1. 1
Σενάπιο 4. Η µέηπηζη ηος εµβαδού ενόρ παπαβολικού
οικοπέδος
Γνωζηική πεπιοσή:
 Μαζεµαηηθά Γ΄ Λςθείος.
 Παπαβοιή.
 Σεηπαγυνηθή ζςνάπηεζε.
 Εµβαδόν.
 Οπηζµένο οιοθιήπυµα
Θέµα:
Οη ηέζζεπηρ πιεςπέρ ενόρ οηθοπέδος πποζδηοπίδονηαη από ηεν εςζύγπαµµε θοίηε ενόρ
ποηαµού, ηηρ θάζεηερ ζηεν θοίηε ζε απόζηαζε 5 µέηπυν θάζεηερ ζε αςηή θαη ηεν
ηέηαπηε πιεςπά πος είναη ηµήµα ηερ παπαβοιήρ y=κx2
+µ, όπυρ δείσνεη ηο παπαθάηυ
ζσήµα. Μποπείηε να βπείηε µηα µέζοδο µέηπεζερ ηος εµβαδού ηος γηα ηηρ δηάθοπερ
ηηµέρ ηυν παπαµέηπυν θ θαη µ θαη γηα ηηρ δηάθοπερ ζέζεηρ ηυν Γ θαη ∆ ζηεν θαµπύιε;
Εηθόνα 31
Τεσνολογικά επγαλεία:
Σο ζενάπηο πποηείνεηαη να δηεξασζεί µε ηε σπήζε ηος ιογηζµηθού
Geogebra.
Σκεπηικό:
Βαζική ιδέα:
Η έννοηα ηος οιοθιεπώµαηορ, όπυρ δηδάζθεηαη ζήµεπα ζηο Λύθεηο, έσεη δςο
πιεςπέρ. Αθενόρ εµθανίδεηαη υρ µηα ζςνάπηεζε απσηθή µηαρ δοζείζαρ θαη αθεηέπος

2. 2
υρ εµβαδόν ηος συπίος πος οπίδεηαη από δοζείζα ζςνάπηεζε, ηον άξονα σσ’ θαη ηηρ
εςζείερ σ=a θαη σ=b. Αιιά γηα ηοςρ µαζεηέρ οη δςο αςηέρ έννοηερ, ηερ απσηθήρ
ζςνάπηεζερ θαη ηος εµβαδού δεν ζςνδέονηαη µε ζαθή θαη θαηανοεηό ηπόπο. Η
πποζπάζεηα ηος βηβιίος να ζςνδέζεη αςηά µέζυ ενόρ ζευπήµαηορ, πος µάιηζηα
εηζάγεηαη συπίρ αηηηοιόγεζε θαη απόδεηξε, απαηηεί από ηοςρ µαζεηέρ να έσοςν
θαηανοήζεη ζε βάζορ ηηρ δςο έννοηερ πος ζςνηζηούν ηο οιοθιήπυµα -εµβαδόν συπίος
θαη απσηθή ζςνάπηεζε - αιιά θαη να ηηρ ζςνδέζοςν µεηαξύ ηοςρ. Σο αποηέιεζµα ηερ
δςζθοιίαρ αςηήρ είναη οη µαζεηέρ πος δηδάζθονηαη µε αςηόν ηον ηπόπο ηηρ παπαπάνυ
έννοηερ να θαηαθεύγοςν ζηεν παπαγαιία µεζόδυν πος ηηρ εθαπµόδοςν συπίρ να ηηρ
θαηανοούν πιήπυρ.
Με ηο πποηεηνόµενο ζενάπηο, οη µαζεηέρ µποπούν να ζςνδέζοςν αςηέρ ηηρ δςο έννοηερ
µε ένα απηό θαη δςναµηθά σεηπηδόµενο από ηοςρ ίδηοςρ ηπόπο. Καιούνηαη:
 Να οπίζοςν ηο συπίο, ηος οποίος ζέιοςν να µεηπήζοςν ηο εµβαδόν, θαη να ηο
µεηπήζοςν µέζυ ηερ δηαδηθαζίαρ εξάνηιεζερ.
