situa¸˜o. E
ca
ca
Estat´
ıstica contribua para melhorar a capacidade dos estudantes para avaliar afirma¸˜es
co
de car´cter estat´
a
ıstico, fornecendo-lhes ferramentas apropriadas para rejeitar quer certos
an´ncios publicit´rios quer not´
u
a
ıcias ou outras informa¸˜es em que a interpreta¸˜o de dados
co
ca
ou a realiza¸˜o da amostragem n˜o tenha sido correcta.
ca
a
Este tema fornece uma excelente oportunidade para actividades interdisciplinares, individualmente ou em grupo, devendo o professor ao definir o plano de trabalho com os
estudantes incentiv´-los a recorrer ao computador. No final, os estudantes devem intera
pretar e comunicar os resultados ` turma fazendo uma an´lise cr´
a
a
ıtica e estando conscientes
que modos diferentes de apresentar as conclus˜es podem alterar a mensagem. No estudo
o
deste tema o estudante deve recorrer ` calculadora gr´fica ou ao computador e as suas
a
a
`
potencialidades para resolver muitos dos problemas.
a
Pr´-Requisitos: Estat´
e
ıstica do 3o ciclo do Ensino B´sico.
¯
Desenvolvimento
Estat´
ıstica – Generalidades
Objecto da Estat´
ıstica e
breve nota hist´rica sobre
o
a evolu¸˜o desta Ciˆncia;
ca
e
utilidade na vida moderna.
Indica¸˜es Metodol´gicas
co
o
Deve-se chamar a aten¸˜o para o papel relevante desempenhado pela
ca
Estat´
ıstica em todos os campos do conhecimento.
Clarifica¸˜o de quais os
ca
fen´menos que podem ser
o
objecto de estudo estat´
ıstico;
exemplifica¸˜o
ca
de
tais
fen´menos com situa¸˜es da
o
co
vida real, salientando o papel
relevante da Estat´
ıstica na
sua descri¸˜o.
ca
continua

31. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
Desenvolvimento
Recenseamento e sondagem.
As no¸˜es de popula¸˜o e
co
ca
amostra. Compreens˜o do
a
conceito de amostragem e reconhecimento do seu papel
nas conclus˜es estat´
o
ısticas;
distin¸˜o entre os estudos e
ca
conclus˜es sobre a amostra e
o
a correspondente an´lise soa
bre a popula¸˜o. No¸˜es inca
co
tuitivas sobre as escolhas de
amostras, sobre a necessidade
de serem aleat´rias, represeno
tativas e livres de v´
ıcios de
concep¸˜o.
ca
30
Indica¸˜es Metodol´gicas
co
o
Sendo a Estat´
ıstica a Ciˆncia que trata dos ”dados”, num procedie
mento estat´
ıstico est˜o envolvidas, de um modo geral, duas fases:
a
uma fase de organiza¸˜o dos dados recolhidos, em que se procura reca
duzir, de forma adequada, a informa¸˜o neles contida - Estat´
ca
ıstica
Descritiva, e uma segunda fase, em que se procura tirar conclus˜es
o
e tomar decis˜es para um conjunto mais vasto, de onde se recolheram
o
os dados - Inferˆncia Estat´
e
ıstica. Existe, no entanto, uma fase
pioneira, que diz respeito ` aquisi¸˜o dos pr´prios ”dados”. Deve-se
a
ca
o
real¸ar a importˆncia de, ao iniciar qualquer estudo estat´
c
a
ıstico, proceder cuidadosamente ao planeamento da experiˆncia que conduz `
e
a
recolha dos ”dados” que ser˜o objecto de tratamento estat´
a
ıstico.
Estat´
ıstica Descritiva e
Estat´
ıstica Indutiva.
Organiza¸˜o e interpreca
ta¸˜o de caracteres esca
tat´
ısticos
(qualitativos e quantitativos)
An´lise gr´fica de atribua
a
tos qualitativos (gr´ficos cira
culares, diagramas de barras,
pictogramas); determina¸˜o
ca
da moda;
An´lise de atributos quana
titativos: vari´vel discreta
a
e vari´vel cont´
a
ınua. Dados
agrupados em classes.
Vari´vel discreta; fun¸˜o
a
ca
cumulativa.
Vari´vel cont´
a
ınua: tabelas
de frequˆncias (absolutas,
e
relativas e relativas acumuladas); gr´ficos (histograma,
a
pol´
ıgono de frequˆncias);
e
fun¸˜o cumulativa.
ca
Medidas de localiza¸˜o
ca
de uma amostra: moda ou
classe modal; m´dia; medie
ana; quartis.
