Estadística inferencial maricela ayala

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI

ESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN INTERNACIONAL

ESTADISTICA DESCRIPTIVA

MCS : JORGE POZO

PORTAFOLIO DEL DOCENTE
MARICELA AYALA

MARZO 2012 – AGOSTO 2012

Tulcán – Ecuador

2012

´

CORRELACIÓN

TÉCNICAS DE CORRELACIÓN

En los capítulos anteriores, ustedes estudiaron las distribuciones de una sola
variable. A continuación abordaremos el estudio de dos variables y no
solamente de una. Particularmente estudiaremos qué sentido tiene afirmar que
dos variables están relacionadas linealmente entre sí y cómo podemos medir
esta relación lineal.

RELACIONES LINEALES ENTRE VARIABLES

Supongamos que disponemos de dos pruebas una de ellas una prueba de
habilidad mental y la otra una prueba de ingreso a la Universidad.
Seleccionemos cinco estudiantes y presentamos en la tabla Nº4.1.1, los
puntajes obtenidos en estas dos pruebas.

TABLA Nº4.1.1

X
PRUEBA
Y
ESTUDIANTES DE
EXAMEN DE ADMISIÓN
HABILIDAD
MENTAL
María 18 82
Olga 15 68
Susana 12 60
Aldo 9 32
Juan 3 18

Observamos las cinco parejas de puntajes de la tabla Nº4.1.1 ¿podemos
afirmar que la prueba de habilidad mental se puede usar para pronosticar el
puntaje de examen de admisión?. La tabla nos dice que si podemos hacer tal
suposición ya que los estudiantes con puntajes altos en la prueba de habilidad
mental tienen también un puntaje alto en el examen de admisión y los

estudiantes con puntajes bajos en la prueba de habilidad mental, tienen
puntajes bajos en el examen de admisión. En circunstancias como la presente
(cuando los puntajes altos de una variable están relacionados con los puntajes
altos de la otra variable y los puntajes bajos de una variable están relacionados
con los puntajes bajos de la otra variable), afirmamos que hay una relación
lineal positiva entre las dos variables, entonces podemos definir una relación
lineal positiva entre ese conjunto de pares de valores X y Y, tal como se
muestra en la tabla Nº4.1.1.

Supongamos que en lugar de los resultados de la tabla Nº 4.1.1, hubiéramos
obtenido los puntajes que se muestran en la tabla Nº 4.1.2 ¿Podríamos afirmar
que en esta situación los puntajes de la prueba de habilidad mental pueden
usarse para pronosticar los puntajes altos en el test de habilidad mental
aparecen con puntajes bajos en el examen de admisión y los sujetos con
puntajes altos en el examen de admisión, entonces podemos definir una
relación lineal negativa entre un conjunto de pares de valores X y Y (tal como
en la tabla Nº4.1.2), es decir, los puntajes altos de X están apareados con los
puntajes bajos de Y y los puntajes bajos de X están apareados con los puntajes
altos de Y.

TABLA Nº4.1.2

X Y
PRUEBA
DE
ESTUDIANTES EXAMEN DE ADMISIÓN
HABILIDAD
MENTAL
María 18 18
Olga 15 32
Susana 12 60
Aldo 9 68
Juan 3 82

TABLA Nº4.1.3

X Y
PRUEBA
DE
ESTUDIANTES EXAMEN DE ADMISIÓN
HABILIDAD
MENTAL
María 18 18
Olga 15 82
Susana 12 68
Aldo 9 60
Juan 3 32

Examinemos ahora la tabla Nº4.1.3. en este caso ya no podemos afirmar que
los puntajes de la prueba de habilidad mental sirvan para pronosticar los
puntajes del examen de admisión, ya que unos puntajes altos del test de
habilidad mental están aparejados con otros puntajes bajos del examen de
admisión y algunos puntajes bajos del test de habilidad mental están apareados
con otros puntajes altos del examen de admisión, entonces, en este caso,
decimos que no existe una relación lineal entre las variables X y Y.

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

En las situaciones que se presentan en la vida real no tenemos solamente cinco
parejas de valores para ambas variables, sino muchísimas parejas. Otra forma
alternativa de ver si existe o no relación lineal entre dos variables sería hacer
una gráfica de los valores X y Y en un sistema de coordenadas rectangulares,
este tipo de gráfica es conocido con el nombre de diagrama de dispersión,
gráfico de dispersión o nube de puntos. Dibujemos el diagrama que
corresponde a la tabla Nº4.1.1. lo haremos haciendo corresponder a cada valor
de la variable independiente X, un valor de la variable dependiente Y, es decir,
para la alumna Susana haremos corresponder su puntaje en la prueba de
habilidad mental (12) con su puntaje de la prueba de admisión (60); al alumno
Juan le hacemos corresponder su puntaje del test de habilidad mental (3) con
su puntaje del examen de admisión (18). Luego ubicaremos los cinco pares de

puntajes en el sistema de ejes rectangulares y obtendremos los gráficos Nº4.1.1
y Nº4.1.2.

Observaremos en el gráfico Nº4.1.1, que tabla Nº4.1.1, es descrita por el
diagrama de dispersión. Vemos en este gráfico que los cinco puntos dan la
sensación de ascender en línea recta de izquierda a derecha. Esto es
característico en datos en los que existe una relación lineal positiva. Aunque
estos cinco datos no configuren una línea recta en forma perfecta, se puede
trazar una línea recta que describa en estos puntos en forma bastante
aproximada, conforme se ve en el gráfico Nº4.1.2 y por esto decimos que la
relación es lineal.

Si ocurre que todos los puntos de la gráfica de dispersión están incluidos en
una sola línea en forma exacta afirmamos que la relación lineal es perfecta. El
grado en que se separan los puntos de una sola línea recta nos da el grado en
que la relación lineal no es perfecta. Así cuando menos puntos se encuentran
en una sola línea decimos que la relación lineal entre las dos variables es
menos fuerte y cuando más puntos queden incluidos en una línea recta
afirmaremos que la relación lineal es más fuerte.

GRÁFICO Nº4.1.1.

GRÁFICO Nº4.1.2

Usando los datos de la tabla Nº4.1.2 y utilizando la misma forma de razonar
empleada hasta ahora podemos construir el correspondiente gráfico de
dispersión, tal como se muestra en el gráfico Nº4.1.3.

Podemos observar en el gráfico Nº4.1.4 que la nube de puntos de la gráfica
puede delinearse bien por una línea recta, lo que nos indica que hay una
relación lineal entre las dos variables X y Y. vemos también que la línea
desciende de izquierda a derecha (tienen pendiente negativa) por lo que
decimos que la relación lineal entre las dos variables es negativa.

Si tenemos en cuenta la tabla Nº4.1.3 podemos obtener una figura como se
muestra en la gráfica Nº4.1.5. Notamos, en esta situación, que resultará inútil
cualquier línea recta que trate describir adecuadamente este diagrama de
dispersión.

GRÁFICO Nº4.1.3

GRÁFICO Nº4.1.4

GRÁFICO Nº4.1.5

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN RECTILINEA DE PEARSON

Con ayuda de las gráficas nos podemos formar una idea si la nube de puntos, o
diagrama de dispersión, representa una relación lineal y si esta relación lineal

es positiva o negativa, pero con la sola observación de la gráfica no podemos
cuantificar la fuerza de la relación, lo que si conseguiremos haciendo uso del
coeficiente r de Pearson.

El coeficiente de correlación r de Pearson, forma valores comprendidos entre -1
y +1 pasando por 0. El número -1 corresponde a una correlación negativa
perfecta (los puntos del diagrama de dispersión deben encontrarse formando
perfectamente una línea recta). El coeficiente de correlación r=0 se obtiene
cuando no existe ninguna correlación entre las variables. Los valores negativos
mayores que -1 indican una correlación negativa y los valores positivos
menores que 1 indican una correlación positiva. Referente a la magnitud de r
podemos decir que independientemente del signo, cuando el valor absoluto de r
esté más cerca de uno, mayor es la fuerza de la correlación, as así que -0.20 y
+0.20 son iguales en fuerza (ambos son dos valores fuertes).

CÁLCULO DEL COEFICIENTE r DE PEARSON UTILIZANDO UNA MÁQUINA
CALCULADORA CUANDO LOS DATOS NO SON MUY NUMEROSOS

Dadas dos variables X y Y con sus respectivos valores. Tabla Nº4.1.4, podemos
calcular el coeficiente r de Pearson con una máquina calculadora mediana la
siguiente fórmula.

TABLA AUXILIAR Nº4.1.4.

(1) (2) (3) (4) (5)
x Y x2 y² XY

18 82 324 6724 1476
15 68 225 4624 1020
12 60 144 3600 7200
9 32 81 1024 288
3 18 9 324 54
∑x = 57 ∑y= 260 ∑x² = 783 ∑y² = 16296 ∑xy = 3558

Con los datos de la tabla Nº4.1.1, se ha elaborado la Tabla Auxiliar Nº4.1.4.

En las columnas (1) y (2) se han escrito los valores de X y Y. en la columna (3),
se han elevado al cuadrado los valores de X. en la columna (4) se han elevado
al cuadrado los valores de Y. en la columna (5) se ha efectuado el producto de
cada pareja de valores X y Y. aplicando los datos en la fórmula 4.1.1, se tiene:

INTERPRETACIONES DE UN COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

¿Qué tan elevado es un coeficiente de correlación dado?. Todo coeficiente de
correlación que no sea cero indica cierto grado de relación entre dos variables.
Pero es necesario examinar más esta materia, porque el grado de intensidad de
relación se puede considerar desde varios puntos de vista. No se puede decir
que un r de 0.50 indique una relación dos veces más fuerte que la indicada por r
de 0.25. ni se puede decir tampoco que un aumento en la correlación de r=0.40
a r=0.60 equivalga a un aumento de r=0.70 a r=0.90. es de observar que una
correlación de -0.60 indica una relación tan estrecha como una correlación de
+0.60, la relación difiere en la dirección.