 Να βποςν ηε ζςνάπηεζε ζηεν οποία ανήθεη ηο ζεµείο πος έσεη ηεηµεµένε ηο
δεξί άθπο ηος συπίος θαη ηεηαγµένε ηο εµβαδόν.
Με ηεν παπαπάνυ δηαδηθαζία, οη µαζεηέρ ζα µάζοςν όηη ηο ζεµείο πος οπίδεηαη από
ηηρ δςο ζςνηεηαγµένερ ανήθεη ζηεν απσηθή ηερ δοζείζαρ ζςνάπηεζερ.
Πποζηιθέµενη αξία.
Σο πποηεηνόµενο εθπαηδεςηηθό ζενάπηο δεν αποηειεί µόνο µηα θαηνοηοµία ζηο
παπαδοζηαθό πιαίζηο ηερ δηδαζθαιίαρ ηερ ζςγθεθπηµένερ ενόηεηαρ ηυν
Μαζεµαηηθών αιιά θηιοδοξεί να έσεη θαη εςπύηεπερ επηπποέρ. ΢ςγθεθπηµένα:
 Φηιοδοξεί να ζςµβάιεη ζηεν αιιαγή - βειηίυζε ηερ ζηάζερ ηυν µαζεηών
απένανηη ζηα Μαζεµαηηθά θαη ζηε δηαδηθαζία πποζέγγηζήρ ηοςρ.
 Οη µαζεηέρ αναµένεηαη να ζςνεηδεηοποηήζοςν όηη ηα Μαζεµαηηθά µποπούν να
αποηειέζοςν ανηηθείµενο δηεπεύνεζερ θαη µάιηζηα θάζε µαζεηήρ µποπεί να
δοθηµάζεη ζηο πιαίζηο αςηό ηηρ δηθέρ ηος ηδέερ θαη να θαηαιήξεη ζηα δηθά ηος
ζςµπεπάζµαηα ηα οποία ππέπεη να έσοςν ηεν ανάιογε θοηνυνηθή αποδοσή
(ζηο πιαίζηο ηερ ηάξερ) θαη ηεν επηζηεµονηθή ηεθµεπίυζε. Η σπήζε ηυν
ηεσνοιογηθών επγαιείυν αναµένεηαη να δηεςθοιύνεη ζεµανηηθά ππορ αςηή ηε
θαηεύζςνζε.
 Η επγαζία ηυν µαζεηών ζε οµάδερ θαη ε ζηενή, ζςνεσήρ θαη ζςγθποηεµένε
ζςνεπγαζία µεηαξύ ηυν µαζεηών ηερ θάζε οµάδαρ πποθανώρ ζα ζςµβάιεη
ζηεν αιιαγή ηερ ζηάζερ ηοςρ απένανηη ζηε µάζεζε.

3. 3
Ο εθπαηδεςηηθόρ πος ζα ενηάξεη ζηεν δηδαζθαιία ηος ηο πποηεηνόµενο ζενάπηο ζα
έσεη ηεν εςθαηπία να δοθηµάζεη ζύγσπονερ δηδαθηηθέρ θαη παηδαγυγηθέρ µεζόδοςρ οη
οποίερ ζα ζςµβάιοςν ζηεν βειηίυζε ηερ ζηάζερ ηος απένανηη ζηε θαζεµεπηνή
ζσοιηθή δηαδηθαζία.
Θα δηδάξεη ζεµανηηθέρ έννοηερ ηυν Μαζεµαηηθών ζηο πιαίζηο ηος ζεναπίος ηο οποίο
πποβιέπεη αηµόζθαηπα επεςνεηηθού επγαζηεπίος.
Η ζςµβοιή ηος ζ' αςηό απαηηεί αιιαγή ηος πόιος ηος θαη από παπαδοζηαθόρ
θαζεγεηήρ µεηυπηθών δηδαζθαιηών θαη αςζενηία ηερ γνώζερ, θαιείηαη να γίνεη
ζςνεπγάηερ ηυν µαζεηών ηος, ζεµείο αναθοπάρ ηερ ηάξερ ηος υρ ππορ ηεν
θαζοδήγεζε ηερ έπεςναρ θαη ηεν επηζηεµονηθή εγθςπόηεηα ηυν ζςµπεπαζµάηυν ηυν
µαζεηών αιιά θαη επεςνεηήρ ο ίδηορ.
