Convegno Nazionale: Modelli e Tecnologie per la Nuova Didattica della Matematica Organizzato dal Liceo Scientifico Giovanni da Procida di Salerno col patrocinio di: SICSI - Università di Salerno, Presidenza Regione Campania, BIMED - Biennale A. S.Mediterraneo, Direzione Regionale Scolastica – Campania, IRRE – Campania, Provincia di SalernoComune di Positano

1. Luoghi geometrici con
Cabri II Plus
Convegno Nazionale - Modelli e Tecnologie per la Nuova Didattica della Matematica
Sabato 14 aprile 2007
Luoghi Geometrici con Cabri II PlusLuoghi Geometrici con Cabri II Plus
Marcello Pedone I.I.S.S. “A. De Pace”di Lecce
marcellopedone@tin.it
Convegno Nazionale: Modelli e Tecnologie per la Nuova Didattica della Matematica
Organizzato dal Liceo Scientifico Giovanni da Procida di Salerno
col patrocinio di: SICSI - Università di Salerno, Presidenza Regione Campania, BIMED - Biennale A. S.Mediterraneo, Direzione Regionale Scolastica –
Campania, IRRE – Campania, Provincia di SalernoComune di Positano

2. Luoghi geometrici con
Cabri II Plus
Marcello Pedone
I.I.S.S.“A. De Pace” di Lecce
Sommario
Nel seguito mostrerò come con il software Cabri Géomètre II
Plus si possono trovare e descrivere in maniera molto semplice e
immediata i “luoghi geometrici”. Usando lo strumento
Animazione vedremo che è possibile fare “esperimenti” di tipo
“cinematico” anche sui luoghi che hanno un’origine geometrica.

3. Luoghi geometrici con
Cabri II Plus
Marcello Pedone
I.I.S.S.“A. De Pace” di Lecce
Premessa
L’uso dei sistemi dinamici di geometria e algebra sono stati sperimentati dallo
scrivente insieme agli allievi di una sua classe, nel progetto internazionale
“comenius1-Partenariati scolastici” “ Neuer multimedialer Einsatz in
Mathematik” (Nuove applicazioni multimediali in Matematica) conclusosi
nell’anno scolastico 2006-‘07. I prodotti didattici ottenuti sono stati presentati nel
meeting internazionale”Maths and use of computers” tenuto nell’aula magna
dell’ IISS “A.De Pace” di Lecce nell’anno scolastico 2005-‘06 . Al meeting
hanno partecipato docenti della rete Europea, Nazionale e dell’Università di
Lecce .
In tale progetto di cui lo scrivente è referente nazionale, sono stati usati due
sistemi dinamici di geometria (DGS) : “Cabri “ e “DynaGeo”.
La pratica e la ricerca hanno portato i docenti e gli allievi delle nazioni
partecipanti ad esprimere un parere unanime nell’utilità dei software di geometria
(DGS) soprattutto per il processo di formulazione di congetture geometriche.
Cabri Géomètre II Plus, usato soprattutto dai miei allievi, ha consentito agli
studenti di costruire e manipolare enti geometrici e ha permesso di evidenziare
relazioni geometriche, dando agli allievi la possibilità di avanzare congetture.

4. Luoghi geometrici con
Cabri II Plus
Marcello Pedone
I.I.S.S.“A. De Pace” di Lecce
Metodologia
La metodologia comune stabilita in conclusione dei lavori del
progetto può essere sintetizzata con il seguente schema:
Costruzione di
figure
geometriche
Scoperta di proprietà
geometriche
Elaborazione
di teorie
Esplorazione
Possiamo dire che nel processo di apprendimento intervengono le seguenti fasi:
1.1.CostruireCostruire l’oggetto geometrico
2.2. CollaudareCollaudare cioècioè verificare, se la figura geometrica mantiene le proprietà
3.3. ScoprireScoprire intuitivamente le proprietà dell’oggetto geometrico
4.4. GiustificareGiustificare la costruzione dell’oggetto dimostrando le proprietà congetturate
5.5. FormalizzareFormalizzare convertendo la propria scoperta in modo intuitivo in definizione,
enunciato o formula.

