Diagramas de esforços solicitante em vigas.

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Diagramas de esforços solicitante em vigas.

  1. 1. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ISOSTÁTICA ENG 2031 Professor: Helen Oliveira Tenório Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em vigas. 1 Mudando-se a seção transversal em geral os esforços solicitantes associados a esta nova seção serão diferentes. É conveniente, portanto, expressar a variação da grandeza dos esforços internos ao longo do eixo da estrutura. Esta variação, seção por seção, pode ser mostrada graficamente utilizando-se o eixo da estrutura como eixo das abscissas, com as ordenadas representando a grandeza do esforço solicitante. TRAÇADO DOS DIAGRAMAS ATRAVÉS DE EXPRESSÕES ANALÍTICAS DAS FUNÇÕES DOS ESFORÇOS SOLICITANTES CÁLCULO DAS REAÇÕES: CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES:
  2. 2. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ISOSTÁTICA ENG 2031 Professor: Helen Oliveira Tenório Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em vigas. 2
  3. 3. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ISOSTÁTICA ENG 2031 Professor: Helen Oliveira Tenório Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em vigas. 3 RELAÇÕES ENTRE CARGA, FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR - EQUAÇÃO DIFERENCIAL DOS MOMENTOS Supondo a carga, a força cortante e o momento fletor funções de x, abscissa ao longo do eixo da estrutura, para um elemento de comprimento infinitesimal dx em equilíbrio sob efeito da carga, p = p(x), e dos esforços solicitantes, M = M(x) e V = V(x), pode-se estabelecer as seguintes relações diferenciais:
  4. 4. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ISOSTÁTICA ENG 2031 Professor: Helen Oliveira Tenório Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em vigas. 4 ݀‫ݏܯ‬ ݀‫ݏ‬ ൌ ܳ‫ݏ‬ ݀ܳ‫ݏ‬ ݀‫ݏ‬ ൌ െ‫ݍ‬ሺ‫ݏ‬ሻ Constata-se então, que a derivada do momento fletor atuante numa seção S de uma viga reta, submetida a um carregamento a ela perpendicular, em relação à abscissa que define esta seção é igual ao esforço cortante nela atuante e que a derivada deste em relação a esta abscissa igual ao valor da taxa de carga aplicada na seção S com o sinal trocado. A partir de q(x) obteremos, então, as funções Ms e QS que nos dão os valores dos momentos fletores e esforços cortantes atuantes em qualquer seção da viga. Representando graficamente estas funções MS e QS perpendicularmente ao eixo da viga, teremos seus assim chamados diagramas de momentos fletores e de esforços cortantes atuantes. Para traçar o momento fletor, no caso de carregamentos distribuídos é preciso estabelecer as cordas (linha que liga os valores do momento e a partir da mesma traçar no ponto de aplicação da resultante do carregamento a flecha da parábola (ver anexo 1). Adotando como positivo o carregamento distribuído de cima para baixo (o que é usual), que um esforço cortante é positivo quando, calculado pelas forças da esquerda, der para cima (ou, quando calculado pelas forças da direita,der para baixo) e que um momento fletor é positivo quando tracionar as fibras inferiores da viga. A força cortante é constante no trecho onde p(x) = O e o momento fletor é linear. Se o momento fletor é constante, a força cortante é nula no trecho. TRAÇADO DIRETO 1. Viga simplesmente apoiada a) Carga concentrada
  5. 5. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ISOSTÁTICA ENG 2031 Professor: Helen Oliveira Tenório Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em vigas. 5 Sob uma carga concentrada, o diagrama de momentos fletores apresenta um ponto anguloso e o diagrama de esforços cortantes apresenta uma descontinuidade igual ao valor desta carga. Se o diagrama de momentos fletores apresenta um ângulo, ou ponto singular, isto significa uma descontinuidade da derivada, ou seja, uma descontinuidade do diagrama da cortante. Isto indica uma carga concentrada aplicada e o salto no diagrama da cortante tem a magnitude da força aplicada. No ponto onde a cortante muda de sinal tem-se um valor máximo ou mínimo do momento fletor. b) Carga distribuída uniformemente Sendo a taxa de carregamento constante (grau zero), o diagrama de esforços cortantes é retilíneo (grau um) e o de momentos fletores é parabólico (grau 2). O diagrama de esforços cortantes será uma linha reta e o diagrama de momentos fletores será dado por uma parábola do 2 grau, A força cortante é função linear e o momento fletor, função do segundo grau. Se a inclinação da curva de momentos diminui da esquerda para a direita, temos cortante positiva. Se aumentar da esquerda para a direita, têm-se cortante negativa.
  6. 6. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ISOSTÁTICA ENG 2031 Professor: Helen Oliveira Tenório Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em vigas. 6 c) Carregamento distribuído variável Sendo a taxa de carregamento uma função linear (grau um), o diagrama de esforço cortante parabólico do 2 grau e o diagrama de momentos fletores parabólico do 3 grau, Quando o esforço cortante uma função do segundo grau e o momento é função do terceiro grau (parábola do terceiro grau). Se a inclinação da curva do momento fletor diminui da esquerda para a direita, temos cortante positiva. Se a inclinação aumenta da esquerda para a direita, temos cortante negativa. Se a carga cresce da esquerda para a direita, a inclinação da curva da força cortante aumenta da esquerda para a direita.
  7. 7. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ISOSTÁTICA ENG 2031 Professor: Helen Oliveira Tenório Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em vigas. 7 Marcando, a partir da seção M posição da resultante do carregamento triangular, o segmento MN = pl² /9, tem-se: tgα = MN/AM = pl/6 = QA tgβ = -MN/MB = = QB = -pl/3 . Logo, AN e BN são tangentes ao diagrama de momentos fletores em suas origens.