΢' ένα ζσοιείο ζηο οποίο εθαπµόδονηαη εθπαηδεςηηθά ζενάπηα όπυρ ηο πποηεηνόµενο
απαηηείηαη απ' όιε ηε ζσοιηθή θοηνόηεηα µηα εςπύηεπε αποδοσή ηερ αιιαγήρ ηυν
πόιυν ηυν µαζεηών θαη ηυν εθπαηδεςηηθών.
Η δηεύζςνζε ηος ζσοιείος ζα ππέπεη να γνυπίδεη όηη ε εθαπµογή ζύγσπονυν
µεζόδυν δηδαζθαιίαρ µε ηεν βοήζεηα ηερ Ψεθηαθήρ Σεσνοιογίαρ απαηηεί µηα άιιε
ζηάζε απένανηη ζηε ιεηηοςπγία ηος ζσοιείος. Γηα παπάδεηγµα ίζυρ σπεηαζηεί µεπηθέρ
οµάδερ µαζεηών να ζςνανηεζούν θαη να επγαζηούν ζηο ζσοιείο πέπαν ηος θιαζηθού
υπαπίος. Αςηό ππέπεη θαηά θάποηο ηπόπο να δηαζθαιηζηεί θαη οη µαζεηέρ να
ενζαππςνζούν ζε θάζε πποζπάζεηα σπήζερ ηυν ηεσνοιογηθών µέζυν ππορ ηεν
θαηεύζςνζε ηερ µάζεζερ θαη ηερ δηδαζθαιίαρ. Έηζη βειηηώνεηαη ε ζσοιηθή δυή θαη
ηο ζσοιείο αποθηά ένα πηο ζςγθεθπηµένο πόιο ζηο πιαίζηο ηερ θοηνυνίαρ. Η
εθαπµογή ηος πποηεηνόµενος εθπαηδεςηηθού ζεναπίος αναµένεηαη να ζςµβάιεη ππορ
αςηή ηε θαηεύζςνζε.
Γνωζηικά - διδακηικά πποβλήµαηα
Είναη επεςνεηηθά δηαπηζηυµένο όηη οη µαζεηέρ δςζθοιεύονηαη να θαηανοήζοςν ηεν
έννοηα ηος οπηζµένος θαη ηος αόπηζηος οιοθιεπώµαηορ θαη να ηηρ ζςνδέοςν µε ζαθή
ηπόπο. Ππορ ηεν θαηεύζςνζε αςηή ηο GeoGebra ηοςρ δηεςθοιύνεη να θαηανοήζοςν
ζηαδηαθά ηεν έννοηα ηος οπηζµένος οιοθιεπώµαηορ µέζυ ηος συπηζµού ζε όζο ηο
δςναηόν πεπηζζόηεπα ίζα ηµήµαηα θαη να οπίζοςν ηεν ζςνάπηεζε ζηεν οποία ανήθεη
ηο ζεµείο πος οπίδεηαη από ηο ένα άθπο ηος συπίος θαη ηο εµβαδόν ηος.
Επίζερ ζηε δηδαζθαιία µε παπαδοζηαθά µέζα δεν είναη εύθοιε ε ζύνδεζε ηος
οπηζµένος οιοθιεπώµαηορ µε ηο αόπηζηο (µόνο ζευπεηηθά) θαζώρ δεν δίνεηαη ε

4. 4
δςναηόηεηα ζηοςρ µαζεηέρ να θάνοςν πεηπάµαηα µε ηον πποζδηοπηζµό ηος εµβαδού
αιιά θαη ηον πποζδηοπηζµό ηερ θαµπύιερ ε οποία πποζδηοπίδεη αςηό ηο εµβαδόν.
Πλαίζιο εθαπµογήρ:
Σε ποιοςρ απεςθύνεηαι:
Σο ζενάπηο απεςζύνεηαη ζηοςρ µαζεηέρ ηερ Γ' Λςθείος.
