O documento discute conceitos fundamentais sobre polinômios, incluindo sua definição como soma de monômios, operações com polinômios como adição, multiplicação, divisão e propriedades como grau e raízes.

1. Polinômios
  n
nnn
axaxaxaxP  
...2
2
1
10
Definição
Soma de monômios
naaaa ,...,,, 210
Números Complexos
Coeficientes
...,2,1,  nnn Expoentes
Números Naturais

2.   n
nnn
axaxaxaxP  
...2
2
1
10
Variável
Pode assumir valores
Complexos
na Termo independente de x
x
Polinômios
Definição
Soma de monômios

3.   78
510 xxxP 
  5
2
3
53 78

x
xxxP
  2
2
3
54 23

x
ixxxP
Polinômios
São Polinômios

4.   254 23
 xxxxP
Valor Numérico
  ?2 P
        2225242
23
P
      2245842 P
  2220322 P
  562 P
Polinômios

5.  1P Fornece o valor da soma dos
coeficientes do polinômio P(x).
 0P Fornece o valor do termo
independente de x.
Polinômios
Valor Numérico

6.   234
16164 xxxxP 
16164 Soma
36Soma
   22
42 xxxP 
Qual a soma dos
coeficientes do polinômio
P(x).
Polinômios
Valor Numérico

7.       22
14121 P
   2
421 P
    3661
2
P Soma dos
coeficientes
   22
42 xxxP 
Polinômios
Valor Numérico
Qual a soma dos
coeficientes do polinômio
P(x).

8.    3
52  xxP
125
  125150608 23
 xxxxP
Qual o valor do
termo independente
de x.
Termo independente de x
Polinômios
Valor Numérico

9.     3
5020 P
   3
500 P
   3
50 P
  1250 P
Termo
independente de x
Polinômios
Valor Numérico
   3
52  xxP
Qual o valor do
termo independente
de x.

10.   0P
  654
 xxxP
      62522
4
P
  610162 P
  02 P
Raiz de um polinômio
 é raiz do polinômio
P(x).
2 é raiz do
polinômio P(x)
Polinômios

11.     422
2
 iiP
  442 2
 iiP
  02 iP
    4142 iP
  0P
 é raiz do polinômio
P(x).
  42
 xxP
2i é raiz do
polinômio P(x)
Raiz de um polinômio
Polinômios

12.   0...000 21
  nnn
xxxxP
Não se define grau para
um polinômio nulo
Polinômio Nulo
Polinômios

13.   n
nnn
axaxaxaxP  
...2
2
1
10
00 a
  nPgr 
Grau de um Polinômio
Polinômios

14.   1536 234
 xxxxxP
  124  xxP
  12xP
  4Pgr
  1Pgr
  0Pgr
Grau de um Polinômio
Polinômios

15. yx2
6
23
yx
x7
  5Pgr
Observação:
Monômio de grau 3: (2 + 1)
Monômio de grau 5: (3 + 2)
Monômio de grau 1
  xyxyxxP 76 232

Grau de um Polinômio
Polinômios

16.  xA
   xBxA 
Idênticos
 xB
   , BA  C
Identidade polinomial
Polinômios

17.       115204 323452
 xnxxxxmxP
    1752512 2345
 xxxxqxxB
1) Se e      11524 32352
 xnxxxmxP
qenm,
    1752512 2345
 xxxxqxxB
são polinômios idênticos, então a soma dos valores
positivos de é:
Polinômios

18. 







