ANALISIS DA ESTABILIDAD ABSOLUTA DE UM SISTEMA NA FORMA            DE LURE’S A TRAVES DO CRITÉRIO DO CÍRCULO              ...
    A função        avaliada no origem deve               ser, por tanto                   Deve ser uma função simétrica...
[               ]       [          ]                              [                  ](   )            Onde:          [   ...
3 ANALISIS     DA    ESTABILIDAD                                                                  ̇                       ...
Sine Function                   5                                                                                         ...
Nós podemos olhar que a fase vai de -90 a -180 ,        por tanto o diagrama de nyquist fica:                             ...
Agora nos podemos traçar o círculo com radio (5).                                                    Nyquist Diagram      ...
    Neste relatório nos logramos encontrar o limite          de    no qual a través do critério do círculo o          sis...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Analisis da estabilidade na forma de LURE’S.pdf

495 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
495
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
11
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Analisis da estabilidade na forma de LURE’S.pdf

  1. 1. ANALISIS DA ESTABILIDAD ABSOLUTA DE UM SISTEMA NA FORMA DE LURE’S A TRAVES DO CRITÉRIO DO CÍRCULO Manuel Ricardo Vargas Ávila Manuel06_20@hotmail.com Universidade Federal do Rio Grande do Sul Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica ELE222- Sistemas Não Lineares RESUMO: O presente documento consiste em um do círculo para estudar a estabilidade absoluta de umrelato das atividades desenvolvidas durante o capítulo 10 sistema não linear.do libro NONLINEAR SYSTEM de Hassan K. Khalil dadisciplina do Programa de Pós-Graduação em 2 BASE TEÓRICAEngenharia Elétrica -sistemas não lineares, chamadoanalises de um sistema em malha fechada, o qualconsiste num desenvolvimento das técnicas de 2.1 PROBLEMA DE LUREestabilidade absoluta (Lure) chamadas o critério docírculo e critério de Popov. Será feita uma breve A maioria dos sistemas não lineares podem serintrodução dos principais conceitos envolvidos sobre a representados a traves do seguinte sistema:determinação da estabilidade absoluta de um sistema naforma de Lure. Em seguida, será feito umdesenvolvimento teórico sobre o problema de LURE, acondição do setor clássico, uma vez definido a condiçãodo setor, é mostrado a determinação da estabilidadeabsoluta do sistema a traves do critério do círculo.Finalmente, serão mostrados e discutidos os resultadosa traves de gráficos e simulações com simulink. Figura 1. Sistema na forma de Lure PALAVRAS-CHAVE: Sin memoria, critério do círculo,Nyquist, Matlab. O qual tem um sistema linear realimentado negativamente com um elemento não linear ( .1 INTRODUÇÃO O sistema da figura 1 pode ser representado como: Muitos sistemas físicos não lineares podem ser ̇ +BU(t)representados como uma conexão em malha fechada de (1)um sistema dinâmico lineal e um elemento ( não linear(sistema na forma de LURE). Este sistema é ditoassintoticamente estável se: 1 . Para encontrar a matriz A (Matriz dinâmica do sistema), nós devemos encontrar a matriz jacobiana: Nós devemos ter em conta que o elemento nãolinear posem duas restrições que fazem que | (2) , e por tanto que o sistema não sejaassintoticamente estável. As duas restrições serão U=Vetor de entradasdefinidas na base teórica do relatório. B=Matriz que considera cada uma das entradas C=Matriz de saída Para fazer o estudo da estabilidade absoluta de um D=Matriz que considera a influência direta das entradassistema não linear na forma de Lure, existem 2 técnicas na saídachamadas critério do círculo e critério de Popov. Asduas usam o diagrama de Nyquist como base para definir O elemento não linear , deve ser um elementose o sistema é assintoticamente estável ou não. Neste que cumpra umas condições:relatório nós vamos a fazer o desenvolvimento do critério1 A definição é presentada na base teóricasetor= 1