Χπόνορ ςλοποίηζηρ:
Γηα ηεν εθαπµογή ηος ζεναπίος εθηηµάηαη όηη απαηηούνηαη 2 δηδαθηηθέρ ώπερ.
Εναιιαθηηθά µποπεί να δηαηεζεί ιηγόηεπορ σπόνορ αν επηιεγεί να γίνεη παποςζίαζε
ηος ζεναπίος ζηεν ηάξε µε ηε σπήζε βηνηεοπποβοιέα.
Χώπορ ςλοποίηζηρ:
Σο ζενάπηο πποηείνεηαη να δηεξασζεί εξ’ οιοθιήπος ζηο επγαζηήπηο ςποιογηζηών.
Ωζηόζο αν ο εθπαηδεςηηθόρ αποθαζίζεη να δηδάξεη ένα µέπορ ηος ζηο επγαζηήπηο θαη
ηο ςπόιοηπο ζηεν ζσοιηθή αίζοςζα µε ηε σπήζε ενόρ ςποιογηζηή θαη
βηνηεοπποβοιέα ή ηο ςπόιοηπο να δοζεί ςπό ηε µοπθή επγαζίαρ ζηον ειεύζεπο σπόνο
ζα ππέπεη να πποζαπµόζεη ανάιογα ηηρ δπαζηεπηόηεηερ θαη να εθπονήζεη ηα
θαηάιιεια θύιια επγαζίαρ.
Πποαπαιηούµενερ γνώζειρ:
Οη µαζεηέρ ππέπεη να γνυπίδοςν:
 Σεν έννοηα ηος συπίος θάηυ από θαµπύιε.
 Σεν ηεηπαγυνηθή ζςνάπηεζε.
 Σηρ απαηηούµενερ ιεηηοςπγηθόηεηερ θαη σεηπηζµούρ ηος ππογπάµµαηορ
Geogebra
Απαιηούµενα βοηθηηικά ςλικά και επγαλεία:
 Σεηπάδηο (γηα να θπαηούν ζεµεηώζεηρ γηα ηεν ποπεία ηερ δηεπεύνεζερ θαη να
θαηαγπάθοςν ηα ζςµπεπάζµαηά ηοςρ).
 Βηβιίο (γηα να αναηπέσοςν ζε αςηό γηα ήδε δηδαγµένερ έννοηερ).
 Φύιια επγαζίαρ ηα οποία δίνονηαη από ηον θαζεγεηή θαη έσοςν υρ ζηόσο να
θαζοδεγούν ηοςρ µαζεηέρ ζηε δηεπεύνεζε ηυν δηαθόπυν επυηεµάηυν.
 Απιοποηεµένερ οδεγίερ σπήζερ ηος σπεζηµοποηούµενος ιογηζµηθού πος ζα
δοζούν από ηον εθπαηδεςηηθό.
Κοινωνική ενοπσήζηπωζη ηηρ ηάξηρ
Οη µαζεηέρ επγαδόµενοη ζε οµάδερ θαη θαζοδεγούµενοη από θύιιο επγαζίαρ,
θαιούνηαη να θαηαζθεςάζοςν θαη να εξεπεςνήζοςν ζςγθεθπηµένα ζσήµαηα θαη να

5. 5
απανηήζοςν ζε ζςγθεθπηµένερ επυηήζεηρ. Εποµένυρ ε δηεπεύνεζε αςηή ζα γίνεη
ζςνεπγαηηθά. Γηα να ςπάπσεη θοηνόρ ζηόσορ θαη θαιή ζςνεπγαζία οη µαζεηέρ
θαιούνηαη να ζςµπιεπώζοςν ένα θοηνό θύιιο επγαζίαρ πος πεπηέσεη επυηήζεηρ
ζσεηηθέρ µε ηο ζέµα. Φςζηθά ηο θύιιο επγαζίαρ αςηό ζα ππέπεη να αθήνεη µηα
απθεηά µεγάιε ειεςζεπία ζηοςρ µαζεηέρ ώζηε να ζέηοςν ηα δηθά ηοςρ επυηήµαηα θαη
να απανηούν ζ’ αςηά.
