1º TRABALHO de CÁLCULO I
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1º TRABALHO de CÁLCULO I

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Trabalho para ser entregue impreterivelmente no dia 31 de março de 2012.

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  • 1. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo TorracaEsse trabalho é em grupo formado por no máximo três alunos evale no máximo dois pontos.O trabalho deve ser feito em folha A4 sem pauta, sem a utilização docorretivo, feito a caneta preferencialmente sem rasuras, se o mesmonão seguir as recomendações poderá não ser aceito.O trabalho deve ser entregue impreterivelmente até o dia 31 de marçode 2012.Se o trabalho for entregue após 31 de março até o dia 14 de abril, omesmo terá decréscimo na nota em 50% e após 14 de abril não serámais aceito o trabalho. 1 de 13
  • 2. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca1. Determine o domínio das funções:a) y = 3x + 2 x3 − 8 1 j) f ( x ) = 3 r) f ( x ) = 2x − 1 x +8 4 − x2b) y = 3x + 5 x s) f ( x) = − x 2 + 2 x + 3 k) f ( x ) = 2c) y = 6 − 3x + 1 x − 3x + 2 t) y = − 1(1 − x 2 ) 2 4 − 3x − x 2d) y = l) f ( x ) = x−2 x4 x u) f ( x) = 3 x 3 x −1 3x + 5 m) f ( x ) = + 3e) y = 3 x 1 2x − 1 v) f ( x) = (3 − x 2 ) 2 x 4 − 2 x 3 + 5x − 2f) y = 4 − 6 x n) f ( x ) = x 3 − 2x x2 3 2 2 w) f ( x) =g) f ( x ) = ( x − x + 3x + 5).(2 x + 3x ) − x2 + 4 x  2x + 1  o) f ( x ) =    x+5  1 − 2x x) f ( x) =h) f ( x ) = (−2x 4 + 3x 2 − 1).(3x 2 − 5) 2 x −x−2  x3 + 1  p) f ( x ) =  2  x +3     y) f ( x) = 2 − 3 x 2 − 8 2x 3 + 4i) f ( x ) = 2 x−2 x − 4x + 1 q) g( x ) = x−72. Um supermercado esta fazendo uma promoção na venda de alcatra: um desconto de 10% dado nos quilos que excedem a 3. Sabendo que o preço do quilo de alcatra é de R$ 4,00, pede-se o gráfico do total pago em função da quantidade comprada.3. Escreva a função afim f ( x) = ax + b , sabendo que:a) f (1) = 5 e f (−3) = −7b) f (−1) = 7 e f (2) = 1c) f (1) = 5 e f (−2) = −44. O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que o preço de fábrica é R$ 57 500,00 e que, depois de 6 anos de uso, é R$ 31 200,00, qual seu valor após 4 anos de uso, em reais?5. Considere a função f : IR → IR definida por f ( x) = 5 x − 3 .a) Verifique se a função é crescente ou decrescenteb) O zero da função;c) O ponto onde a função intersecta o eixo y;d) O gráfico da função;e) Faça o estudo do sinal; 2 de 13
  • 3. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca6. O gráfico de uma função afim, passa pelos pontos (−2,−63) e ( 5, 0 ) . Determine essa função e calcule f (16) .7. Determine a lei da função cuja reta intersecta os eixos em (−8, 0 ) e ( 0, 4 ) e verifique:a) Se a função é crescente ou decrescenteb) A raiz da funçãoc) o gráfico da funçãod) Calcule f (−1) .8. Dadas às funções f e g, construa o gráfico das funções e descubra o ponto de intersecção dessas retas:a) f ( x) = −2 x + 5 e g ( x) = 2 x + 5b) f ( x) = 5 x e g ( x) = 2 x − 6c) f ( x) = 4 x e g ( x) = − x + 39. Um comerciante teve uma despesa de R$230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$5,00, o lucro final L será dado em função das x unidades vendidas. Responda:a) Qual a lei dessa função f;b) Para que valores de x têm f ( x) < 0 ? Como podemos interpretar esse caso?c) Para que valores de x haverá um lucro de R$315,00?d) Para que valores de x o lucro será maior que R$280,00?10. Dada a função afim f ( x) = 2 x + 3 , determine os valores de x para que:a) f ( x) = 1b) f ( x) = 0 1c) f ( x) = 311. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$8,00 mais um custo variável de R$0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas:a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças.b) calcule o custo para 100 peças.12. Dadas às funções f ( x) = ax + 4 e g ( x) = bx + 1 , calcule a e b de modo que os gráficos das funções se interceptem no ponto ( 1, 6 ) .13. Seja f : IR → IR uma função tal que f ( x + 1) = 2 ⋅ f ( x) − 5 e f (0) = 6 . Calcule f (4) . 3 de 13