Deve-se chamar a aten¸˜o para o facto de que a organiza¸˜o dos
ca
ca
dados, consiste em resumir a informa¸˜o neles contida atrav´s de
ca
e
tabelas, gr´ficos e algumas medidas, a que damos o nome de ”esa
tat´
ısticas”. Nesta fase, em que se substitui todo o conjunto dos
dados, por um sum´rio desses dados, devem-se tomar as devidas prea
cau¸˜es, pois nem todos os instrumentos de redu¸˜o de dados se
co
ca
aplicam a todos os tipos de dados. Assim, de entre esses processos
deve-se ter presente quais os mais adequados e em que situa¸˜es ´ ou
co e
n˜o convenientes aplic´-los. A t´
a
a
ıtulo de exemplo referimos o facto de
n˜o ter qualquer sentido calcular a m´dia para dados de tipo qualitaa
e
tivo, mesmo que as diferentes categorias assumidas pela vari´vel em
a
estudo estejam representadas por n´meros.
u
continua

32. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
Desenvolvimento
31
Indica¸˜es Metodol´gicas
co
o
Medidas de dispers˜o de
a
uma amostra:
amplitude;
variˆncia; desvio padr˜o; ama
a
plitude interquartis.
Discuss˜o das limita¸˜es
a
co
destas estat´
ısticas.
Diagramas de “extremos e
quartis”
Referˆncia a distribuie
co
¸˜es bidimensionais
(abordagem gr´fica e
a
intuitiva)
Diagrama de dispers˜o; dea
pendˆncia estat´
e
ıstica; ideia
intuitiva de correla¸˜o; exemca
plos gr´ficos de correla¸˜o
a
ca
positiva, negativa ou nula.
Coeficiente de correla¸˜o e
ca
sua varia¸˜o em [−1, 1].
ca
Defini¸˜o de centro de gravica
dade de um conjunto finito
de pontos; sua interpreta¸˜o
ca
f´
ısica.
Ideia intuitiva de recta de
regress˜o; sua interpreta¸˜o e
a
ca
limita¸˜es.
co
Generalizando o estudo de uma unica vari´vel, faz-se uma introdu¸˜o
´
a
ca
ao estudo dos dados bivariados, insistindo na representa¸˜o gr´fica
ca
a
sob a forma do diagrama de dispers˜o ou diagrama de pontos.
a
Quando, a partir desta representa¸˜o, se verificar uma tendˆncia para
ca
e
a existˆncia de uma associa¸˜o linear entre as duas vari´veis em ese
ca
a
tudo, identifica-se uma medida que quantifica o grau de associa¸˜o
ca
- o coeficiente de correla¸˜o, assim como se apresenta um modelo
ca
matem´tico que permitir´, conhecido o valor de uma das vari´veis,
a
a
a
obter uma estimativa para o valor da outra vari´vel.
a

33. Departamento do Ensino Secund´rio
a
Matem´tica A
a
32
Bibliografia
Abrantes,P.; Ponte, J.P. et al.(1999) Investiga¸˜es matem´ticas na aula e no curr´
co
a
ıculo.
Grupo ”Matem´tica para todos-investiga¸˜es na sala de aula”, Lisboa: Associa¸˜o
a
co
ca
de Professores de Matem´tica
a
Este livros re´ne um conjunto de artigos elaborados no ambito do Projecto
u
ˆ
”Matem´tica para Todos” a volta da incorpora¸˜o, nas aulas e nos curr´
a
`
ca
ıculos de
matem´tica, de actividades de natureza investigativa realizadas pelos estudantes.
a
Segundo os organizadores dos volumes (este e seguinte), ”as actividades de investiga¸˜o podem ser inseridas, naturalmente, em qualquer parte do curr´
ca
ıculo,
representando na verdade um tipo de trabalho que tem um car´cter transvera
sal na disciplina de Matem´tica”. De acordo com os organizadores dos livros ”o
a
trabalho realizado por este projecto confirma as potencialidades da actividade investigativa para a aprendizagem da Matem´tica e d´ muitas pistas sobre o modo
a
a
como ela se pode inserir nas actividades das escolas”.
Abrantes, P.; Leal,L. C.; Ponte, J.P. et al.(1996) Investigar para aprender matem´tica.
a
Grupo ”Matem´tica para todos-investiga¸˜es na sala de aula”, Lisboa: Associa¸˜o
a
co
ca
de Professores de Matem´tica.
a
Ver coment´rio a Investiga¸˜es matem´ticas na aula e no curr´
a
co
a
ıculo.
Ara´jo, Paulo Ventura (1998). Curso de Geometria. (Trajectos Ciˆncia, Vol. 5)
u
e
Lisboa: Gradiva
´
E um excelente livro para complementar a forma¸˜o em Geometria de qualca
quer professor de Matem´tica do Ensino Secund´rio (e do Ensino B´sico). Escrito
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numa linguagem muito clara e sugestiva, o autor, ao longo de 26 cap´
ıtulos, vai
desde os primeiros axiomas da geometria euclidiana at´ aos surpreendentes meane
dros da geometria n˜o euclidiana (em particular a geometria hiperb´lica). A abora
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dagem ´ a da chamada geometria m´trica (em que os n´meros reais, para medir
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distˆncias, s˜o introduzidos muito cedo) que ´ muito mais simples para um prina
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cipiante. O livro tem ainda v´rios cap´
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ıtulos sobre transforma¸˜es geom´tricas.
