A trigonometria estuda as relações entre os lados de um triângulo retângulo para diferentes valores de um ângulo agudo. Dois métodos para medir alturas inacessíveis são usando um único ângulo de elevação ou dois ângulos medidos de locais diferentes para criar um sistema de equações.

1. Matemática
TRIGONOMETRIA

2. Trigonometria
A trigonometria é um ramo da matemática que estuda as relações entre os
comprimentos de 2 lados de um triângulo retângulo, para diferentes valores
de um dos seus ângulos agudos.
Este ramo da matemática permite que possamos medir alturas inacessíveis,
como por exemplo, de um edifício alto, apenas conhecendo a distância a que
nos encontramos dele e o ângulo formado pelo lado adjacente a essa medida
imaginando um triângulo retângulo.

3. Conhecendo a distância ao edifício e o ângulo adjacente β, e usando uma das três razões da trigonometria:
sin β =
comprimento do cateto opostoao ângulo de amplitude β
comprimento da hipotenusa
=
c.o
h
cos β =
comprimento do adjacente ao ângulo de amplitude β
comprimento da hipotenusa
=
c.a
h
tan β =
comprimento do cateto opostoao ângulo de amplitude β
comprimento do adjacente ao ângulo de amplitude β
=
c.o
c.a
conseguimos descobrir a altura do nosso objeto.

4. O que precisamos:
Para descobrirmos a altura de um objeto utilizamos um quadrante para medir o ângulo de elevação e com a ajuda de uma fita métrica medimos a
distância a que estamos do objeto.
O ângulo formado tem que ser menor que 90°. À medida que nos afastamos do objeto o ângulo diminui.

5. O que vamos medir:

6.  sin β ⟵ =
c.o
h
 cos β ⟵ =
c.a ⟵
h
 tan β ⟵ =
c.o ⟵
c.a ⟵
Para sabermos que fórmula usar para determinar a altura da chaminé assinalamos com uma seta o que sabemos: β (ângulo de elevação), o
cateto adjacente (a nossa distância à chaminé) e o queremos descobrir (cateto oposto, ou seja, a altura da chaminé ). Usamos aquela em que
estão presentes as três setas.
Vamos usar a fórmula da tangente.

7. O que vamos fazer agora:
Vamos ter de medir a nossa distância à
chaminé e de seguida a amplitude do ângulo
de elevação, β.

8. Distância à chaminé
Para começar vamos medir a nossa distância à chaminé. Para isso precisamos no mínimo de duas pessoas e de uma fita métrica. Uma das pessoas
deverá ficar sempre no mesmo sitio para a distância não se alterar e consequentemente a amplitude do ângulo de elevação.

9. No nosso caso, a nossa distância à chaminé foi
de 15 metros.
d = 15 metros

10. Amplitude do ângulo de elevação
Depois de medir a nossa distância à chaminé temos de determinar a amplitude do ângulo de elevação com a ajuda de um quadrante. Para isso a
pessoa deve continuar no mesmo sítio e com a ajuda de outra pessoa determinamos o ângulo de elevação olhando pelo quadrante para o ponto
mais alto da chaminé.

11. No nosso, o ângulo de elevação tem amplitude de 35°.
β = 35°

12. Posto isto:
Posto isto já descobrimos a distância à nossa chaminé que é de 15 metros e a amplitude do ângulo adjacente que é de 35 °. Como também sabemos
que fórmula usar só nos resta fazer as contas.
 tan β ⟵ =
c.o ⟵
c.a ⟵
 d = 15 metros
 β = 35°

13. tan β ⟵ =
c.o ⟵
c.a ⟵
⇔
tan 35°=
a
15
⇔
a = tan 35° X 15 ⇔
a ≈ 10,5 m
Calculamos agora a altura da chaminé a partir do triângulo que imaginamos.

14. Mas ainda não acabou:
Agora que já sabemos a altura que vai desde do topo
da chaminé até à altura a que o quadrante se
encontra, temos de determinar a restante altura que
vai do quadrante até ao chão que corresponde à
altura da pessoa que segurou o quadrante, mas
apenas até ao nível dos seus olhos.
Com a fita métrica medimos a altura y.

