1. FACTORIZACIÓN POR: Ing. Margarita Patiño Jaramillo Ing. Carlos enrique Villa Arango INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO

2. CAPÍTULO 5 FACTORIZACIÓN

3. Introducción El trabajo matemático muchas veces nos presenta expresiones compuestas por polinomios, que pueden ser extensos. Al convertir un polinomio en una expresión con factores (factorizar) podremos simplificarlo cuando se encuentre en una expresión racional , reduciendo ésta última a una mínima expresión. Objetivo de la factorización Al final de este capítulo, el estudiante estará en capacidad de convertir en factores la mayor parte de los polinomios, usando los diferentes casos que existen para ello.

4. FACTORIZACIÓN Competencia Utilizar adecuadamente las expresiones algebraicas, sus propiedades básicas y operaciones para resolver situaciones problema en distintos contextos. Resuelve expresiones algebraicas utilizando las propiedades y operaciones algebraicas.

5. Indicadores de logro Factoriza expresiones con base en los casos desarrollados

7. Propiedades de lasoperaciones de los ConjuntosNuméricos- Expresiones algebraicas y polinomios

8. Justificación En muchas situaciones se presentan problemas que conducen al planteamiento de ecuaciones, como movimiento parabólico en física, problemas de utilidad en economía, diseño y construcción de estructuras ingenieriles, entre otros, para las cuales es necesario encontrar raíces o soluciones y una manera de encontrar esas raíces es aplicar procesos de factorización a los polinomios asociados a estas ecuaciones. Igualmente la factorización permite realizar simplificaciones y reducción a mínimas expresiones, lo que hace menos engorrosas las derivadas y las integrales en cálculo.

9. 1. Factor común monomio Resulta cuando el factor común de todos los términos del polinomio es un monomio. Ejemplo: Factorizar: 4ax3 - 2x2 = 2x2(2ax – 1) Vemos como 2 y x2 están multiplicando en ambos términos, por lo tanto 2x2 sale como factor común: 4ax3 - 2x2 = 2x2(2ax – 1) Recordar y repasar: El término 2x2 es el Máximo Común Divisor (MCD) de los dos términos

10. 2. Factor común polinomio Resulta cuando el factor común que aparece es un polinomio. Normalmente hay que hacer la agrupación debida para obtenerlo. Ejemplo: Factorizar a(x + 3) + b(x + 3) Vemos como (x + 3) está multiplicando en ambos términos [tanto a a como a b], por lo tanto (x + 3) sale como factor común: a(x + 3) + b(x + 3) = (x + 3)(a + b)

11. Ejemplo: Factorizar: ax + bx + aw + bw Agrupamos (ax + bx) + (aw + bw) Sacamos factor común en cada binomio: x(a + b) + w(a + b) Nos quedó factor común polinomio: (a + b) x(a + b) + w(a + b) Luego se divide : Por lo tanto: ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w)

12. Ejemplo: Factorizar: 2a2 + 4a – 8b – 4ab Por observación agrupamos: ( 2a2 – 4ab ) + ( 4a – 8b ) En cada binomio hay factor común: 2a(a – 2b) + 4(a – 2b) Resulta un factor común polinomio: (a – 2b) 2a(a – 2b) + 4(a – 2b) Luego se divide: Por lo tanto: 2a2 – 4ab + 4a – 8a = (a – 2b)(2a + 4)

13. Factorizar un Binomio de la forma: xn ± yn. 3.1 Factorizar la diferencia de dos cuadrados. Por multiplicación se obtiene: (a + b)(a - b) = a2 - b2. Recíprocamente, se puede escribir: a2 - b2 = (a + b)(a - b). Por lo tanto la diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus raíces cuadradas por su diferencia. Ejemplos: Factorizar las expresiones siguientes: 9x2 – 16y2 = (3x)2 - (4y)2 = (3x + 4y)(3x – 4y) (7a + 3)2 - (5a - 4)2 = (7a + 3 + 5a - 4)(7a + 3 – 5a + 4) = (12a - 1)(2a + 7).