Siempre que esté establecida fuera de toda duda razonable una relación entre
dos variables, el que el coeficiente de correlación sea pequeño puede significar
únicamente que la situación medida está contaminada por algún factor o
factores no controlados. Es fácil concebir una situación experimental en la cual,
si se han mantenido constantes todos los factores que no sean pertinentes, el r
podría haber sido 1 en lugar de 0.20. por ejemplo: generalmente la correlación
entre la puntuación de aptitud y el aprovechamiento académico es 0.50 puesto
que ambos se miden en una población cuyo aprovechamiento académico
también es influenciable por el esfuerzo, las actitudes, las peculiaridades de
calificación de los profesores, etc. Si se mantuvieran constantes todos los
demás factores determinantes del aprovechamiento y se midieran exactamente
la aptitud y las notas, el r sería 1 en vez de 0.50.

Una conclusión práctica a la correlación es que ésta es siempre relativa a la
situación dentro de la cual se obtiene y su magnitud no representa ningún
hecho natural absoluto. El coeficiente de correlación es siempre algo puramente
relativo a las circunstancias en que se ha obtenido y se ha de interpretar a la luz
de esas circunstancias y sólo muy rara vez en algún sentido absoluto.

Además podemos agregar que la interpretación de un coeficiente de correlación
como medida del grado de relación lineal entre dos variables, es una
interpretación como medida del grado de relación lineal entre dos variables, es
una interpretación matemática pura y está completamente desprovista de
implicaciones de causa y efecto. El hecho de que dos variables tiendan a
aumentar o disminuir al mismo tiempo no implica que obligadamente una tenga
algún efecto directo o indirecto sobre la otra.

A continuación calcularemos con la fórmula Nº4.1.1, antes indicada coeficiente
de Pearson de la relación presentada en la tabla Nº4.1.2

CUADRO AUXILIAR 4.1.5

(1) (2) (3) (4) (5)
x Y x2 y² XY
18 18 324 324 324
15 32 225 1024 480
12 60 144 3600 720
9 68 81 4624 612
3 82 9 6724 246
∑xy =
∑x = 57 ∑y= 260 ∑x² = 783 ∑y² = 16296
2382

Vemos que la correlación es fuerte y negativa.

Ahora calculemos con la misma fórmula de Pearson Nº4.1.1, el Coeficiente de
Correlación lineal con los datos de la tabla Nº4.1.3.

CUADRO AUXILIAR 4.1.6

(1) (2) (3) (4) (5)
x Y x2 y² XY
18 18 324 324 324
15 32 225 6724 1230
12 60 144 4624 816
9 68 81 3600 542
3 82 9 1024 96
∑x = 57 ∑y= 260 ∑x² = 783 ∑y² = 16296 ∑xy = 3006

La correlación es muy débil y positiva.

CORRELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS DE DATOS AGRUPADOS EN
CLASES

El presente tema nos conduce a calcular el coeficiente de correlación r, que nos
proporciona información de la fuerza de la relación que existe entre dos
conjuntos de datos que se encuentran agrupados, cada uno de ellos formando
por separados una distribución de frecuencias, mejor dicho teniendo por
separado sus intervalos de clase con sus respectivas frecuencias.

Para realizar una exposición del tema en forma más entendible, presentamos el
ejemplo del Cuadro Nº 4.1.7.

Ejemplo:

Calcular el grado de correlación entre las puntaciones obtenidas en inventario
de hábitos de estudio y los puntajes obtenidos en un examen de Matemática,
aplicados a un total de 134 alumnos de un colegio de la localidad.

CUADRO Nº 4.1.7

X Hábitos de estudio

20 30 30 40 40 50 50 60 Total
Y Matemática
70 80 3 2 2 7
60 70 1 0 4 5 10
50 60 2 6 16 3 27
40 50 4 14 19 10 47
30 40 7 15 6 0 28
20 30 8 2 0 1 11
10 20 1 1 2 4
Total 23 40 48 23 134

Podemos notar que el problema no es tan simple, como el caso anterior, dado
que ahora los datos se han clasificado en una tabla de doble entrada Nº 4.1.7.
Este cuadro muestra, en la primera columna del lado izquierdo los intervalos de
clase de la variable Y, los que cubren todos los posibles datos acerca de las
puntuaciones alcanzadas por los estudiantes en la prueba de Matemática.
Nótese que los intervalos crecen de abajo hacia arriba. En la fila superior se
presentan los intervalos de clase todos los 134 posibles datos acerca de los
puntajes obtenidos por los estudiantes en la variable hábitos de estudios
representados por la letra X.

Dentro del Cuadro Nº 4.1.7 en los casilleros interiores o celdas de la tabla, se
encuentran las frecuencias de celdas que corresponden a puntajes que
pertenecen tanto a un intervalo de la variable Y como a un intervalo de la
variable X.

En la fila interior del Cuadro se presentan los totales de los puntajes de la
variable X, hábitos de estudio. Esos totales se llaman frecuencias marginales de
la variable X y se representan por .

En la última columna de la derecha se encuentran los totales de los puntajes de
la variable rendimiento en matemática. Estos totales se denominan frecuencias
marginales de la variable Y.

Cuando los datos se presentan tal como el presente caso, formando tablas de
doble entrada, es conveniente usar el método clave que expondremos a
continuación porque con este procedimiento se evita manejar grandes números,
como sería el caso si se emplearán las fórmulas para trabajar con la
calculadora de bolsillo.

La fórmula que utilizaremos es la siguiente:

Para obtener los datos que deben aplicarse en la fórmula Nº 4.1.2., vamos a
construir el cuadro auxiliar Nº 4.1.8, al mismo tiempo que se explica el
significado de los símbolos de esa fórmula.

Lo primero que hacemos es reemplazar los intervalos horizontales y verticales
por sus respectivas marcas de clase; a continuación adicionaremos al Cuadro
Nº 4.1.7, cinco columnas por el lado derecho; cuyos encabezamientos son:
para la primera para la segunda, para la tercera, para la cuarta
y para la quinta columna.

Por la parte inferior del cuadro le adicionamos cuatro filas que se nombran:
para la primera para la segunda fila que está debajo de la anterior, para
la tercera fila y por último, para la cuarta fila que está debajo de todas; de
esta manera se va elaborando el Cuadro Auxiliar Nº 4.1.8.

1) Para determinar las frecuencias marginales que se deben colocar en la
columna para la primera para la segunda, para la tercera,

sumamos las frecuencias de las celdas que están en la misma fila de la
marca de clase 75, obtenemos: 3+2+2=7, número que se escribe en el
primer casillero o celda de la columna para la primera para la segunda,
para la tercera, En la fila de la marca de clase 65, sumamos
1+4+5=10, número que se escribe debajo del 7.
Para la fila de la marca de clase 55, tenemos: 2+6+16+3=27.
Para la fila de la marca de clase 45, se tiene: 4+14+19+10=47.
En igual forma: 7+15+6=28.
Lo mismo: 8+2+1=11
Y en la última fila: 1+1+2=4
A continuación sumamos estas frecuencias marginales de la variable Y:
7+10+27+47+28+11+4=134 es el total general.

2) Ahora a determinar las frecuencias marginales de la variable X: En columna
encabezada con la marca de clase 25 sumemos verticalmente las
frecuencias: 1+2+4+7+8+1=23.
En la columna encabezada con 35, tenemos: 3+6+14+15+2=40
En la siguiente: 2+4+16+19+6+1=48
En la última: 2+5+3+10+1+2=23

3) Centremos nuestra atención en la columna encabezada para la primera
para la segunda, para la tercera, este signo significa desviación
unitaria, y procedemos en la misma forma que en las Tablas Nº 2.1.2 y Nº
2.1.3 (b). recuerden que las desviaciones unitarias positivas: +1, +2, y +3
corresponden a los intervalos mayores y por el contrario las desviaciones
unitarias negativas: -1, -2 y -3 corresponden a los intervalos menores. Como
origen de trabajo se tomó la marca de clase 45 y por lo tanto su desviación
unitaria es cero.

4) Luego vamos a determinar las desviaciones unitarias horizontales de la
variable X. el origen de trabajo es la marca de clase 45 que se halla en la fila

superior del cuadro, por esa razón, escribimos cero debajo de la frecuencia
marginal 48. Las desviaciones unitarias negativas: -1 y -2 se escriben a la
izquierda cero, porque se corresponden con los intervalos de clase que
tienen menores marcas de clase y que están a la izquierda de 45. La
desviación unitaria positiva, se corresponde con el intervalo de mayor marca
de clase, 55 (en parte superior del Cuadro Nº 4.1.8.)

5) A continuación vamos a determinar los valores que deben colocarse en la
columna encabezada ; este símbolo indica que se debe multiplicar cada
valor de por su correspondiente valor de , así: 7(+3)=21; 10(+2)=20;
27(+1)=27; 47(0)=0; 28(-1)=-28; 11(-2)=-22 y 4(-3)=-12. Sumando
algebraicamente, tenemos: 21+20+27=68 los positivos: y (-28)+ (-22)+
(-12)=-62 los negativos.

Por último: 68-62=6 total, que se coloca en la parte inferior de la columna

Para obtener los valores de la cuarta columna encabezada debemos
tener en cuenta que ( , por lo tanto basta multiplicar cada valor
de la segunda columna por su correspondiente valor de la tercera columna así
se obtiene el respectivo valor de la cuarta columna. En efecto:

(+3)(21)=63; (+2)(20)=40; (+1)(27)=27; 0*0=0; (-1)(-28)=28; (-2)(-22)=44 y (-3)(-
12)=36

La suma: 63+40+27+28+44+36=238

Ahora nos fijamos horizontalmente en la tercera fila. Tenemos que
( = por consiguiente basta multiplicar verticalmente un valor de la
primera fila por su correspondiente valor de la segunda dila para obtener el
respectivo valor de la tercera fila.

