Láminas del primer capítulo de lógica proposicional e introducción a las tablas de verdad

1. TEMA 1. LÓGICA
ING DE SISTEMAS

2. 2

3. Situación 1
El profesor de matemáticas discretas dejo un
trabajo el día lunes 27-ago-2007 para el día
martes 04 sept-2007 (donde el lunes 03-sep
Fue fiesta).
Pepe no pudo presentar el trabajo. El martes
Pepe hablo con el Profesor y le dijo:
” No pude terminar el trabajo para hoy profesor,
porque no pude trabajar en el feriado, ya que
todo la semana tuve que hacer muchos
trabajos de las demás materias y mi mamá se
enfermo el fin de semana y tuve que cuidarla”.
3

4. ¿¿¿¿¿Qué puede pensar el profesor???????
• ¿El trabajo no se pudo cumplir por que había un feriado?
• ¿Las demás materias ameritan mas tiempo que matemáticas
discretas?.
• ¿Planee mal el tiempo del trabajo ?
Conclusión:
El alumno revele una falta de planificación en sus actividades.
Los alumnos comienzan hacer el trabajo el día anterior. Si
hubo problema en la realización del trabajo ¿Por qué no lo
reporto antes?
¿Será lógica la excusa?
Recuerden que las excusas, son para entender el porque de los
hechos. Se trata de razonar como Uds.
4

5. Situación 2
• Pepe expreso:
“Profesor debido a las obligaciones adquiridas con
anterioridad en las demás materias, no tuve tiempo
de terminar el trabajo puesto en su clase. Intente
realizarlo el fin de semana , pero mi Mamá se
enfermo ocupando mi tiempo en toda su totalidad.
El día lunes comenze hacer el trabajo pero NO
alcance a Terminarlo”
¿Es lógica la excusa?
5

6. …situaciones lógicas e ilógicas
En las historias se desarrollan argumentos coherentes que muchas veces
responden a la lógica y la ilógica.
• El problema es el motor de la inteligencia: sin él ni la mente más
curiosa puede entrar en acción, pero cuando no se resuelve se acumula
generando estrés. Para que exista el problema hay varios debes:
aceptarlo, estar al alcance intelectual, querer encararlo y poder hacer
algo. Sin problemas la vida sería tan aburrida que alguien los
terminaría inventado.
• El capital para resolverlos es la memoria y el instrumento es el
pensamiento. Gracias a ellos se comprende la situación y se inventa la
solución para actuar en consecuencia.
• Cuando se conoce la solución no hay problema ni pensamiento sino
aplicación de la memoria.

7. …situaciones lógicas e ilógicas(2)
<<Un señor compró un cachorro de pastor alemán y su
vecino un loro, éste preguntó: el perro, ¿no se comerá al
loro?. El señor lo convenció diciendo: crecerán juntos y
serán amigos. Y así ocurrió. Hasta que en unas
vacaciones, el pastor alemán apareció con el loro entre sus
dientes, muerto, con signos de violencia y suciedad. El
señor recordó la frase: "el perro se comerá al loro". Pronto
volverían los vecinos: ¿Qué hacer ?, ¿sacrificar al perro?.
Finalmente decidió bañar al loro y dejarlo en su casita,
para que al menos los vecinos pudiesen despedirlo>>

8. …situaciones lógicas e ilógicas(3)
La historia sigue:
<<El vecino regresó y contó que el loro
murió antes de irse, que lo enterró y al
volver estaba muerto pero en su casita.>>