14. 3.2 Factorizar de la suma de dos cubos. Del producto notable: (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3,se deduce bilateralmente: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2). La suma de los cubos de dos términos es igual a la suma de las raíces cúbicas de esos términos por el cuadrado imperfecto de la diferencia. Ejemplo. Factorizar: 27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3 = (3x + 2y)(9x2 - 3x·2y + 4y2) = (3x + 2y)(9x2 - 6xy + 4y2

15. 3.3 Factorizar de la diferencia de dos cubos. Similar que para la suma de dos cubos, del producto notable: (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3 se obtiene inversamente: a3- b3 = (a - b)(a2 + ab + b2). La diferencia de los cubos de dos términos es igual a la diferencia de las raíces cúbicas de esos términos por el cuadrado imperfecto de la suma. Ejemplo. Factorizar: 125a3 - b3c3 125a3- b3c3 = (5a)2 - (bc)2 = (5a - bc)(25a2 + 5a·bc +b2c2) = (5a - bc)(25a2 + 5abc + b2c2)

16. 4. Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio en el que dos de sus términos son positivos y son cuadrados perfectos y el tercero corresponde al doble producto de las raíces cuadradas de los términos positivos. ¡Recuerda! Una cantidad es un cuadrado perfecto si corresponde al cuadrado de otra cantidad. Regla para factorizar un TCP: 1. Se ordena el trinomio por potencias descendentes de la letra principal. 2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos del trinomio. 3. Se calcula el doble de la primera raíz por la segunda y se compara con el término de la mitad del trinomio. Si el resultado es igual, los dos términos del binomio se separan por el signo del segundo término y el binomio que se forma se eleva al cuadrado.

17. Ilustración: Factorizar o descomponer en factores

18. Ejemplo : Factorizar: Solución: Veamos que esta expresión es un TCP: Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos: , Ahora se multiplican estas dos raíces por dos: , dado que este resultado coincide con el segundo término, es posible afirmar que el trinomio es cuadrado perfecto, por lo tanto podemos factorizarlo tal y como lo propone la regla, así:

19. Ejemplo: Factorizar: Solución : Usando el procedimiento descrito anteriormente, se obtiene: 1. El trinomio está ordenado 2. Sacamos raíz cuadrada del primer y tercer término: , 3. Calculamos el doble del primero por el segundo: 4. Por lo tanto hay trinomio cuadrado perfecto:

20. 5. Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción Un trinomio ordenado por potencias descendentes con relación a una letra, corresponde a un TCP por adición y sustracción, si al sumarle un cuadrado perfecto al segundo término del trinomio, éste se convierte en un TCP, por lo cual nos sugiere que inicialmente se debe de verificar si el trinomio dado es cuadrado perfecto. Ilustremos lo anterior con un ejemplo: Ejercicio Identificar si corresponde a un TCP por adición y sustracción. Solución Verifiquemos primero si el trinomio es cuadrado perfecto: Luego lo que indica que al trinomio original le falta para completar el doble del primero por el segundo. Veamoscómotrabajarestetipo de trinomios:

21. Para factorizar como TCP poradición y sustraccióndebemosseguir los siguientespasos: Paso 1: Sumamos y lo restamos (paraque no varie la expresión original) - ----------------------------------- Paso 2: Sumamostérmino a término Paso 3: El primer trinomio se factorizacomo TCP Paso 4: La diferencia de cuadrados se factoriza y luegoordenamos

22. Otro ejemplo: Factorizar Ya ordenado el trinomio, veamos primero si el trinomio es cuadrado perfecto: Ahora bien, el doble del primero por el segundo sería: Que no es igual al término de la mitad del trinomio inicial. Pero tenemos lo que implica que sumándole y restándole podemos factorizar el trinomio, así: ……Sumamos y restamos la misma cantidad ------------------------------------- ……Factorizamos el TCP Nos queda: …..Diferencia de cuadrados ….Que ordenando nos queda:

23. 6. Trinomios de la forma Regla para factorizarlo: Ej.: Ordene el trinomio con los exponentes descendentes con relación a una letra. Para el ejemplo, ya está ordenado para x. 2. El trinomio se descompone en dos factores binomios. El signo que separa las cantidades del primer factor corresponde al signo del coeficiente del segundo término y el signo que separa las cantidades del segundo factor corresponde al producto de los signos de los coeficientes del segundo y del tercer término en el trinomio. 3. La primera cantidad de cada factor corresponde a la raíz cuadrada del primer término (x) y las segundas cantidades son dos números reales tales que su producto sea igual al tercer término (18) y su suma (9), si los signos que separan las cantidades en cada factor son iguales, o su resta, si los signos que separan las cantidades en cada factor son diferentes, sea igual al coeficiente del segundo término. ……dos números que multiplicados den 18 y que sumados den 9 Este caso se ha llamado factorización por inspección o evaluación.

24. 7. Trinomios de la forma: Observemos que la diferencia con respecto al trinomio de la forma ,es que el primer término es un cuadrado perfecto en el que aparece la variable, multiplicado por un número real diferente de uno. Veamos el método analítico de factorizar este tipo de trinomio resolviendo el siguiente ejercicio: Ejercicio Factorizar: Multiplicamos y dividimos todo el trinomio por el coeficiente de Observemos que el trinomio tomó la forma por lo que procedemos a factorizarlo por simple inspección o evaluación (dos números que multiplicados entre si den 60 y restados 11: 15 y 4). Finalmente lo que se pretende es eliminar nuevamente el denominador con el producto de los factores comunes del numerador.

25. 8. Suma o diferencia de bases con exponentes impares iguales. Cuando tenemos un binomio con potencias impares iguales se procede a factorizar así: se le saca la raíz enésima a cada término colocándolas en el primer factor separadas del signo del segundo término del polinomio a factorizar. En el segundo factor se escribe la primera raíz elevada al exponente menos uno del binomio a factorizar seguida de la segunda raíz elevada a la cero, el segundo término se obtiene sumando uno y restando uno a los exponentes del primer término respectivamente; de la misma manera se encuentran todos los términos del segundo factor hasta que los exponentes queden invertidos al primer término. Ejemplos: a) a7 – b7 Solución: a7 – b7 = (a– b)( a6 b0 + a5 b1 + a4 b2 + a3 b3 + a2 b4 + a b5 +a0b6) = (a – b )( a6 + a5 b + a4 b2 + a3 b3 + a2 b4 + ab5 + b6 ) b) 32 x5 + y10 Solución: 32x5 + y10 = ( 2x)5 + ( y2)5 = = ( 2x + y2 ) ( 16x4 – 8x3 y2 + 4x2 y4 – 2x y6 + y8 )

26. 9. Factorización de un polinomio por el método de evaluación. Este método de factorización es aplicado para polinomios que tienen cuatro o más términos. El método utilizado es por la regla de Ruffini (división sintética) con el objetivo de encontrar un cociente (factor ) que al multiplicarse por el divisor (factor) dé, cómo producto, el dividendo (polinomio a factorizar). Para cumplir con lo anterior es necesario observar que el residuo debe ser cero, (o sea división exacta). Teorema del factor. Un polinomio P(x) tiene como factor a (x-a) si y solo si para x = a , P(a) = 0 (es decir, el valor del polinomio es cero) Condición necesaria de divisibilidad: Para que un polinomio P(x) sea divisible por (x-a) es condición necesaria pero no suficiente que el término independiente del dividendo sea divisible entre a. Método de evaluación: Este esquema está diseñado para factorizar completamente un polinomio entero en x, para él utilizamos, el teorema del factor y la división sintética o regla de Ruffini.

27. Ejemplo: Factorizar por el método de evaluación el polinomio Primerodeterminemos los factores del términoindependiente 4: Ahoraveamos con cuál se vuelve cero el polinomio: Aplicando la regla de Ruffini, tenemos: Por lo tanto:

28. En ocasiones la evaluación hay querealizarla en cadenahastalograrfactoresirreducibles. Esto se logramediantedivisionessintéticassucesivas. Veamos un ejemplo: Factorizar: Solución: Finalmente la respuestaes:

29. Ver anexo de Word: Taller de Factorización