1. G.Barbaro RICERCA OPERATIVA (PROBLEMI DI SCELTA)

4. DEFINIZIONE DI RICERCA OPERATIVA (MORSE E KIMBALL ) La ricerca operativa è l’applicazione del metodo scientifico da parte di gruppi interdisciplinari a sistemi complessi e organizzati per fornire al personale dirigente soluzioni utilizzabili nei processi decisionali .

6. G.Barbaro Fasi di una ricerca operativa 1 – Formulazione del problema 2 – Raccolta dei dati 3 – Costruzione del modello matematico 4 – Ricerca di una soluzione 5 – Controllo del modello e della soluzione

7. G.Barbaro In una prima fase è necessario determinare con chiarezza gli obbiettivi appropriati, i vincoli da porre, le intercorrelazioni tra il settore da studiare e gli altri settori dell’organizzazione ecc… Questa fase è fondamentale, perché influenza molto le conclusioni dello studio e sfocia nella seconda fase dello studio cioè la raccolta dei dati che saranno utilizzati per le fasi successive FORMULAZIONE DEL PROBLEMA E RACCOLTA DATI

8. G.Barbaro Costruzione del modello matematico I modelli matematici sono rappresentazioni astratte di situazioni reali espresse in termini di simboli ed espressioni matematiche. Ci sarà sempre una funzione obiettivo da massimizzare(ricavi, profitti, vendite) o minimizzare(costi, perdite, macchinari). Tale funzione dipenderà da una o più variabili d’azione (o variabili di decisione) di cui si dovranno determinare i rispettivi valori. Le variabili spesso sono legate tra di loro, e devono sottostare a determinate limitazioni. Tutto questo sarà rappresentato nel modello da equazioni e da disequazioni.

9. MODELLO MATEMATICO Funzione Obiettivo Y = f (x 1 , x 2 …………..x n ) La funzione obiettivo esprime un costo, un ricavo, un guadagn0 + Vincoli espressi da equazioni e disequazioni I vincoli sono di due tipologie: vincoli di segno(che esprimono la positività delle variabili di azione) e vincoli tecnici(esprimo delle situazioni reali p.es. capacità del magazzino) Le variabili x 1 , x 2 …. x n si chiamano variabili di azione e sono le variabili controllabili

10. G.Barbaro Creato il modello matematico, si cerca, se esiste, la soluzione ottimale, o con i metodi della matematica classica, o con metodi di analisi numerica, oppure con tecniche di iterazione partendo da una soluzione e cercando di migliorarla. Una soluzione ottimale è quella che massimizza o minimizza (a seconda dei casi) la misura del rendimento in un modello Trovata la soluzione ottimale nel modello, bisogna verificare la corrispondenza tra il modello e la realtà e la soluzione deve essere valutata.

11. ESEMPIO Un’azienda che produce concime ha una capacità produttiva massima pari a 220 quintali alla settimana. Per la sua produzione sostiene un costo fisso pari a 15.000 euro settimanali ed un costo variabile di 30 euro al quintale. Il prezzo di vendita del prodotto è legato alla domanda dalla funzione: x = 250 – 0,5 * p Determinare la quantità da produrre settimanalmente per massimizzare il guadagno

12. P = 500 – 2*x Il guadagno è dato da : Y = (500 – 2*x)*x –15.000 –30*x Y = -2x 2 +470 –15.000 con vincoli: x>=0 x<=220 Il modello risolto con l’analisi ci conduce alla conclusione che sarà necessario vendere 117,5 quintali di concime

13. CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI R. O. R.O. CONDIZIONI CERTEZZA EFFETTI IMMEDIATI EFFETTI DIFFERITI CONDIZIONI INCERTEZZA EFFETTI IMMEDIATI EFFETTI DIFFERITI Investimenti Finanziari e Industriali Ad una variabile Max.-min(continui-discreti) Scorte Sc.alternative A più variabili P.lineare

14. G.Barbaro Nei problemi di R.O. spesso si useranno i seguenti termini e le seguenti relazioni: Costo totale che verrà indicato con C(x) C(x) = Costo fisso + Costo variabile= Cf+ Cv Costo fisso è il costo che non dipende dalla quantità x di beni prodotti e/o venduti Costo variabile è il costo che dipende dalla quantità x di beni prodotti e/o venduti Ricavo è ciò che si ottiene dalla vendita di uno o più prodoti. Lo indicheremo con R(x) = p ·x cioè il prodotto del prezzo per la quantità venduta Guadagno o Utile. Verrà indicato con U(x) = R(x) –C(x)

15. G.Barbaro PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO In questi problemi dovrà essere ricercato il MIN nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo In questi problemi dovrà essere ricercato il MAX nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo valori interi. In tal caso si parla di problemi DISCRETI. Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i valori interi e non interi. Si parla di problemi CONTINUI.

