1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión Maturín
Esc. Ing. Electrónica y Eléctrica
Modelos matemáticos. Diagramas de bloques
Facilitadora: Ing. Mariángela Pollonais
Maturín, mayo de 2011

2. Aplicaciones transformada de Laplace
 Circuito RLC serie
Las ecuaciones de la malla, de acuerdo a la ley de voltajes
de Kirchhoff

3. Aplicaciones Transformada de Laplace
 Obteniendo la Transformada de Laplace, con
condiciones iniciales igual a cero se obtiene :

4. Aplicaciones Transformada de Laplace
 Haciendo el cociente de la señal de
salida con respecto a la entrada
se tiene:
 Con esta relación, se puede obtener la respuesta a
diferentes señales de entrada típicas y saber el
comportamiento del sistema.

5. Aplicaciones Transformada de Laplace
 Sistema Masa Resorte
 Utilizando las leyes de Newton, se obtiene:
d2y dy
k m 2 b ky (t ) r (t )
dt dt
 b donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción
viscosa, k es la constante del resorte, y(t) es el
desplazamiento y r(t) es la fuerza aplicada.
m
y(t)
r(t)

6. Aplicaciones Transformada de Laplace
 Su transformada de Laplace es:
M s 2Y ( s) sy (0) y ' (0) b sY ( s) y (0) KY ( s) R( s )
considerando:
y ' (0) 0, y (0) 0
2
Ms Y ( s) bsY ( s) KY ( s) R( s )
Y (s) 1
2
R( s) Ms bs K

7. Función de Transferencia
La función de transferencia de un sistema se define como
la transformada de Laplace de la variable de salida y la
transformada de Laplace de la variable de entrada,
suponiendo condiciones iniciales cero.
L c(t )
Función de transferencia
L r (t )
con condiciones inicialescero
c(t ) salida
r (t ) entrada

8. Función de Transferencia
Observaciones
 Es una descripción entrada salida del comportamiento
del sistema.
 Depende de las características del sistema y no de la
magnitud y tipo de entrada.
 No proporciona información acerca de la estructura
interna del sistema.

9. Función de Transferencia
 Para el sistema:
an y ( n ) an 1 y ( n 1)
 a1 y ' a0 y bm u ( m )  b1u ' b0u
donde y(t)=entrada y u(t)= salida n≥m
Aplicando Transformada de Laplace en ambos
miembros queda:
( m)
Y ( s) bm s  b1s b0
G( s)
U ( s) an s ( n ) an 1s ( n 1)  a1s a0

10. Función de Transferencia
 A la potencia más alta del denominador de G(s)
(ecuación característica) se le denomina orden del
sistema.
A las raíces de la ecuación característica se les
denominan polos del sistema, mientras que a las raíces
del numerador se le llaman ceros del sistema.

11. Diagrama de polos y ceros
El diagrama de polos y ceros de la Función de
Transferencia de un sistema es una gráfica en el plano
complejo s donde los ceros se destacan con un símbolo ‘o’ y
los polos con un símbolo ‘x’ .
 POLOS: p es un polo de un sistema si G(p)
“
 CEROS: c es un cero de un sistema si G(c) 0

12. Diagrama de polos y ceros

Un sistema, que esta inicialmen te en reposo,

se explica por la Funcion de Transferen cia
( s 5)(s j )
H (s)
( s 3)(s 2)(s 2 6 s 25)
( s 5)(s j )
H (s)
( s 3)(s 2)(s 3 j 4)(s 3 j 4)

los ceros del sistema seran
c1 5, c 2 j

los polos del sistema seran
p1 3, p 2 2, p 3 3 j 4, p 4 3 j4

13. Diagrama de polos y ceros
Representación en el plano complejo
j Imag(s) = j
4
1
Re(s) =
-5 -3 -2
-4

14. Modelo Matemático
En líneas generales, por modelo de un proceso se
entiende una representación de los aspectos esenciales
del mismo. Los modelos han probado su utilidad en
diferentes aspectos del diseño, operación y desarrollo de
procesos.

15. Modelo Matemático
Representan el proceso en términos matemáticos
(símbolos), en cuanto a sus propiedades, características, y
relaciones internas y externas. Son extensivamente usados
en una gran cantidad de campos.
• Ventajas de los modelos matemáticos:
• Lenguaje preciso, sin ambiguedades.
• Facilidad de manipulación analítica e implementación
computacional

16. Diagramas de Bloque
• Los diagramas de bloques de un sistema son bloques
operacionales y unidireccionales que representan la
función de transferencia de las variables de interés.
• Ventajas:
• Representan en forma más gráfica el flujo de señales
de un sistema.
• Con los bloques es posible evaluar la contribución de
cada componente al desempeño total del sistema.
• No incluye información de la construcción física del
sistema (Laplace).

17. Diagramas de Bloque
• Elementos de un diagrama de bloques
Función de
Variable Variable
transferencia
de entrada de salida
G (s )

18. Diagramas de Bloque
 Bloque:
Representa la operación matemática que sufre la
señal de entrada para producir la señal de salida. Las
funciones de transferencia se introducen en los bloques. A
los bloques también se les llama ganancia.
 Flecha:
Representa una y solo una variable. La punta de la
flecha indica la dirección del flujo de señales.