(23)(-2)=-46; (40)(-1)=-40; (48)(0)=0 y (23)(+1)=23

Sumando horizontalmente:

(-46)+ (-40)+ (23)=-86+23=-63

Vamos por la cuarta fila; vemos que . Luego basta multiplicar
cada elemento de la segunda fila por su correspondiente elemento de la tercera
fila para obtener el respectivo elemento de la cuarta fila así:

(-2)(46)=92; (-1) (-40)=40; 0*0=0 y (+1) (23)=23

Para obtener los valores de la quinta columna observamos que hay
tres factores; el 1º es la frecuencia de la celda o casillero que se está
considerando, el segundo factor es la desviación unitaria , el tercer factor es
la desviación unitaria . Por tanto el procedimiento será el siguiente: Tomemos
el número 3 que es la frecuencia de la celda determinada por el cruce de los
intervalos que tienen la marcha de clase 75 horizontalmente y 35 verticalmente.

Bajemos la vista del número 3 hacia donde se halla el respectivo valor (-1) de la
desviación unitaria (ver la línea punteada).

Para indicar el tercer factor corremos la vista del número 3 hacia su derecha
hasta llegar a la columna de las desviaciones unitarias y ubicamos el número
+3 (ver la línea punteada) formemos el producto de estos tres números: (3) (-1)
(+3)=-9. Este número -9 encerrado en un semicírculo lo escribimos en la celda
elegida.

En la misma fila tomamos la celda siguiente: (2) (0) (+3)=0

Continuando hacia la derecha: (2) (+1) (+3)=6

CUADRO AUXILIAR Nº 4.1.8

CUADRO CORREGIDO DEL CUADRO AUXILIAR Nº 4.1.8

La fórmula del paso (9) lleva el signo para indicar que se deben sumar
horizontalmente los números que están encerrados en los semicírculos de esa
primera fila elegida, así: -9+0+6=-3. Este número se escribe en la quinta
columna.

Trabajemos con la siguiente fila: (1) (-2) (+2)=-4 se encierra en un semicírculo.

(0)(-1)(+2)=0

(4)(0)8+2)=0

(5)(+1)(+2)=10

Sumando 0+0+10=10

Ahora con la tercera fila:

(2)(-2)(+1)=-4

(6)(-1)(+1)=-6

(16)(0)(+1)=0

(3)(+1)(+1)=3

Sumando: (-4)+(-6)+0+3=-7

Cuarta fila:

(7)(-2)(-1)=14

(15)(-1)(-1)=15

(6)(0)(-1)=0

(0)(+1)(-1)=0

La suma es: 14+15=29

(8)(-2)(-2)=32

(2)(-1)(-2)=4

(0)(0)(-2)=0

(1)(+1)(-2)=-2

La suma es: 32+4-2=34

Séptima fila:

(1)(-2)(-3)=6

(1)(0)(-3)=-6

(2)(1)(-3)=-6

Sumando: 6+0-6=0

Sumando los valores de la columna quinta.

-3+6-7+0+29+34+0=69-10=59

Reuniendo los resultados anteriores, se tienen los datos para aplicar en fórmula
Nº 4.1.2.

n=134

EJERCICIO RESUELTO Nº2 DE CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE
CORRELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS DE DATOS AGRUPADOS

Calcular el coeficiente de correlación lineal de las puntuaciones en matemáticas
de 100 estudiantes de la Facultad de Ciencias de la Universidad MN.

CUADRO Nº4.1.9

CUADRO Nº4.1.10

En este problema tenemos que calcular el coeficiente de correlación lineal r
para dos conjuntos de datos, constituidos por los calificativos en una escala de
0 a 100, en matemáticas y en física para 100 estudiantes de la Facultad de
Ciencias de cierta Universidad.

Los datos se muestran en el cuadro Nº4.1.9. Notemos que a lo largo de la línea
horizontal superior se encuentran los intervalos que contienen los calificativos
de matemáticas desde 40 hasta 100.

Igualmente en la primera columna vertical izquierda, se encuentran los
calificativos para física de los mismos estudiantes, desde el calificativo 40 hasta
100. Nótese que en la columna de los calificativos de física los datos crecen de

abajo hacia arriba y para la fila horizontal superior vemos que los calificativos en
matemáticas crecen de izquierda a derecha.

A continuación procedemos a calcular el coeficiente de correlación r para estos
datos aplicando el mismo método que utilizamos en el problema anterior.

1) Traslademos los datos del cuadro Nº4.1.9 al cuadro Nº4.1.10. llamaremos
fxy a cualquiera de las frecuencias de los casilleros interiores del cuadro
Nº4.1.9. en el cuadro Nº4.1.10 podemos observar que se han agregado
cinco columnas por el lado derecho y cuatro filas por la parte inferior.

Observaremos en el cuadro Nº4.1.10 que los intervalos para la puntuación en
matemáticas y para la puntuación en física se han reemplazado por las marcas
de clase correspondientes. Así en la fila horizontal superior se ha reemplazado
el primer intervalo 4050 por su marca de clase 45, el segundo intervalo
5060 por su marca de clase 55 y de esta manera se han reemplazado los
demás intervalos por sus marcas de clases en el cuadro Nº4.1.10.

De igual forma para la columna primera de la izquierda vemos que los intervalos
se han reemplazado por sus respectivas marcas de clase así, para la
puntuación en física el primer intervalo superior 90 100 se han reemplazado
por su marca de clase 95, el segundo intervalo superior 8090 se ha
reemplazado por su marca de clase 85 y así sucesivamente hasta llegar el
intervalo inferior 4050 que se ha reemplazado por su marca de clase 45.

Ahora vamos a realizar los pasos siguientes:

1) Para determinar las frecuencias marginales sumemos todos los valores
de la primera fila que tiene la marca de clase 95. De esta forma tenemos:
2+5+5=12. Para la segunda fila que corresponde a la marca de clase 85,
obtenemos: 1+3+6+5=15 que escribimos en el segundo casillero de .
Continuando con la suma de los números, de las filas llenamos la
columna ..
2) Dediquemos nuestra atención a las frecuencias marginales . El primer
resultado de lo obtenemos sumando las frecuencias para la columna
que tiene la marca de clase 45, de esta forma tenemos: 2+4+4=10 que se
escribe en el primer casillero de la fila . Para el segundo casillero tenemos
el número 15 que se obtiene sumando verticalmente las frecuencias de
la columna que tiene la marca de clase 55. Continuando con la suma de las
de las demás columnas, llenamos las frecuencias marginales .
3) Atendamos ahora la columna . La columna tiene en total 6 casilleros
arbitrariamente escogemos uno de estos casilleros como origen de trabajo le
asignamos el número. Observemos ahora la primera columna de la
izquierda en donde están las marcas de clase de los puntajes de física. Aquí
observamos que las marcas de clase crecen de abajo hacia arriba, entonces
las desviaciones unitarias en la columna crecerán de abajo hacia arriba.
Entonces del 0 hacia abajo, las desviaciones unitarias son números
negativos que van decreciendo hacia abajo.
Desde el 0 hacia arriba las desviaciones unitarias serán positivas y
crecientes.

De manera que podemos observar que la columna está conformada por
los siguientes números que crecen del cero hacia arriba: 1,2 y desde el cero
hacia abajo decrecen: -1, -2, -3.

4) Veamos la fila

Notamos que en la fila horizontal superior las marcas de clase crecen de
izquierda a derecha, de igual forma las desviaciones unitarias crecerán de
izquierda a derecha. Elegimos como origen de trabajo arbitrariamente uno
de los casilleros de , el tercero contando de izquierda a derecha, y vamos
asignando números positivos crecientes hacia la derecha del 0, así tenemos
1, 2 y 3 y hacia la izquierda, a partir del cero, tendremos: -1 y -2.
5) Expliquemos la columna multipliquemos cada valor de por su
correspondiente valor de y se obtiene un valor . Por ejemplo el
número 24 se obtiene multiplicando la frecuencia marginal por su
correspondiente desviación unitaria esto es, 12x2=24. Para el
segundo casillero multiplicamos 15x1=15; para el tercero 25x0=0, así hasta
terminar con 11 x (-3)=-33.
6) Observamos la columna . La primera celda de esta columna tiene el
número 48 que se obtiene multiplicando el valor de la segunda
columna por su correspondiente valor =24, de la tercera columna, es
decir, 2 x 24 = 48. Para el segundo casillero de la columna , tenemos
15 que es igual a 1 x 15. De esta forma continuamos llenando los demás
valores de la columna .

7) Veamos ahora la fila . El número -20 del primer casillero de esta fila se
obtiene multiplicando la frecuencia marginal por su correspondiente
desviación unitaria , es decir: 10(-2)=-20.

Para el segundo casillero de , multiplicamos (-1) x (-15) = 15 y así
sucesivamente hasta 12 x 3 = 36.

8) Veamos la fila . El primer casillero de esta fila es 40 y es el resultado
de multiplicar -2 del primer casillero de la fila por -20 de su
correspondiente primer casillero de la fila esto es. (-2) x (-20) = 40. Para
el segundo casillero de multiplicamos -1 del segundo casillero por -

15 de su correspondiente segundo casillero de , luego obtenemos (-1) x
(-15) = 15. Así continuamos multiplicando los valores de los valores de los
casilleros de la fila por sus correspondientes valores de la fila
hasta llegar a (3) (36) =108.

9) Interesa ahora obtener los números encerrados en semicírculos, por
ejemplo, el número 4, que corresponde a la marca de clase 75 para la
puntuación en matemáticas y a la marca de clase 95 de la puntuación en
física.

