Função Quadrática
Revisão
Definição de Função Quadrática
Uma função f: →
chama-se quadrática quando existem números reais ...
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
Exemplo: f(x) = x² - 4x + 3
Observe a tabela abaixo:
x
0
1
2
3
4

Y = f...
Observações:
1) Quando ∆ > 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem dois zeros reais diferentes (a
parábola intersecta o eixo x...
Logo, x 1 . x 2 =

c
.
a

Exercícios Propostos
1) Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas abaixo:
a) f(x...
Além disso, quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola
(parábola mais “fechada”), independentem...
Exercícios Propostos
1) Esboce o gráfico da função f cuja parábola passa pelos pontos (3, -2) e (0, 4) e tem
vértice no po...
* Substituímos o valor do x v na função quadrática para que possamos obter a
coordenada y v .
Examine os exemplos:
1º) f(x...
* O vértice é o ponto (1/2, 6).
* A função assume valor máximo 6 quando x = 1/2
* Im(f) = {y ∈
│y ≤ 6}
* Essa função não t...
b) o valor mínimo do custo.
Estudo do sinal da função quadrática
Estudar o sinal da função quadrática f(x) = ax² + bx + c,...
f(x) = 0 para x = x 1 = x 2
f(x) > 0 para x ≠ x 1

f(x) = 0 para x = x 1 = x 2
f(x) < 0 para x ≠ x 1

3º Caso: ∆ < 0
Neste...
b) f(x) = 9x² + 6x + 1
a=9>0
∆ = (6)² - 4 (9) (1) = 0
Zeros da função: x = -1/3
Então:
* f(x) = 0 para x = -1/3
* f(x) > 0...
3) Para quais valores de m a função f(x) = (m - 1)x² - 6x – 2 assume valores negativos
para todo x real?
4) Dada a função ...
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Funçao quadratica-revisao