16. G.Barbaro Problema Un commerciante acquista prodotti al costo di 0,7 euro al kg e li rivende a 1,2 euro al kg. Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo può trasportare giornalmente 20 kg di merce. Calcolare la quantità di prodotti da vendere per avere il massimo Utile. E’ un problema di tipo continuo. x = quantità prodotti venduti (problema continuo) R(x) = 1,2 ·x C(x) = 6 + 0,7 ·x U(x) = R(x) - C(x) = 1,2 ·x – (6 + 0,7·x ) = 0,5·x - 6

17. G.Barbaro Riassumendo il modello matematico sarà il seguente: U(x) = 0,5·x - 6 Funzione Obiettivo Con vincoli x ≥ 0 Vincolo di segno e x ≤ 20 Vincoli tecnici P U In x =12 si il punto di equilibrio Break-even point Che divide la zona di perdita da quella di utile Per x=20 si ha il MAX utile

18. G.Barbaro Un laboratorio artigianale fabbrica birra. Il prezzo unitario è legato alla quantità x venduta secondo la seguente relazione p= 50 – 0,1 x . Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 più un costo unitario variabile Cuv= 10 euro . Determinare la quantità di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno. X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo) R(x) = (50-0,1x) · x C = 1000 + 10· x U(x) = R(x) – C(x) = (50-0,1x) · x - (1000 + 10· x) Quindi U(x) = -0,1 · x 2 + 40 · x- 1000 Problema

19. G.Barbaro Quindi il Modello matematico sarà costituito da: U(x) = -0,1 · x 2 + 40 · x- 1000 Funzione obiettivo x ≥ 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici) In questo esempio la funzione obiettivo è una parabola, pertanto per disegnarla occorre trovarne concavità, vertice e intersezione con gli assi (in particolare con l’asse delle x). Xv = -b/2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione) Intersezioni con l’asse delle x risolvendo l’equazione: -0,1 · x2 + 40 · x- 1000 = 0 x1 = 26,8 x2 = 373,2

20. G.Barbaro I limiti di produttività(cioè le intersezioni della funzione con l’asse delle x) sono dati dai valori di 26,8 373,2 litri Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra

21. G.Barbaro Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacità produttiva di 300 litri di birra al giorno ? Il Modello matematico sarà costituito da: U(x) = -0,1 · x2 + 40 · x- 1000 Funzione obiettivo x ≥ 0 E x ≤ 300 vincolo di segno e tecnici Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra

23. G.Barbaro Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi. Può accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantità venduta o tra costo e quantità venduta. In tal caso si aggira l’ostacolo utilizzando una tecnica differente

25. G.Barbaro ESEMPIO Un prodotto è fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno. I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno, mentre il costo variabile è di 2,8 euro al pezzo. La produttività giornaliera massima è di 8 lotti. Il prezzo di vendita al lotto non è costante , ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella: Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile n.r. lotti 1 2 3 4 5 6 7 8 Prezzo unitario 400 400 380 360 350 320 280 250

26. G.Barbaro Applichiamo questa tecnica all’esempio precedente: Max. Conviene espandere la produzione finchè il ricavo marginale supera il costo marginale Costo per lotto 2,8 ·50 =140 euro a cui aggiungere il costo fisso n.ro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale Ricavo marginale 1 640 400 -240 - - 2 780 800 20 140 200 3 920 1140 220 140 340 4 1060 1440 380 140 300 5 1200 1750 550 140 310 6 1340 1920 580 140 170 7 1480 1960 480 140 40 8 1620 2000 380 140 40

27. G.Barbaro Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni: I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche; in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max. min. approssimando gli eventuali dati non interi Non è possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche; in tal caso si ricorre alle tabelle(come nell’esempio) utilizzando l’analisi marginale

29. G.Barbaro ESEMPIO Per il trasporto di una merce un’impresa può ricorrere a due differenti ditte per il trasporto. La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione più un costo di 0,5 euro per ogni chilometro del tragitto; La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro più un costo per chilometro pari a 1 euro. Con quali modalità effettuare la scelta tra le due offerte?