Para saber cómo se obtiene este número 4, corramos nuestra vista hacia la
derecha dirigiéndose hacia la columna y obtenemos el número 2. Del
número 4, encerrado en semicírculo, bajemos la vista con dirección a la fila y
obtenemos 1. La frecuencia del casillero donde está el 4, encerrado en
semicírculo, es . Multiplicando estos tres factores
tendremos: .

Podemos enunciar la siguiente regla:

Para obtener los valores encerrados en semicírculos en los casilleros interiores
del cuadro Nº4.1.10, multiplicamos el valor de la frecuencia del casillero
para la cual estamos haciendo el cálculo, por los valores de las desviaciones
unitarias y , obtenidas corriendo la vista hacia la derecha hasta columna
y también hacia abajo hasta llegar a la fila .

Así por ejemplo, para el casillero que corresponde a las marcas de clase 75 en
matemática y 85 en física, tenemos la frecuencia de la celda , los otros
dos factores son: y =1.

Luego (3) x (1) x (1) = 3 que es el valor encerrado en semicírculo.

Para el casillero correspondiente a la marca de clase 55 en matemáticas marca
de clase 45 en física, tenemos:

, ,

que es el valor encerrado en semicírculo. Así
podemos proceder para obtener todos los demás valores encerrados en
semicírculos.

Sumando las frecuencias marginales de la columna , se tiene .
Sumando los valores de la tercera columna se obtiene . La suma
de los valores de la quinta columna:

=150

Para todas las filas, en el último casillero de la derecha se tiene la suma de los
valores de la fila. Así por ejemplo. ; .

Para la tercera fila: .

Para la cuarta fila:

Estos totales de filas y columnas reemplazamos en la fórmula Nº4.1.2.

Vemos que el coeficiente de correlación en este caso es 0,79

EJERCICIO PROPUESTO Nº1 DEL CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE
CORRELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS AGRUPADOS DE DATOS.

Supongamos que tenemos 30 sujetos a los que hemos aplicado una prueba de
conocimientos de Psicología General (variable x) y un test de inteligencia
(variable y). los datos se muestran en el Cuadro Nº4.1.11.

Aplicando los datos tomados del Cuadro Auxiliar Nº4.1.12 en la fórmula Nº4.1.2,
tenemos:

Resultado:

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Al comenzar a estudiar las técnicas de correlación afirmamos que
estudiaríamos dos variables y no solamente una. Llamamos en esa ocasión x a
una de las variables y a la otra. En el tema que nos ocuparemos ahora,
estudiaremos la forma tabla Nº4.2.1, similar a lo que utilizamos correlación,
conocimiento el puntaje en la prueba de habilidad mental (variable x) para un
alumno determinado, podemos anticipar el puntaje del examen de admisión
(variable y) del mismo alumno.

Consideramos la relación lineal expresada por el cuadro Nº4.2.1. si dibujamos
esa relación, obtenemos el gráfico Nº4.2.1. como podemos observar todos los
puntos se alinean “exactamente” en una sola línea recta lo que recibe el nombre
de línea de regresión. Teniendo en cuenta esta línea, podemos predecir
cualquiera de los valores de y conociendo el valor de x: Para x = 25, según la
recta, corresponde y = 35, para x =20, corresponde y=30, etc. En este caso se
trata de una correlación positiva perfecta cuyo coeficiente de correlación es +1.

CUADRO Nº4.2.1

PRUEBA DE EXAMEN DE
HABILIDAD MENTAL ADMISIÓN
X Y
Susana 5 15
Iván 10 20
Lourdes 15 25
Aldo 20 30
Juan 25 35
María 30 40
César 35 45
Olga 40 50

Recordemos el gráfico Nº4.2.1 que dibujamos cuando estudiamos correlación,
en este gráfico observamos el diagrama de dispersión “aproximado” por una
línea recta, la recta es mejor “ajuste”, a los puntos del diagrama de dispersión,
es decir, en la mejor medida procure dejar igual números de puntos del
diagrama de dispersión por encima de ella que igual número de puntos de
abajo, se llama línea de regresión.

ECUACIÓN DE LA REGRESIÓN RECTILÍNEA

La ecuación que describe la línea de regresión es.

X-r

En donde:

Media de variable y en la muestra

EJEMPLO PROPUESTO Nº2 DEL CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE

Supongamos que se tienen 50 vendedores de cierta compañía. Estos
vendedores durante un año 1985 han realizado ventas tal como lo muestra el
cuadro Nº4.1.13, el que también muestra el número de años de experiencia que
tienen como vendedores.

Para dicho cuadro, se pide calcular el coeficiente de correlación lineal r.

CUADRO Nº4.1.13

Tomando los datos obtenidos en el Cuadro Auxiliar Nº4,1,14 apliquemos en la
fórmula Nº4.1.12, se tiene:

Resultado:

GRÁFICO Nº 4.2.1

= media de la variable X en la muestra.

X = un valor de la variable X

r = coeficiente de Pearson, de la correlación lineal entre las variables X y Y

desviación estándar de Y en la muestra

desviación estándar de X en la muestra

valor Y resultante del cálculo de la fórmula.

Veamos cómo podemos predecir los valores de Y a partir de los valores de X.
Estudiemos el Cuadro Nº 4.2.1. Cómo el gráfico de este cuadro es una línea
recta ascendente sabemos que su coeficiente de correlación de Pearson r=+1.
Además tenemos los siguientes resultados:

=22.5 11.46 11.46 =32.5

Estos resultados se pueden calcular a partir de los datos del cuadro Nº4.2.1.
Apliquemos estos datos a la fórmula Nº4.2.1, obtenemos la siguiente expresión:

X-(1)

Simplificando términos obtenemos:

Escojamos cualquier valor de X del Cuadro Nº4.2.1 por ejemplo para María
X=30, reemplazando este valor en (b).

Vemos en el Cuadro Nº4.2.1 el valor que corresponde a María efectivamente es
40. Es decir, podemos usar la ecuación Nº4.2.1 para predecir los valores de Y
conociendo los valores de X.

Esta fórmula de regresión se puede para dos variables X y Y, entre las cuales
no es obligatorio que exista una correlación lineal perfecta, es decir, no es
obligatorio que r para la correlación entre X y Y sea siempre igual a 1. Este
valor de r para otras aplicaciones de la regresión, puede tomar cualquier valor
distinto.

EJERCICIO RESUELTOS DE REGRESIÓN LÑINEAL SIMPLE

Al aplicar un test de inteligencia a una muestra representativa constituida por
800 alumnos, se obtuvo la puntuación media de 30,4 puntos, con la desviación
estándar de 12.6 puntos.

La edad media de la muestra fue de 14.5 años, con la desviación estándar de
3.2 años.

El coeficiente de correlación lineal de Pearson entre la variable Y, edad de
sujetos estudiados y la variables X, rendimiento mental de los mismos sujetos,
fue r=0,89

Con estos datos se pide determinar la ecuación de regresión rectilínea de edad
en base del puntaje del rendimiento mental.

¿Qué edad corresponde a los sujetos que alcanzan puntuaciones de:

25 puntos

?

Datos:

= 14.5

3.2

12.6

Aplicando estos datos en la fórmula Nº 4.2.1 se tiene:

X-0.89

. Es la ecuación de regresión buscada

Respuesta de la primera pregunta

Segunda pregunta

Tercera pregunta

Cuarta pregunta

Quinta pregunta

Sexta pregunta

RELACIONES

La correlación se ocupa de establecer la magnitud y la dirección de las
relaciones. Antes de profundizar en estos aspectos particulares de las
relaciones, analizaremos algunas características generales de éstas, con las
cuales podemos comprender mejor el material específico acerca de la
correlación.

RELACIONES LINEALES

Para iniciar nuestro análisis de las relaciones, veamos una relación entre dos
variables. La siguiente tabla muestra el salario mensual que percibieron cinco
agentes ventas y el valor en dólares de la mercancía vendida por cada uno de
ellos en ese mes.

AGENTE VARIABLE X MERCANCÍA Y VARIABLE
VENDIDA ($) SALARIO ($)
1 0 500
2 1000 900
3 2000 1300
4 3000 1700
5 4000 2100

Podemos analizar mejor la relación entre estas variables si trazamos una
gráfica utilizando los valores X y Y, para cada agente de ventas, como los
puntos de dicha gráfica. Él es una gráfica de dispersión o dispersigrama.

Una gráfica de dispersión o dispersigrama es una gráfica de parejas de
valores X y Y.

La gráfica de dispersión para los datos de los agentes de ventas aparece en
la figura 6.1. En relación con esta figura, vemos que todos los puntos caen
sobre una línea recta. Cuando una línea recta describe la relación entre dos
variables, se dice que esta relación lineal.

Una relación lineal entre dos variables es aquella que puede representarse
con la mejor exactitud mediante una línea recta.

Observe que no todas las relaciones son lineales; algunas son curvilíneas.
En este caso, al trazar una gráfica de dispersión para las variables X y Y,
una línea curva ajusta mejor a los datos que una línea recta.

CÁLCULO DE LA (r) DE
PEARSON

La ecuación para calcular la r de Pearson mediante datos:

Donde es la suma de los productos de cada pareja de puntajes z.

Para utilizar esta ecuación, primero hay que convertir cada dato en bruto en su
valor transformado. Esto puede tardar mucho tiempo y crear errores de
redondeo. Con algún álgebra, esta ecuación se puede transformar en una
ecuación de cálculo que utilice datos en bruto:

ECUACIÓN PARA EL CÁLCULO DE LA (r) DE PEARSON

Dónde: es la suma de los productos de cada pareja X y Y, también
se llama la suma de productos cruzados.

La tabla 6.4 contiene algunos de los datos hipotéticos reunidos a partir de cinco
sujetos.