9. …situaciones lógicas e ilógicas(4)
Explicación a la historia
• El hombre tiene una racionalidad limitada, no accede a la verdad completa ni
usa el 100 % de su capacidad, por lo tanto su razón es incierta. Confunde
hechos con interpretaciones, concluye sin tomar conciencia del automatismo
de su inferencia ni advertir sus consecuencias.
• En su conversación interna irrumpe primero la emoción que siente el impacto
y condiciona a la razón para interpretarlo. Es un modelo simple que intenta
darle sentido a lo que ocurre pero considera al juicio como verdadero sin
molestarse en comprobarlo ni fundamentarlo.
• Al advertir esta falla sistémica de la mente es importante recolectar todo tipo
de hechos y no sólo los que apoyan el discurso, tomarlos como pretendientes
de datos, aplicar la solidaridad intelectual para no confundir hechos con
hipótesis, reconocer las lagunas, que las cosas no son siempre lo que parecen
y que el punto de vista con el cual se atiende genera su propio desarrollo
• La paradoja que surge de la historia que relatamos es que para tener creencias
razonables hay que ser personas razonables en la manera de adquirir y aceptar
las creencias

10. "La vida es el arte de sacar
conclusiones suficientes a
partir de datos
insuficientes", Voltaire

11. LÓGICA
“La lógica es el estudio de
los métodos y principios
usados para distinguir el
razonamiento correcto del
incorrecto”.
“La lógica se ocupa de la
cuestión del peso o valor
probatorio de diferentes
tipos de elementos de
juicio”.
11

12. • Es el estudio de los razonamientos
– Sin tomar en cuenta su contenido
– Le interesa la corrección del proceso de
razonamiento una vez finalizado
– Le interesa, particularmente, si las
conclusiones se derivan de las premisas
afirmadas, en cuyo caso el razonamiento
es correcto
12

13. ¿Para que sirve la Lógica?
1. Asignar Responsabilidades
Tomado del curso: Lógica-Dr. Jacinto Davila 13

14. ¿Para que sirve la Lógica?
2. Comunicar Con Claridad
Tomado del curso: Lógica-Dr. Jacinto Davila 14

15. ¿Para que sirve la Lógica?
3. Para evitar ambigüedad
Tomado del curso: Lógica-Dr. Jacinto Davila 15

16. ¿Para que sirve la Lógica?
4. Para definir Responsabilidades
Tomado del curso: Lógica-Dr. Jacinto Davila 16

17. ¿Para que sirve la Lógica?
5. Para Usar los símbolos Correctamente
Tomado del curso: Lógica-Dr. Jacinto Davila 17

18. ¿Para que sirve la Lógica?
6. Para distinguir el razonamiento Correcto
del incorrecto
Tomado del curso: Lógica-Dr. Jacinto Davila 18

19. PROPOSICIÓN
Una proposición es una declaración sobre la que se
puede decidir su veracidad o falsedad. Es decir,
falsedad
es un enunciado verdadero o es un enunciado
falso, pero no puede ocurrir ambas cosas.
NO SON PROPOSICIONES
SON PROPOSICIONES “ Pare inmediatamente!”
“El 2 es un número primo”. “¿15 y 18 tienen la misma
“ 25 es divisible entre 3 ”. cantidad de divisores?”.
“ En realidad, no sé a qué se
“ 6 + 5 = 10 ”. refiere”.
“El aula A404 está en el “ Lávalo”.
2do piso”.
19

20. Proposición Atómica
• Una proposición es atómica si no puede ser
descompuesta en proposiciones más
simples.
• Las proposiciones atómicas son indicadas
de manera afirmativa.
• Ejemplos:
– La casa es grande. (es atómica)
– La casa no es grande. ( no es atómica)
– Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica)
20

21. Proposición Molecular
• Una proposición es molecular si no es
atómica, es decir, si puede ser
descompuesta en proposiciones más
simples.
• Una proposición molecular se forma al unir
proposiciones atómicas utilizando
conectivos lógicos o términos de enlace.
21

22. Notación
Para denotar o representar las proposiciones se usan letras
minúsculas: p, q, r, s, ...
p: “El aula A204 está en el 2do piso”
q: “El aula A204 es iluminada”
r: “El 5 es un entero par”
s: “La Tierra es el único planeta con vida en el universo”
t: “El aula A204 no está iluminada”
u: “Un decenio tiene 10 años”
22

