Ficha de trabalho nº2 12ºano

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Ficha de trabalho nº2 12ºano

  1. 1. Escola Secundária de Augusto Gomes Ficha de trabalho_nº2 12º ano Matemática A Probabilidade condicionada 1. Lançou-se um dado equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6 e observou-se o número da face voltada para cima. 1.1. Qual a probabilidade de sair face com o número 5? 1.2. Suponhamos que, uma vez realizada a experiência, alguém nos informa que saiu face com um número ímpar. Com esta informação a, a probabilidade de sair face com o número 5 modifica-se. Calcula então a probabilidade de “sair face 5, sabendo que saiu face ímpar”. R: 1/6 R: 1/3 2. Consideremos uma turma de 30 alunos dos quais 17 são raparigas e 13 são rapazes. Sabe-se que 5 das raparigas e 6 dos rapazes são canhotos, sendo os restantes alunos destros. 2.1. Organiza a informação numa tabela de dupla entrada; 2.2. Escolhe-se um aluno da turma ao acaso. Qual a probabilidade de: 2.2.1. ser canhoto? 2.2.2. ser rapariga? 2.2.3. ser canhoto, sabendo que o aluno escolhido foi uma rapariga? 2.2. R: 11/30 R: 17/30 R: 5/17 3. Lançaram-se dois dados, ambos com as faces numeradas de 1 a 6. Sabe-se que a soma dos números das faces voltadas para cima foi 6. Qual é a probabilidade de ter saído o mesmo número nos dois dados? R: 1/5 4. Numa escola existem duas turmas, a turma A e a turma B. A turma A tem 15 rapazes e 10 raparigas. A turma B tem 14 rapazes e 10 raparigas. Escolhe-se ao acaso uma das turmas e, de seguida, um elemento dessa turma. Considera os acontecimentos X: “a turma escolhida é a turma B” e Y: “o elemento escolhido é rapaz”. Qual é o valor de PX Y ? R: 7/24 5. Uma caixa contém bolas, indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a 20. As bolas numeradas de 1 a 10 têm cor verde e as bolas numeradas de 11 a 20 têm cor amarela. Considera a experiência aleatória que consiste em retirar, sucessivamente, duas bolas da caixa, não repondo a primeira bola retirada. Considera ainda os acontecimentos: A: “a 1ª bola retirada é verde” B: “a 2ª bola retirada é amarela” C: “o número da 2ª bola retirada é par” Qual é o valor da probabilidade condicionada PBC| A? A resposta correta a esta questão é 19 5 . Numa pequena composição, sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, explica o valor dado, começando por interpretar o significado de PBC| Ano contexto da situação descrita e fazendo referência: - à regra de Laplace; - ao número de casos possíveis; - ao número de casos favoráveis. Proposta de resposta: PB  C | A significa “probabilidade de a segunda bola retirada ser amarela e ter número par, sabendo que a primeira bola retirada é verde”. Assim, o número de casos favoráveis é igual a 19, pois após se ter retirado uma bola, e não havendo reposição, restam 19 bolas na caixa. O número de casos favoráveis é igual a 5, uma vez que existem na caixa 5 bolas amarelas com número par, as quais continuam na caixa após a extração da primeira bola, visto esta ter cor verde. Segundo a regra de Laplace, num espaço de resultados com um número finito de elementos e cujos resultados elementares são equiprováveis, a probabilidade de um acontecimento é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possíveis. Assim, a probabilidade pedida é 19 5 . 6. Considera os alunos de um determinado curso que se encontram inscritos na cadeira de Estatística. Sabe-se que metade deles frequentam as aulas, apenas 25% dos inscritos sabem o nome do respetivo
  2. 2. professor e 5 1 frequenta as aulas e sabe o nome do professor. Escolhe-se aleatoriamente um aluno inscrito nessa cadeira. Qual é a probabilidade de: a) esse aluno não frequentar as aulas, nem saber o nome do professor? b) saber o nome do professor, se frequenta as aulas? R:0,45 R: 0,4 7. No último ano do seu curso, um estudante universitário tem 40% de probabilidade de obter uma bolsa de estudo; se a obtiver, a probabilidade de vir a concluir o curso é de 80%; caso não obtenha a bolsa, a probabilidade de concluir o curso é de apenas 35%. a) Qual é a probabilidade de o estudante concluir o curso? b) Qual é a probabilidade de o estudante concluir o curso e ter bolsa? c) Suponhamos que passado algum tempo o referido estudante concluiu o curso. Qual é a probabilidade de ter obtido bolsa de estudo? Apresenta o resultado sob a forma de dízima, arredondada às milésimas. R:0,53 R:0,32 R:0,604 8. Num determinado