΢ηε δηάπθεηα ηερ ςιοποίεζερ ηος ζεναπίος ο εθπαηδεςηηθόρ ζα ππέπεη να ειέγσεη ηα
ζςµπεπάζµαηα ηυν µαζεηών, να ζςνεπγάδεηαη µαδί ηοςρ, να ηοςρ θαζοδεγεί ώζηε να
ανηηιαµβάνονηαη θαιύηεπα ηα αποηειέζµαηά ηοςρ θαη να ηοςρ ενζαππύνεη να
ζςνεσίζοςν ηεν δηεπεύνεζε.
Σηόσοι:
Οη πποηεηνόµενερ δπαζηεπηόηεηερ ζε ζςνδςαζµό µε ηηρ πποβιεπόµενερ µεζόδοςρ
δηδαθηηθήρ πος πεπηγπάθονηαη παπαθάηυ έσοςν υρ ζηόσο να παπέσοςν ζηοςρ
µαζεηέρ ηε δςναηόηεηα από µεν ηεν πιεςπά ηος γνυζηηθού ανηηθεηµένος:
 Να θαηανοήζοςν ηεν έννοηα ηος οπηζµένος οιοθιεπώµαηορ θαη να ηο
ζςνδέζοςν µε ηεν έννοηα ηερ απσηθήρ ζςνάπηεζερ.
 Να θαηανοήζοςν ηον ηπόπο µέηπεζερ ηος συπίος πος οπίδεηαη από ηεν
δεδοµένε ζςνάπηεζε.
 Να θαηανοήζοςν ηον ηπόπο µε ηον οποίο µεηαβάιιεηαη ηο εµβαδόν θαζώρ
µεηαβάιιονηαη ηα άθπα οπηζµού ηος συπίος.
 Να θαηανοήζοςν ηον ηπόπο ζςµµεηαβοιήρ ηυν δςο µεγεζών - ηος δεξηού
άθπος ηος συπίος θαη ηος εµβαδού θαη να πεπηγπάτοςν αιγεβπηθά ηεν
ζςµµεηαβοιή αςηή.
 Από δε ηεν παηδαγυγηθή πιεςπά:
 Να µάζοςν να πεηπαµαηίδονηαη µε ηηρ πεπηεσόµενερ µαζεµαηηθέρ έννοηερ
(εµβαδόν συπίος, δηαίπεζε ζε ίζα ηµήµαηα, πποζέγγηζε µέζυ ηος πιήζοςρ
δηαίπεζερ, ζςµµεηαβοιή, ζςνάπηεζε θηι.) ζέηονηαρ επυηήµαηα θαη θάνονηαρ
δηάθοπερ εηθαζίερ
 Να ηοςρ δοζεί ε εςθαηπία να οπγανώζοςν ηα δεδοµένα ηοςρ από ηε
δηεπεύνεζε ώζηε να δηεςθοιςνζούν ζηεν εξαγυγή ζςµπεπαζµάηυν.
 Να µάζοςν να ζςνεπγάδονηαη µε ηα άιια µέιε ηερ οµάδαρ γηα να
ζςδεηήζοςν ηηρ παπαηεπήζεηρ ηοςρ, να οπγανώζοςν ηα ζςµπεπάζµαηά ηοςρ,
να δηαηςπώζοςν θανόνερ, να θαηασυπίζοςν ηα δεδοµένα ηοςρ, να
θαηαζθεςάζοςν ζσέζεηρ πος ζςνδέοςν µεγέζε, να παποςζηάζοςν ηεν επγαζία

6. 6
ηοςρ ζηηρ άιιερ οµάδερ.
 Να οηθοδοµήζοςν θώδηθερ επηθοηνυνίαρ ώζηε να γίνονηαη ανηηιεπηοί από ηα
άιια µέιε ηερ οµάδαρ, από ηοςρ ζςµµαζεηέρ ηοςρ θαη ηον θαζεγεηή ηοςρ.