  • 4. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca14. O gráfico ao lado expressa a temperatura em graus Fahrenheit em função da temperatura em graus Celsius. Encontre a equação que expressa os graus Fahrenheit em função dos graus Celsius; e determine o valor aproximado da temperatura na escala Celsius correspondente a zero graus Fahrenheit.15. Montar o gráfico das funções abaixo:  − 6, se x < −2 a) f ( x ) =  - 2, se - 2 ≤ x ≤ 2  3, se x > 2   − 4, para x ≤ −1b) f ( x ) =   2x − 6, para x > 1  3x − 9, para x ≤ 4c) f ( x ) =   − 2, para x > 416. Um motorista de táxi, para cobrar a corrida, lê no hodômetro do carro o número de quilômetros percorridos e utiliza uma tabela impressa, como mostrada abaixo. O total a pagar consiste em uma quantia fixada, que é de R$ 1,00, mais uma quantia que depende do número de quilômetros rodados. Exprima matematicamente o total a pagar “y” em uma corrida de “x” quilômetros. Km rodados Total a pagar Km rodados Total a pagar 0 1,00 5 4,50 1 1,70 6 5,20 2 2,40 7 5,90 3 3,10 8 6,60 4 3,80 9 7,3017. O gráfico abaixo representa a quantidade arrecadada na exportação de café em um ano. Com base no gráfico, responda:a) Em que meses do ano a exportação de café rendeu menos de 200 milhões de dólares?b) Em que meses do ano a exportação de café ultrapassou os 250 milhões de dólares?c) Em que mês ela atingiu o máximo? 4 de 13
  • 5. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca18. Em um certo município do estado do Rio de Janeiro, pesquisou-se durante um ano o número de casos de certa doença, encontrando-se os dados representados no gráfico abaixo: Baseado no gráfico, responda:a) Em que mês ocorreu o menor número de casos? E o maior? 1200 1100 1000b) Qual o número de casos registrados no 900 800 nº de Casos 3º trimestre? 700 600c) Entre que meses consecutivos ocorreu a 500 400 300 maior diferença de número de casos 200 100 registrados ? 0 Jan Fev M ar Abr M ai Jun Jlh Ago Set O ut N ov D ezd) Qual o total de casos registrados durante m eses do A no o 2º semestre?19. O gráfico abaixo representa a quantidade arrecadada na exportação de café em um ano. 400 350 Com base no gráfico, responda: 300a) Em que meses do ano a exportação de café 250 rendeu menos de 200 milhões de dólares? 200 150b) Em que meses do ano a exportação de café 100 ultrapassou os 250 milhões de dólares? 50c) Em que mês ela atingiu o máximo? 0 JAN FEV MAR ABR MAI JUN JLH AGO SET OUT NOV DEZd) Durante qual(ais) mês(es) do ano ela manteve-se estável?20. Determine o vértice e os zeros das seguintes funções, utilizando a forma canônica da função quadrática:a) f ( x) = x 2 + 4 x + 4 e) f ( x) = − x 2 + 6 x − 9 1 h) f ( x) = x 2 − 2 x + 2b) f ( x) = 3x 2 − 7 x + 2 f) f ( x) = 3x 2 − x 3 i) f ( x) = x 2 + (1 − 3 ) x − 3c) f ( x) = x 2 − 5 x + 4 2 g) f ( x) = − x + x + 1 2d) f ( x) = x + x + 2 2FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU NA ECONOMIAAs funções podem ser aplicadas em quase tudo que fazemos em nosso dia a dia, agora veremos algunscasos de aplicações da função do segundo grau em Administração e Economia. Enfatizaremos a funçãocusto, função receita e a função lucro que estão relacionadas aos fundamentos administrativos de qualquerempresa. 5 de 13