23. Conectivos Lógicos
Conectivo Simbolización
y ^
o v
no (sobre la proposición)
23

24. Proposiciones Moleculares
• Ejemplos
– Vamos en bicicleta o vamos a pie.
– No es cierto que Juan llegó temprano
– Juan no llegó temprano
– Luis es arquitecto y Martín es médico.
– La medalla no es de plata y el diploma parece
falso.
– Matías aprobó pero Lucas no.
24

25. Notación
• Se utilizarán letras minúsculas para simbolizar las
proposiciones atómicas.
• Ejemplo:
– El Ing. Oscar Gallardo es el jefe del Dpto de Sistemas-
UFPS.
Si se considera
p = “El Ing. Oscar Gallardo es el jefe del Dpto de
Sistemas-UFPS”
esta proposición puede ser simbolizada como p.
25

26. Notación
• Para simbolizar un proposición
– Identificar las proposiciones atómicas
– Simbolizar las proposiciones atómicas
encontradas.
– Utilizar los conectivos lógicos para
relacionarlas.
26

27. Notación
• Ejemplos
– Vamos en bicicleta o vamos a pie.
p : “Vamos en bicicleta”.
q : “Vamos a pie”
Simbolización: p v q
– No es cierto que Juan llegó temprano
p = “Juan llegó temprano”.
Simbolización : p
27

28. Notación
• Ejemplo
– La medalla no es de plata y el diploma
parece falso.
p : “La medalla es de plata”.
q : “El diploma parece falso”
Simbolización: p ^ q
28

29. Notación
• Ejemplo
– Matías aprobó el examen pero Lucas no.
r = “Matías aprobó el examen”.
s = “Lucas aprobó el examen”
Simbolización : r ^ s
29

30. Tabla de Verdad
• La tabla de verdad de una proposición
molecular muestra todas las posibles
combinaciones de valores de verdad de las
proposiciones atómicas que la componen.
30

31. Negación
El enunciado “No se cumple p” es una proposición llamada “la
negación de p” y se denota por ¬p.
Ejemplo.
p: Nuestro salón está en el 2do piso.
¬p : Nuestro salón no está en el 2do piso.
¬p : No es cierto que nuestro salón esté en el 2do piso.
Si p es verdadera entonces ¬p es falsa. En cambio, si p es falsa, ¬p
es verdadera.
La tabla de verdad de la negación es:
p ¬p
V F
F V 31

32. Negación
p p
V F
F V
• Indique el valor de verdad de:
– El número 9 no es divisible por 3.
– No es cierto que los perros vuelan.
32

33. Conjunción
p q p^q
V V V
V F F
F V F
F F F
• Indique el valor de verdad de :
– 6 es un número par y divisible por 3.
–(2+5=7) y(2*3=9) 33

34. Disyunción
p q pvq
V V V
V F V
F V V
F F F
• Indique el valor de verdad de :
– 2 es primo o es impar.
– (2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5)
34

35. Notación y Conectivos
Las proposiciones se combinan mediante conectivos,
como por ejemplo, “y”, “o”, “pero”, “si ... entonces”…
Por ejemplo
p: “El aula A1-204 está en el 2do piso”;
q: “El aula A1-204 es iluminada”.
pueden combinarse como:
“El aula A1-204 está iluminada y está en el 2do piso”
“Si el aula A1-204 está iluminada entonces se encuentra en
el 2do piso” 35

36. Conectivos
La proposición resultante de conectar dos ó más
proposiciones se denomina proposición compuesta.
Ejemplo
r : “El aula A1-205 está en el 2do piso pero es iluminada”
r es la proposición compuesta “p y q”
s: “Si el aula A1-204 está iluminada entonces se encuentra en
el 2do piso”
s es la proposición compuesta “Si q entonces p” ”
36

