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Aplicando a lei de controle:                                                                           E encontrando a mat...
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5.2 PROJETO DE REALIMENTAÇÃO DE      ( )     [                                                                            ...
Agora considerando (15), nós podemos reescrever(30) da seguinte maneira:                                                  ...
6.2 OBSERVADOR DE ALTO GANHO                                                                      Figura13 - Modelo da más...
   ε=0.01Figura 16 - Resposta de cada um dos estados do sistema ε=0.01                                                   ...
     ε=0.0001                                                         Figura17 - Sinal de controle    ( ̂)               ...
Critério de minimização (32) :                                                            7.2 Com observador de alto ganho...
8 CONCLUSÕES            A combinação de controle global limitada do             estado de feedback e de alto ganho       ...
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Stabilizing control via feedback linearization and high observer

  1. 1. NONLINEAR CONTROL: STABILIZING CONTROL VIA FEEDBACK LINEARIZATION AND HIGH-GAIN OBSERVER “GERADOR SÍNCRONO CONECTADO A UMA BARRA INFINITA” Manuel Ricardo Vargas Ávila Manuel06_20@hotmail.com Universidade Federal do Rio Grande do Sul Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica ELE222- Sistemas Não Lineares RESUMO: O presente documento consiste em um A ideia central consiste em transformarrelato das atividades desenvolvidas durante o capítulos algebricamente dinâmicas não lineares em sistemas12 do libro NONLINEAR SYSTEM de Hassan K. Khalil 3 (totalmente ou parcialmente) lineares, de modo que asEd da disciplina do Programa de Pós-Graduação em técnicas de controle lineares podem ser aplicadas.Engenharia Elétrica -sistemas não lineares, o qual A maioria das abordagens de linearização porconsiste em na aplicação de controle não linear a partir realimentação são com base na linearização entrada-da linearização por realimentação. Esta linearização não saída ou linearização espaço-estado. Neste relatório nósé igual a linearização “jacobiana” aproximada do sistema, vamos presentar a segunda técnica que é aplicado noa diferencia é que esta linearização por realimentação caso quando a dinâmica não linear do sistema não estáconverte exatamente o sistema em lineal. Este capitulo na forma canônica controlável, com esta técnica nósestá dividido em várias partes, mas apenas nós vamos podemos obter um modelo linear que resulta numaestudar a parte “Input-State Linearization” e “State representação exata do modelo não linear original aofeedback control”. Será feita uma breve introdução dos longo de um conjunto de condições.principais conceitos envolvidos sobre um sistema nãolinear Linearizable. Em seguida, será feito umdesenvolvimento teórico sobre a linearização entrada- 2 BASE TEÓRICAestado o qual será aplicado a um motor gerador síncronoconectado a uma barra infinita, e uma vez definido omodelo lineal sera feito um projeto de controle ótimo, 2.1 LINEARIZAÇÃO ENTRADA-ESTADOlinear-quadratic-regulator (LQR), depois será feito umdesenvolvimento teórico sobre a implementação doobservador de alto ganho no sistema não linear.Finalmente, serão mostrados e discutidos os resultadospara pontos de equilíbrio assintoticamente estáveis atraves de simulações com Simulink. PALAVRAS-CHAVE: Linearização, variáveis deestado, difeomorfismo, LQR, Matlab. Figura1 - Input-state linearization1 INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO1: Considerando o seguinte sistema não-linear SISO1, representado no modelo state-space Linearização por realimentação é uma das técnicas da forma:de controle mais conhecidas para lidar com os sistemasnão lineares e é muito eficaz em problemas de controle ̇ ( ) ( ) (1)na vida real. No entanto, existe também uma série delimitações associadas com o abordagem de linearização. ( ) A primeira limitações é que ele não pode ser usadopara todos os sistemas não lineares (não todos os Onde ( ) é o vetor de estados, ( ) éasistemas são linearizable feedback). entrada, ( ) é a medição da saída, e e A segunda limitação é que todos os estados do definidas no domínio .A equação (1) ésistema devem ser acessíveis. linearizable entrada-estado si um difeomorfismo2 A terceira é que a robustez da técnica não é ( ) contem o origem e o trocogarantida em presencia de incerteza. de variáveis1 2 Sistema que tem uma entrada e uma saída É uma mudança de variáveis T tal que ( ) esta definido no domínio , sua inversa ( ) está definida em ( ). 1
