βάσεις και διάσταση θεμελιωδών χώρων

1. Γραμμική ΄Αλγεβρα
Γραμμική Ανεξαρτησία - Βάση
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
2 Δεκεμβρίου 2013

2. Διαδικαστικά
Η διάλεξη της Παρασκευής θα πραγματοποιηθεί στις 10-11.
Κατά την διάρκεια των επόμενων διαλέξεων θα δωθεί μια
ενδεικτική εξέταση προόδου. Θα μετρήσει μόνον θετικά και
μόνον στην περίπτωση που ο βαθμός της τελικής εξέτασης
είναι μεταξύ 4,0 και 4,9.

3. Γραμμική Εξάρτηση
x = αy

4. Γραμμική Εξάρτηση
x = αy
xk = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn

5. Γραμμική Εξάρτηση
x = αy
xk = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn
΄Ενα σύνολο διανυσμάτων λέγονται γραμμικά εξαρτημένα αν το
καθένα απο αυτά μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των υπολοίπων.

6. Γραμμική Εξάρτηση
΄Ενα σύνολο διανυσμάτων x1 , x2 , . . . , xk ∈ Rn λέγονται γραμμικά
εξαρτημένα ανν υπάρχουν αριθμοί c1 , c2 , . . . , ck ∈ R εκ των
οποίων τουλάχιστον ένας δεν είναι μηδέν και για τους οποίους
ισχύει c1 x1 + c2 x2 . . . , ck xk = 0.

7. Γραμμική Εξάρτηση
΄Ενα σύνολο διανυσμάτων x1 , x2 , . . . , xk ∈ Rn λέγονται γραμμικά
εξαρτημένα ανν υπάρχουν αριθμοί c1 , c2 , . . . , ck ∈ R εκ των
οποίων τουλάχιστον ένας δεν είναι μηδέν και για τους οποίους
ισχύει c1 x1 + c2 x2 . . . , ck xk = 0.
Για να ελέγξουμε την εξάρτηση των x1 , x2 , . . . , xk ∈ Rn
Σχηματίζουμε τον πίνακα A οποίος έχει σαν στήλες τα
διανύσματα αυτά
Υπολογίζουμε τον μηδενόχωρο του A
Αν αυτός περιλαμβάνει μόνον το μηδενικό διάνυσμα τοότε αυτά
είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

8. Ορισμοί
Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται από όλους τους
γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων w1 , w2 , . . . , wk τότε
λέμε ότι αυτά παράγουν τον V .

9. Ορισμοί
Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται από όλους τους
γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων w1 , w2 , . . . , wk τότε
λέμε ότι αυτά παράγουν τον V .
΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν διανυσματικό χώρο ανν
κάθε διάνυσμα του χώρου μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των εν λόγω διανυσμάτων.

10. Ορισμοί
Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται από όλους τους
γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων w1 , w2 , . . . , wk τότε
λέμε ότι αυτά παράγουν τον V .
΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν διανυσματικό χώρο ανν
κάθε διάνυσμα του χώρου μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των εν λόγω διανυσμάτων.
΄Ενα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση ενός διανυσματικού
χώρου ανν αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα και παράγουν τον
χώρο.

11. Ορισμοί
Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται από όλους τους
γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων w1 , w2 , . . . , wk τότε
λέμε ότι αυτά παράγουν τον V .
΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν διανυσματικό χώρο ανν
κάθε διάνυσμα του χώρου μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός
συνδυασμός των εν λόγω διανυσμάτων.
΄Ενα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση ενός διανυσματικού
χώρου ανν αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα και παράγουν τον
χώρο.
Διάσταση ενός υποχώρου είναι το πλήθος των στοιχείων της
βάσης του.

12. Παρατηρήσεις
Κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων ενός
χώρου V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να επεκταθεί
(με προσθήκη άλλων διανυσμάτων) έτσι ώστε να γίνει βάση
του V .

13. Παρατηρήσεις
Κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων ενός
χώρου V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να επεκταθεί
(με προσθήκη άλλων διανυσμάτων) έτσι ώστε να γίνει βάση
του V .
Κάθε σύνολο διανυσμάτων που παράγει έναν χώρο V
μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να συρρικνωθεί
(αφαιρώντας διανύσματα) έτσι ώστε να γίνει βάση του V .

14. Παρατηρήσεις
Κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων ενός
χώρου V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να επεκταθεί
(με προσθήκη άλλων διανυσμάτων) έτσι ώστε να γίνει βάση
του V .
Κάθε σύνολο διανυσμάτων που παράγει έναν χώρο V
μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να συρρικνωθεί
(αφαιρώντας διανύσματα) έτσι ώστε να γίνει βάση του V .
Υπάρχουν άπειρες διαφορετικές βάσεις ενός υπόχωρου.

15. Παρατηρήσεις
Κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων ενός
χώρου V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να επεκταθεί
(με προσθήκη άλλων διανυσμάτων) έτσι ώστε να γίνει βάση
του V .
Κάθε σύνολο διανυσμάτων που παράγει έναν χώρο V
μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, να συρρικνωθεί
(αφαιρώντας διανύσματα) έτσι ώστε να γίνει βάση του V .
Υπάρχουν άπειρες διαφορετικές βάσεις ενός υπόχωρου.
Δύο οποιεσδήποτε βάσεις ενός χώρου αποτελούνται από το
ίδιο πλήθος διανυσμάτων.

16. Θεώρημα
Εάν το σύνολο v1 , v2 , . . . , vm είναι βάση του χώρου V και το
σύνολο w1 , w2 , . . . , wn είναι και αυτό βάση του ίδιου χώρου V
τότε m = n.
Απόδειξη.
.