1. Sucesión de Números Reales
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
ÁREA DE EDUCACIÓN
UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA III
Clase 1: Sucesiones de Números Reales.
Prof. Miguel García
2. DEFINICIÓN DE SUCESIÓN.
Se llama sucesión a un conjunto de números dados de forma ordenada, de
modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero, cuarto,…
Los elementos de la sucesión se llaman términos y se suelen designar
mediante una letra con los subíndices correspondientes a los lugares que
ocupan en la sucesión:a1, a2, a3…..
Ejemplo: (2, 5, 8, 11) a1 = 2 , a2 = 5 , a3 = 8 , a4 = 11
TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN.
Se llama término general de una sucesión a la expresión que representa a un
término cualquiera de la secesión, y se simboliza: an. Para la sucesión anterior
se tiene como término general: an = 3n – 1. El primer valor será: a1 = 3.1 -1 = 2;
el segundo a2 = 3.2-1 = 5 y así sucesivamente: a3 = 8 , a4 = 11
3. Formas de expresar una sucesión
Se puede hacer de las siguientes maneras:
•Mostrando los términos de la sucesión : {1; 3; 5; 7;...}
•Mediante una frase que describa la sucesión, por ejemplo: El conjunto de los
números naturales.
•A través del término general, que permite conocer el valor de cada elemento
dependiendo de la posición que ocupa (n).
• Por recurrencia, son sucesiones que para conocer un término es necesario
conocer los anteriores. Sea por ejemplo la relación recurrente an = an−1 + an−2.
Se tiene que los dos primeros son a1 = 1, a2 = 2, el tercero es a3 = a2+a1=1+1 = 2,
el cuarto es a4 = a3 + a2 = 2 + 1 = 3, el quinto es a5 = a4 + a3 = 3 + 2 = 5,
el sexto a6 = 5 + 3 = 8, el séptimo a7 = 8+5 = 13 y el octavo a8 = 13 + 8 = 21.
4. TIPOS DE SUCESIONES
a) Progresiones Aritméticas: es una sucesión de números reales en la que cada uno de
sus términos se obtiene del anterior sumando una cantidad fija “d” llamada diferencia. Por
ello, se puede decir que en toda sucesión aritmética de diferencia ‘d’ se verifica que :
an = an−1 + d, a partir de a1 conocido.
Ejemplo: sea la sucesión (an): 10, 12, 14, 16, 18,
Esta sucesión es una sucesión aritmética, ya que cada uno de los elementos se obtiene
del anterior sumando una cantidad fija igual a 2, llamada diferencia (d). Así, en este caso,
a1 = 10, d = 2, y se verifica que para cualquier n -1 an = an−1+d = an−1 + 2. Igualmente, se
verifica que an = a1+(n −1) d = 10+(n − 1)2, esto es: an = 8+2n, que es el término general.
5. Suma de términos de una progresión aritmética.
Sea la sucesión aritmética de números reales (an) : a1, a2, a3, Sea Sn a la suma de
los n primeros términos de la sucesión; Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an−1 + an. Se verifica
entonces que Sn es igual a la mitad de n veces la suma del primero con el último, es
decir: Sn = (a1 + an)n / 2
Ejemplo.
Un jardinero tiene que echar un cubo de agua a cada uno de los 15 árboles que están a lo
largo de un camino recto. Los arboles están separados entre sí 6 m, y el pozo se encuentra a
10 m del primer árbol. Si el jardinero solo lleva un cubo de agua en cada viaje ¿qué camino
habrá recorrido tras regar los 15 árboles y devolver el cubo al pozo?
Solución.
Para regar el primer árbol y devolver el cubo al pozo, el jardinero debe recorrer 10 + 10m = 20m.
Para regar el segundo y devolver el cubo al pozo, el jardinero habrá recorrer (10+6)+(6+10)m =
32m = 20+12m, para regar el tercer árbol recorrerá (10+6+6)+(6+6+10)m = 44m = 32 + 12m. Por
lo tanto, para regar el enésimo árbol deberá recorrer an = 20 + 12(n − 1) metros. Es decir:
a15 = 20 + 12(15 − 1) = 188 m.
En total la distancia recorrida por el jardinero será: Sn = (a1 + an)n / 2
Sn = (20 + 188) 15 / 2 = 1.560 m
6. b) Progresiones geométricas.
Una progresión geométrica es una sucesión de números reales en la que cada término se
obtiene del anterior multiplicando a éste por una cantidad fija positiva r, llamada razón de la
progresión. Por ello, la expresión que describe el comportamiento de una sucesión
geométrica es an = an−1r para r > 0 a partir de a1 conocido.
El término general de una progresión geométrica es: an = a1 * r n-1
Ejemplo 1.
Sea la progresión geométrica con a1 = 2 y r = 3. ¿Qué valor tendrá a6?
Esta sucesión la forman los números an: 2, 6, 18, 54, 162, 486. Se multiplica por r = 3
cada uno de los números anteriores, que se calculan a partir de a1 = 2 y se llega: a6 = 486.
Pero, por ejemplo, para llegar al número a20 se deben de realizar, sin equivoco, muchas
multiplicaciones.
En consecuencia, es conveniente emplear el término general an = a1 * r n-1.
a20 = 2 * 3 (20-1) = 2*319 = 2.324.522.934
7. Ejemplo 2.
En un banco se ha depositado la cantidad de 10.000 Bs a un interés del 5 % anual,
¿qué capital se tendrá al finalizar el quinto año?