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S˜o de salientar a defini¸˜o geom´trica rigorosa das fun¸˜es trigonom´tricas, a disa
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cuss˜o da no¸˜o de ´rea, a demonstra¸˜o da f´rmula de Her˜o e uma introdu¸˜o
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interessante ` no¸˜o de centro de massa complementada com a recomenda¸˜o de
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leitura do livro A F´
ısica no dia-a-dia (Ed. Rel´gio de gua, 1995) de R´mulo de
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Carvalho.
Cara¸a, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matem´tica Col. Ciˆncia
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Aberta, Vol. 98 (2a ed., 1998). Lisboa: Gradiva
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Neste livro, Bento de Jesus Cara¸a (1901-1948) mostra como a Matem´tica
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´ ”um organismo vivo, impregnado de condi¸˜o humana, com as suas for¸as e
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as suas fraquezas e subordinado as grandes necessidades do homem na sua luta
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pelo entendimento e pela liberta¸˜o” ao pˆr em evidˆncia como os fundamentos
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da Matem´tica ”mergulham tanto como os de outro qualquer ramo da Ciˆncia,
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na vida real”. Trata-se sem d´vida de um dos melhores livros de Matem´tica
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escritos em l´
ıngua portuguesa onde se pode assistir maravilhado a evolu¸˜o dos
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34. Departamento do Ensino Secund´rio
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Matem´tica A
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33
conceitos de n´mero, de fun¸˜o e de continuidade, atrav´s de numerosas disu
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cuss˜es, reflex˜es, notas hist´ricas e teoremas muitas vezes com demonstra¸˜es
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pouco vulgares.
Departamento de Educa¸˜o B´sica(1999). A Matem´tica na Educa¸˜o B´sica. Lisca
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boa: ME–DEB.
Esta publica¸˜o do Departamento de Educa¸˜o B´sica constitui uma imporca
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tante fonte de informa¸˜o sobre a Matem´tica do ensino b´sico em Portugal
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absolutamente necess´ria para quem lecciona no ensino secund´rio.
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Figueira, M´rio R.
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Matem´tica, Vol. 5,
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S. (1997). Fundamentos de An´lise Infinitesimal Textos de
a
a ed. Lisboa: Departamento de Matem´tica, FCUL
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2¯
Este ´ um livro de texto para os estudantes da licenciatura em Matem´tica
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mas ´ de leitura acess´ a todos os que procurem uma apresenta¸˜o rigorosa dos
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ıvel
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temas elementares de fun¸˜es reais de uma vari´vel real. Come¸a com um estudo
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do conjunto dos n´mero reais a partir de uma axiom´tica (referindo-se a rela¸˜o
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entre Q e R assim como a representa¸˜o decimal e a representa¸˜o geom´trica
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dos reais). O livro cont´m os temas cl´ssicos de fun¸˜es de uma vari´vel com
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uma exposi¸˜o muito clara, complementada com bastantes exemplos e exerc´
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ıcios.
Alguns temas menos habituais aparecem ao longo deste volume, como o estudo
das desenvolvimentos assimpt´ticos ou a defini¸˜o das fun¸˜es trigonom´tricas a
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partir da no¸˜o de comprimento de arco.
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Grupo de trabalho T3-Portugal APM. (1999) Estat´
ıstica e Calculadoras Gr´ficas.
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Grupo de trabalho T3-Portugal APM. Lisboa: APM
Esta publica¸˜o cont´m actividades sobre Estat´
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ıstica, redigidas tendo em
vista uma poss´
ıvel utiliza¸˜o na sala de aula; cont´m ainda coment´rios sobre
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as actividades e propostas de resolu¸˜o das mesmas.
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Grupo de trabalho T3-Portugal APM(1999). Geometria com Cabri-G´om`tre. Lise e
boa:APM.
Esta publica¸˜o cont´m actividades de geometria para utiliza¸˜o na sala de
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aula utilizando o programa de geometria dinˆmica Cabri-G´om`tre II; essas aca
e e
tividades s˜o graduadas de modo que se tenha um dom´
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ınio progressivo do programa a partir dos procedimentos mais elementares. Os conceitos matem´ticos
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envolvidos nas actividades incluem elementos de geometria plana, fractais, c´nicas,
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transforma¸˜es geom´tricas e geometria anal´
co
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ıtica.
Grupo de trabalho T3-Portugal APM. (1999). Modela¸˜o no Ensino da Matem´tica
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- Calculadora, CBL e CBR. Lisboa: APM.
Esta publica¸˜o cont´m actividades de modela¸˜o matem´tica para utiliza¸˜o
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na sala de aula; umas actividades s˜o facilmente realizadas com a ajuda de uma
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calculadora gr´fica e as outras necessitam da utiliza¸˜o de sensores para recolha de
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dados experimentais; s˜o inclu´
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ıdos coment´rios e resolu¸˜es das actividades. Os
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conceitos matem´ticos envolvidos nas actividades incluem fun¸˜es definidas por
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ramos, regress˜o, optimiza¸˜o, fun¸˜es exponenciais e trigonom´tricas e fun¸˜o
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