  • 6. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo TorracaFUNÇÃO CUSTO TOTALSeja q a quantidade produzida de um produto. O custo total depende de q e à relação entre eleschamamos função Custo Total (e indicamos por CT). Verifica-se que, em geral, existem alguns custosque não dependem da quantidade produzida, tais como seguros, aluguel, etc. À soma desses custos, queindependem da quantidade produzida, chamamos Custo Fixo (e indicamos por CF). À parcela de custosque depende de q chamamos Custo Variável (e indicamos por CV). Desta forma, podemos escrever:CT = C F + C v .qFUNÇÃO RECEITA TOTALSuponhamos agora que q unidades do produto sejam vendidas. A receita de vendas depende de q e afunção que relaciona receita com quantidade é chamada função receita (e indicada por R). Na maioria dasvezes, o preço unitário (p) varia com a quantidade demandada, sendo p = f(q). Assim, a receita total podeser expressa através da função demanda como: R = Pv.qFUNÇÃO LUCRO TOTALChama-se função lucro total (e indica-se por L) a diferença entre a função receita e a função custo total,isto é: L = R − CTNa Economia, empregam-se, muitas vezes, polinômios para representar estas funções.O interesse básico é achar o lucro. Devem ser determinados os intervalos onde o lucro é positivo, por issoprecisamos conhecer as raízes da função lucro total.21. O dono de uma pizzaria verificou que, quando o preço unitário de cada pizza era de R$ 14,00 o número de pizzas vendidas era 170 por semana. Verificou também quando preço passava para R$11,00 a quantidade vendida era de 200 unidades. Assim sendo sua função demanda é p = −0,1q + 31 . (Considere o custo de uma pizza de R$ 7,00). Determine:a) A função Receita;b) A função Lucro;c) Qual é a quantidade vendida que maximizar o lucro semanal.d) Qual o lucro máximo da pizzaria?e) Qual o preço que maximiza o lucro?22. O físico francês Poiseuille, foi o primeiro a descobrir que o sangue flui mais perto do centro de uma artéria do que nas extremidades. Testes experimentais mostraram que a velocidade do sangue num ponto a r cm do eixo central de um vaso sanguíneo é dada pela função V (r ) = R 2 − r 2 em cm / s em que C é uma constante e R é o raio do vaso. Supondo, para um determinado vaso, que seja C = 1,8 ⋅104 e R = 10 −2 cm , calcule a velocidade do sangue no eixo central do vaso sanguíneo. 6 de 13
  • 7. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca23. Uma bola é lançada ao ar. Suponha que a altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja h = −t 2 + 4t + 6 .Determine:a) o instante em que a bola atinge a sua altura máxima;b) a altura máxima atingida pela bola;c) quantos segundos depois de lançada, ela toca o solo?24. Para uma determinada viagem, foi fretado uma avião com 100 lugares. Cada pessoa deve pagar à companhia R$ 500,00 além de uma taxa de R$ 6,00 para cada lugar não ocupado do avião.a) Qual a receita arrecadada se compareceram 80 pessoas para a viagem?b) Qual a receita máxima que pode ser arrecadada nas condições do problema?25. Nos acidentes de trânsito, uma das preocupações dos especialistas em tráfego é descobrir qual a velocidade do veículo antes da colisão. v2 Uma das fórmulas utilizadas é d = 0,1v + na qual v é a velocidade, em 250 quilômetros por hora, desenvolvida pelo veículo antes do choque e d, a distância, em metros, que o mesmo percorre desde que o motorista pressente o acidente até o mesmo parar. Essa é uma função quadrática que relaciona uma distância, muitas vezes determinada pelas marcas de pneus na pista, após utilização brusca dos freios, e a velocidade que o carro trafegava.a) Quantos metros percorre um carro a 80 km/h, desde o momento em que vê o obstáculo, até o carro parar?b) A distância de frenagem do carro é d = 15m , qual velocidade do carro?26. Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L = R − C , em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa em que se produziu x unidades, verificou-se que R( x ) = 6 000 x − x 2 e C ( x ) = x 2 − 2 000 x . Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo?27. Os esboços seguintes representam funções; observando-os, determine o domínio e o conjunto imagem de cada uma das funções.a) f ( x) = | x + 1 | −3 d) f ( x) = | x + 1 | + xb) f ( x) = | x 2 + 4 x − 5 | e) f ( x) = x 2 − 3 | x | +2c) f ( x ) = | x 2 − 5 x | +6 f) f ( x) = | x + 1 | + x 7 de 13
  • 8. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca | x + 2 |, se x < −1   − x , se x ≤ 028. Dadas as funções f ( x ) =  x 2 − 4, se − 1 ≤ x < 2 e g ( x ) =  3 , pede-se:  2 x − 1, se x ≥ 2  x − 1, se x > 0 a) f (2) + f (−1) 3 f  f  e)  (3) − g (2) gb) f ( f (−5)) d) 2  c) f (g (1)) g ( − 4) f) g ( f (−5))g) A representação gráfica e as imagens das funções f (x) e g (x) .29. Seja f (x) o gráfico da abaixo. Construa o gráfico de:a) f ( x) + 1 e) f ( x − 2) − 2b) f ( x) − 2 f) − f (x)c) 2 f ( x) g) − f ( x) + 1d) f ( x + 1)30. O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela expressão N ( t ) = 1 200 ⋅ 20, 4 t . Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38.400 bactérias?31. O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função N ( t ) = 200 ⋅ 3 k t , onde N representa o número de bactérias no instante t (em horas) e k é uma constante a ser obtida. A produção tem início para t = 0 . Decorridas doze horas, há um total de seiscentas bactérias. Calcule:a ) a constante kb ) o número de bactérias, 36 horas depois que se iniciou a produção32. Uma instituição bancária oferece uma taxa de juro de 8% ao ano para depósitos feitos numa certa modalidade. Um cliente desse banco fez um depósito de 500 reais, nessa modalidade. Qual é, em reais, o capital desse cliente, relativo a esse depósito, passados n anos?33. Uma substancia radioativa está em processo de desintegração, de modo que no instante t a quantidade não desintegrada é aproximadamente M ( t ) = M (0) ⋅ 2−3 t . Qual o valor de t para que metade da quantidade inicial M (0) se desintegre?34. O Custo mensal C, em reais, de um motor elétrico aumenta à medida que aumenta o número mensal de horas t em que é utilizado, conforme C = 40 000 − 30 000 ⋅ e −0 ,0002 t .Qual é o valor do custo mensal se esse motor elétrico é utilizado cerca de 150 horas por mês?35. As células de um tumor possuem sabidamente um metabolismo mais acelerado e, consequentemente um maior consumo de glicose que as células normais. Aproveitando-se destas suas características, é 8 de 13
  • 9. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca possível realizar um exame para detectar um tumor através de sua atividade metabólica. Este exame é o PET (Positron Emission Tomography - tomografia por emissão de pósitrons). Os isótopos mais usados nos radiofármacos injetados nos pacientes submetidos ao processo PET são: o carbono-11, o nitrogênio-13, o oxigênio-15 e o flúor- 18, cujas meias-vidas são respectivamente de 20, 10, 2 e 110 minutos. Como os isótopos usados têm meia-vida muito curta, assim que um dos isótopos é obtido, restam poucos minutos para sintetizar o radiofármaco e injetá-lo no paciente.a ) Calcular em quanto tempo uma amostra de carbono-11 se reduz a 25% do que era quando foi obtida.b ) Em quanto tempo uma amostra de nitrogênio-13 se reduz à 1 8 do que era quando foi obtida?c ) Após 10 minutos de sua obtenção, qual fração de oxigênio-15 ainda restará? 