país, existem três operadores de telemóveis, A, B e C, com quotas de mercado de 50%, 35% e 15% respetivamente. Num estudo de mercado realizado concluiu-se que: 80% dos utilizadores da empresa A estão satisfeitos; 70% dos utilizadores da empresa B estão satisfeitos; 60% dos utilizadores da empresa C estão insatisfeitos. Admite que cada utilizador de telemóvel é cliente apenas de uma empresa. Num inquérito realizado a utilizadores de telemóvel verifica-se que um cliente inquirido ao acaso está satisfeito com o serviço prestado pelo seu operador. Qual é a probabilidade de ele ser cliente da empresa B? Apresenta o resultado em percentagem, arredondado às unidades. R: 35% 9.Nos jogos da seleção nacional, sabe-se que 80% das grandes penalidades assinaladas a favor de Portugal são marcadas por jogadores do FCP. A probabilidade de uma grande penalidade ser convertida em golo é de 70% se o jogador for do FCP e de 40%, caso contrário. Suponhamos que, num determinado jogo, é marcada uma grande penalidade a favor de Portugal. a) Qual é a probabilidade de a grande penalidade ser marcada por um jogador do FCP e ser convertida em golo? Apresenta o resultado sob a forma de dízima? b) Qual é a probabilidade de a grande penalidade ser convertida em golo? Apresenta o resultado sob a forma de dízima. c) Num determinado jogo, uma grande penalidade é assinalada a favor de Portugal e o jogador falha. Qual é a probabilidade de o marcador ser um jogador do FCP? Apresenta o resultado sob a forma de fração irredutível. R: 0,56 R: 0,64 R: 3 2 10. Seja  o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória, e sejam A e B dois acontecimentos A e B  . Mostra que: a)   ( ) 1 ( ) | 1 P A P B P B A    , com P(A)  0 b) PA| B1 P(A| B) , com P(B)  0 c) PAC| B P(A| B)  P(C | B)  PAC| B , com P(B)  0 d)   , ( ) 0 ( ) ( ) ( | ) 1      com P B P B P A B P A P A B e) P(A| B)  PA| B P(B) 1 PAB,comP(B)  0 11. Seja  o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos A e B  , ambos com probabilidade diferente de zero. Sabe-se que PAB  0,1; PAB 0,8 e PA| B  0,5 . Prova que A e A são acontecimentos equiprováveis. 12. Dados os acontecimentos A e B de um espaço de resultados  , sabe-se que P(B)=0,3; P(A|B)=0,6 e P(B|A)=0,5. Calcula: R: 0,18 R: 0,64 R: 0,48
  3. 3. a) PAB b) PA c) PAB d) PA| B R: 0,4 13. Considera duas turmas: a turma A com 25 alunos (15 raparigas e 10 rapazes) e a turma B com 30 alunos (18 raparigas e 12 rapazes). Extrai-se aleatoriamente uma carta de um baralho de 40 cartas (10 de cada naipe). Se a carta retirada for uma copa, escolhe-se uma pessoa da turma A, caso contrário, escolhe-se uma pessoa da turma B. Considera os acontecimentos: X:”a carta retirada é do naipe de copas” Y:”a pessoa escolhida é do sexo feminino” Sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada, indica o valor de P (Y|X), justificando a resposta numa pequena composição. R: 3/5 14. Um banco está equipado com um sistema de alarmes contra assaltos. Sabe-se que: - a probabilidade de ocorrer um assalto é 0,1 - se ocorrer um assalto, a probabilidade de o alarme tocar é 0,95 - a probabilidade de o alarme tocar sem ter havido um assalto é 0,03. Calcula a probabilidade: a) de o alarme tocar; b) de, tendo o alarme funcionado, não ter ocorrido um assalto. R: 0,122 R:27/122 15. Um estudo de mercado realizado conclui que 70% dos habitantes mais jovens de uma certa cidade são favoráveis a um projeto de construção de um cinema em plena baixa da cidade, e 40% dos restantes habitantes também são favoráveis. Além disso, sabe-se que os habitantes mais jovens constituem 45% dessa população. a) Qual é a probabilidade de um habitante selecionado ao acaso ser favorável à construção do cinema? b) Qual é a probabilidade de um habitante que se diz favorável à construção do cinema pertencer à faixa etária dos habitantes mais jovens? Apresenta o resultado sob a forma de dízima, com aproximação às centésimas. R: 0,535 R: 0,59 16. Para testar as capacidades de um estudante é-lhe dado um teste com questões às quais deve responder com “verdadeiro” e “falso”. O estudante sabe responder corretamente a 40% das questões. Quando ele sabe a solução, responde corretamente à questão; caso contrário, escolhe a resposta atirando uma moeda equilibrada ao ar. Sabendo que uma questão foi respondida corretamente, qual é a probabilidade de o estudante saber a resposta? R: 4/7

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