05
71
124
3
2
q
n
m 1242
m
162
m
4m
4m
713
n
83
n
2n
05 q
5q
524  qnm
11 qnm
Polinômios

19. Operações com
Monômios e Polinômios

20. Adição de Monômios
Devemos efetuar a soma ou subtração dos
coeficientes numéricos entre os monômios
semelhantes.
Ex:
= 12x2 – 2ay3
5x2 – 3ay3 + 7x2 + ay3
5x2 + 7x2 – 3ay3 + ay3
Monômios semelhantes Monômios semelhantes

21. Multiplicação de Monômios
O produto de monômios é obtido da seguinte forma:
• em seguida, multiplicam-se as partes literais.
Ex: (4ax2) . (–13a3x5) =
(4) . (–13) . (a1 . a3) . (x2 . x5) =
– 52a4x7
• primeiro, multiplicam-se os coeficientes numéricos;

22. Lembrando...
Um produto de potências de mesma base pode
ser escrito na forma de uma única potência:
conservamos a base e adicionamos os
expoentes.
am.an = am+n
Ex: x4.x9 = x4+9 = x13

23. Divisão de Monômios
A divisão de monômios é obtida da seguinte
forma:
• primeiro, dividem-se os coeficientes
numéricos;
• em seguida, dividem-se as partes literais.

24. Lembrando...
Um quociente de potências de mesma base
pode ser escrito na forma de uma única
potência: conservamos a base e subtraímos
os expoentes.
am:an = am–n
Ex: x12 : x8 = x12–8 = x4
*com a ≠ 0

25. Adição de Polinômios
Efetue a soma algébrica dos monômios semelhantes.
Ex:
(4x2 – 7x + 2) + (3x2 + 2x + 3) – (2x2 – x + 6) =
= 4x2 – 7x + 2 + 3x2 + 2x + 3 – 2x2 + x – 6 =
 eliminando os parênteses
= 4x2 + 3x2 – 2x2 – 7x + 2x + x + 2 + 3 – 6 =
 agrupando os termos semelhantes
= 5x2 – 4x – 1  forma reduzida * Não esqueça da regra
de sinais!

26. Multiplicação de Monômio
por Polinômio
A multiplicação de um monômio por um polinômio
é feita multiplicando-se o monômio por cada
termo do polinômio.
= 8x5y3 – 20x3y7
Ex:
4x2y3 . (2x3 – 5xy4) =
= 4x2y3 . 2x3 + 4x2y3 . (– 5xy4 )
* Não esqueça da regra
de sinais!

27. A multiplicação de um polinômio por outro
polinômio é feita multiplicando-se cada termo
de um deles pelos termos do outro e, sempre
que possível, reduzindo os termos semelhantes.
Ex:
(a + b) . (c + d) =
ac + ad + bc + bd
Multiplicação de Monômio
por Polinômio

28. Divisão de Polinômio por
Monômio
Efetuamos a divisão de um polinômio por um
monômio fazendo a divisão de cada termo do
polinômio pelo monômio.
Ex:
(18x3 – 12x2 + 3x) : (3x) =
= (18x3 : 3x) – (12x2 : 3x) + (3x : 3x)
= 6x2 – 4x + 1

29. Valor Numérico de uma
Após obtida a expressão algébrica, basta substituir
cada incógnita pelo valor estabelecido pelo exercício.
Ex:
3x2 – 2x + 7y + 3x – 17y
3x2 + x – 10y
Determine o valor numérico da expressão abaixo
para x = 2 e y = 3
1º reduzimos os termos semelhantes
Expressão Algébrica
2º substituímos os valores de x = 2 e y = 3
3.22 + 2 – 10.3
3.4 + 2 – 30
12 + 2 – 30 = - 16

30. Propriedades:
2) Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por
x - b .
3) Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 ,
então o conjugado a - bi também será raiz .
1) Toda equação algébrica de grau n possui exatamente
n raízes .
2x4 +x³ + 6x² + 2x –
1 = 0
Grau da equação ( Representa o número de raízes)
Polinômios

31. 4) Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m
então dizemos que m é uma raiz de grau de
multiplicidade k .
Exemplo: x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x1 = x2 = 4).
Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.
Propriedades:
Polinômios

32. Lembre que quando:
a.x³ + bx² + cx + d = 0
5) Se a =  1  não há raízes fracionárias.
6) Se d = 0  x1 = 0 (Lembre a quantidade de
raízes nulas é determinada, pelo menor
expoente da incógnita.)
Ex: 2x7+3x4 + 2x² = 0
Polinômios

