Exercícios LMIs

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Exercícios LMIs

  1. 1. EXERCÍCIOS LMI CONTROL TOOLBOX MATLAB Manuel Ricardo Vargas Ávila Manuel06_20@hotmail.com Universidade Federal do Rio Grande do Sul Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Controle Multivariável RESUMO: O presente documento consiste em um Então aplicando um lema podemos fazer umadesenvolvimento dos exercícios propostos (Inequações transformação para LMI.Matriciais Lineares- LMI) na aula de controlemultivariavel. Para a solução de LMIs, será usado o Lema1: Seja , , e seja umapacote de LMI CONTROL TOOLBOX de Matlab. matriz , onde o , então: PALAVRAS-CHAVE: Traço, Feasp, minCX, ganhoestabilizante. Então aplicando o Lema1 na equação (3).1 EXERCÍCIO 1 Tendo Fazendo multiplicação a esquerda de (3) por e Calcular um ganho estabilizante usando a á direita por , então a equação fica:condição LMI. Onde: (4) Agora fazendo mudança de variável , a [ ] [ ] equação (4) fica: (5) Por tanto (5) é LMI em .1.1 BASE TEORICA Agora nós podemos definir um novo teorema.Seja o seguinte sistema linear na forma: Teorema (Final): Tendo que , onde e , tais que (5) é verificada, então o ̇ +BU(t) sistema (1) com a lei de controle (2), é assintoticamente (1) estável, onde . The LMI system: Onde: { (6) (2) Teorema1: O sistema (1) é assintoticamente 1.2 DESENVOLVIMENTOestável se: O desenvolvimento do exercício será feito na LMI (3) TOOLBOX de Matlab. Para especificar a LMI system em Matlab, nós Agora nós temos um problema de síntese, no qual devemos desenvolver dois passos.o objetivo é encontrar o valor de tal que sejaverificada (3).  Declarar as dimensões e estrutura de cada uma Para encontrar o valor de , nós devemos das matrizes variável (lmivar).assegurar que a equação (3) seja uma LMI. Se nós  Descrever os termos de cada umas das LMIolhamos a equação (3) podemos concluir que não é uma (lmiterm).LMI, já que na equação temos um produto entre doisariáveis desconhecidas. 1
  2. 2. Vai ser usado o comando 1. A simulação dos estados do sistema com E para encontrar o valor das matrizes é usado o realimentação K é:comando 2. Linear Simulation ResultsCódigo Matlab: 1 To: Out(1) 0 clc -1 clear all 1 To: Out(2) A=[0 1 0 0;9.8 0 -9.8 0;0 0 0 1;-9.8 0 2.94 0]; 0 B=[0 0;1 -2;0 0;-2 5]; Amplitude C=eye(4); -1 2 To: Out(3) setlmis([]) 1 %%%% DECLARACAO DAS DIMENSOES E ESTRUCTURA DE CADA UMA DAS MATRIZES 0 W=lmivar(1,[4 1]) 1 Y=lmivar(2,[2 4]) To: Out(4) 0 % % 1 LMI [WA+AW+BY+BY]<0 lmiterm([1 1 1 W],1,A,s)%%% WA+AW -1 lmiterm([1 1 1 Y],B,1,s)%%% BY+YB 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Time (seconds) % 2 LMI W=W>0 lmiterm([-2 1 1 W],1,1) %%%%% W>0 Figura1. Simulação dos estados do sistema com realimentação lmis=getlmis; Nós podemos olhar que foi encontrado um ganho [tmin,xfeas]=feasp(lmis) estabilizante usando a condição LMI. w=dec2mat(lmis,xfeas,W); 2 EXERCÍCIO 2 y=dec2mat(lmis,xfeas,Y); Calcular um ganho estabilizante tal que a norma K=y*inv(w) do sistema em malha fechada seja minimizada. %%%% SIMULACAO DO SISTEMA D=0; T = 0:0.1:20; U =[ones(size(T)); ones(size(T))] ; [ ] [ ] lsim(A+B*K,B,C,D,U,T); % simulate CON REALIMENTACION K grid 2.1 BASE TEORICA Onde o ganho é: Seja o seguinte sistema linear na forma: [ ] ̇ (7)1 2 Encontra uma solução de um sistema de LMIs Dado o valor da variável decisão , ele computa o valor [ ] , correspondente da matriz variável.onde é chamada variável decisão 2
