2. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES: CANTIDAD ESCALAR: Es aquella que está especificada completamente por un número con unidades apropiadas. No posee dirección ni sentido. EJEMPLO: Tiempo, Temperatura, dinero etc.
3. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano CANTIDAD VECTORIAL: Es aquella que además de un número y una unidad apropiada posee una dirección y un sentido. EJEMPLO: Velocidad, desplazamiento, fuerza, etc. NOTA: Distancia ≠ desplazamiento
4. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano La distancia recorrida (una cantidad escalar) es la longitud de la trayectoria o camino seguido por el móvil. Para simplificar el estudio del movimiento, representaremos a los cuerpos móviles por puntos geométricos, olvidándonos, por el momento, de su forma y tamaño.
5. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Se llama trayectoria a la línea que describe el punto que representa al cuerpo en movimiento, conforme va ocupando posiciones sucesivas a lo largo del tiempo, (Trayectoria: Es la ruta seguida o el camino real recorrido que ha experimentado un cuerpo).
8. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano VECTOR Es un segmento dirigido de recta que posee una medida con base en una escala previamente elegida. En todo vector podemos identificar su dirección (horizontal, vertical, oblicua), su sentido (arriba (+), abajo (-), derecha (+) e izquierda (-) y su intensidad, medida o magnitud.
10. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Dirección: Oblicua Sentido: Derecha - arriba Intensidad: Concluyendo: Los vectores son magnitudes representadas por un segmento dirigido (flecha). Se caracterizan por poseer:
11. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano a) Una longitud, la que es representada por un valor numérico al que llamaremos módulo (también se la denomina norma) b) Una dirección, que es la recta a la que pertenece c) Un sentido. La recta posee dos sentidos, generalmente estos se indican mediante signos "+" para un lado y "-" para el otro.
12. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano MECÁNICA Recordemos que la mecánica, como una de las áreas de la Física, se encarga del estudio del movimiento de los cuerpos que se mueven a velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. Para su estudio, la mecánica podemos subdividirla en: CINEMÁTICA, DINÁMICA y ESTÁTICA.
13. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano CINEMÁTICA Parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos en términos del espacio y del tiempo, sin tomar en cuenta los agentes presentes que lo producen (no tiene en cuenta la masa del cuerpo que se mueve ni las causas que producen dicho movimiento).
14. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano DINÁMICA Parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos teniendo en cuenta la masa del cuerpo que se mueve y las causas que lo producen. ESTÁTICA Parte de la mecánica que estudia el equilibrio de los cuerpos.
15. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano MOVIMIENTO Y REPOSO Decimos que un cuerpo está en movimiento respecto a un sistema de referencia cuando cambia su posición en el tiempo, en caso contrario diremos que el cuerpo se encuentra en reposo.
16. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Ejemplo: Si dentro de un bus están dos pasajeros ocupando puestos fijos, uno respecto al otro estará en reposo, sin embargo, un observador externo afirmará que están en movimiento.
17. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Haremos un estudio del movimiento trasnacional (no rotacional ni vibratorio) y consideraremos el objeto en movimiento como una PARTÍCULA, lo que en matemáticas se define como un punto sin tamaño. DESPLAZAMIENTO El movimiento de una partícula se conoce por completo si su posición en el espacio se conoce en todo momento.
18. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Consideremos una partícula que se mueve a lo largo del eje X desde un punto P a un punto Q. X (Desplazamiento) Q X f Pendiente Gráfica Posición vs tiempo. P X i t t (tiempo) t i f
19. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Su posición en el punto P es Xien el tiempo tiy su posición en el punto Q es Xf en el tiempo tf. Cuando la partícula se mueve de Xi a Xf se ha DESPLAZADO y su desplazamiento está dado por de Xf -Xi = X; (X = cambio). ¿Será X positiva o negativa? Positiva si Xf Xi , negativa si XiXf .
20. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Como magnitud siempre será positiva, y el signo (-) cuando aparece nos indica el sentido del desplazamiento.
21. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano VELOCIDAD MEDIA La velocidad media se define como la RAZÓN entre el desplazamiento X y el intervalo de tiempo t
22. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano UNIDADES DE VELOCIDAD: Corresponden a la razón entre unidades de longitud y unidades de tiempo.
23. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano NOTA: La Velocidad promedio es independiente de la TRAYECTORIA y DEPENDIENTE DEL DESPLAZAMIENTO. Así, si la partícula sale de un punto P y regresa al mismo punto P, su desplazamiento es CERO y en consecuencia su velocidad promedio también es CERO. Sin embargo, la DISTANCIA RECORRIDA es diferente de cero.
24. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano DISTANCIA RECORRIDA (Desplazamiento): Es la Medida longitudinal de la trayectoria. ¿Una velocidad promedio será positiva o negativa? R/: Positiva si el desplazamiento es positivo y negativa si el desplazamiento es negativo. ¿El intervalo de tiempo t será positivo o negativo? R/: Siempre positivo. Ver ejemplo pág. 25.
25. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano RAPIDEZ PROMEDIO: Cociente entre la DISTANCIA TOTAL RECORRIDA (Positiva) y el tiempo empleado en recorrer dicha distancia. Rapidez promedio = La rapidez es un escalar y corresponde a la magnitud de la velocidad.
26.
27. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Si los intervalos de tiempo son relativamente pequeños, la velocidad media describe de mejor forma el movimiento de la partícula en cada instante durante ese pequeño intervalo. Por lo tanto, se definela VELOCIDAD INSTANTÁNEADE LA PARTÍCULAcomo la velocidad media de la partícula en un tiempo muy pequeño, denominado infinitesimal, o sea en el límite cuando ∆t tiende a cero.
28. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Cuando determinamos la velocidad en un instante de tiempo, estamos determinando una VELOCIDAD INSTANTÁNEA. Un instante de tiempo lo consideramos como un tiempo que es aproximadamente CERO, por lo tanto, la velocidad instantánea v será: Cuando se observa el velocímetro de un carro, se aprecia su velocidad instantánea, es decir, su rapidez. En ningún momento se aprecia su velocidad promedio. Ver ejemplo p. 26
29. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME Un M.R.U. es aquel movimiento en el cual se recorren distancia (espacios) iguales en tiempos iguales, es decir, es un movimiento en el cual la Velocidad permanece constante. En la práctica es un movimiento poco común, pues regularmente el móvil durante su recorrido presenta cambios en su velocidad. Sin embargo consideraremos la velocidad media (promedio) como una velocidad constante cuando el movimiento sea susceptible de realizarse en línea recta.
30. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano EJEMPLO 1: Un automóvil se mueve con velocidad uniforme a razón de durante 5 h. Calcular la distancia recorrida en Km, m, cm. Solución
32. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano EJEMPLO 2. Un avión recorre 2.940 Km. en 3 h con movimiento uniforme. Calcular su velocidad en Km/h y en m/s. Solución Datos
33. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano MOVIMIENTO VARIADO Es aquel movimiento cuya velocidad no es constante. Si la velocidad presenta variaciones en el tiempo, entonces diremos que se presenta una aceleración. Dicha variación de la velocidad puede ser constante (uniforme) o no serlo.
34. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Cuando la variación es constante, diremos que la aceleración es constante y la clasificaremos en positiva ( si la variación corresponde a un aumento de la velocidad) o en negativa ( si corresponde a una disminución de la velocidad) ACELERACIÓN PROMEDIO Supongamos que una partícula se mueve con una velocidad vi en el tiempo ti y una velocidad vf en el tiempo tf.
35. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano V (Velocidad) Q V f o i d e m _ o V V = V Δ r p i f n ó i c a r e l e c A P Vi t = tf - ti t (tiempo) t t i f aceleración instantánea. Matemáticamente Nota: Para efectos prácticos:
36. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano , pero Además, así que: por lo tanto, la aceleración corresponde ala segunda derivada del espacio con respecto al tiempo: Ver ejemplo pag. 35
37. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano MOVIMIENTO UNIFORME ACELERADO Si consideramos una aceleración constante, α= α y si consideramos: vi = V0, ti = 0 segundos, tf = t, obtendremos: Como, cuando la aceleración es constante la velocidad varia linealmente en el tiempo, entonces:
41. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano CUERPOS EN CAÍDA LIBRE Un caso particular de movimiento en una dimensión, es aquel de los objetos que se mueven libremente en dirección vertical cerca de la superficie de la Tierra, que se conoce como movimiento de caída libre. Galileo (1564 – 1642), físico y astrónomo italiano, fue el primero en estudiar el
42. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano movimiento de caída libre, al observar que dos cuerpos diferentes, al dejarse caer desde la torre inclinada de Pisa, llegaban al suelo casi al mismo tiempo. Experimentalmente se demuestra que todos los cuerpos que se dejan caer cerca de la superficie de la Tierra, lo hacen con una aceleración aproximadamente constante.
43. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Esta aceleración, que se llama aceleración de gravedad, es producida por una fuerza que existe entre cuerpos con masa, llamada fuerza de atracción gravitacional. La aceleración de gravedad, que se denota por g, es un vector que apunta hacia el centro de la Tierra, su magnitud aumenta levemente al aumentar la latitud, es decir desde el ecuador hacia los polos, y disminuye al aumentar la altura sobre la superficie terrestre.
44. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Su valor medio en la superficie de la Tierra es aproximadamente de 9.8 m/s2. Se dice que un objeto está en caída libre cuando se mueve bajo la influencia sólo de la aceleración de gravedad, despreciando la resistencia (es otra fuerza que se resiste al movimiento y que también será estudiada más adelante) que el aire opone a los cuerpos en movimiento, sin importar la velocidad inicial del objeto.
45. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Todos los cuerpos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo, o se dejan caer, lo hacen libremente una vez que se dejan en libertad. La aceleración que adquieren es siempre la aceleración de gravedad, vertical hacia abajo, cualquiera sea la dirección inicial del movimiento.
46. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Como el movimiento de caída libre es en una dimensión, con aceleración constante, se puede adoptar como dirección del movimiento al eje vertical y por lo tanto, se pueden aplicar las ecuaciones para el movimiento en una dimensión, tomando al eje y en la dirección del movimiento de caída, por convención positivo hacia arriba.
47. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Puede ocurrir que elTIRO SEA VERTICAL HACIAARRIBA O TIRO VERTICAL HACIA ABAJO. TIRO VERTICAL HACIA ARRIBA El cuerpo requiere ser lanzado con una velocidad inicial mayor a cero ( V0 > o ). Cómo la gravedad lo atrae hacía la tierra, su velocidad disminuye a razón de 9.8 m/s en cada segundo hasta que, por un instante, su velocidad es cero. En ese momento alcanza su máxima altura para la cual tarda un tiempo llamado tiempo de subida.
48. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Luego, el cuerpo comienza a caer (V0 = 0) y va recuperando su velocidad a razón de 9.8 m/s en cada segundo, y en el momento de llegar al sitio desde donde fue lanzado habrá recuperado totalmente su velocidad de lanzamiento(demorando el mismo tiempo de subida).
49. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano TIRO VERTICAL HACIA ABAJO El cuerpo puede ser soltado libre ( V0 = 0) o puede ser “ arrojado” ( V0 > 0). En cualquier caso, la velocidad experimenta un aumento constante a razón de 9.8 m/s en cada segundo. La aceleración de la gravedad, en este caso, es +g.
50. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano En ambos tiros verticales, el movimiento corresponde a un movimiento variado con aceleración constante ( g = 9.8 m/s2) y por lo tanto, las fórmulas del tiro vertical serán las mismas del movimiento variado dondea = g y d = y = (altura).
52. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano En el tiro vertical hacia arriba, cuando el cuerpo alcanza su máxima altura, su Vf = 0 y el tiempo que tarda es un tiempo de subida. Entonces:
55. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Si el cuerpo sube y cae la misma altura, el ts es igual al tiempo de caída y el tiempo de vuelo será el doble del tiempo de subida: Tv = 2ts, Tv = tiempo de vuelo
56. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Cuando el cuerpo cae libremente la V0 = 0 y el tiempo de caída será: con V0 = 0 con g positiva.
57. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Los gráficos posición/tiempo, velocidad/tiempo y aceleración/tiempo para una partícula que se lanza hacia arriba desde una posición inicial Y0son los que se muestran en la siguientes figuras: Gráfico y/t, para a = g < 0
58. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Gráfico vy /t para a = g < 0 Gráficoa/t,para a = g < 0
59. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES. En general el movimiento de los objetos reales se realiza en el espacio real tridimensional. El movimiento de una partícula que se realiza en un plano es un movimiento en dos dimensiones, si el movimiento se realiza en el espacio, se produce en tres dimensiones. En esta sección haremos referencia al estudio de la cinemática de una partícula que se mueve sobre un plano.
60. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Ejemplos de un movimiento en dos dimensiones son el de un cuerpo que se lanza al aire como una pelota, un disco girando, el salto de un canguro, el movimiento de planetas y satélites, etc. El movimiento de los objetos que giran sobre un plano, se conoce como movimiento circunferencial, es un caso de movimiento en dos dimensiones, que también es estudiado en este capítulo. El movimiento de una mosca volando, el de un avión o el de las nubes se produce en tres dimensiones.
61. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES. Continuamos restringiendo el movimiento al caso de una partícula que se mueve con aceleración constante, es decir que su magnitud y dirección no cambian durante el movimiento.
62. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano MOVIMIENTO DE PROYECTILES Cualquier objeto que sea lanzado en el aire con una velocidad inicial v0 de dirección arbitraria, se mueve describiendo una trayectoria curva en un plano. Si para esta forma común de movimiento se supone que: a) La aceleración de gravedad es constante en todo el movimiento (aproximación válida para el caso en que el desplazamiento horizontal del cuerpo en movimiento sea pequeño comparado con el radio de la Tierra).
63. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano b) se desprecia el efecto de las moléculas de aire sobre el cuerpo (aproximación no muy buena para el caso en que la rapidez del cuerpo en movimiento sea alta), entonces a este tipo de movimiento se le llama movimiento de proyectily se produce en dos dimensiones.
64. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Se elige el sistema de coordenadas (x, y) tradicional como se ve en la siguiente figura donde se dibuja la trayectoria de una partícula en movimiento en dos dimensiones, junto con los vectores velocidad y aceleración de gravedad. Suponiendo que en el instante inicial t = t0el proyectil se encuentra en la posición inicial (x0 , y0) moviéndose con una velocidad inicial v0 que forma un ángulo con la horizontal, bajo la acción de la aceleración de gravedad g.
65. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Supongamos que mediante un cañón se dispara un proyectil en una dirección que forma un ángulo respecto a la superficie de la tierra. Es fácil advertir, que la trayectoria del proyectil corresponde a una trayectoria parabólica, y que si tomamos un marco de referencia tal que la dirección Y sea vertical y positiva hacia arriba entonces ay = -g y ax = 0 ( ignorando la fricción del aire).
66. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Esta velocidad proporciona el movimiento vertical con ay = g (M. U. V)
67. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Esta velocidad proporciona el avance horizontal con ax = 0 (M. R. U) Recordando las ecuaciones cinemáticas del tiro vertical :
70. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Como el movimiento de avance horizontal presenta una velocidad constante, entonces: Cuando x alcanza su máximo valor, se ha demorado un tiempo tv y dicha distancia la llamaremos máximo alcance horizontal y la denotaremos por Xmáx. Luego
71. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Alcance máximo Es obvio que el máximo alcance horizontal o recorrido se consigue cuando lo cual ocurre para = 45° La velocidad (resultante) en cualquier instante de tiempo, se obtiene por análisis de vectores perpendiculares (Vx y Vy) y se obtiene:
72. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano La dirección (ángulo entre V y la horizontal) se deduce mediante la función trigonométrica tangente, asi. v y v α v x
73. Ingeniera Margarita Patiño Instituto Tecnológico Metropolitano Alonso, Finn. Física. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana (1995). Savirón, José Mª. Problemas de Física General en un año olímpico.Editorial Reverté (1984) Serway. Física. Editorial McGraw-Hill (1992). RESNICK, Robert; HALLYDAY David, Física 1 y 2, Editorial Continental S.A., México, Sexta Edición, 2 002