Datos hipotéticos para el cálculo de la r de Pearson

TABLA 6.4

SUBJETIVO X Y XY
A 1 2 1 4 2
B 3 5 9 25 15
C 4 3 16 9 12
D 6 7 36 49 42
E 7 5 49 25 35
TOTAL 21 22 111 112 106

Utilicemos estos datos para calcular la r de Pearson:

es la suma de los productos cruzados; se determina multiplicando los
datos X y Y para cada sujeto y luego sumando los productos resultantes. El
cálculo de y de los otros términos aparece en la tabla 6.4. Al sustituir estos
valores en la ecuación anterior, obtenemos.

PROBLEMA DE PRÁCTICA 6.1

Resolvamos otro ejercicio. Esta utilizaremos los datos de la tabla 6.1. Para su
conveniencia, hemos reproducido estos datos en las primeras tres columnas de
la tabla 6.5. En este ejemplo tenemos una relación lineal imperfecta y estemos
interesados en calcular la magnitud y dirección de la relación mediante la r de
Pearson. La solución también aparece en la tabla 6.5.

IQ y el promedio de las calificaciones: cálculo de la r de Pearson

TABLA 6.5

ESTUDIANTE IQX PROMEDIO
NÚMERO DE DATOS Y
1 110 1.0 12,100 1.00 110.0
2 112 1.6 12,544 2.56 179.2
3 118 1.2 13,924 1.44 141.6
4 119 2.1 14,161 4.41 249.9
5 122 2.6 14,884 6.76 317.2
6 125 1.8 15,625 3.24 225.0
7 127 2.6 16,129 6.76 330.2
8 130 2.0 16,900 4.00 260.0
9 132 3.2 17,424 10.24 422.4
10 134 2.6 17,956 6.76 384.4
11 136 3.0 18,496 9.00 408.0
12 138 3.6 19,044 12.96 496.8
TOTAL 1503 27.3 189,187 69.13 3488.7

PROBLEMA DE PRÁCTICA 6.2

Tratemos de resolver otro problema. ¿Se ha puesto a reflexionar si es verdad
que los opuestos se atraen? Todos hemos estado ante parejas en las que sus
miembros parecen ser muy diferentes entre sí. ¿Pero esto es lo usual? ¿Qué
fomenta la atracción: las diferencias o las similitudes? Un psicólogo social
abordó este problema pidiendo a 15 estudiantes que respondieran un
cuestionario relacionado con un sus actitudes hacia una amplia gama de temas.
Tiempo después les mostró las “actitudes” de un extraño hacia los mismos
temas y les pidió que evaluaran su agrado o inclinación por el extraño y si,
probablemente, disfrutarían el trabajar con él. En realidad, las “actitudes” del
extraño fueron elaboradas por el experimentador y variaron de sujeto a sujeto,
con respecto a la proporción de actitudes similares que hubo entre el extraño y
el individuo que participó en el experimento. De esa manera, se obtuvieron
datos, para cada sujeto a sus actitudes y la atracción que sintió hacia un
extraño, basada en las actitudes de este último hacia los mismos temas. Si los
iguales se atraen, entonces debería existir una relación directa entre la
atracción hacia un extraño y la proporción de actitudes similares. Los datos se
presentan en la tabla 6.6. Entre mayor sea la atracción, más alto será el
puntaje. El puntaje de atracción máximo es de 14. Calcule el coeficiente de
correlación r de Pearson * para determinar si existe una relación directa entre la
similitud de actitudes y el grado de atracción.

Datos y solución del problema de práctica 6.2

TABLA 6.6

ESTUDIANTE PROPORCIÓN DE ATRACCIÓN Y
NÚMERO ACTITUDES
SIMILARES X
1 0.30 8.9 0.090 79.21 2.670
2 0.44 9.3 0.194 86.49 4.092
3 0.67 9.6 0.449 92.16 6.432
4 0.00 6.2 0.000 38.44 0.000
5 0.50 8.8 0.250 77.44 4.400
6 0.15 8.1 0.022 65.61 1.215
7 0.58 9.5 0.336 90.25 5.510
8 0.32 7.1 0.102 50.41 2.272
9 0.72 11.0 0.518 121.00 7.920
10 1.00 11.7 1.000 136.89 11.700
11 0.87 11.5 0.757 132.25 10.005
12 0.09 7.3 0.008 53.29 0.657
13 0.82 10.0 0.672 100.00 8.200
14 0.64 10.0 0.410 100.00 6.400
15 0.24 7.5 0.058 56.25 1.800
TOTAL 7.34 136.5 4.866 1279.69 73.273

Por lo tanto, con base en estos estudiantes, existe una relación muy fuerte entre
las similitudes y las atracciones.

Una segunda interpretación de la r de Pearson. La r de Pearson también se
puede interpretar en términos de la variabilidad de Y explicada por medio de X.
este punto de vista produce más información importante acerca de r y la
relación entre X y Y. Considere, por ejemplo, la figura 6.9, en la cual se muestra
una relación imperfecta entre X y Y. En este ejemplo, la variable X representa
una competencia de ortografía y la variable Y la habilidad en la escritura de seis
estudiantes de tercer grado. Suponga que queremos predecir la calificación en
la escritura de María, la estudiante cuya calificación en ortografía es de 88. Si
no hubiese una relación entre la escritura y la ortografía.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. En un largo curso de introducción a la sociología, un profesor hace dos
exámenes. El profesor quiere determinar si las calificaciones de los
estudiantes en el segundo examen correlacionadas con las calificaciones
del primero. Para facilitar la los, se elige una muestra de ocho estudiar
calificaciones aparecen en la siguiente tabla.

a. Construya una gráfica de dispersión para datos, utilizando la
calificación del primer examen como la variable X. ¿Parece lineal
la relación?
b. Suponga que existe una relación lineal en calificaciones de los dos
exámenes, calcule la r de Pearson.
c. ¿Qué tan bien explican la relación, las calificaciones del segundo
examen?

120

100

80

60
Series1
40

20

0
0 20 40 60 80 100

0,629531757

Se puede decir que es una relación Baja y positiva que los dos exámenes
tienen entre si

2. Un investigador realiza un estudio de la relación entre el consumo de
cigarros y las enfermedades determinan la cantidad de cigarros fumados

diariamente y de días de ausencia en el trabajo dura último año debido a
una enfermedad para 13 individuos en la compañía donde trabaja este
investigador. Los datos aparecen en la tabla anexa.

SUJETO CIGARROS DÍAS DE
CONSUMIDOS AUSENCIA
1 0 1
2 0 3
3 0 8
4 10 10
5 13 4
6 20 14
7 27 5
8 35 6
9 35 12
10 44 16
11 53 10
12 60 16

a. Construya una gráfica de dispersión para estos datos: ¿Se ve una
relación lineal?
b. Calcule el valor de la r de Pearson.
c. Elimine los datos de los sujetos 1, 2, 3, 10, 11 y 12. Esto
disminuye el rango de ambas variables. Vuelva a calcular r para
los sujetos restantes. ¿Qué afecto tiene la disminución del rango
sobre r?
d. A utilizar todo el conjunto de datos, ¿qué porcentaje de la
variabilidad en el número de días de ausencia es explicado por la
cantidad de cigarros fumados diariamente? ¿De qué sirve ese
valor?

18
16
14
12
10
8 Series1
6
4
2
0
0 20 40 60 80

0,6753

16
14
12
10
8
6 Series1

4
2
0
0 10 20 30 40

0,0318

3. Un educador ha construido un examen para las aptitudes mecánicas y
desea determinar si éste es confiable, mediante dos administraciones
con un lapso de 1 mes entre ellas. Se realiza un estudio en el cual 10
estudiantes reciben dos administraciones del examen, donde la segunda
administración ocurre un mes después que la primera. Los datos
aparecen en la tabla.

a. Construya una gráfica de dispersión para las parejas de datos.
b. Determine el valor de r.
c. ¿Sería justo decir que éste es un examen confiable? Explique esto al
utilizar .
SUJETO ADMINISTRACIÓN 1 ADMINISTRACIÓN 2
1 10 10
2 12 15
3 20 17
4 25 25
5 27 32
6 35 37
7 43 40
8 40 38
9 32 30
10 47 49

60
50
40
30
Series1
20
10
0
0 20 40 60

0,9881

La investigación no es confiable por que los datos son tomados en dos fecha
totalmente distintas

4. Un grupo de investigadores ha diseñado un cuestionario sobre la tensión,
consistente en 15 sucesos. Ellos están interesados en determinar si
existe una coincidencia entre dos culturas acerca de la cantidad relativa
de ajustes que acarrea cada suceso. El cuestionario se aplica a 300
estadounidenses y 300 italianos. Cada individuo debe utilizar el evento
“matrimonio” como estándar y juzgar los demás eventos en relación con
el ajuste necesario para el matrimonio. El matrimonio recibe un valor
arbitrario de 50 puntos. Si se considera que un evento requiere de más
ajustes que el matrimonio, el evento debe recibir más de 50 puntos. El
número de puntos excedentes depende de la cantidad de ajustes
requeridos. Después de que cada sujeto de cada cultura ha asignado
puntos a todos los eventos, se promedian los puntos de cada evento. Los
resultados aparecen en la siguiente tabla:

EVENTOS ESTADOUNIDENSES ITALIANOS
Muerte de la esposa 100 80
Divorcio 73 95
Separación de la pareja 65 85
Temporada en prisión 63 52
Lesiones personales 53 72
Matrimonio 50 50
Despedido del trabajo 47 40
Jubilación 45 30
Embarazo 40 28
Dificultades sexuales 39 42
Reajustes económicos 39 36
Problemas con la familia
política 29 41
Problemas con el jefe 23 35
Vacaciones 13 16
Navidad 12 10

a. Suponga que los datos tienen al menos una escala de intervalo y
calcule la correlación entre los datos estadounidenses y la de los
italianos.
b. Suponga que los datos sólo tienen una escala ordinal y calcule la
correlación entre los datos de ambas culturas.