  2. 2.  A função avaliada no origem deve ser, por tanto  Deve ser uma função simétrica ímpar, é dizer2.2 CONDIÇÃO DO SETOR Figura 3. Estabilidade absoluta- caso local Figura 2. (a) Setor global; (b) Setor local Definição 1: Uma função continua [ →pertence ao setor [ ]se existem doisnúmeros não-negativos e , onde , tais que (3)se verifica. A relação (3) pode ser escrita na forma Figura 4. Estabilidade absoluta- caso global [ ][ ] (4) A equação (4) é chamada condição do setor. Esta 2.3.1 CRITÉRIO DO CIRCULOcondição garante que esteja localizada noprimeiro e terceiro quadrante e ainda que .A O critério do círculo permite investigar a estabilidadesatisfação de uma dada condição de setor pode ser absoluta usando apenas o diagrama de Nyquist docaracterizada tanto de forma local quanto global. sistema linear. Isto é muito importante porque o diagrama de Nyquist pode ser determinada de forma experimental. Tendo o diagrama de Nyquist , pode-se determinar2.3 ESTABILIDADE ABSOLUTA os setores admissíveis para as quais o sistema é absolutamente estável. Baseado no sistema na forma de Lure (Figura 1) e Teorema 1: Considere o sistema (1), onde (A,B)da condições do setor (4), nós podemos definir a são controlável, (A,C) são observável e cumpre aestabilidade absoluta da seguinte maneira. condição do setor (4) globalmente. Então o sistema é absolutamente estável se: [1] Definição 2: Considere o sistema (1), onde a não-linearidade satisfaz uma dada condição do setor. [ ]Este sistema é globalmente absolutamente estável se aorigem é globalmente assintoticamente estável para É Hurwitz.qualquer não-linearidade em um dado setor. Este sistemaserá localmente absolutamente estavel se a origem é Onde:assintoticamente estável para qualquer não-linearidadeparcialmente contida em um dado setor [1]. G(s) é a função de transferência do sistema linear. Em conclusão nós podemos olhar que aestabilidade absoluta é uma característica exclusiva do Esistema e do setor escolhido, por tanto é válida paraqualquer não-linearidade pertencente ao setor. 2
  3. 3. [ ] [ ] [ ]( ) Onde: [ ] [ ]é estritamente positiva real, ou seja: (5) { } Teorema 2: Considere um sistema na forma (1) e cumpre a condição do setor (4) globalmente. Então Para definir o critério do círculo, nós primeiro o sistema é absolutamente estável se uma das condiçõesdevemos traçar o diagrama de Nyquist do sistema linear. seguintes é satisfeita. [3]  Se , o diagrama de Nyquist de não entra no círculo D.  Se , é Hurwitz e o diagrama de Nyquist G (s) encontra-se à direita da linha vertical e definido por [ ] .  Se , é Hurwitz e o diagrama de Nyquist de G (s) encontra-se no interior do disco de "D". Figura5. Diagrama de Nyquist Logo devemos traçar o círculo. Figura 7. Critério do circulo Figura6. Círculo no caso que O qual está definido como: 3
  4. 4. 3 ANALISIS DA ESTABILIDAD ̇ (11) ABSOLUTA DE UM SISTEMA NÃO LINEAR (PENDULO) A TRAVES DO CRITERIO DO CIRCULO. 3.2 SISTEMA NA FORMA DE LURE3.1 SISTEMA NÃO LINEAR (PENDULO) Figura 9. Sistema na forma de LURE Figura8. Pendulo 3.2.1 LINEARIZAÇÃO DO SISTEMA (10) e (11) A partir de (2) nós podemos encontrar a matriz Usando a segunda lei de newton a gente pode dinâmica do sistema (A).escrever a equação de movimento na direção tangencial: ̈ ̇ [ ] Onde é a massa da bola, é a longitude do [ ]braço, é o ângulo entre a vertical e o braço, ̇aceleração angular, é a aceleração da gravidade, e é [ ]o coeficiente de fricção. Pegando como variáveis de estado e ̇ Então a representação do sistema linear fica:nós podemos escrever as equações de estado ̇ ̇ [ ] [ ] [ ]+ [ ]U(t) ̇ (12) ̇ ⏟ [ ][ ]As constantes são definidas: 3.2.2 ELEMENTO NÃO LINEAR (6) (13) Onde: Então as equações de estados ficam: ̇ (7) Então o gráfica da função (13) fica: ̇ ⏟ (8) Onde o elemento não linear é: (9) Fazendo substituição de (9) em (8), as equaçõesde estados ficam: ̇ (10) 4