9036. O acidente do reator nuclear de Chernobyl, em 1986, lançou na atmosfera grande quantidade de 38 Sr radioativo, cuja meia-vida é de 28 anos. Supondo ser este isótopo a única contaminação radioativa e 90 sabendo que o local poderá ser considerado seguro quando a quantidade de 38 Sr se reduzir, por 1 desintegração, a da quantidade inicialmente presente, o local poderá ser habitado novamente a 16 partir do ano:37. O plutônio-240, produzido em reatores nucleares, é um material radioativo de longa vida, o que torna o lixo atômico desses reatores de difícil armazenamento. A partir de uma massa inicial M 0 dessa substância, a sua massa M, após t séculos, será aproximadamente, determinada pela equação M = M 0 ⋅ (1,01) − t . Com base nessas informações, determine, em porcentagem, a quantidade de massa do plutônio-240 restante, após 2 séculos de desintegração.38. Suponha que, t minutos após injetar-se a primeira dose de uma medicação na veia de um paciente, a quantidade dessa medicação existente na corrente sanguínea seja dada, em ml , pela função t − Q( t ) = 50 ⋅ 2 180 e que o paciente deva receber outra dose quando a medicação existente em sua 1 corrente sanguínea for igual a da quantidade que lhe foi injetada. Nessas condições, o intervalo de 4 tempo, em horas, entre a primeira e a segunda dose da medicação, deverá ser igual a:39. O carbono-14 é um isótopo raro do carbono presente em todos os seres vivos. Com a morte, o nível de C-14 no corpo começa a decair. Como é um isótopo radioativo de meia-vida de 5730 anos, e como é relativamente fácil saber o nível original de C-14 no corpo dos seres vivos, a medição da atividade de C-14 num fóssil é uma técnica muito utilizada para datações arqueológicas. A atividade radioativa do C-14 9 de 13
  • 10. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca t  1  5730 decai com o tempo pós-morte segundo a função A( t ) = A0 ⋅   , em que A0 é a atividade natural  2 do C-14 no organismo vivo e t é o tempo decorrido em anos após a morte. Suponha que um fóssil encontrado em uma caverna foi levado ao laboratório para ter a idade estimada. Verificou-se que emitia 7 radiações de C-14 por grama/hora. Sabendo que o animal vivo emite 896 radiações por grama/hora, qual é a idade aproximada do fóssil?40. O valor do pH é um número aproximado entre 0 e 14 que indica se uma solução é acida ( pH < 7 ), neutra ( pH = 7 ) ou básica / alcalina ( pH > 7 ). Em química, define-se o pH de uma solução como o logaritmo decimal (base 10) do inverso da respectiva concentração de H 3O + (íon hidroxônio), ou ainda, que o pH de uma solução aquosa é definido pela expressão pH = − log[ H + ] em que [ H + ] indica a concentração, em mol/L, de íons de hidrogênio na solução. Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador verificou que nela, a concentração de Hidrogênio era [ H + ] = 5,4 ⋅ 10 −8 mol / L . Calcule o pH dessa solução.41. Os biólogos consideram que, ao chegar a 100 indivíduos, a extinção de uma espécie animal é inevitável. A população de uma determinada espécie animal, ameaçada de extinção diminui segundo a função f ( t ) = k ⋅ a t , na qual, k e a são números reais e f (t ) indica o número de indivíduos dessa espécie no instante t (t em anos). Atualmente (instante t = 0 ) existem 1.500 indivíduos da espécie e estima-se que, daqui a 10 anos, haverá 750. Caso nenhuma providência seja tomada, mantido tal decrescimento exponencial, daqui a quantos anos será atingido o nível de população que os biólogos