100

80

60

40 Series1

20

0
0 50 100 150

0,8519

La r es alta y positiva es decir que los comportamiento de las dos
nacionalidades son bastante similares

INDIVIDUO EXÁMEN CON LÁPIZ SIQUIATRA SIQUIATRA
Y PAPEL A B
1 48 12 9
2 37 11 12
3 30 4 5
4 45 7 8
5 31 10 11
6 24 8 7
7 28 3 4
8 18 1 1
9 35 9 6
10 15 2 2
11 42 6 10
12 22 5 3

5. Un psicólogo ha construido un examen lápiz - papel, a fin de medir la
depresión. Para comparar los datos del examen con los datos de los
expertos, 12 individuos “con perturbaciones emocionales” realizan el

examen lápiz – papel. Los individuos también son calificados de manera
independiente por dos siquiatras, de acuerdo con el grado de depresión
determinado por cada uno como resultado de entrevistas detalladas. Los
datos aparecen a continuación. Los datos mayores corresponden a una
mayor depresión.

a. ¿Cuál es la correlación entre los datos de los dos siquiatras?
b. ¿Cuál es la correlación entre las calificaciones del examen con
lápiz y papel y los datos de cada siquiatra?

14
12
10
8
6 Series1
4
2
0
0 5 10 15

0,8519

La relación se da con un mismo criterio por los psiquiatras

14
12
10
8
6 Series1
4
2
0
0 20 40 60

0,6973

La relación entre las dos variables es baja y positiva

14

12

10

8

6 Series1

4

2

0
0 20 40 60

0,697

6. Para este problema, suponga que usted es un psicólogo que labora en el
departamento de recursos humanos de una gran corporación. El
presidente de la compañía acaba de hablar con usted acerca de la
importancia de contratar personal productivo en la sección de
manufactura de la empresa y le ha pedido que ayude a mejorar la
capacidad de la institución para hacer esto. Existen 300 empleados en
esta sección y cada obrero fabrica el mismo artículo. Hasta ahora, la
corporación sólo ha recurrido a entrevistas para elegir a estos
empleados. Usted busca bibliografía y descubre dos pruebas de
desempeño, lápiz – papel, bien estandarizadas, y piensa que podrían
estar relacionados con los requisitos desempeño de esta sección. Para
determinar si alguna de ellas se puede utilizar como dispositivo de
selección, elige 10 empleados representativos de la sección de
manufactura, garantizando que un amplio rango de desempeño quede
representado en la muestra, y realiza las dos pruebas con cada
empleado. Los datos aparecen en la siguiente tabla.
Mientras mayor sea la calificación, mejor será el desempeño. Las
calificaciones de desempeño en el trabajo. Las calificaciones de
desempeño fabricados por cada empleado por semana, promediados
durante los últimos 6 meses.
a. Construya una gráfica de dispersión del desempeño en el trabajo
y la primera prueba, utilizando la prueba 1 como la variable X.
¿Parece lineal la relación?
b. Suponga que la relación anterior es lineal y calcule el valor de la r
de Pearson.
c. Construya una gráfica de dispersión del desempeño en el trabajo
y la segunda prueba, utilizando la prueba 2 como la variable X.
¿Parece lineal la relación?
d. Suponga que la relación anterior es lineal, calcule el valor de la r
de Pearson.

e. Si sólo pudiera utilizar una de las pruebas para la selección de los
empleados, ¿utilizaría alguna de ellas? En tal caso, ¿cuál de
ellas? Explique.

EMPLEADO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Desempeño en el
trabajo 50 74 62 90 98 52 68 80 88 76
Examen 1 10 19 20 20 21 14 10 24 16 14
Examen 2 25 35 40 49 50 29 32 44 46 35

120

100

80

60
Series1
40

20

0
0 10 20 30

0,5917

120

100

80

60
Series1
40

20

0
0 20 40 60


EVALUACIÓN

SEXTO A NOCHE

CÁLCULO DEL COEFICIENTE r DE PEARSON Y REALICE LA GRÁFICA

ESTUDIANTE PROPORCIÓN DE ATRACCIÓN Y
NÚMERO ACTITUDES SIMILARES X
1 0.30 8.9
2 0.44 9.3
3 0.67 9.6
4 0.00 6.2
5 0.50 8.8
6 0.15 8.1
7 0.58 9.5
8 0.32 7.1
9 0.72 11.0
10 1.00 11.7
11 0.87 11.5
12 0.09 7.3
13 0.82 10.0
14 0.64 10.0
15 0.24 7.5

DETERMINANCDO EL CUADRO AUXILIAR Y REALICE LA GRÁFICA

PRUEBA DE EXAMEN DE
HABILIDAD MENTAL ADMISIÓN
X Y
Susana 5 15
Iván 10 20
Lourdes 15 25
Aldo 20 30
Juan 25 35
María 30 40
César 35 45
Olga 40 50


EVALUACIÓN

SEXTO A NOCHE

DETERMINANDO EL CUADRO AUXILIAR Y REALICE LA GRÁFICA

ITALIANOS
ESTADOUNIDENSES
100 80
73 95
65 85
63 52
53 72
50 50
47 40
45 30
40 28
39 42
39 36
29 41
23 35
13 16
12 10

c. Suponga que los datos tienen al menos una escala de intervalo y
calcule la correlación entre los datos estadounidenses y la de los
italianos.
d. Suponga que los datos sólo tienen una escala ordinal y calcule la
correlación entre los datos de ambas culturas.

BIBLIOGRAFÍA

Legoas, L. A. (2008). Estadística Básica. En L. A. Legoas, Estadística Básica (págs. 177-211). Lima:
San Marcos.

Mendano, J. (2007). Estadística General. En J. Mendano, Estadística General. México:
Majangrail.

Zamora, M. C. (2006). Estadística Inferencial. En M. C. Zamora, Estadística Inferencial. Lima:
Moshera.

Universidad Politécnica Estatal del Carchi

Comercio Internacional, Integración, Administración y
Economía Empresarial.

Escuela: Comercio Exterior y Negociación Comercial
Internacional

PORTAFOLIO DEL ALUMNO

MARICELA AYALA

ESTADISTICA INFERENCIAL II

ING. JORGE POZO

Nivel: sexto Paralelo: “a” Noche

AÑO-LECTIVO

2012

CORRELACIÓN

En capítulos anteriores se estudiaron las distribuciones de una frecuencia,
ordenaremos el estudio de 2 variables y qué sentido tiene afirmar que 2
variables están relacionadas linealmente entre sí.

En la correlación hasta ahora se a abordado en forma general problemas
relacionados únicamente con una solo variable es decir univariados sin
embargo existen muchas situaciones en las cuales se trabaja con pares de
variables, y donde se busca contestar la pregunta de si existe o no una
asociación entre ambas mediciones o variables. (Cortes, 2009)

E l p ro b lem a ce rcan o de la co rre la ció n o gra d o d e in te rco n e xió n
e n t re va ria b le s qu e in t e n ta n d e te rm in a r con qu e p re cisió n
d e scrib e o e xp lica la re la ció n e n t re va ria b le s, u na e cu ació n lin e a l
o d e cu a lqu ie r o tro t ip o , si t od o s lo s va lo re s d e la s va ria b le s
e st á n pe rf e ct am en t e co rre la cio na do s o qu e ha y co rre la ción
p e rf e cta en t re e llas. (S p ie ge l, 19 9 1 )

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN.- Expresa de una manera cuantitativa la
magnitud y dirección de una relación.

Coeficiente de correlación se lo designa en la letra r puede variar entre +1 a -1
el signo nos dice si la relación es positiva o negativa.

Como +1 es el mayor número posible este representa una relación perfecta
de una relación positiva.
Si el coeficiente es -1 que la relación se perfecta que la relación es negativa.
Cuando la correlación es cero (0) no existe una relación entre x y significa
que x y no crece ni decrece la recta es horizontal.

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

El coeficiente de correlación de la r de Person toma valores comprendidos entre
-1 y +1 pasando por (o) el numero -1 corresponde a una correlación negativa
perfecta y la +1 a una correlación positiva perfecta el coeficiente de r es igual a
O se obtiene cuando no existe ninguna correlación negativa y os valores
positivos menores que uno indica una correlación positiva.


El coeficiente entre la variación explicada y la variación total se llaman
coeficiente de determinación. Si la variación explicada es cero o sea toda la
variación es variación inexplicada, ese coeficiente es cero. Si la variación
inexplicada es cero o sea toda la variación es explicada, el coeficiente es uno.
(Spiegel, 1991)


El valor del coeficiente de correlación también llamado de Person ayuda a
contestar la pregunta ¿existe correlación lineal entre las dos variables? El
coeficiente de correlación de r siempre tiene un valor de -1 y +1 indica una
correlación positiva o negativa. (Cortes, 2009)

RELACIÓN PERFECTA.- Es aquella que existe una relación positiva o negativa
para lo cual todos los puntos caen sobre la recta.

RELACIÓN IMPERFECTA.- Es aquella que existe una relación pero no todos
los puntos caen sobre una recta.

Un plano cartesiano con una mejor exactitud mediante una línea recta por la
ecuación.

Y= bx + a

b=pendiente o m=

a= Ordenada

EJEMPLO DE UNA RELACIÓN NEGATIVA

Es una relación negativa perfecta, ya que los valores mayores se asocian con
los otros valores menores de la relación.

Y

15 ∆X (8, 13)

∆Y (20,10)

10

5

X

5 10 15 20 25

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON

Todo coeficiente de correlación que no sea cero indica cierto grado de relación
entre 2 variables, lo que el grado de intensidad es fuerte o débil de una
interpretación matemática pura, el hecho de que 2 variables tienden a aumentar
o disminución sobre una de ellas.