30. G.Barbaro E’ un problema di costi. Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale. ALTERNATIVA A C(x) = 50 + 0,5 · x ALTERNATIVA B C(x) = 30 + 1 · x Dove x, che è la variabile di azione, rappresenta il numero di km x ≥ 0 Funzioni obiettivo vincolo

31. G.Barbaro Graficamente: X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP) Con x < 40 km conviene l ‘offerta B Con x > 40 km conviene l’offerta A

33. G.Barbaro Graficamente la situazione è la seguente Fina a 30 ton conviene l’offerta A Fra 30 e 80 tonnellate conviene l’offerta B Oltre 80 tonnellate conviene l’offerta C

34. G.Barbaro ESEMPIO Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita è fissato in 10 euro;per la stampa deve decidere tra le seguenti alternative: LAVORAZIONE A Costo fisso = 4000 euro Costo variabile = 2 euro/unità Costo pubblicità = 0,1 % del quadrato del numero di libri LAVORAZIONE B Far eseguire il lavoro da terzi con un Costo totale = 8 euro/unità La massima tiratura consentita è di 6000 libri.

35. G.Barbaro CA(x) = 4000 + 2x +0,001 x 2 CB(x) = 6x UA(x) = 10x – (4000 + 2x +0,001 x 2 ) = -0,001x 2 +8x -4000 UB(x) = 10x -8x = 2 x Con x ≥ 0 e x ≤ 6000 Il modello matematico è il seguente:

36. G.Barbaro Graficamente: Per 0<x < 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza Per 764<x<5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza Per 5237< x < 6000 conviene la lavorazione B

38. G.Barbaro Il problema delle scorte in realtà è piuttosto complesso e per comprenderne la complessità si può rappresentare su un grafico l’andamento di un magazzino: tempo Quantità di merce in magazzino Tale andamento può assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi, cali di produzione,…)

40. G.Barbaro Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati: Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere l’anno) S = costo fisso per ogni ordinazione s = costo di magazzinaggio variabile x = quantità ottimale da ordinare ogni volta Quindi: Q/x = numero di ordinazioni Dal momento che la giacenza non è costante nel tempo, si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x; per cui giacenza media = (0+x)/2 =x/2 La funzione obiettivo è data dal costo : C = S  Q/x + s  x/2 con 0 ≤ x ≤ CM se ci sono vincoli tecnici dove CM è la capacità del magazzino

41. G.Barbaro Questa funzione obiettivo in matematica è molto conosciuta e viene chiamata funzione somma: Tale funzione può essere considerata come la somma di due funzioni: y 1 = a x e y 2 = b/x in cui: y 1 rappresenta una retta passante per l'origine degli assi coordinati, y 2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati

42. G.Barbaro Grafico della funzione somma La funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante. Per i problemi di R.O. è però sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive) Relativamente al I quadrante si può notare che sussiste un punto di minimo Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina all’iperbole, mente per valori alti della x si avvicina lal retta m

43. G.Barbaro Le coordinate del minimo sono :

44. G.Barbaro Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre all’analisi calcolando la derivata prima: Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene: P.C . si considera ovviamente solo il valore positivo. Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate: Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto:

45. G.Barbaro Esempio: Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima. Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 1,2 euro/kg Determinare la quantità ottimale da ordinare La funzione obiettivo è la seguente: C= S  Q/x + s  x/2 = 16  24.000/x + 1,2  x/2 = 384.000/x + 0,6  x con x ≥ 0 Calcolando la derivata prima si ottiene: C’ = -384.000/x 2 + 0,6 Ponendola uguale a zero: -384.000/x 2 + 0,6 = 0 si ottiene: x= ± 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800

46. G.Barbaro Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro. E’ possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno: n.ord. = 24.000 / 800 = 30 f = 360 / 30 = 12 giorni m

48. G.Barbaro PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI E’ NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA

49. G.Barbaro Matematica finanziaria Scopo: Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi diversi. Ovvero spostamento di importi nel tempo. Operazioni finanziarie Capitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro Spostamento in avanti M = C + I M = MONTANTE Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza Spostamento all‘ indietro V = C – S V = VALORE ATTUALE C M 0 t V C 0 t

50. G.Barbaro Regime di Capitalizzazione semplice Ipotesi: Interessi proporzionali al tasso ed al tempo Capitalizzazione composta Ipotesi: Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo Capitalizzazione mista Ipotesi: Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n, semplice per la restante frazionaria f LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE

51. G.Barbaro Sconto razionale (o semplice) Ipotesi: Operazione inversa della Capitalizzazione semplice Sconto composto Ipotesi: Operazione inversa della Capitalizzazione composta (1+i) – t : fattore di sconto composto Tassi di interesse Equivalenza: due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale Formula per la conversione di tassi (legge composta): LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO

53. G.Barbaro Montante: valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate) Rendite posticipate : Rendite anticipate : Valore attuale: valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate) Rendite posticipate : Rendite anticipate :

55. G.Barbaro CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE Si dice risultato economico (R.E.A.) attualizzato di una data operazione d’investimento: la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi, entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso: R.E.A. = V a (R) – V a (C) Viene normalmente utilizzato il regime dell’interesse composto. Il criterio sarà così applicato: Prese due operazioni di investimento finanziario, calcoleremo per ciascuna di essere il R.E.A. e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il R.E.A. più elevato. E’ chiaro che il R.E.A. varia al variare del tasso di attualizzazione. Esso è funzione del tasso i perciò possiamo scrivere G (i). In particolare esso è funzione decrescente del tasso. Pertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti.

58. G.Barbaro Ipotesi A) Ipotesi B) : Quindi risulta più conveniente l’ipotesi A)

59. G.Barbaro Il limite del criterio dell’ attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione può essere soggettiva. D’altra parte il R.E.A. è funzione del tasso di interesse scelto: tasso R.E.A. Tasso di rendimento interno

60. G.Barbaro Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione, quel tasso in base al quale, il r.e.a. della distribuzione di costi e ricavi dell’operazione considerata risulta uguale a zero. Cioè il tasso soluzione dell’equazione: R.E.A.(i)=0. CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) t.i.r.

61. G.Barbaro Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si può affermare che esso fornisce un indice di redditività dell’operazione. Ad esempio, affermando che il t i.r. è 10% si vuole indicare che l’operazione considerata è finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10%. Il criterio viene applicato nel seguente modo: Tra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno più alto. Per la determinazione del tasso di volta in volta occorrerà risolvere un’equazione che a seconda del tipo richiederà tecniche diverse: (eq. di secondo grado o riconducibili ad essa, interpolazione lineare ecc.). Al contrario di quanto accade per il criterio dell’attualizzazione, che fa dipendere la scelta dall’operatore, per quanto riguarda l’adozione del tasso di attualizzazione, il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo

62. G.Barbaro Si deve scegliere tra Un investimento comporta un costo iniziale di 10.000 euro e ricavo di 3.150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni, Un investimento che comporta un costo iniziale di 10.000 ricavi di 6.500 euro alla fine del secondo e quarto anno. Determinare l’investimento più conveniente col metodo del tir. X = 0.0993107 Si sceglie quindi la prima alternativa N.B.: questo metodo è utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata X = 0.0928251 ESEMPIO

64. G.Barbaro Nel caso di due variabili di azione il modello assumerà la seguente struttura: Funzione obiettivo Vincoli di segno Vincoli tecnici

65. G.Barbaro RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO Il metodo prevede la ricerca dell’AREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli. Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli, si otterrà un poligono che costituisce l’area ammissibile. Tale area contiene tutte le coppie (x1,x2) che soddisfano le disequazioni/equazioni del sistema; tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili. Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base ; tra queste va cercata la soluzione ottimale. Questo metodo può essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due.

66. G.Barbaro Quindi: In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo, se esistono, si trovano sui vertici dell’Area Ammissibile . O A B C Esempio Vertici: O(0,0) Z=0 (min) A(0,2400) Z=12.000.000 B(1800,1200) Z=11.600.000 C(2400,0) Z= 13.200.000 (MAX)