consideram como irreversível para a extinção?42. Num país africano, uma espécie de camelos está sendo dizimada por uma peste. O número de camelos é dado, em função do tempo, pela lei C ( t ) = C 0 ⋅ e −0, 4 t (t em anos e C0 é o número atual de camelos).a) Explique o que significa C (0) = 5 000 e determine C 0 .b) O Ministério da Agricultura, através do seu Departamento de Veterinária, está desenvolvendo um medicamento que erradicará a peste e prevê que ficará pronto daqui a 10 anos. Quantos camelos serão salvos?c) O Governo decretará que a espécie de camelos estará em vias de extinção quando o número de camelos for inferior a 200. Se essa tendência se mantiver, daqui a quanto tempo isso acontecerá?43. A massa m (em gramas) de uma cultura de bolor sujeita a um certo conjunto de condições ambientais 1 aumenta de acordo com a fórmula m ( t ) = , em que t representa o tempo (em dias). 0,4 + 0,6 e − ta) Qual é a massa inicial da cultura?b) Qual é a massa da cultura depois de 15 dias? 10 de 13
  • 11. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torracac) Resolva a equação m ( t ) = 2 e explique o seu significado.d) Explique a forma como evolui o crescimento da massa da cultura.e) Escreva a equação que exprime t em função de m.44. Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência a se desintegrarem (emitindo partículas e se transformando em outro elemento). Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo com t − inicialmente m0 gramas de massa se decomponha segundo a equação matemática: m ( t ) = m0 ⋅ 10 70 , onde m(t) é a quantidade de massa radioativa no tempo t (em anos). Determine quantos anos demorará para que esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da massa inicial.45. A radioatividade de um composto decresce de acordo com a fórmula A( t ) = A0 ⋅ e −0, 2 t , onde A0 é a quantidade de composto inicialmente presente e t é o tempo em segundos após a observação inicial. Sabe-se que inicialmente havia 20 gramas do composto.a) Quantos gramas do composto haverá 10 segundos depois da observação inicial?b) Quanto tempo terá que decorrer para que a quantidade do composto se reduza à metade?46. A expressão M = C ⋅ (1 + i )t permite calcular o montante M, resultante da aplicação do capital C a juros compostos, à taxa i num período de tempo n. Nessas condições, se o capital de R$ 2 000, 00 for aplicado a juros compostos à taxa de 12% ao ano, após quanto tempo de aplicação serão obtidos montante de R$ 9 000,00?47. Um capital de R$ 50.000, 00 foi colocado numa caderneta de poupança que rende 2,5% ao mês. Admitindo não haver retiradas, após quanto tempo o saldo dessa aplicação será de R$ 122.070, 31?48. Em quanto tempo o capital dobra em regime de capitalização composta a 0,5% ao mês?49. A magnitude dos tremores de terra é habitualmente medida na escala Richter. Nesta escala, a magnitude M de um abalo sísmico está relacionada com a energia liberada E (em ergs), da seguinte log E − 11,8 forma M = (Fórmula de Gutenberg e Richter). 1,5a) Um dos tremores de terra mais famoso ocorreu em S. Francisco, nos Estados Unidos, em 1906 e liberou 1,496 ⋅1024 ergs de energia. Qual foi a sua magnitude na escala Richter?b) Qual a energia liberada por um sismo de magnitude 8, 5 na escala Richter?c) Exprima a variável E em função de M.50. A magnitude M de um sismo e a energia total E liberada por esse sismo, estão relacionadas pela equação log E = 5,24 + 1,44 M (a energia E é medida em Joule). O terremoto de 4,9 graus na escala 11 de 13