Ανάλςζη ηος ζεναπίος:
Ροή εθαπµογήρ ηυν δπαζηεπηοηήηυν
Ο ζσεδηαζµόρ ηυν δπαζηεπηοηήηυν µποπεί να δηασυπηζηεί ζε δςο θάζεηρ:
Η ππώηη θάζη αθοπά:
ζηεν ενεµέπυζε ηυν µαζεηών γηα ηηρ γενηθέρ γπαµµέρ ηος ζεναπίος θαη ηος
πποβιεµαηηζµού πος ππόθεηηαη να ηοςρ απαζσοιήζεη,
ζηεν ζσεδίαζε ηερ γπαθηθήρ παπάζηαζερ ηερ ζςνάπηεζερ θαη ηος συπίος ηος οποίος
ζα µεηπεζεί ηο εµβαδόν,
ζηεν επηιογή ηος συπηζµού ηος οιοθιεπώµαηορ ζε ίζα ηµήµαηα µε ηον συπηζµό ηερ
βάζερ ηος,
ζηε µέηπεζε ηος εµβαδού ηυν ηµεµάηυν ζηα οποία συπίδεηαη ηο συπίο.
Πποηείνεηαη οη µαζεηέρ:
 Να ζσεδηάζοςν ηεν γπαθηθή παπάζηαζε ηερ παπαµεηπηθήρ ζςνάπηεζερ
xf(x) 2
 επηιέγονηαρ οη παπάµεηποη να έσοςν ηηµέρ από -5 έυρ 5.
 Να ζσεδηάζοςν ηηρ εςζείερ µε ηηρ οποίερ ζα ζσεδηάζοςν ηα άθπα ηος συπίος,
x=a θαη x=b
 Να ζσεδηάζοςν ηον µεηαβοιέα γηα ηο πιήζορ ε ηυν ηµεµάηυν ζηα οποία ζα
συπηζηεί ηο συπίο.
 Να θάνοςν σπήζε ηυν ενηοιών UpperSum [f, x(Α), x(Β)] θαη LowerSum[f,
x(Α), x(Β), ε] πποθεηµένος να οπίζοςν ηα ηµήµαηα ζηα οποία ζα συπηζηεί ηο
συπίο.
 Να οπίζοςν ηον ηπόπο θαη ηο εύπορ µεηαβοιήρ ηυν µεηαβιεηών θ, µ θαη ε.
 Να οπίζοςν ηηρ αναγθαίερ ηηµέρ ηυν ςπόιοηπυν παπαµέηπυν εµθάνηζερ θαη
µέηπεζερ ηος µηθπόθοζµος.
΢ηε ζςνέσεηα οη µαζεηέρ θάνοςν πεηπάµαηα µε ηηρ ηηµέρ ηερ µεηαβιεηήρ ε θαη
παπαηεπούν ηο εµβαδόν ηυν ηµεµάηυν ζηα οποία συπίδεηαη ηο συπίο. Κάνοςν
εθηηµήζεηρ θαη εηθαζίερ γηα ηο εµβαδόν ηος συπίος.

7. 7
Η δεύηεπη θάζη αθοπά
ζηεν θαηαζθεςή ηος ζεµείος πος οπίδεη ηο ένα άθπο θαη ηο εµβαδόν ηος συπίος
θαζώρ θαη ζηεν ζσεδίαζε ηερ θαµπύιερ ζηεν οποία ανήθεη ηο ζεµείο αςηό, ζηο
ζσεδηαζµό ηος γευµεηπηθού ηόπος ηος ζεµείος αςηού, ηον πποζδηοπηζµό ηερ
ζςνάπηεζερ ζηεν οποία ανήθεη ηο ζεµείο,
ζηεν εξαγυγή ζςµπεπαζµάηυν γηα ηεν ζςνάπηεζε ζηεν οποία ανήθεη ηο ζεµείο πος
πποζδηοπίδεη ηος εµβαδόν.
Όπυρ πποαναθέπζεθε ζηηρ ζηπαηεγηθέρ εθαπµογήρ, ζευπείηαη ζθόπηµο ζηο ηέιορ
θάζε θάζερ, όιερ οη οµάδερ να θάνοςν µία ζύνηοµε παποςζίαζε ηυν
ζςµπεπαζµάηυν ηοςρ.
