1. Denis Castilla Morales
María José Palencia Camargo
Natalia Franco Puello
Presentado a:
Idelfonso Baldiris
Algebra lineal
Fundación Universitaria Tecnológico Comfenalco
Cartagena, 06 de Mayo del 2012

2. Factorización LU
Suponga que la matriz invertible A se puede
reducir por renglones a una matriz triangular
superior sin realizar permutaciones. Entonces
existen matrices únicas L y U tales que L es
triangular inferior con unos en la diagonal, U
es una matriz superior invertible y A = LU.

3. EJEMPLO: encuentre una factorización LU de una
matriz A
Reduzca por 2 3 2 4 a una matriz
renglones 4 10 -4 0 triangular superior
la matriz A= -3 -2 -5 -2 y
-2 4 4 -7
después escriba A como un producto de una matriz
triangular inferior y una matriz triangular superior.

4. SOLUCION
Se procede como antes, solo que esta vez no se dividen
los elementos de la diagonal (pivotes) por si mismos:
2 3 2 4 R2 R2 - 2R1 2 3 2 4 2 3 2 4
4 10 -4 0 R3 R3 + 3/2R1 0 4 -8 -8 R3 R3 -5/8R2 0 4 -8 -8
-3 -2 -5 -2 R4 R4 + R1 0 5/2 -2 4 R4 R4 -7/4R2 0 0 3 9
-2 4 4 -7 0 7 6 -3 0 0 20 11

5. 2 3 2 4
R4 R4 -20/3R3 0 4 -8 -8 = U
0 0 0 -49
Usando las matrices elementales, se puede escribir
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
U= 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -5/8 1 0
0 0 -20/3 1 0 -7/4 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 -2 1 0 0
X 0 0 1 0 3/2 0 1 0 0 0 1 0A
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

6. O
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
A= 0 0 1 0 -3/2 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
X 0 5/8 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 U
0 0 0 1 0 7/4 0 1 0 0 20/3 1

7. Se ha escrito A como un producto de seis matrices
elementales y una matriz triangular superior.
Sea L el producto de las matrices elementales. Debe
verificar que
1 0 0 0
L = 2 1 0 0 , que se trata de una matriz triangular
-3/2 5/8 1 0 inferior con unos en la diagonal.
-1 7/4 20/3 1

8. Después se puede escribir A= LU, donde L es triangular
Inferior y U es triangular superior. Los elementos de la
diagonal L son todos iguales a 1 y los elementos de la
Diagonal de U son los pivotes. Esta factorización se llama
Factorización LU de A