  • 12. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca Richter no norte de Minas Gerais é o primeiro a registrar uma morte, segundo o Obsis (Observatório Sismológico de Brasília), da UnB (Universidade de Brasília). Qual foi a energia, em Joules, liberada por esse sismo? (Fonte: Folha online)51. As indicações R1 e R2 , na escala Richter, de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula M  R2 − R1 = log  2  , onde M 1 e M 2 medem as energias liberadas pelos respectivos terremotos, sob M   1 a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Considerando que ocorreram dois terremotos, um correspondente a R1 = 6 e outro correspondente a R2 = 4 , determine a razão entre as energias liberadas pelos mesmos.52. A intensidade I de um terremoto, medido na escala Richter, é um número que varia de 0 ≤ I ≤ 8,9 , 2 E para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula I = ⋅ log , onde E é a energia liberada 3 E0 no terremoto em quilowatt-hora e E 0 = 7 ⋅ 10 −3 kWh .a) Qual a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter?b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada?53. A figura ao lado representa um reservatório com três metros de altura. Considere que, inicialmente, o reservatório está cheio de água e que, num certo instante, se abre uma válvula e o reservatório começa a ser esvaziado. O reservatório fica vazio ao fim de 14 horas. Admita que a altura, em metros, da água no reservatório, t horas após ter começado a ser esvaziado, é dada por h(t ) = log 2 (a − bt ) , com t ∈ [ 0,14 ] , onde a e b são constantes reais e positivas. Calcule o valor de a e de b.54. Em certo país com população A (em milhões de habitantes) é noticiado pela TV a implantação de um novo plano econômico pelo governo. O número de pessoas que já sabiam da notícia após t ≥ 0 horas A é dado pela fórmula f ( t ) = A . Sabe-se também que decorrida 1 hora da divulgação do plano, − t 1 + 4e 2 50% da população já estava ciente da notícia.a) Qual foi a porcentagem da população que tomou conhecimento do plano no instante em que foi noticiado?b) Qual a população do país?c) Após quanto tempo, 80% da população estava ciente do plano? 12 de 13
  • 13. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca55. Quando o pão sai do forno, a sua temperatura é de aproximadamente 100º C. Para arrefecer, é colocado em tabuleiros numa sala em que a temperatura é de 23º C. Passados 3 minutos a sua temperatura é de aproximadamente 74º C. Depois de sair do forno, ao fim do tempo t, em minutos, a temperatura do pão é dada por T ( t ) = 23 + 77 ⋅ e − kt .a) Calcule o valor de k.b) Qual será a temperatura do pão meia hora depois de sair do forno?c) Para embrulhar o pão, é conveniente que este esteja a uma temperatura inferior a 40º C. Paulo entrou na padaria no momento em que o pão saindo do forno. Ele quer comprar pão, mas como já está atrasado para ir para a escola, diz que só pode esperar entre 3 e 5 minutos. Será que o Paulo irá levar o pão?56. Um petroleiro, que navegava no oceano Atlântico, encalhou numa rocha e sofreu um rombo no casco. Em consequência disso, começou a derramar óleo. Admita que, às t horas do dia seguinte ao acidente, a área em km 2 , de óleo espalhado sobre o oceano, é dada por A( t ) = 16 ⋅ e 0,1t , t ∈ [ 0, 24 ] . A ( t + 1)a) Verifique que para qualquer valor de t, é constante. A (t ) Determine um valor aproximado dessa constante e interprete esse valor, no contexto da situação descrita.b) Admita que a mancha de óleo é circular, com centro no local onde o petroleiro encalhou. Sabendo que esse local se encontra a 7 km da costa, determine a que horas, do dia seguinte ao acidente, a mancha de óleo atingirá a costa. 13 de 13