  8. 8. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ISOSTÁTICA ENG 2031 Professor: Helen Oliveira Tenório Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em vigas. 8 d) Carga uniforme distribuída cuja extremidade não alcança o outro apoio Neste exemplo, temos um carregamento distribuído descontínuo e, portanto dois trechos. O trecho sem carga distribuída apresenta o diagrama de V constante e o de M, linear. No trecho com carga distribuída a cortante é linear e o e momento fletor, parábola do segundo grau. O diagrama de V não tem descontinuidade, pois não existe carga concentrada aplicada no vão da viga, mas apresenta uma angulosidade no ponto onde começa o carregamento distribuído. Fato devido à descontinuidade do carregamento. O diagrama de M é contínuo, sem angulosidades. Isto indica que a parte linear do diagrama é tangente B parábola.
  9. 9. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ISOSTÁTICA ENG 2031 Professor: Helen Oliveira Tenório Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em vigas. 9 e) Carga uniforme distribuída parcialmente São três os trechos a se considerar para o traçado dos diagramas. No caso da força cortante, temos dois trechos constantes interligados por um trecho intermediário linear. No caso do momento fletor, os trechos lineares das extremidades são tangentes ao trecho parabólico.
  10. 10. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ISOSTÁTICA ENG 2031 Professor: Helen Oliveira Tenório Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em vigas. 10 f) Carga uniforme descontínua:
  11. 11. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ISOSTÁTICA ENG 2031 Professor: Helen Oliveira Tenório Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em vigas. 11 Em cada trecho com carga distribuída a função de M é uma parábola do segundo grau, todas distintas entre si. No ponto onde ocorre a descontinuidade da carga, no entanto, a tangente às duas funções tem a mesma inclinação. Para traçar o diagrama do momento fletor basta, portanto, determinar o valor de M na seção onde p muda de valor. Depois constrói-se a corda e traça-se a flecha de cada trecho de carregamento. g) Carga momento: Na seção de aplicação de uma carga-momento numa viga, o diagrama de momentos fletores sofre uma descontinuidade igual ao seu valor, no seu sentido.
  12. 12. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ISOSTÁTICA ENG 2031 Professor: Helen Oliveira Tenório Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em vigas. 12 h) Carregamentos combinados Para efeito do traçado dos diagramas dos esforços solicitantes consideramos dois trechos, com carga uniformemente distribuída, à esquerda e à direita da carga de 40kN. A força cortante é, portanto, linear, tendo a mesma inclinação em ambos os trechos. No ponto de aplicação da carga concentrada o diagrama apresenta uma descontinuidade, com "salto" numericamente igual ao valor da carga. O momento fletor varia parabolicamente em cada trecho. No apoio A é nulo e no apoio B é numericamente igual ao momento aplicado, tracionando a face superior da viga. No ponto de aplicação da carga, o diagrama de M tem uma angulosidade. Para traçar o diagrama de momentos fletores basta calcular o esforço no ponto de aplicação da carga concentrada, definindo a posição das cordas das parábolas.
  13. 13. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ISOSTÁTICA ENG 2031 Professor: Helen Oliveira Tenório Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em vigas. 13 2. Viga engastada em balanço
  14. 14. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ISOSTÁTICA ENG 2031 Professor: Helen Oliveira Tenório Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em vigas. 14 Para traçar o diagrama de momentos fletores numa viga biapoiada com balanços, tratamos os balanços como vigas engastadas e livres. Ligam-se os momentos atuantes nos apoios por uma linha reta e, a partir dela, pendura-se o diagrama de viga biapoiada devido às cargas atuantes no trecho entre os apoios. 3. Vigas biapoiadas com balanços No engaste, aparecerão evidentemente uma reação vertical e uma reação-momento, que equilibrará o carregamento atuante. O diagrama de momentos fletores se obtém imediatamente, bastando marcar os momentos fletores (de cálculo imediato) nas seções em que muda a lei de variação de carregamento (no caso, A, C, B. D), ligá-los por segmentos de reta, e, a partir da linha assim obtida, pendurar os diagramas de viga biapoiada para cada uma das cargas distribuídas atuantes (no caso, no trecho CD). O diagrama de esforços cortantes se obtém imediatamente a partir do carregamento e reações de apoio atuantes.
  15. 15. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ISOSTÁTICA ENG 2031 Professor: Helen Oliveira Tenório Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em vigas. 15 ANEXO1 : DETALHES IMPORTANTES NA CONSTRUÇÃO DO DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR – OBTENÇAO DAS FLECHAS CARGA DISTRIBUÍDA UNIFORMEMENTE EM VIGA BIAPOIADA
  16. 16. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ISOSTÁTICA ENG 2031 Professor: Helen Oliveira Tenório Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em vigas. 16 CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO VARIÁVEL VIGA BIAPOIADA
  17. 17. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ISOSTÁTICA ENG 2031 Professor: Helen Oliveira Tenório Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em vigas. 17 CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO VARIÁVEL VIGA ENGASTADA EM BALANÇO
  18. 18. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ISOSTÁTICA ENG 2031 Professor: Helen Oliveira Tenório Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em vigas. 18 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA: Introdução à isostática I Eloy FerrazMachado Junior. -- São Carlos : EESC-USP, 1999. Curso de análise estnitural/ José Carlos Siissekind. - v.1-.6. ed. - Porto Alegre -Rio de Janeiro : Globo, 1981. Notas de aula da disciplina Resistência dos Materiais ministrada pelo Prof. Leandro Mouta Trautwein ao curso de Engenharia Civil do Centro Universitário Nove de Julho.

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