  1. 1. Função Quadrática Revisão Definição de Função Quadrática Uma função f: → chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c, com a ≠ 0, tal que f(x) = ax² + bx + c para todo x ∈ . f: → x  ax² + bx + c Alguns exemplos: * f(x) = -x² + 100x, em que a = -1, b = 100 e c = 0 * f(x) = 3x² - 2x + 1, em que a = 3, b = -2 e c = 1 * f(x) = x² - 4, em que a = 1, b = 0 e c = -4 * f(x) = 17x², em que a = 17, b = 0 e c = 0 Observe que não são funções quadráticas: * f(x) = 3x * f(x) = 2 x * f(x) = x³ + 2x² + x + 1 Exercícios Propostos 1) As seguintes funções são definidas em . Verifique quais delas são funções quadráticas e identifique em cada uma os valores de a, b e c: a) f(x) = 2x (3x - 1) b) f(x) = (x + 2) (x - 2) – 4 c) f(x) = 2(x + 1)² 2) Dada a função quadrática f(x) = 3x² - 4x + 1, determine: a) f(1) c) f( 2 ) b) f(0) d) f(-2) e) f(h + 1) f) x de modo que f(x) = -1 3) De uma folha de papel retangular de 30 cm por 20 cm são retirados, de seus quatro cantos, quadrados de lado x. Determine a expressão que indica a área da parte que sobrou em função de x. Gráfico da Função Quadrática
  2. 2. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Exemplo: f(x) = x² - 4x + 3 Observe a tabela abaixo: x 0 1 2 3 4 Y = f(x) = x² -4x + 3 3 0 -1 0 3 (x, y) (0, 3) (1, 0) (2, -1) (3, 0) (4, 3) Gráfico: Zeros da Função Quadrática Os zeros de f(x) = ax² + bx + c são os números x ∈ tais que f(x) = 0, ou seja, os zeros da f são os pontos do eixo das abscissas onde a parábola o intercepta. Determinação dos Zeros da Função Quadrática A fórmula que fornece os zeros da função e, portanto, às raízes da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0 é a fórmula de Báscara: x = (discriminante). −b ± ∆ com ∆ = b² - 4.a.c 2.a
  3. 3. Observações: 1) Quando ∆ > 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem dois zeros reais diferentes (a parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos). 2) Quando ∆ = 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem um zero real duplo (a parábola intersecta o eixo x em um só ponto). 3) Quando ∆ < 0, a função f(x) = ax² + bx + c não tem zeros reais (a parábola não intersecta o eixo x). 4) Relação entre coeficientes e raízes da equação ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. Existindo zeros reais tal que: x1 = −b + ∆ 2.a x1+ x2 = x2 = −b − ∆ , obtemos: 2.a −b −b + ∆ −b − ∆ − 2b + ∆ − ∆ + = = a 2.a 2.a 2.a Logo, x 1 + x 2 = x1. x2 = e −b . a b ² − b ² + 4ac c −b + ∆ − b − ∆ b² − ( ∆ ) 2 . = = = 4a ² a 2.a 2.a 4a ²
  4. 4. Logo, x 1 . x 2 = c . a Exercícios Propostos 1) Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas abaixo: a) f(x) = x² - 3x b) f(x) = x² +4x + 5 c) f(x) = -x² +2x + 8 d) –x² +3x – 5 2) Para que valores reais de k a função f(x) = (k - 1)x² - 2x + 4 não admite zeros reais? 3) Os 180 alunos de uma escola estão dispostos de forma retangular, em filas, de tal modo que o número de alunos de cada fila supera em 8 o número de filas. Quantos alunos há em cada fila? Gráfico da função definida por f(x) = ax² + bx + c Vamos estudar o efeito dos parâmetros a, b e c na parábola que representa a função quadrática f(x) = ax² + bx + c. Parâmetro a: Responsável pela concavidade e abertura da parábola.
  5. 5. Além disso, quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola (parábola mais “fechada”), independentemente da concavidade. Parâmetro b: Um ponto ao percorrer a parábola, da esquerda para a direita, ao cruzar o eixo das ordenadas poderá estar subindo ou descendo. Se b = 0 o vértice a parábola cruza o eixo y no vértice V, isto é, o vértice V da parábola está no eixo das ordenadas. Parâmetro c: Indica o ponto onde a parábola cruza o eixo y. A parábola cruza o eixo y no ponto (0, c). Exemplo: Na função quadrática f(x) = ax² + bx + c da figura abaixo, a < 0, b > 0, c > 0.
  6. 6. Exercícios Propostos 1) Esboce o gráfico da função f cuja parábola passa pelos pontos (3, -2) e (0, 4) e tem vértice no ponto (2, -4); em seguida, verifique qual das seguintes sentenças corresponde a essa função: a) f(x) = -2x² - 8x + 4 b) f(x) = 2x² - 8x + 4 c) f(x) = 2x² + 8x +4 2) O gráfico abaixo representa a função f(x) = ax² + bx + c. Pode se afirmar que: a) a < 0, b > 0 e c < 0 b) a < 0, b = 0 e c < 0 c) a < 0, b > 0 e c > 0 d) a > 0, b < 0 e c < 0 e) a < 0, b < 0 e c < 0 Imagem da Função Quadrática A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do gráfico e permite determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo ou mínimo. As coordenadas do vértice V(x v , y v ) da função quadrática f(x) = ax² + bx + c podem ser calculadas de duas maneiras: 1ª Maneira: Utilizando as seguintes fórmulas: xv= −b 2a e yv= − ∆ 4a 2ª Maneira: * Para calcular o x v , obtemos as raízes x 1 e x 2 da equação do 2º grau e calculamos o ponto médio das mesmas. Assim: xv= x1 + x 2 2