  5. 5. Sine Function 5 [ ][ ] 4 Agora a gente pode traçar o círculo com radio (5) 3 2 Function Value 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -2*pi -pi 0 pi 2*pi Radians Figura 9. Função , com3.3 CONDIÇÃO DO SETOR Figura 11. Círculo (r= 0.2926) 3.4 DIAGRAMA DE NYQUIST A função de transferência do sistema linear é: Fazendo em Matlab: A=[0 1;0 -1]; B=[0;1]; C=[1 0]; syms s I=[1 0;0 1]; G=C*inv(s*I-A)*B Figura 10. Setor local Seu diagrama de bode fica:Definição do setor: 50 Bode Diagram (14) Magnitude (dB) 0 | | (15) -50 -100Então (3) fica: -90 Phase (deg) -135 -180 -2 -1 0 1 2 10 10 10 10 10 Frequency (rad/s) Figura 12. Diagrama de bode Por tanto a condição do setor fica: 5
  6. 6. Nós podemos olhar que a fase vai de -90 a -180 , por tanto o diagrama de nyquist fica: Nyquist Diagram 20 15 10 5 Imaginary Axis 0 -5 -10 -15 -20 -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 Real Axis Figura 13. Diagrama de Nyquist A nova condição do setor fica:3.5 CRITÉRIO DO CIRCULO (16) Agora traçando a figura11 com a figura 13, nósvamos analisar a estabilidade absoluta do sistema a | | (17)partir do teorema 2. Por tanto a condição do setor fica: Nyquist Diagram 0.25 [ ][ ] 0.2 0.15 0.1 Agora nós podemos traçar o círculo com radio (5). Imaginary Axis 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 Real Axis Figura 14. Critério do circulo Pelo teorema 2, Se , o diagrama deNyquist de não deve entrar no círculo D. Se nos olhamosa figura 14, não cumpre o teorema, por tanto pela condiçãodefinida de (6), o sistema não é absolutamente estável. Então, nós vamos definir o limite de , no qual o teorema2 Figura 16. Círculo (r= 0.22272)seja verdade e portanto o sistema seja absolutamente estável. Agora aplicando o critério do círculo com o diagrama de Definindo (6) como: nyquist da figura 13. Figura 15. Setor local 6
  7. 7. Agora nos podemos traçar o círculo com radio (5). Nyquist Diagram 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05Imaginary Axis 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 Real Axis Figura 17. Critério do circulo Figura 19. Círculo (r= 0.2816) Nós podemos olhar que o teorema2 é satisfeito, por Agora aplicando o critério do círculo com o diagrama detanto o sistema é absolutamente estável. nyquist da figura 13. Agora definindo (6) como: Nyquist Diagram 0.25 0.2 0.15 0.1 Imaginary Axis 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25 -0.6 -0.4 -0.2 Real Axis Figura 20. Critério do circulo Nós podemos olhar que o teorema2 é satisfeito, por tanto o sistema é absolutamente estável. Figura 18. Setor local 4 ConclusõesA nova condição do setor fica:  O critério do círculo é uma técnica muito (18) importante para investigar a estabilidade absoluta de um sistema usando apenas o diagrama de nyquist. Mas se comparamos esta | | (19) técnica com o critério Popov, tem desvantagem por que a técnica de Popov é menos Por tanto a condição do setor fica: conservadora, ou seja a estimação é mais parecida. [ ][ ] 7
  8. 8.  Neste relatório nos logramos encontrar o limite de no qual a través do critério do círculo o sistema é absolutamente estável.5 REFERÊNCIAS[1] H. Khalil, ”Nonlinear Systems”, 2nd. ed., Prentice Hall, NJ, , 1996. 8

×