La r de Pearson es una medida del grado en el cual las parejas de datos
ocupan posiciones iguales u opuestas dentro sus propias distribuciones.
(PAGANO, Robert. Estadística para las ciencias del comportamiento. En
estadística inferencial. 7a.ed. Mexico. DF: 2006.pp 113 ISBN: 0534617670)

En estadística, el coeficiente de correlación de Pearson es un índice que mide
la relación lineal entre dos variables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la
covarianza, la correlación de Pearson es independiente de la escala de medida
de las variables. De manera menos formal, podemos definir el coeficiente de
correlación de Pearson como un índice que puede utilizarse para medir el grado
de relación de dos variables siempre y cuando ambas sean cuantitativas.
(Cortes, 2009)

MATEMARICAMENTE Entre 2 variables se lo interpreta como:

INTERPRETACIÓN.- Que tan elevado es el coeficiente de correlación dado
todo r=0 indica cierto grado de relación entre 2 variables, que grado de

Intensidad de relación se puede considerar, si la relación es fuerte o débil.

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE RANGOS DE SPERMAN

El coeficiente de correlación mide el grado de asociación entre dos cantidades,
pero no mira el nivel de acuerdo o
concordancia.

Esta prueba estadística permite medir la
correlación o asociación de dos variables y es aplicable cuando las mediciones
se realizan en una escala ordinal, aprovechando la clasificación por rangos.
(Spiegel, 1991)

Se utiliza cuando una o ambas variables corresponden solo a una escala
ordinal Sperman es en realidad el coeficiente de correlación lineal r de Pearson
aplicado a los datos que satisfacen los requisitos de una escala ordinal.
(PAGANO, Robert. Estadística para las ciencias del comportamiento. En
estadística inferencial. 7a.ed. Mexico. DF: 2006.pp 121ISBN: 0534617670)

Cuando una o más variables son solo de escala ordinal.

FORMULA MATEMÁTICA:

rs = 1-

Di= R(xi) – R(yi)

EJERCICIO EN CLASE Nº 1

Dados los siguientes conjuntos de parejas de datos muéstrales:

1 1 4 2 1 5
4 2 5 4 4 4
7 3 8 5 7 3
10 4 9 1 10 2
13 5 10 4 13 1

a) Utilice la ecuación para el valor de la r de Pearson para cada conjunto.
Observe que en el conjunto B, donde la correlación es menor, algunos de los
valores;

Zx Zy son positivos y otros son negativos. Éstos tienden a cancelarse entre sí,
lo cual hace que r tenga una menor magnitud. Sin embargo, en los conjuntos A
Y C, todos los productos tienen el mismo signo, haciendo que la magnitud de r
aumente. Cuando las parejas de datos ocupan las mismas u opuestas
posiciones dentro de sus propias distribuciones, los productos Zx Zy tienen el
mismo signo, lo cual produce una mayor magnitud de r.

Para A calculamos los valores de , y las sumatorias respectivas.

b) Calcule r para el conjunto B, utilizando la ecuación para los datos en bruto.
¿Qué prefiere, utilizar la ecuación de los datos en bruto o la de los puntajes z?

C) Sume la constante 5 a los datos X en el conjunto A y calcule r de nuevo,
mediante la ecuación de los datos en bruto. ¿Ha cambiado el valor?

d) Multiplique los datos X del conjunto A por 5 y calcule r de nuevo. ¿ ha
cambiado algún valor?

e) generalice los resultados obtenidos en las partes c y d, restando y dividiendo
los datos entre una constante. ¿Qué le dice esto sobre r ?

2.- En un largo curso de introducción a la sociología, un profesor hace dos
exámenes. El profesor quiere determinar si las calificaciones de los estudiantes
en el segundo examen están correlacionadas con las calificaciones del primero.
Para facilitar, se elige una muestra de ocho estudiantes con las calificaciones
que aparecen en la siguiente tabla.

a) Construya una grafica de dispersión para los datos, utilizando la calificación
del primer examen como la variable X. ¿Parece lineal la ecuación?

b) Suponga que existe una relación lineal en las calificaciones de los dos
exámenes. Calcule el valor de la r de Pearson.

c) ¿Qué tan bien explican, las calificaciones del segundo examen.?

Ejercicio 14:

ejercicio 14
ESTUDIANTE EXAMEN1 EXAMEN 2
1 60 60
2 75 100
3 70 80
4 72 68
5 54 73
6 83 97
7 80 85
8 65 90

ESTUDIANTE EXAMEN1 EXAMEN 2 X2 Y2
1 60 60 3600 3600
2 75 100 5625 10000
3 70 80 4900 6400
4 72 68 5184 4624
5 54 73 2916 5329
6 83 97 6889 9409
7 80 85 6400 7225
8 65 90 4225 8100
TOTAL 8 559 653 39739 54687

DATOS
∑XY 46239 7178,875
R=
(∑X) 559 940835,891
(∑Y) 653
n 8 R= 0,00763032
∑X2 39739 % 0,76303158
∑Y2 54687

Se puede analizar que de una perspectiva los estudiante han tenido un
incremento del 73% para la realización del segundo examen es decir las
políticas adoptadas por estudiante docente han funcionado.

La tabla muestra un salario mensual que perciben 5 agentes de ventas el valor
en dólares.

AGENTE VARIABLE X MERCANCIA VENDIDA Y VARIABLE SALARIOS EN
EN $ $

1 0 500
2 1000 900
3 2000 1300
4 3000 1700
5 4000 2100

2500

2000

1500

1000

500

0
0 1000 2000 3000 4000 5000

m =

m=

a= 500

y= ax + b

y=0.40x + 500

La ecuación y=0.40x + 500 nos indica la relación entre el salario y la
mercadería vendida esto nos indica que y se incrementa 0.4 por cada unitario
de xi, con esta relación podemos producir cualquier valor de y si solo se conoce
el valor de xi.

EJEMPLO

X=1500

Y`= 0,40 x + 500

Y´= 0,40(1500) + 500

Y´= 1100

Así una agente vende $1500 de mercancía y su salario casi igual a $1100

EJERCICIO:

ESTUDIANTE PRUEBA DE HABILIDAD EXAMEN DE ADMISIÓN
MENTAL (X) (Y)

María 18 82
Jessica 15 68
Carla 12 60
Nancy 9 32
Juan 3 18

GRÁFICA:

90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 5 10 15 20

EJEMPLO DEL COEFICIENTE DE SPERMAN

ESTUDIANTE COEFICIENTE X´ PUNTAJE Y´ Di=x´-y´
INTELECTUAL X Y

1 0.30 11 8.9 9 2 4
2 0.44 9 9.3 8 1 1
3 0.67 5 9.6 6 -1 1
4 0 15 6.2 15 0 0
5 0.50 8 8.8 10 -2 4
6 0.15 13 8.1 11 2 4
7 0.58 7 9.5 7 0 0
8 0.32 10 7.1 14 -4 16
9 0.72 4 11 3 1 1
10 1 1 11.7 1 0 0
11 0.87 3 11.5 2 1 1
12 0.09 14 7.3 13 1 1
13 0.89 2 10 4.5 -2.5 6.25
14 0.64 6 10 4.5 1.5 2.25
15 0.24 12 7.5 12 0 0
41.50

r= 1 -

r= 1 –

r= 1 -

r= 0.93

EJEMPLOS DE EJERCICIOS:

X Y x.y
María 18 82 324 6724 1476
Olga 15 68 225 4624 1020
Susana 12 60 144 3600 720
Aldo 9 32 81 1024 288
Juan 3 18 9 324 54
57 260 783 16296 3558