  2. 2. ( ) (2) A equação (7) é equivalente a:A equação (2) transforma o sistema (1) em: ( ) ( ) ̇ ( ) ( ) (3) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) Onde: ( ) ( ) ( )  Controle linearizante ( ) (4) A equação (8) é equivalente a: ( )  (A,B) controlável e ( ) não singular em ( ) . ( ) A não linearidade do sistema pode ser eliminada ( )pela equação (4), o qual pode estar definida em um ( )domínio e por tanto a linearização só será linear emaquele domínio. ( ) ( ) Escrevendo ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))Nós podemos reescrever (3) expressado nas novascoordenadas: A existência de que satisfazem (10) e (11) é uma condição necessário e suficiente para que (1) seja linearizavel entrada-estado. ̇ ( ) ( ) (5) 3 CONTROLE POR REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS Mas, quando é possível obter um sistema dado naforma (3) ? A resposta é derivando a equação (2). ̇ ̇ ( ) ( ) (6) E igualando a (3), nós concluímos que odifeomorfimos deve satisfazer as seguintes condições: ( ) ( ) ( ) ( ) (7) Figura 2 - Controle por realimentação ( ) ( ) (8) Consideremos o sistema input-state linearization (3), e a transformação de variáveis (2). Onde ( ) é umAgora tendo: difeomorfismo. ( ) Nós devemos projetar tal que ( ) seja Hurwiz. ( ) [ ] (9) ( ) Fazendo substituição de (4) em (3), a equação de ( estado linear fica: ̇ (12) 2
  3. 3. Aplicando a lei de controle: E encontrando a matriz da equação (17), nós ( ) podemos obter o ganho do controle ótimo, que está definido por: E fazendo substituição em (12), o sistema emmalha fechada fica: (18) ̇ ( ) (13) Outra maneira de obter o ganho de controle ótimo é a solução da equação (17) é a partir da função de Agora para projetar (13), nós devemos utilizar a Matlab, que está definida por:formulação do problema LQR (linear-quadratic-regulator). ( ) (19)3.1 PROJETO DE REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS ÓTIMO (LQR)Seja um sistema dinâmico linear definido por: 4 OBSERVADOR DE ALTO GANHO ̇ (14) Considere o sistema não linear representado por a O objetivo do projeto é manter o sistema mais perto seguinte estrutura:possível ao equilíbrio O básico problema é encontrar um controle de ̇ ( ) ( ) (20)realimentação de estados da forma: (15) Agora considerando um observador de estados:Tal que minimize o critério: ∫ ( ) (16)Considerando que:  A matriz é tipicamente semi-definida positiva  é uma matriz definida positiva  é um vetor de estados n-dimensional  é um vetor de estrada m-dimensional Figura 3 - Observador de estados  É a medida de precisão de controle  É a medida do esforço de controle Si o sistema (1) tem apenas uma entrada, a matriz O observador de estados está definido a partir de (20) será uma escalar. por: Agora escolhidas , nós podemos encontrar asolução da equação algébrica de Ricatti (ARE), o qual ̂̇ ̂ (̂) (̂) ( ̂) (21)está definida por: Onde: (17) (̂) (̂)Considerando:  ( ) Onde o ganho do observador é projetado como: 3
  4. 4. [ ] (22) ̇ (24) ̇ ( ) (25) ̇ ( ) (26) Onde:  é um parâmetro pequeno positivo 5.1 REPRESENTAÇÃO DO SISTEMA NAS  As constante positivas são escolhidas tal NOVAS VARIÁVEIS DE ESTADO que as raízes do polinômio escolhido tenham parte real negativa: Reescrevendo na forma (1): (23) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) O objetivo do projeto do observador, é projetar umganho tal que o observador seja suficientemente rápido,para recuperar o rendimento conseguido pela ( ) [ ]realimentação de estados. O problema acontece équando o valor do parâmetro é muito pequeno, apareceo que é chamado fenômeno pico o qual pode afetar o Nós devemos procurar uma função ( ) que satisfaçacontrole do sistema. (10) e (11). ( ) [ ][ ]5 SISTEMA NÃO LINEAR: GERADOR SÍNCRONO CONECTADO A UMA ( ) [ ][ ] BARRA INFINITA Representação do sistema em equações deestados.[1] ( ) [ ][ ] ̇ ̇ ( ) Nos podemos observar que ( ) não depende de e ( ) , por tanto: ̇ ( ) [ ] [ ] Agora: ( ) ( ) [ ][ ( ) ( ) ( ) ] Onde os estados são: ( ) ( ) = ângulo de carga na máquina (rad.) = Desvio da velocidade do rotor com relação a ( )velocidade síncrona. = Tensão interna de eixo em quadratura Agora: As constantes são definidas: ( ) ( ) [ ][ ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Por tanto, o difeomorfismo estada dado por:Então as equações de estados ficam: 4