37. Conectivos
La conjunción de p y q es la proposición “p y q”
que se denota por “p ∧ q”.
La conjunción es verdadera, únicamente cuando
ambas proposiciones que la componen son
verdaderas.
Ejemplo
Sea p: “2 divide a 68”
q: “2 divide a 25”.
p ∧ q : “ 2 es divisor de 68 y de 25”.
37
p ∧ q es falsa

38. Conectivos
La disyunción de p y q, es la proposición “p o q”, que se
denota por “p ∨ q”. El “o” se usa en el sentido inclusivo;
como en
“La solución de (x–2).(y+2) = 0 es x = 2 o y = -2”.
La disyunción es falsa, únicamente, cuando ambas
proposiciones son falsas.
Ejemplo:
Sean p: “3 divide a 6” q: “3 divide a 7”
p ∨ q : “ 3 divide a 6 ó a 7”
p ∨ q es verdadera.
38

39. Tablas de verdad
Las tablas de verdad de los dos conectivos
anteriores son:
p q p∧q p∨q
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
pyq
poq 39

40. Conectivos
La implicación es la proposición “Si p entonces q ”,
que se denota por p → q
A p se le llama hipótesis (o antecedente) y
a q se le llama tesis (o consecuente).
La proposición p → q, se puede leer también como
p sólo si q,
p es suficiente para q,
q es necesaria para p,
p es condición suficiente para q,
q es condición necesaria para p,
40

41. Conectivos
Ejemplo:
p: “Los polvos de jardín contienen veneno”
q: “Los polvos de jardín son de colores brillantes”.
La proposición p → q puede estar expresada como:
“Los polvos de jardín contienen veneno sólo si son de colores
brillantes”;
“Si los polvos de jardín contienen veneno entonces son de colores
brillantes”;
“Son necesarios los colores brillantes para los polvos de jardín
que contienen veneno”;
“Los polvos de jardín son de colores brillantes si contienen 41
veneno”.

42. Conectivos
“Si p entonces q ” es verdadera,
cada vez que la condición p
es verdadera obliga a que la
condición q también es p q p→q
verdadera.
V V V
Es decir, con el cumplimiento de p,
se promete el cumplimiento V F F
de q. F V V
La implicación es falsa, únicamente, F F V
cuando el antecedente es
verdadero y el consecuente es falso.
En este caso, a pesar de
“estar dadas las condiciones”, no se
cumple la promesa.
La tabla de verdad para la
implicación es
42

43. Conectivos
Ejemplo:
p: “La respuesta automática se puede enviar”
q: “El sistema de archivos está lleno”.
¬p → q :
“Si la respuesta automática no se puede enviar, el archivo está lleno”.
q → ¬p :
“La respuesta automática no se puede enviar cuando el archivo está lleno”.
q → ¬p :
“La respuesta automática no se puede enviar si el archivo está lleno”.
p→¬q:
“Si la respuesta automática se puede enviar, el archivo no está lleno”.
43

44. 44

45. Conectivos
La proposición “p si y sólo si q” se denomina bi-condicional y
se denota por “p ↔ q”
Es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de
verdad, es decir, es verdadera si ambas componentes son
verdaderas o ambas son falsas.
Una manera de abreviar “si y sólo si” es “sii”.
“p si y sólo si q” se puede expresar como
“p es condición necesaria y suficiente para q”.
Ejemplo
p : 24 es un número par.
q : 24 es divisible por 2.
p ↔ q : “ 24 es un número par si y sólo si 24 es divisible entre 2”.
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46. Conectivos
• La tabla de verdad para el bicondicional es
p q p ↔q
V V V
V F F
F V F
F F V
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47. Construcción de tablas de verdad
• ¿Cuántas filas tiene la tabla?
– 1 proposición  2 valores (V o F)
– 2 proposiciones  4 valores de verdad
– 3 proposiciones  8 valores de verdad
– .........
– n proposiciones  2n valores de verdad.
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