5. Luoghi geometrici con
Cabri II Plus
Marcello Pedone
I.I.S.S.“A. De Pace” di Lecce
Equazioni di luoghi geometrici
Possiamo definire un luogo geometrico come l’insieme di tutti e soli i punti che
soddisfano ad una o più determinate proprietà .
Se nel piano è definito un riferimento cartesiano la proprietà che descrive il luogo
geometrico può essere espressa attraverso una o più equazioni ed il luogo geometrico
risulta essere l'insieme di tutti e soli i punti P(x,y) le cui coordinate soddisfano
equazioni del tipo f(x,y)=0. La "proprietà" che caratterizza tali luoghi non è espressa in
termini geometrici bensì in termini analitici.
Se le proprietà sono espresse definendo geometricamente le caratteristiche dei punti
del luogo l’equazioni di tale luogo si ottengono traducendo in formule le proprietà
geometriche che caratterizzano i luogo considerato.
Per esempio le coniche possono essere considerate come luoghi geometrici ottenend
dalle loro proprietà geometriche le loro equazioni, oppure possono essere considerate
come luoghi dei punti del piano che soddisfano un’equazione algebrica di secondo
grado. Vediamo come possiamo costruire la parabola e l’ellisse usando la loro
definizione geometrica.

6. Luoghi geometrici con
Cabri II Plus
Marcello Pedone
I.I.S.S.“A. De Pace” di Lecce
La parabola
La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso (F) detto
fuoco e da una retta fissa (d) detta direttrice.
Costruzione
1. Tracciamo la direttrice d
2. Tracciamo la retta r perpendicolare a d in un suo punto A
3. Fissiamo il fuoco F fuori le due rette
4. Tracciamo l’asse del segmento AF
5. Troviamo l’intersezione tra l’asse e la retta r e indichiamola con P
6. Tracciamo il luogo descritto da P al variare di A sulla retta r
Il luogo descritto è la parabola di fuoco F e direttrice d .
Infatti PA=PF ed è uguale alla distanza di P da d.

7. Luoghi geometrici con
Cabri II Plus
Marcello Pedone
I.I.S.S.“A. De Pace” di Lecce
Mostra la descrizione della figura
Si può fare apparire una finestra che presenta una descrizione testuale di tutti i
passi della costruzione della figura geometrica, in ordine cronologico (vedi figura
precedente). Per ottenere la di descrizione testuale della figura si và al menu
Opzioni e si sceglie la nuova voce Mostra la descrizione della figura (si può
anche attivare con il tasto F10)

8. Luoghi geometrici con
Cabri II Plus
Marcello Pedone
I.I.S.S.“A. De Pace” di Lecce
Intersezione di due oggetti -Coordinate o equazioni
Con lo strumento Mostra gli assi si possono
rappresentare gli assi cartesiani come nella
figura seguente. Con Cabri II Plus è possibile
creare l’intersezione di luoghi con lo
strumento Intersezione di due oggetti e
ottenere le equazioni di curve algebriche,
ottenute come luoghi, con lo strumento
Coordinate o equazioni. Le equazioni dei
luoghi sono determinate numericamente, come
curve algebriche reali di grado minore o uguale
a 6. Nella figura, usando gli strumenti suddetti,
abbiamo calcolato l’intersezione tra la parabola
e l’asse delle ordinate ed inoltre abbiamo
ottenuto l’equazione della parabola.Variando
l’origine degli assi il programma
automaticamente fornisce le nuove equazioni e
le nuove coordinate.
Il programma permette di allegare ad oggetti
geometrici delle immagini.Le immagini
possono essere allegate ai punti, segmenti,
triangoli e quadrilateri convessi. Per allegare
un’immagine ad un oggetto si deve usare il
menu contestuale dell’oggetto, che si attiva
con il tasto destro del mouse una volta
selezionato l’oggetto. Nella figura al punto P,
che descrive il luogo cioè la parabola, è stata
allegata una penna , spostando il punto A la
penna descrive il luogo.

9. Luoghi geometrici con
Cabri II Plus
Marcello Pedone
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L’ellisse
L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali la somma delle distanze da due
punti fissi (F1
, F2
) detti fuochi è costante.
Costruzione
Fissiamo due punti nel piano (F1
, F2
)
1. Tracciamo un segmento AB di lunghezza
arbitraria maggiore della distanza F1
F2
2. Fissiamo un punto C che varia sul segmento
AB
3. Costruiamo la circonferenza di centro F1
e
raggio AC
4. Costruiamo la circonferenza di centro F2
e
raggio BC
5. Determiniamo le intersezioni delle due
circonferenze
6. Tracciamo il luogo descritto dai punti
d’intersezione trovati, al variare di C su AB
Il luogo descritto è l’ellisse avente i fuochi nei punti F1
e F2
. Infatti i punti d’intersezione delle
due circonferenze hanno la proprietà di avere costante, la somma delle distanze da F1
e da F2
(PF1
+ PF2
=AB) .