Nota: Un capital C que se deposita en un banco al i% de interés, produce unos beneficios al cabo
de un año. Si sumamos los beneficios al capital, C + iC = C(1+i), y esta nueva cantidad la se pone
de nuevo a un interés i %, al finalizar el segundo año se tendrá un capital total C(i+i)+C(1+i)i =
C(1+i)2.por tanto, al finalizar el año n, desde que se puso el dinero en el banco, se dispondrá de un
capital total igual a C(1+i)n−1, donde los valores que genera esta fórmula pueden ser entendidos
como términos de una progresión geométrica con a1 = C y razón (1 + i).
Solución.
Se aplica: an = a1 * r n-1 , donde a1 = 10.000 r = ( 1 + 0,05)
a5 = 10.000 (1,05)4 = 12.155 Bs
8. Suma de términos en una progresión geométrica.
Sea la progresión geométrica de números reales (an) : a1, a2, a3, y Sn la suma de los
n primeros términos de la sucesión; Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an−1 + an. Se verifica
entonces que Sn es igual al cociente del primero menos el siguiente al último entre
1 − r, esto es: Sn = (a1 – a1 rn) / (1- r)
Ejemplo 3.
Cuenta la Historia, que el Rey de Persia aburrido en los ratos de ocio, de repente quedó fascinado
por el juego del ajedrez, el cual le presentó un inventor ingenioso e inteligente. Se cuenta que
quedó tan agradecido que el rey ofreció al matemático oriental lo que deseara. A lo que el inventor
respondió ¡Me conformo con 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4
por la tercera, 8 por la cuarta y así hasta la casilla 64 del tablero!
Solución.
Esta propuesta del inventor, aunque para el rey fuese ridícula según lo marca la Historia, resulta
sorprendente, pues se trata de una suma de términos de una progresión geométrica de razón 2.
Aplicando Sn = (a1 – a1 rn) / (1- r) se tiene:
Sn = (1 – 1*264) / (1- 2) = 18.446.744.073.709.551.616 granos.
Como cada kilogramo de trigo ocupa unos 28.220 granos, la cifra anterior equivaldría a unas
653.676.260.585 toneladas de trigo.
9. •Sucesiones especiales.
Son sucesiones que guardan otro tipo de ley de formación que no está orientado
específicamente a una razón constante, su ley de formación guarda un orden
lógico diferente que debe ser analizado muy ingeniosamente.
Números pares: 2, 4, 6, 8, 10, ..... an = 2n
Números impares : 1, 3, 5, 7, 9, .... an = 2n – 1
Números al cuadrados : 1, 4, 9, 16, 25, .... an = n2
Números al cubos: 1, 8, 27, 81, 125, .... an = n3
Potencias: 2, 4, 8, 16,...... an = 2n
Números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, …… an = n(n+1)/2
10. Sucesión de Fibonacci.
De las tantas sucesiones matemáticas que existen, ninguna es tan famosa,
tan interesante y tan asombrosa como la que inventó LenardoFibonacci,
matemático italiano del siglo XIII. A lo largo de los años, hombres de ciencia,
artistas de todo tipo y arquitectos, la han utilizado en su campo con resultados
impresionantes. Es una sucesión matemática infinita. Consta de una serie de
números naturales que se suman de a 2, a partir de 0 y 1. Básicamente, la
sucesión de Fibonacci se realiza sumando siempre los últimos 2 números.
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34..
Se trata de una sucesión recurrente de orden dos donde a1 = 1, a2 = 1, y a
partir estos dos términos, conocidos, el resto se calcula haciendo:
an+2 = an+an+1.
Algunos de sus aportes refieren a la geometría, la aritmética comercial y los números
irracionales, además de haber sido vital para desarrollar el concepto del cero.
11. La sucesión de Fibonacci está presente prácticamente en todas las cosas del
universo. Tiene aplicaciones en matemáticas, computación y juegos, y que
aparece en los más diversos elementos biológicos. Ejemplos claros son la
disposición de las ramas de los árboles, las semillas de las flores, las hojas de
un tallo, otros más complejos y aún mucho más sorprendentes es que también
se cumple en los huracanes e incluso hasta en las galaxias enteras, desde
donde obtenemos la idea del espiral de Fibonacci.
12. La Espiral de Fibonacci
Se puede construir una serie de rectángulos utilizando los
números de esta sucesión.
•Se construye un cuadrado de lado 1, los dos primeros
términos de la sucesión.
•Luego otro igual sobre él. Tenemos ya un primer
rectángulo Fibonacci de dimensiones 2 x1.
•Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado
y tenemos un nuevo rectángulo de 3x2.
•Sobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos
ahora un rectángulo 5x3, luego uno 5x8, 8x13, 13x21...
•Se puede llegar a un rectángulo de 34x55, de 55x89...
•Se dibujan así una sucesión de rectángulos, cuyas
dimensiones partiendo del cuadrado (1x1), pasan al
rectángulo de dimensiones 2x1, al de 3x2Si y uniendo
los vértices de estos rectángulos se va formando una
curva que ya resulta familiar: una espiral, que de forma
bastante ajustada, está presente en el crecimiento de las
conchas de los moluscos; es decir, la espiral del
crecimiento y la forma del reino animal.