Πποηείνεηαη οη µαζεηέρ :
 Με ηε βοήζεηα ηυν ενηοιών "Άνυ Άζποηζµα = " + Ss θαη "Κάηυ άζποηζµα =
" + Si εµθανίδοςν ηα δςο αζποίζµαηα ζηεν επηθάνεηα επγαζίαρ.
 Να οπίζοςν ένα ζεµείο Μ µε ηεηµεµένε ηο ένα άθπο Μ ηος συπίος θαη
ηεηαγµένε ένα από ηα δςο αζποίζµαηα. Π.σ. Μ(x(Β), Si)
 Να επηιέξοςν ηεν ενηοιή «ίσνορ» γηα ηο ζεµείο Μ.
 Να πιεθηποιογήζοςν ηεν θαηάιιειε ζςνάπηεζε ώζηε ηο ζεµείο Β να ανήθεη
ζηεν γπαθηθή ηερ παπάζηαζε.
΢ηε ζςνέσεηα οη µαζεηέρ θάνοςν πεηπάµαηα µε ηηρ ηηµέρ ηερ µεηαβιεηήρ ε θαη
παπαηεπούν ηον γευµεηπηθό ηόπο ηος ζεµείος Β όηαν µεηαβάιιοςν ηο ένα άθπο ηος
συπίος. Κάνοςν εθηηµήζεηρ θαη εηθαζίερ γηα ηο εµβαδόν ηος συπίος.
Τα επγαλεία πος θα σπηζιµοποιηθούν
Σο πποηεηνόµενο ιογηζµηθό Geogebra επειέγε µε θπηηήπηο ηεν εξςπεπέηεζε ηυν
αναγθών ηυν πποηεηνόµενυν δπαζηεπηοηήηυν θαη ανηαποθπίνεηαη ζηηρ δεζµεύζεηρ
πος αποππέοςν από ηα επεςνεηηθά εςπήµαηα.
Σο Geogebra δίνεη ηε δςναηόηεηα ζηοςρ µαζεηέρ:
 Να επηιέγοςν ηεν ζςνάπηεζε ηερ οποίαρ ζα µειεηήζοςν ηον εµβαδόν ηος
συπίος.
 Να οπίδοςν ηο συπίος επηιέγονηαρ ηα άθπα ηος.
 Να οπίδοςν ηο πιήζορ ηυν ηµεµάηυν ζηα οποία ζα συπίδοςν ηο συπίος θαη
ζα µεηπούν ηο εµβαδόν ηοςρ.
 Θα οπίδοςν ηο ζεµείο µε ζςνηεηαγµένερ ηο ένα άθπο ηος συπίος (ηο δεξηό)
θαη ηο εµβαδόν ηος συπίος θαη να παπαηεπούν ηεν θαµπύιε ζηεν οποία
ανήθεη.

8. 8
 Να εθθπάδοςν ηεν ζςνάπηεζε ζηεν οποία ανήθεη ηο εν ιόγυ ζεµείο.
Επέκηαζη:
Ωρ ππορ ηεν επέθηαζε ηυν παπαπάνυ οη µαζεηέρ µποπούν να µεηπήζοςν ηα εµβαδά
δηαθόπυν συπίυν πος οπίδονηαη από δηάθοπερ ζςναπηήζεηρ θαζώρ θαη εµβαδά πος
οπίδονηαη µεηαξύ δςο ζςναπηήζευν.
Αξιολόγηζη µεηά ηην εθαπµογή:
Ωρ ππορ ηιρ επιδιώξειρ ηος ζεναπίος:
Ο εθπαηδεςηηθόρ ειέγσεη θαηά πόζο επηηεύσζεθαν οη ζηόσοη ηος ζεναπίος θαη
εξεηάδεη ηος ιόγοςρ γηα ηοςρ οποίοςρ θάποηοη δεν επηηεύσζεθαν ώζηε να παπέµβεη
ανάιογα ζηο ζενάπηο.