10. Luoghi geometrici con
Cabri II Plus
Marcello Pedone
I.I.S.S.“A. De Pace” di Lecce
Mostra gli assi
Nella figura seguente sono stati aggiunti gli assi cartesiani, sono state calcolate le coordinate dei
fuochi, l’equazione del luogo e le equazioni delle due circonferenze, usando gli strumenti
precedentemente descritti per costruire la parabola. In particolare si può notare che il programma
restituisce l’equazione della circonferenza con centro e raggio assegnato.

11. Luoghi geometrici con
Cabri II Plus
Marcello Pedone
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L’asteroide e la rosa a quattro foglie.
Costruiamo i due luoghi geometrici noti con i nomi asteroide e rosa a quattro foglie.
1. Tracciamo una circonferenza e indichiamo con P un suo punto
2. Tracciamo due diametri ortogonali AC e BD .
3. Proiettiamo il punto P sui due diametri e chiamiamo con H e K le proiezioni.
4. Tracciamo il segmento KH e la perpendicolare ad esso per il punto P
5. indichiamo con E l’intersezione
Tracciamo il luogo descritto dal punto E al variare di P sulla circonferenza.
Il luogo descritto da E al variare di
P sulla circonferenza si chiama
Asteroide. Se la perpendicolare al
segmento KH viene fatta passare
per il punto O anziché il punto P ,
il luogo descritto dal punto
d’intersezione F, della
perpendicolare con il segmento KH,
al variare di P sulla circonferenza,
si chiama rosa a quattro foglie.

12. Luoghi geometrici con
Cabri II Plus
Marcello Pedone
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Strumento trasporto di misura
Usando lo strumento trasporto di misura si può misurare la distanza del punto P sulla circonferenza dal punto
M sul luogo.Usando lo strumento animazione si può vedere come al variare del punto P sulla circonferenza il
punto M descrive il luogo.

13. Luoghi geometrici con
Cabri II Plus
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Equazioni
Nelle figure seguenti sono
stati aggiunti gli assi
cartesiani, sono state
calcolate le coordinate dei
punti, l’equazione del luogo
e l’equazione della
circonferenza, usando gli
strumenti precedentemente
descritti per costruire la
parabola. Nella seconda
figura sono riportati
entrambe i luoghi costruiti
con le rispettive equazioni.

14. Luoghi geometrici con
Cabri II Plus
Marcello Pedone
I.I.S.S.“A. De Pace” di Lecce
La cicloide
Vediamo infine la costruzione della cicloide che è la curva descritta da un punto di una
circonferenza che rotola senza strisciare su una retta.
Scrive Erman Di Rienzo
Immaginiamo una ruota che rotola senza strisciare su una linea retta, ad es. la ruota
di un treno su un binario o la ruota di una bicicletta che si muove su un rettilineo. Ci
chiediamo: Un punto sul bordo esterno della ruota che curva descrive nel moto di
rotolamento della ruota? Istintivamente si è portati a rispondere: "una circonferenza!",
ma riflettendo un po' ci si accorge che forse è così per un osservatore sul treno (o per il
ciclista), ma non per un osservatore a terra; il punto dal momento che tocca terra si
solleva quasi in verticale, quindi curva nella direzione del moto fino ad arrivare ad
un'altezza massima pari al diametro del cerchio muovendosi in quel momento in
orizzontale, quindi ridiscende quasi rallentando orizzontalmente ed accelerando
verticalmente verso il basso fino a toccare terra in verticale per riprendere
ciclicamente la stessa traiettoria. Questa curva è detta "cicloide" definita come la
traiettoria di un punto fisso su una circonferenza che rotoli senza slittamento su una
retta.
Vedremo che usando lo strumento Animazione si può dare immediatamente la risposta
alla domanda “Un punto sul bordo esterno della ruota che curva descrive nel moto di
rotolamento della ruota?”.

15. Luoghi geometrici con
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Costruzione della Cicloide
1. Su di una semiretta di origine A scegliamo un punto a piacere P
2. Con lo strumento Distanza lunghezza misuriamo la distanza di P da A
3. Tracciamo la retta per P perpendicolare alla semiretta AP
4. Scegliamo un punto O su tale retta
5. Costruiamo la circonferenza di centro O e raggio OP
6. Con lo strumento trasporto di misura costruiamo il punto Q, tale che l’arco QP
abbia lunghezza pari a quella del segmento AP
Tracciamo il luogo descritto dal punto Q al variare di P sulla semiretta usando il
comando Luogo.
Il luogo ottenuto è la curva detta cicloide

16. Luoghi geometrici con
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Simulazione del moto di una ruota.
Nella figura seguente sono stati aggiunti gli assi cartesiani, sono state calcolate le coordinate dei punti,
l’equazione del luogo e l’equazione della circonferenza, usando gli strumenti precedentemente descritti per
costruire parabola
Nella figura che segue simuliamo il moto di una ruota.