r=

r=

r=

r=

r= 0.98

EJERCICIO Nº2

GRÁFICA

12

10

8

6

4

2

0
0 2 4 6 8 10 12

ECUACION

RESOLVER EL COEFICIENTE DE PEARSON

X Y x.y

1 6 5 36 25 30

2 5 3 25 9 15

3 7 4 49 16 28

4 10 8 100 64 80

5 2.5 1 6.25 1 2.5

6 2.5 6 6.25 36 15

7 9 10 81 100 90

8 1 2 1 4 2

9 11 9 121 81 99

10 4 7 16 49 28

11 8 11 64 121 88

12 12 12 144 144 144

78 78 649.50 650 621.50

r=

r=

r=

r=

r= 0.80

COEFICIENTE DE SPERMAN

X X´ Y Y´ Di=x´-y´

1 6 7 5 8 -1 1

2 5 8 3 10 -2 4

3 7 6 4 9 -3 9

4 10 3 8 5 -2 4

5 2.5 10.5 1 12 -1.5 2.25

6 2.5 10.5 6 7 3.5 12.25

7 9 4 10 3 1 1

8 1 12 2 11 1 1

9 11 2 9 4 -2 -4

10 4 9 7 6 3 9

11 8 5 11 2 3 9

12 12 1 12 1 0 0

48.5

r= 1 -

r= 1 –

r= 1 -

r= 0.83

EJERCICIO Nº3

GRÁFICA

12

10

8

6

4

2

0
0 2 4 6 8 10 12

ECUACION


X Y x.y

1 0.30 8.9 0.09 79.21 2.67

2 0.44 9.3 0.19 86.49 4.09

3 0.67 9.6 0.45 92.16 6.43

4 0 6.2 0 38.44 0

5 0.50 8.8 0.25 77.44 4.4

6 0.15 8.1 0.02 65.61 1.22

7 0.58 9.5 0.34 90.25 5.51

8 0.32 7.1 0.10 50.41 2.27

9 0.72 11 0.52 121 7.92

10 1 11.7 1 136.89 11.7

11 0.87 11.5 0.76 132.25 10.01

12 0.09 7.3 0 53.29 0.66

13 0.89 10 0.79 100 8.9

14 0.64 10 0.41 100 6.4

15 0.24 7.5 0.06 56.25 1.8

7.41 136.50 4.98 1279.69 73.98

r=

r=

r=

r=

r= 0.93


INTELECTUAL X
Y

1 0.30 11 8.9 9 2 4

2 0.44 9 9.3 8 1 1

3 0.67 5 9.6 6 -1 1

4 0 15 6.2 15 0 0

5 0.50 8 8.8 10 -2 4

6 0.15 13 8.1 11 2 4

7 0.58 7 9.5 7 0 0

8 0.32 10 7.1 14 -4 16

9 0.72 4 11 3 1 1

10 1 1 11.7 1 0 0

11 0.87 3 11.5 2 1 1

12 0.09 14 7.3 13 1 1

13 0.89 2 10 4.5 -2.5 6.25

14 0.64 6 10 4.5 1.5 2.25

15 0.24 12 7.5 12 0 0

41.50

r= 1 -

r= 1 –

r= 1 -

r= 0.93

EJERCICIO Nº4

GRÁFICA

ECUACION


X Y x.y

Maria 18 82 324 6724 1476

Olga 15 68 225 4624 1020

Susana 12 60 144 3600 720

Aldo 9 32 81 1024 288

Juan 3 18 9 324 54

57 260 783 16296 3558

r=

r=

r=

r=

r= 0.98


INTELECTUAL X
Y

Maria 18 1 82 1 0 0

Olga 15 2 68 2 0 0

Susana 12 3 60 3 0 0

Aldo 9 4 32 4 0 0

Juan 3 5 18 5 0 0

0

r= 1 -

r= 1 –

r= 1 -

r= 1

EJERCICIO Nº5

GRÁFICA

EJERCICIO N º 5
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 5 10 15 20

ECUACION


X Y x.y

1 18 18 324 324 324

2 15 22 225 6724 1230

3 12 68 144 4624 816

4 9 60 81 3600 540

5 3 32 9 1024 96

57 260 783 16296 3006

r=

r=

r=

r=

r= 0.07



1 18 1 18 5 -4 16

2 15 2 82 1 1 1

3 12 3 68 2 1 1

4 9 4 60 3 1 1

5 3 5 32 4 1 1

20

r= 1 -

r= 1 –

r= 1 -

r= 0

EJERCICIO Nº6

GRÁFICO

EJERCICIO Nº 6
80

70

60

50

40

30

20

10

0
0 5 10 15 20


X Y x.y

1 18 18 324 324 324

2 15 32 225 1024 480

3 12 60 144 3600 720

4 9 68 81 4624 612

5 3 82 9 6724 246

57 260 783 16296 2382

r=

r=

r=

r=

r= -0.96

EL COEFICIENTE DE PEARSON:

X Y x.y

J 49 48 2401 2304 2352

K 47 45 2209 2025 2115

L 42 22 1764 484 924

P 39 22 1521 484 854

F 37 40 1369 1600 1480

Z 32 40 1024 1600 1280

6 246 217 10288 8497 9009

r=

r=

r=

r=

r= 0.31



J 49 1 48 1 0 0

K 47 2 45 2 0 0

L 42 3 22 5.5 -2.5 6.25

P 39 4 22 5.5 -1.5 2.25

F 37 5 40 3.5 1.5 2.25

Z 32 6 40 3.5 2.5 6.25

17

r= 1 -

r= 1 –

r= 1 -

r= 0.51

EJERCICIOS PROPUESTOS

Resolver los siguientes ejercicios:

X Y
10 7
8 4
9 5
11 4
11 8
14 6
10 9
9 8
11 7
13 5
15 4
16 6

X Y
86 15
74 43
73 16
65 11
82 10
78 13
79 14
70 15
50 10
65 9

COEFICIENTE DE CORRELACION

Expresa de una manera cuantitativa la magnitud y dirección de
una relación, se lo designa en la letra r puede variar entre +1 a -1
el signo nos dice si la relación es positiva o negativa.

Relación perfecta Relación Imperfecta Relación Lineal

Es aquella que existe una Es aquella que existe una Existe 2 variables es
relación positiva o negativa relación positiva o negativa aquella que puede
para lo cual todos los puntos para lo cual todos los representarse en un
plano cartesiano con
caen sobre la recta. puntos caen sobre la recta.
una mejor exactitud
mediante una línea
recta por la ecuación.

FORMULAS
PEARSON

r=

SPERMAN

rs= 1-

APRENDIZAJE MEDIADO

NIVEL TEÓRICO PRÁCTICO

 Lectura comprensiva de los conceptos básicos de la correlación.
 Analizar los conceptos de la correlación.

NIVEL TEÓRICO AVANZADO

 Elaborar un organizador grafico de la teoría de la correlación.
 Realizar nuestros propios conceptos para mayor entendimiento.

NIVEL TEÓRICO BÁSICO PRÁCTICO

 Resolver ejercicios sobre pruebas de psicológicas realizada a
estudiantes aplicando los coeficientes de correlación.
 Establecer problemas y resolverlos aplicando los coeficientes de
correlación.

NIVEL TEÓRICO BÁSICO PRÁCTICO AVANZADO

 Con datos de importaciones de productos aplicar los coeficientes de
correlación.
 Resolver ejercicios con datos de exportaciones con la aplicación de los
coeficientes de correlación.

APRENDIZAJE AUTÓNOMO

NIVEL TEÓRICO PRÁCTICO

 Investigar otros conceptos de la correlación en libros e internet.
 Hacer un resumen de la investigación realizada.

NIVEL TEÓRICO AVANZADO

 Elaboración de un Mentefacto de la correlación.
 Elaboración de ejemplos pequeños para una mayor comprensión de los
conceptos de la correlación.

NIVEL TEÓRICO BÁSICO PRÁCTICO

 Realizar ejercicios sobre pruebas que se tomaron a estudiantes,
coeficiente intelectual, psicológicas aplicando los coeficientes de
correlación.
 Resolver un problema de una investigación realizada sobre el nivel de
herotina de los monos aplicando los coeficientes de correlación.

NIVEL TEÓRICO BÁSICO PRÁCTICO AVANZADO

 Investigar los datos de importaciones o exportaciones de la página del
Banco Central del Ecuador en los años 2011- 2012 aplicar los
coeficientes de correlación.
 Con los datos de las exportaciones o importaciones de datos reales de la
página del Banco Central recolectando datos del primer trimestre del año
2011 -2012 aplicar los coeficientes de correlación.

REGRESIÓN LINEAL

La regresión y la correlación están íntimamente ligados, ambos implican la
relación entre 2 variables y utilizan el mismo conjunto de datos básicos.

La regresión se centra en el uso de la relación para determinar una predicción,
cuando la relación es perfecta, esto es cuando todos los puntos están sobre la
recta y se utilizan para señalar la predicción, la situación se hace más compleja
cuando la relación es imperfecta.

Esta recta es la línea de regresión por los mínimos cuadrados. La distancia
vertical en cada punto y la recta representan el error de la predicción, pareciera
que el error total seria la suma algebraica .

El error total de predicción presentado por , es menor para la línea
de regresión por mínimos cuadrados.

En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que
modeliza la relación entre una variable dependiente Y, las variables
independientes Xi y un término aleatorio (Cortes, 2009).

La palabra regresión se emplea para denotar el proceso de estimar el valor de
una de las variables en función de otra, cuyo valor se considerado. (MARTINEZ, 2001)

La ecuación por los mínimos cuadrados está dado por , ecuación
de regresión lineal para predicción y dado por X.

= Valor predicho

by = Pendiente

ay = Ordenado al origen

FORMULA DE LA REGRESIÓN

ECUACIÓN PARA CALCULAR LA CONSTANTE DE REGRESIÓN

EJERCICIO Nº 1

El aprovechamiento de los estudiantes con relación al promedio de
calificaciones para cada uno.

ESTUDIANTES APROVECHAMIENTO PROMEDIO XY
(X) (Y)
1 110 1 110 12100
2 112 1.6 179.20 12544
3 118 1.2 141.60 13924
4 119 2.1 249.90 14161
5 122 2.6 317.20 14884
6 125 1.8 225 15625
7 127 2.6 330.20 16129
8 130 2 260 16900
9 132 3.2 422.40 17424
10 134 2.6 384.40 17956
11 136 3 408 18496
12 138 3.6 496.80 19044
1503 27.30 3488.70 189187

Ejemplo de la grafica de acuerdo con los resultados propuesta de los ejercicios
donde podemos observar una grafica positiva y unos puntos dispersos.

Esta es un gráfica con una relación imperfecta positiva (m +).

DETERMINAR EL COEFICIENTE DE PEARSON Y SPERMAN

COEFICIENTE DE PEARSON


LA ECUACIÓN LINEAL A TRAVÉS DEL MÉTODO ESTADÍSTICO Y LA
REGRESIÓN LINEAL

REGRESIÓN

CONSISTENTE DE REGRESIÓN

ECUACIÓN MÁTEMATICA

EJERCICIO PROPUESTO

Resolver los siguientes ejercicios:

X Y
X Y
63 56
159.2 167.15
60 60
206.3 95
57 61
188.07 197.5
58 60
196.7 215.3
79 65
143.9 145.7
55 62
324.5 154.9
57 58
248.3 153.5
58 61
199.2 156.6
65 56
110.2 178.2
73 65
169.7 210.9
66 69
174.5 215.3
63 59
70 66
65 60
61 67

REGRESIÓN LINEAL

Es una relación entre 2 variables y utiliza un conjunto de datos
básicos. La regresión se centra en el uso de la relación para
determinar una predicción.

FÓRMULA

= Valor predicho

by = Pendiente
APRENDIZAJE MEDIDO
ay = Ordenado al origen

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