Ωρ ππορ ηα επγαλεία:
Ο εθπαηδεςηηθόρ ειέγσεη ηεν εςθοιία µε ηεν οποία οη µαζεηέρ αξηοποίεζαν ηα
επγαιεία ηος πποηεηνόµενος ιογηζµηθού ζε ζςνδςαζµό µε ηεν ζαθήνεηα ηυν
οδεγηών ηος θαη ηυν πεπηγπαθών ηυν θύιιυν επγαζίαρ. Αθού αξηοιογήζεη ηα
δεδοµένα ηος επεµβαίνεη ανάιογα ζηο ζενάπηο γηα ηεν επόµενε εθαπµογή.
Ωρ ππορ ηην διαδικαζία ςλοποίηζηρ
Ο εθπαηδεςηηθόρ αξηοιογεί ηεν δηαδηθαζία ςιοποίεζερ ηος ζεναπίος αξηοιογώνηαρ
ηα ζηοησεία πος δεν δούιεταν θαιά θαη πποζαπµόδεη ηο ζενάπηο.
Ωρ ππορ ηην πποζαπµογή και επεκηαζιµόηηηα
Η δςναηόηεηα επέθηαζερ ηος ζεναπίος θαη ε εςθοιία πποζαπµογήρ ζε ένα ζσοιηθό
πεπηβάιιον ή ζηεν δηδαθηηθή αηδένηα ενόρ εθπαηδεςηηθού ή ζηεν θοςιηούπα µηαρ
ζσοιηθήρ ηάξερ είναη ένα από ηα ζηοησεία πος ηο θαζηζηούν ζεµανηηθό. Ο
εθπαηδεςηηθόρ ππέπεη να ιάβεη ζοβαπά ςπότε ηος αςηέρ ηηρ παπαµέηποςρ θαη να
πποζαπµόζεη ηο ζενάπηο ανάιογα. Ιδηαίηεπα όηαν εθαπµόζεη ηο ζενάπηο ποιιέρ
θοπέρ θαη ζε δηαθοπεηηθέρ ηάξεηρ ή ανηαιιάξεη ηδέερ µε άιιοςρ ζςναδέιθοςρ ηος ζα
έσεη δεδοµένα µε ηα οποία ζα µποπεί να θάνεη οςζηαζηηθέρ πποζαπµογέρ.
Σσεδίαζη θύλλος επγαζίαρ:
΢ηεν ανάιςζε ηος ζεναπίος πεπηγπάθονηαη οη επηµέποςρ δπαζηεπηόηεηερ µε ηηρ
οποίερ πποηείνεηαη να εµπιαθούν οη µαζεηέρ θαζώρ θαη ε σπονηθή ζεηπά µε ηεν οποία
αςηό ζα γίνεη. Εποµένυρ, ε ζύνηαξε ηος θύιιος επγαζίαρ από ηον εθπαηδεςηηθό πος
ζα δηδάξεη ηο ζενάπηο ππέπεη να ζςµπεπηιάβεη ηηρ δπαζηεπηόηεηερ αςηέρ µε ηεν ίδηα
ποή θαη ηηρ θαηάιιειερ επυηήζεηρ - πποβιήµαηα ππορ ηοςρ µαζεηέρ. Σα επυηήµαηα

9. 9
ζα ππέπεη να είναη ζςµβαηά µε ηεν δηαδηθαζία πος είναη πηζανό να αθοιοςζήζοςν οη
µαζεηέρ. Γηα παπάδεηγµα, ηα επυηήµαηα ζα µποπούζαν να έσοςν ηεν εξήρ ζεηπά:
 Επυηήµαηα ζσεδίαζερ θαη παπαηήπεζερ (γηα εζηίαζε ζε ζςγθεθπηµένερ
πηςσέρ ηυν αιιαγών ζηο ζσήµα)
 Επυηήµαηα δηαηύπυζερ (γηα εηθαζίερ, ςποζέζεηρ θαη γενηθεύζεηρ)
 Επυηήµαηα ειέγσος (γηα επµενείερ, επεξεγήζεηρ, αποδείξεηρ, θηι)