  5. 5. 5.2 PROJETO DE REALIMENTAÇÃO DE ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ESTADOS ÓTIMO (LQR) Considerando a representação do sistema nas novas coordenadas (29). Nós podemos escrever:O sistema nas novas variáveis de estado: ̇ Onde: { ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] A representação do sistema nas novas variáveis deestado é: O básico problema do projeto de realimentação de estados (LQR) é encontrar um controle de realimentação ̇ ̇ de estados da forma (15), tal que minimize o seguinte criterio: ̇ ̇ ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) (30) ̇ ̇ ( ) ( ) Agora definidas , nós podemos encontrar a solução da equação algébrica de Ricatti (ARE), o qual Agora nós podemos escolher (4) para cancelar o está definida por:termo não lineal da 3 equação anterior: (31) ( ) ( ) Definindo as matrizes:Onde as funções ( ) e ( ) estão definidas por: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Nós podemos encontrar a solução da equação de Ricatti Reescrevendo (31): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) [ ][ ] ( ) ( ) ( ) [ ] Nós podemos observar que a linearização só élinear no domínio E encontrando a matriz , nós podemos obter o ganho do controle ótimo, que está definido por (18): Agora, o modelo do sistema nas novas coordenadas é: [ ] [ ] [ ] ̇ { ̇ (29) ̇ (32) 5
  6. 6. Agora considerando (15), nós podemos reescrever(30) da seguinte maneira: ̂̇ ̂ ( ̂) { ̂̇ ̂ ( ̂ ) ̂ ( ̂) ∫ ( ( )( )) ∫ ( ⏞ ) (31) ̂̇ (̂ ) ̂ ( ̂) Agora usaremos uma função de lyapunov paraencontrar a solução. Consideremos que: 6 SIMULAÇÕES ( ) ̇ ̇ ( ) ( ) 6.1 PROJETO DE REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS ÓTIMO ( ) ( ) O índice de desempenho (31) é encontrado daseguinte maneira: ( ) ( ) ( ) ( ) (32) Figura7 - Modelo da máscara no simulink5.3 OBSERVADOR DE ALTO GANHO Para começar, nós devemos definir qualquerpolinômio (23), considerando que suas raízes devemestar no lado esquerdo do semi-plano. (33)Suas raízes está posicionadas em: Figura8 - Subsystem realimentação de estados Agora, a partir de (22), nós podemos definir o ganhodo observador e o critério minimizado para diferentesvalores de .  (34) [ ]  (35) [ ]  (36) [ ]O estados estimados da máquina, está definido por: Figura9 - Modelo da máquina 6
  7. 7. 6.2 OBSERVADOR DE ALTO GANHO Figura13 - Modelo da máscara no simulink Figura10 - Controle linearizante + controle ótimo Figura14 - Modelo interno subsystem observador de alto ganho Figura14 - observador de estadosFigura11 - Resposta de cada um dos estados do sistema Figura15 – Subsystem observador de estados Figura12 - sinal de controle ( ) ( ) 7
  8. 8.  ε=0.01Figura 16 - Resposta de cada um dos estados do sistema ε=0.01 Figura18– Erro de estimação Figura 16 - Resposta de cada um dos estados do sistema Figura19 - sinal de controle ( ̂) ( ̂)  ε=0.001 Figura17 – Estados estimados Figura 20 - Resposta de cada um dos estados do sistema 8
  9. 9.  ε=0.0001 Figura17 - Sinal de controle ( ̂) ( ̂) Figura21 – Estados estimados Figura 24 - Resposta de cada um dos estados do sistema Figura22– Erro de estimação Figura25 – Estados estimadosFigura23 - Sinal de controle e ( ̂) ( ̂) 9
  10. 10. Critério de minimização (32) : 7.2 Com observador de alto ganho Condições iniciais: ( ) [ ]  Figura26 – Erro de estimação Estabilização dos estados: ( ) [ ] Critério de minimização (32) :  Estabilização dos estados: Figura27 - Sinal de controle ( ̂) ( ̂) ( ) [ ] Critério de minimização (32) :7 AVALIAÇÃO DO DESEMPENHO DO OBSERVADOR7.1 Sim observador de alto ganho Condições iniciais: Estabilização dos estados: ( ) [ ] ( ) [ ]Estabilização dos estados: Critério de minimização (32) : ( ) [ ] 10
  11. 11. 8 CONCLUSÕES  A combinação de controle global limitada do estado de feedback e de alto ganho observadores permite uma abordagem separação onde o controlador de realimentação de estado é projetado primeiramente para satisfazer os objetivos do projeto, o observador de alto ganho é projetado, rápido o suficiente, para recuperar o desempenho alcançado em realimentação de estado. Esta abordagem separação é usado na maioria dos trabalhos que utilizam alto ganho de observadores.  Foi avaliado o desempenho do observador de alto ganho a traves do valor do critério de minimização, tendo um desempenho do 99.36%.  A linearização por realimentação é aplicado em diversas aplicações como: helicópteros, aeronaves de alto rendimento, robots industriais, dispositivos biomédicos, controle de vehiculos, etc.9 REFERÊNCIAS[1] Métodos Analíticos para a Sínteses de Controladores em sistemas de potência, tese de Doctorado, Alexandre Sanfelice Bazanella[2] H. Khalil, ”Nonlinear Systems”, 2nd. ed., Prentice Hall, NJ, , 1996.[3] Engenheria de controle moderna, Ogata, 3 Ed, Capitulo 13, pág. 921 11

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