  3. 3. Por tanto (10) é uma LMI em Onde: Agora seja uma variável auxiliar, se minimizamos e garantimos que: (8) (11) Fazendo substituição de (8) em (7) O sistema fica: Passando todos os termos de (11) para a esquerda (12) ̅ ̇ ⏞ Agora, nós devemos aplicar de novo o complemento (7) de Schur, então (12) é equivalente á: ⏟ ̅ [ ] (13) A determinação da norma é feita a traves de umaproba de optimização convexo onde: Então o novo problema de optimização fica: { (8) [ ] { { Fazendo substituição do sistema (7) em (8), o novoproblema de optimização fica: {[ ] { 2.2 DESENVOLVIMENTO{ O desenvolvimento do exercício será feito na LMI TOOLBOX de Matlab. Para encontrar o valor de , nós devemosassegurar que (9) seja uma LMI. Se nós olhamos a Para especificar a LMI system em Matlab, nósequação (9) podemos concluir que não é uma LMI, já que devemos desenvolver dois passos.na equação temos um produto entre dois variáveisdesconhecidas .  Declarar as dimensões e estrutura de cada uma das matrizes variável (lmivar). Então, multiplicando (9) pela matriz , (9) efazendo mudança de variável , a equação (9) é  Descrever os termos de cada umas das LMIequivalente à: (lmiterm). ⏟  Se define 4 O termo da equacao (10) não é linear em  Se define [ ] ,o qual minimiza o valor do vetor das variáveis Então, nós devemos aplicar o complemento de decisão. Onde por defecto é .Schur3, por tanto o novo problema de optimização fica:  E para encontrar o valor correspondente da [ ] matriz variáveis, é usado o comando { (10) Código Matlab:3 4 O complemento de Schur é um resultado da teoria de matrizes Retorna o vetor da variável decisão correspondente ao valorque ajuda na transformação de inequações não lineares para a particular das matrizes variáveis. Está definido como:forma de LMI. 3
  4. 4. [ ] clc clear all A simulação dos estados do sistema com A=[0 1 0 0;9.8 0 -9.8 0;0 0 0 1;-9.8 0 realimentação K é: 2.94 0]; B=[0 0;1 -2;0 0;-2 5]; -5 x 10 C=eye(4); 8 Bw=eye(4); 7 setlmis([]) %%%% DECLARACAO DAS DIMENSOES E 6 ESTRUCTURA DE CADA UMA DAS MATRIZES W=lmivar(1,[4 1]) 5 Y=lmivar(2,[2 4]) X=lmivar(1,[4 1]) 4 % % 1 LMI [WA+AW + YB BY WC+YD ; 3 CW+DY -I] lmiterm([1 1 1 W],1,A,s)%%%% WA+AW 2 lmiterm([1 1 1 Y],B,1,s) %%% BY+YB lmiterm([1 2 1 W],C,1) %%%%% WC 1 lmiterm([1 2 2 0],-1) %%%%% -I 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 % 2 LMI lmiterm([-2 1 1 W],1,1) %%%%% W>0 Figura2. Simulação dos estados do sistema com % 3 LMI [ X Bw; Bw W] realimentação lmiterm([-3 1 1 X],1,1) %%%%% X lmiterm([-3 2 1 0],Bw) %%%%% Bw Nós podemos olhar que o ganho é estabilizante lmiterm([-3 2 2 W],1,1) %%%%% W minimizando a norma LMIs=getlmis; 3 REFERÊNCIAS c=mat2dec(LMIs,eye(4),eye(2,4),eye(4)) [1] LMI CONTROL TOOLBOX, For use with MATLAB options=[10^-2,0,0,0,0] [2] Controle robusto, professor Alexandre Trofino [copt,xopt]=mincx(LMIs,c,options) [3] Linear Quadratic Control, Peter Dorato and Chaouki Abdallah Wopt=dec2mat(LMIs,xopt,W) Yopt=dec2mat(LMIs,xopt,Y) %%%%GANHO K=Yopt*inv(Wopt) %%%%SIMULACAO D=0; T = 0:0.1:10; U =[ones(size(T)); ones(size(T))] ; [XX,YY]=lsim(A+B*K,B,C,D,U,T);% simulate CON REALIMENTACION K plot(T,XX) gridOnde o ganho é: 4

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