17. Luoghi geometrici con
Cabri II Plus
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18. Luoghi geometrici con
Cabri II Plus
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Conclusioni
Il tracciamento di luoghi geometrici con Cabri II Plus è uno degli strumenti di
maggiore interesse didattico del programma, perché permette di visualizzare, rendere
dinamica una delle nozioni fondamentali della geometria. Ci sono luoghi che hanno
un’origine geometrica ed altri che hanno un’origine cinematica.Usando lo strumento
Animazione è possibile fare delle“prove” di tipo dinamico anche sui luoghi che hanno
un’origine geometrica.
Per una curva algebrica, il programma è in grado di fornire l’equazione del luogo
ottenuto; utilizzando lo strumento Coordinate o equazioni si ottiene l’equazione del
luogo. Chiaramente non è possibile ottenere l’equazione di un luogo qualunque, perché
esistono luoghi algebrici di grado superiore al sesto e altri luoghi che sono trascendenti.
Abbiamo visto che si possono intersecare i luoghi con altri oggetti e che agli oggetti
geometrici si possono allegare delle immagini. In questo modo è possibile stabilire
interazioni tra la matematica e la realtà.

19. Luoghi geometrici con
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Come utilizzare questo programma nell’insegnamento
della matematica?
Rimane aperta la questione di come utilizzare questo programma nell’insegnamento
della matematica e in particolare della geometria analitica. Certamente possiamo usarlo
per produrre delle congetture, ma occorre sempre farle seguire da una verifica analitica.
La costruzione di figure geometriche sul computer apporta una nuova dimensione
rispetto alle costruzioni classiche, la figura geometrica può essere liberamente
manipolata e la costruzione si modifica istantaneamente, permettendo di osservare
proprietà varianti e invarianti. Gli allievi possono scoprire, in modo interattivo, le
proprietà geometriche di una figura e gli insegnanti possono presentare, in modo
efficace, le lezioni di geometria e le attività di laboratorio.
Comunque ogni innovazione comporta un inevitabile processo di assestamento fra i
nuovi metodi e i vecchi. Sarebbe sbagliato accettare senza critica le nuove metodologie
e cancellare le vecchie.Occorre trovare un giusto equilibrio tra le nuove tecnologie e le
vecchie , tra le nuove metodologie e le vecchie, combinando le une con le altre, per
una proficua ricerca didattica.

20. Luoghi geometrici con
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Riferimenti bibliografici
1. G. Accascina, L. Tomasi, Intervista a Jean-Marie Laborde, l’ideatore di Cabri
Géomètre, in CABRIRRSAE, Bollettino degli utilizzatori di software matematici, IRRE
Emilia Romagna, n. 37, Ottobre 2003.
2. L. Tomasi, Cabri Géomètre II Plus: novità e potenzialità del software che più ha
cambiato l’insegnamento della geometria nella scuola, in CABRIRRSAE, n. 33, Ottobre
2002.
3. Francesco Speranza. Invito alla geometria con cabri-géomètre. IPRASE del trentino
4. Vinicio Villani Università di Pisa .L'INSEGNAMENTO DELLA GEOMETRIA
OGGI E DOMANI. Geometria senza Software Geometrico di Vinicio Villani Università
di Pisa
5. M. Colizza - Appunti Delle Lezioni Tenute Nell’a.A. 2001-2002. Per Il Laboratorio
Didattico Di Geometria - Ssiss Dicembre 2001. Una Chiacchierata (Con Fini Didattici) Su
La Geometria Analitica
6. P. Boieri -CabrIRRSAE n. 12, giugno 97
7. Michele Impedovo -Bollettino CABRIRRSAE, n° 18, dicembre 1998
8. Luigi Tomasi, L.S. “G. Galilei” di Adria (Ro), S.S.I.S. di Ferrara Da Cabri II a Cabri
II Plus: innovazioni nel software e potenzialità per l'insegnamento della geometria
9. Jean-Marie Laborde - CABRIRRSAE, n. 35-36, 2003
10. M. Laborde, Le novità del software Cabri Géomètre II Plus, in CABRIRRSAE, n. 34-
35, Giugno 2003.
11. Erman Di Rienzo -http://www.matematicamente.it/storia/cicloide.htm-
12. M.Pedone – Asteroide- http://www.matematicamente.it/cabri/Asteroide.htm