  7. 7. * Substituímos o valor do x v na função quadrática para que possamos obter a coordenada y v . Examine os exemplos: 1º) f(x) = 2x² - 8x Obtendo as raízes, teremos x 1 = 0 e x 2 = 4. Portanto, x v = 0 +4 x1 + x 2 = =2 2 2 Substituindo x v = 2 na função, obtemos a ordenada do vértice: y v = f(x v ) = 2 (x v )² - 8(x v ) y v = f(2) = 2 . 2² - 8 . 2 = -8 * O vértice é o ponto (2, 8). * A função assume valor mínimo -8 quando x = 2 * Im(f) = {y ∈ │y ≥ 0} * Essa função não tem valor máximo. 2º) f(x) = -4x² + 4x + 5 Sabemos que o vértice V de uma parábola dada por f(x) = ax² + bx + c, a pode ser calculado assim: V = (x v , y v ) = Neste caso, temos: f(x) = -4x + 4x + 5 xv= −b −4 1 = = 2a −8 2 yv= − − (16 + 80) − 96 ∆ = = =6 4a − 16 − 16 V = (1/2, 6)  −b   2a , ∆ − . 4a  ≠ 0, também
  8. 8. * O vértice é o ponto (1/2, 6). * A função assume valor máximo 6 quando x = 1/2 * Im(f) = {y ∈ │y ≤ 6} * Essa função não tem valor mínimo. → De modo geral, dada a função f: tal que f(x) = ax² + bx + c, com a V (x v , y v ) é o vértice da parábola correspondente, temos então: a > 0 ⇔ y v é o valor mínimo de f ⇔ Im(f) = {y ∈ a < 0 ⇔ y v é o valor máximo de f ⇔ Im(f) = {y ∈ ≠ 0, se │y ≥ y v } │y ≤ y v } Exercícios Propostos 1) Calcule o vértice V de cada parábola definida pelas funções quadráticas abaixo indicando o valor máximo ou o valor mínimo admitido pelas mesmas e determine o conjunto imagem das funções: a) f(x) = -3x² + 2x b) f(x) = 2x² - 3x – 2 c) f(x) = -4x² + 4x - 1 2) Qual o valor de m para que a função f(x) = (4m + 1)x² - x + 6 admita valor mínimo? 3) Determine k de modo que o valor máximo da função f(x) = (m + 3)x² + 8x – 1 seja 3. 4) Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado por C = x² - 80x + 3000. Nessas condições, calcule: a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo;
  9. 9. b) o valor mínimo do custo. Estudo do sinal da função quadrática Estudar o sinal da função quadrática f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0, significa determinar os valores reais de x para os quais f(x) se anula (f(x) = 0), f(x) é positiva (f(x) > 0) e f(x) é negativa (f(x) < 0). O estudo do sinal da função quadrática vai depender do discriminante ∆ = b² - 4ac da equação do 2º grau correspondente ax² + bx + c = 0 e do coeficiente a. Dependendo do discriminante, podem ocorrer três casos e, em cada caso, de acordo com o coeficiente a, podem ocorrer duas situações. Portanto, temos um total de seis casos. Acompanhe: 1º Caso: ∆ > 0 Neste caso: * A função admite dois zeros reais distintos, x 1 e x 2 ; * A parábola que representa a função intersecta o eixo x em dois pontos. a<0 a>0 f(x) = 0 para x = x ou x = x f(x) > 0 para x < x ou x > x f(x) < 0 para x < x < x f(x) = 0 para x = x 1 ou x = x 2 f(x) > 0 para x 1 < x < x 2 f(x) < 0 para x < x 1 ou x > x 2º Caso: ∆ = 0 Neste caso: * A função admite um zero real duplo x 1 = x 2 * A parábola que representa a função tangencia o eixo x. a>0 a<0
  10. 10. f(x) = 0 para x = x 1 = x 2 f(x) > 0 para x ≠ x 1 f(x) = 0 para x = x 1 = x 2 f(x) < 0 para x ≠ x 1 3º Caso: ∆ < 0 Neste caso: * A função não admite zeros reais; * A parábola que representa a função não intersecta o eixo x. a>0 a<0 f(x) > 0 para todo x real f(x) < 0 para todo x real Exemplos: 1º) Vamos estudar os sinais das seguintes funções: a) f(x) = x² - 7x + 6 b) f(x) = 9x² + 6x + 1 c) f(x) = -2x² +3x – 4 a) f(x) = x² - 7x + 6 a=1>0 ∆ = (-7)² - 4 (1) (6) = 25 > 0 Zeros da função: x 1 = 6 e x 2 = 1 Então: * f(x) = 0 para x = 1 ou x = 6 * f(x) < 0 para x < 1 ou x > 6 * f(x) < 0 para 1 < x < 6 Portanto, f(x) é positiva para x fora do intervalo [1, 6], é nula para x = 1 ou x = 6 e negativa para x entre 1 e 6.
  11. 11. b) f(x) = 9x² + 6x + 1 a=9>0 ∆ = (6)² - 4 (9) (1) = 0 Zeros da função: x = -1/3 Então: * f(x) = 0 para x = -1/3 * f(x) > 0 para todo x ≠ -1/3 c) f(x) = -2x² +3x – 4 a = -2 < 0 ∆ = (3)² - 4 (-2) (-4) = -23 < 0 Portanto, ∆ < 0 e a função não tem zeros reais. Logo, f(x) < 0 para todo x real, ou seja, f(x) é sempre negativa. 2º) Quais são os valores reais de k para que a função f(x) = x² - 2x + k seja positiva para todo x real? Condições: * a > 0 (já satisfeita, pois a = 1 > 0) * ∆< 0 Cálculo de ∆ : ∆ = (-2)² - 4 (1) (k) = 4 – 4k Daí: 4 – 4k < 0 ⇒ -4k < -4 ⇒ 4k > 4 ⇒ k >4/4 ⇒ k > 1 Logo, k ∈ │k > 1. Exercícios Propostos 1) Estude o sinal das seguintes funções quadráticas: a) f(x) = x² - 10x + 25 b) -3x² + 2x + 1 c) -4x² + 1 2) Dada a função f(x) = -2x² + 3x, determine os valores reais de x para os quais f(x) > 0.
  12. 12. 3) Para quais valores de m a função f(x) = (m - 1)x² - 6x – 2 assume valores negativos para todo x real? 4) Dada a função quadrática f(x) = –x² + 6x – 9, determine: a) Se a concavidade da parábola esta voltada para cima ou para baixo; b) Os zeros da função; c) O vértice V da parábola definida pela função; d) A intersecção com o eixo x e com o eixo y; e) O domínio D e o conjunto Im da função; f) Os intervalos onde a função é crescente, decrescente ou constante; g) O esboço do gráfico.

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