19. Diagramas de Bloque
 Forma general
Bifurcación.
P(s)
R(s) E(s)
G(s) C(s)
+ B(s)
H(s)
Sumador

20. Diagramas de Bloque
 R(s) Entrada de referencia: Es la señal de entrada al
sistema de control.
 C(s) Salida del sistema: Es la cantidad física que debe
mantenerse en un valor predeterminado.
 P(s) Perturbaciones: Son señales que afectan la salida del
sistema.

21. Diagramas de Bloque
 E(s) Señal activa de error: Esta señal es la diferencia entre
la señal de entrada de referencia y la salida del sistema,
actúa sobre el bloque de control para mantener la salida
de un valor deseado.
 B(s) Señal de retroalimentación: Es la señal de salida
despues que pasa por el elemento H(s).

22. Diagramas de Bloque
 Sumadores: Representan operaciones de adición o
sustracción de las señales que intervienen. También se les
llama comparadores. (La adición o sustracción depende del
signo con que las señales entran)

23. Diagramas de Bloque
Bifurcación: Un punto de toma es aquel a partir del cual
la señal de un bloque va de modo concurrente a otros
bloques o puntos de suma.

24. Diagramas de Bloque

25. Diagrama de bloques
 El diagrama de bloques se obtiene a partir de las ecuaciones
dinámicas que describen el comportamiento de cada
componente a las que previamente se las aplica la
Transformada de Laplace, conectando finalmente los
componentes del diagrama de bloques completo.
 A partir del diagrama de bloques de un sistema se pueden
realizar modificaciones con objeto de simplificar o reducir el
diagrama original, hasta quedar un solo bloque equivalente.
 Reducción del diagrama de bloques original por aplicación de
las reglas del algebra de bloques.

26. Diagramas de bloques
 Funciones de transferencia
 De trayectoria directa.
 De lazo abierto.
 De lazo Cerrado.

27. Diagramas de bloques
 Función de transferencia trayectoria directa
R(s) E(s) G(s) C(s)
B(s)
H(s)
C (s)
G (s)
E (s)

28. Diagramas de bloques
 Función de transferencia de lazo abierto
R(s) E(s) G(s) C(s)
+ B(s)
H(s)
B( s)
G( s) * H ( s)
E ( s)

29. Diagramas de bloques
 Función de transferencia de lazo cerrado
R(s) C(s)
G(s)
+
-
H(s)
C ( s) G( s)
R( s) 1 G( s) * H ( s)

30. Álgebra de bloques
 Representa las equivalencia que existen entre un conjunto
de elementos de un diagrama de bloques agrupados en una
forma específica.

31. Álgebra de bloques
 Bloques en serie
R(s) C(s)
G1(s) G2(s)
R(s) C(s)
G1(s) x G2(s)

32. Álgebra de Bloques
 Bloques en paralelo
G1(s) C(s)
R(s)
G2(s)
R(s) C(s)
G1(s) + G2(s)

33. Álgebra de Bloques
 Adelantar punto de bifurcación
X1(s) X2(s)
G1(s)
G2(s)
X1(s) X2(s)
G1(s)
G2 ( s )
G1 ( s )

34. Álgebra de bloques
 Atrasar un punto de bifurcación
X1(s)
X2(s)
G1(s)
G2 ( s )
X1(s) X2(s)
G1(s)
G1(s)G2(s)

35. Álgebra de bloques
 Adelantar un punto de suma
X1(s) X2(s)
G1(s)
G2(s)
X2(s)
X1(s)
G1(s)
G2 ( s )
G1 ( s )

36. Álgebra de bloques
 Atrasar un punto de suma
X1(s) X2(s)
G1(s)
G2 ( s )
X2(s)
X1(s)
G1(s)
G1(s)G2(s)

37. Álgebra de bloques
 Propiedad asociativa de la suma
X1 + X4
X2 X3
- -
X2
-
X1 + X4
-
X3

38. Álgebra de bloques
 Retroalimentación
R(s) G(s) C(s)
+
_
H(s)
G (s)
R(s) C(s)
1 G (s) H (s)

39. Álgebra de bloques
 Tablas…

40. Álgebra de bloques
 Continuación…

41. Simplificación de Diagramas de
Bloques
 Se basa en el uso del “álgebra de bloques“ para agrupar
y sustituir partes de un diagrama inicial por
equivalentes reducidos. Realizando esto en forma
sucesiva, se logra llevar el problema inicial a un sólo
resultado o bloque, el cual representará la función de
transferencia entre las señales involucradas.

42. Simplificación de Diagramas de Bloques
 Ejemplos
_
R(S) + +
5 10 C(s)
_
H
_ 1/10
R(S)
5 10 C(S)
_
1/5 H

43. Simplificación de Diagramas de Bloques
 Continuación…
_ 1/10
+
R(S) 5 10 C(S)
_
1/5 H
+
R(S) 50 C(S)
_
H/5 1/10

44. Simplificación de Diagramas de Bloques
 Continuación…
+
R(S) 50 C(S)
_
(10H+5)/50
G (s)
R(s) C(s)
1 G (s) H (s)

45. Simplificación de Diagramas de Bloques
 Ejemplo
Ha
_
+ +
R(s) Ga Gb Gc C(s)
_
Hb
1/Ga Ha
_
R(s) + + C(s)
Ga Gb Gc
_
Hb 1/Gc

46. Simplificación de Diagramas de Bloques
 Continuación..
1/Ga Ha
_
R(s) + + Ga Gb Gc C(s)
_
Hb 1/Gc
R(s) + C(s)
GaGbGc
_
(Ha/Ga)+(Hb/Gc)