33. Há duas raízes nulas
7) Se a + b + c + d = 0  x1 = 1 é raiz.
Polinômios
Lembre que quando:
a.x³ + bx² + cx + d = 0
5) Se a =  1  não há raízes fracionárias.
6) Se d = 0  x1 = 0 (Lembre a quantidade de
raízes nulas é determinada, pelo menor
expoente da incógnita.)
Ex: 2x7+3x4 + 2x² = 0

34. Relações de Girard
02
 cbxax
a
b
xx  21
a
c
xx  21
Polinômios

35. 023
 dcxbxax
a
b
xxx  321
     
a
c
xxxxxx  323121
a
d
xxx  321
Relações de Girard
Polinômios

36. Teorema do resto (divisor de 1º grau - d = ax + b)
P(x) ax + b
Q(x)
R
P(x) = (ax + b) · Q(x) + R
Raiz do divisor
a
b
x 1
  RxQ
a
b
P 





 0
R
a
b
P 






Polinômios

37. P(x) ax + b
Q(x)
R
0R
R
a
b
P 






Condição necessária para que
P(x) seja divisível por ax + b.
0






a
b
P
Teorema de D’alembert
Polinômios

38. (UDESC 2006-1) O resto da divisão do polinômio
pelo binômio
Teorema do resto
  111122 23
 xxxxP
  111122 23
 xxxxP   5 xxD é:
        1511512525
23
P
  1511251212525 P
  1553002505 P
  3013055 P
  45 P
  RP 5
Polinômios

39. P(x) ax + b
Q(x)
R
Grau n
Grau 1
Grau n – 1
Resto
...
...
Coeficientes de P(x)
Raiz do
divisor
a
b

Coeficientes do
polinômio a · Q(x)
Resto
Dispositivo Briot-Ruffini
Polinômios

40.   5673 23
 xxxxP   2 xxD
2 3 – 7 6 5
21 x
3
Polinômios
Dispositivo Briot-Ruffini

41. 2 3
3
 + =
–1
– 7 6 5
Polinômios
  5673 23
 xxxxP   2 xxD
21 x
Dispositivo Briot-Ruffini

42. 2 3
3
 + =
–1 4
– 7 6 5
Polinômios
  5673 23
 xxxxP   2 xxD
21 x
Dispositivo Briot-Ruffini

43. 2 3
3
 + =
–1 4 13
– 7 6 5
Polinômios
  5673 23
 xxxxP   2 xxD
21 x
Dispositivo Briot-Ruffini

44. 2 3
3 –1 4 13 Resto
Coeficientes do
polinômio a · Q(x)
– 7 6 5
Polinômios
  5673 23
 xxxxP   2 xxD
21 x
Dispositivo Briot-Ruffini

45. 2 3 – 7 6 5
3 –1 4 13 Resto
Coeficientes do
polinômio a · Q(x)
Grau do polinômio Q(x) é uma unidade
menor que o grau do polinômio P(x)
 xQaquociente 
    431 2
 xxxQ
  43 2
 xxxQ
13 Rresto
Polinômios
  5673 23
 xxxxP   2 xxD
21 x
Dispositivo Briot-Ruffini

46. (UDESC) Sobre todas as raízes da equação
afirma-se que essa equação possui:04423
 xxx
    01412
 xxx
04423
 xxx
    0142
 xx
042
x 01x
42
x
4x
ix 2
1x
 iiS 2,2,1 
uma raiz real e duas complexas.
Polinômios

47. Teorema das raízes complexas
010144 234
 xxxx 11 x
–1 1 –4 –1 14
1 –5 4 0 Resto
Grau n – 2
01062
 xx
10
12 x
10–1
1 –6 10 0 Resto
Polinômios

48. 01062
 xx
acb 42

4036 
4
a
b
x
2


2
46 
x
2
26 i
x


ix  3
ix  33
ix  34
Polinômios
Teorema das raízes complexas
010144 234
 xxxx 11 x
12 x