15. A altura que vai desde o quadrante até ao chão é de 1,49 m.

16. Então, a altura da chaminé é:
10,5 + 1,49 = 11, 99 m

17. Exitem outras maneiras:
A trignometria é um ramo da matemática muito grande que abrange diferentes fórmulas e maneiras de resolvermos um mesmo problema. Logo,
determinar alturas de objetos não podia deixar de ser exepção. Para além da maneia anterior que mostrámos para determinar alturas de objetos
inacessiveis existem muitas outras.
O nosso grupo irá mostrar outra dessas muitas maneiras de determinar alturas inacessíveis.

18. Sistema de Equações
Imaginem que a altura que queriam descobrir era mesmo muito grande e consequentemente a medição do cateto adjacente era uma tarefa muito
complicada. Ou se a vossa distância ao objeto passar por estradas, por lagos, ou mesmo se não tiverem convosco uma fita métrica. Se isto acontecesse
talvez pudessem pensar que seria impossível determinar a altura do vosso objeto por não conseguiem determinar a vossa distância a ele. Mas não é. Na
verdade, se soubermos apenas 2 ângulos de elevação medidos de pontos diferentes numa linha reta imaginária perpendicular ao objeto conseguimos
deterinar a sua altura através de um sistema de equações visto que teremos informações sobre 2 variáveis. Tal como na maneira anterior tudo fica mais
fácil se imaginarmos um triângulo retângulo.

19. O que vamos medir:
No nosso caso iremos determinar a altura deste prédio.

20. Em primeiro lugar:
Apesar de não irmos medir a nossa distância ao objeto, continuamos a precisar de pelo menos 2 pessoas. Vamos determinar a âmplitude de dois
ângulos de elevação de pontos com distâncias diferentes ao objeto. Uma das pessoas deverá posicionar-se em frente ao objeto e olhar pelo quadrante
para o ponto mais alto do objeto enquanto a outra aponta a âmplitude do ângulo de elevação.

21. O nosso primeiro ângulo de elevação tem amplitude de 47°.

22. Para o segundo:
Para o segundo ângulo, uma das pessoas deverá deslocar-se para mais perto ou para mais longe do objeto e medir a distância do seu deslocamento.
Quando já tiver um ponto fixo deverá olhar novamente pelo quadrante para o ponto mais alto do objeto enquanto que a outra pessoa deverá apontar
a sua amplitude.

23. No nosso caso deslocámo-nos 6 metros para trás ficando o ângulo de elevação com amplitude de 37°.

24. Posto isto:
Posto isto temos de fazer as contas. Vamos voltar a usar a fórmula da tangente porque, para além de não sabermos a nossa distância ao objeto
(cateto adjacente) sabemos que a essa distância corresponde o nosso primeio ângulo de elevação e ainda que a essa distância mais aquela que
medimos corresponde o nosso segundo ângulo de elevação. Sabemos o valores dos ângulos de elevação (α1 e α2) e queremos saber a distância do
cateto oposto. Como temos dois ângulos de elevação, temos de usar duas fórmulas e fazer um sistema de equações em função delas.
tanα=
c.o
c.a

25. Primeiro, vamos considerar:
h = altura do prédio
AB = x (a nossa distância ao objeto)
Agora, só nos resta substituir os valores que conhecemos nas fórmulas e resolver o sistema.
tanα=
c.o
c.a
tg 47° =
h
x
⇔
⇔ tg 37° =
h
x + 6
tanα=
c.o
c.a

26. Em seguida formamos e resolvemos o sistema de equações com as incógnitas x e h.
tg 47° =
h
x
tg 37° =
h
x + 6
⇔
h = x tg 47°
(x + 6) tg 37° = h
⇔
h = x tg 47°
x tg 37°+ 6 tg 37° = x tg 47°
h = x tg 47°
x =
6 tg 37°
tg 47° − tg 37°
⇔
h = x tg 47°
x ≈ 14,1817
⇔
h ≈ 15,2080 m
x ≈ 14,1817 m

27. Mas ainda não acabou:
Agora que já sabemos uma parte da altura do prédio (h), temos que acrescentar a altura da pessoa que está a segurar o quadrante, e como da
outra vez, a altura é medida apenas até ao nível dos olhos. Com a fita métrica medimos a altura y.

28. No nosso caso, a altura que vai desde o quadrante até ao
chão é de 1,49 m.

29. Então, a altura do prédio é:
15,21 + 1,49 = 16,7 m

30. Trabalho realizado por:
Diana Palma Nº 5
Felipe Bezerra Nº 7
Jorge Cavaleiro Nº 10
Luís Ponte Nº 12
Mariana Caramujo Nº 15
Fotógrafo: Luis Ponte