3. Introducción
Hoy en día podemos ver muchas cosas que
nos pueden parecer de lo mas cotidianas,
carreteras, líneas telefónicas, líneas de
televisión por cable, el transporte colectivo
metro, circuitos eléctricos de nuestras casas,
automóviles, y tantas cosas mas; lo que no
pensamos frecuentemente es que estos
forman parte de algo que en matemáticas se
denomina como grafos.
4. Desde un punto de vista práctico, los grafos permiten
estudiar las interrelaciones entre unidades que
interactúan unas con otras.
Prácticamente cualquier problema puede
representarse mediante un grafo, y su estudio
trasciende a las diversas áreas de las ciencias exactas
y las ciencias sociales.
Los árboles forman una de las subclases de gráficas
que más se utilizan. En particular, la ciencia de la
computación hace uso de los árboles ampliamente.
En computación, los árboles son útiles para organizar y
relacionar datos en una base de datos.
5. Concepto
Es un conjunto de nodos
unidos por un conjunto de
líneas o flechas.
N = nodo S = arista
Por lo general, los nodos son entes de procesamiento o
estructuras que contienen algún tipo de información y
las líneas o flechas son conexiones o relaciones entre
estos entes.
6. La forma de representar los grafos es:
G(N,S)
y los segmentos serán:
S = {u, v}
Ejemplo:
Representa un grafo plano con 5 nodos llamados a, b, c, d y e; y 6
segmentos unidos de la siguiente forma: s1={a,b}, s2={c,d}, s3={b,e},
s4={e,c}, s5={e,d}, s6={a,c}
a
s1
s3 b
e s6
s4
s5 c
d s2
7. Camino:
Es un recorrido que tiene aristas diferentes, o sea, que no use la
misma arista mas de una vez.
Valencia:También llamado
grado de un vértice v, es
el número de lados
incidentes en v. Por
definición, si v tiene un
lazo, entonces este
contribuye en 2 a la
valencia del v. El grado
máximo de un grafo G es
denotado por Δ(G) y el
grado mínimo de un grafo
G es denotado por δ(G).
Sendero: es un camino en el cual todos los segmentos son diferentes
Trayectoria: es un camino en el cual todos los nodos son diferentes
8. Lazo: bucle es una arista que Ramas paralelas: Las ramas
relaciona al mismo nodo; es paralelas o segmentos
decir, es aquél que va dirigido múltiples: son aristas que
a sí mismo. conectan las mismas
terminales. Es decir, que del
mismo vértice parten 2 o más
aristas a otro.
9. Tipos de Grafos
Grafo no dirigido
Son aquellos en los cuales los lados no están orientados (No son
flechas). Cada lado se representa entre paréntesis, separando sus
vértices por comas, y teniendo en cuenta (Vi,Vj)=(Vj,Vi).
Grafo dirigido
A un grafo dirigido se le puede definir como un grafo que contiene
aristas dirigidas, como en el siguiente caso.
10. Grafo regular
Es un grafo donde cada vértice tiene el mismo grado o
valencia. Un grafo regular con vértices de grado k es llamado
grafo k-regular o grafo regular de grado k.
Los Grafos regulares de grado hasta 2 son fáciles de clasificar:
Un grafo 0-regular consiste en un grafo con vértices
desconectados, un grafo 1-regular consiste en un grafo con
aristas desconectadas, y un grafo 2-regular consiste en un ciclo.
11. Grafo bipartito
Es aquel con cuyos vértices
pueden formarse dos conjuntos
disjuntos de modo que no haya
Grafo completo
adyacencias entre vértices
pertenecientes al mismo Aquel con una arista entre
conjunto. cada par de vértices.
12. Grafos Isomorfos Grafos Platónicos
Dos grafos son isomorfos Son los Grafos formados por los
cuando existe una vértices y aristas de los cinco
correspondencia biunívoca sólidos regulares (Sólidos
(uno a uno), entre sus vértices Platónicos), a saber, el
de tal forma que dos de estos tetraedro, el cubo, el
quedan unidos por una arista octaedro, el dodecaedro y el
en común. icosaedro.
13. Grafos conexos Grafos eulerianos
Un grafo se puede definir Un camino euleriano contiene
como conexo si cualquier todos los arcos del grafo.
vértice V pertenece al
conjunto de vértices y es
alcanzable por algún otro.
Otra definición que dejaría
esto más claro sería: “un grafo
conexo es un grafo no dirigido
de modo que para cualquier
par de nodos existe al menos
un camino que los une”.
Grafos hamilyaneano
Un camino hamiltoneano
contiene todos los nodos del
grafo.
14. Grafos rotulado
Un grafo rotulados es aquel en el a sus segmentos se les asigna un
dato, es decir un número no negativo l(s), llamado peso o
longitud de s
a
1
3
b
e 2
4
1 c
a
1
2 b
d 3
e 2
4
1 c
2
d
15. Grafos árbol
Un nodo es la unidad sobre la que se construye el árbol y puede
tener cero o más nodos hijos conectados a él. Se dice que un
nodo a es padre de un nodo b si existe un enlace desde a hasta b
(en ese caso, también decimos que b es hijo de a). Sólo puede
haber un único nodo sin padres, que llamaremos raíz. Un nodo
que no tiene hijos se conoce como hoja. Los demás nodos (tienen
padre y uno o varios hijos) se les conoce como rama.
16. Relación en Di-grafos o Grafos dirigidos
Una relación R de un grafo es el subconjunto de elementos que
pertenezcan al grafo,
es decir los elementos del conjunto A están relacionados con A.
La forma de representar una relación de un di-grafo y en la
siguiente:
Matriz de Relación: se representa
MR = [mij}, mij = 1 Si (ai, aj) R
0 Si (ai, aj) R
Ejemplo:
Sea A = { 1, 2, 3, 4}, y R =
{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,4), (4,1)}
Genera la matriz de relación y el grafo dirigido
17. Serie de ejercicios:
1.- del libro Matemáticas discretas , Kolma hacer:
Página 116, del 19 al 22
2.- del libro Matemáticas discretas , Johnsonbaugh
Página 116, del 1 al 3 y el 7
18. Matriz de adyacencia
Es una matriz cuadrada en la cual los nodos del grafo se indican
como renglones y como columnas. El orden de los nodos es el mismo
que guardan los renglones y las columnas de la matriz. Se coloca 1
como elemento de la matriz cuando existe una relación entre uno y
otro vértice, o bien un 0 cuando no exista relación alguna. En una
matriz de adyacencia no es posible representar lados paralelos.
20. Matriz de incidencia
En esta matriz se colocan los nodos del grafo como renglones y
las aristas como columnas. En esta matriz si es posible representar
lados paralelos. Al sumar los elementos de cada una de los
renglones se obtiene la valencia de los nodos, al sumar las
columnas es posible distinguir cuando se trata de un lazo ya que
su suma es 1.
21. Serie de ejercicios:
1.- del libro Matemáticas discretas , Johnsonbaugh
Página 348, del 1, 3, 5 y el 7, 9, 14, 22 gpo A
Página 355 1, 4, 9
Página 348 el 2, 4, 6 y el 8, 13, 16, 26 gpo B
Página 355 el 3, 8, 10
22. Aplicaciones
Gracias a la teoría de grafos se pueden resolver
diversos problemas como por ejemplo la síntesis de
circuitos secuenciales, contadores o sistemas de
apertura.
Los grafos se utilizan también para modelar trayectos
como el de una línea de autobús a través de las calles
de una ciudad, en el que podemos obtener caminos
óptimos para el trayecto aplicando diversos algoritmos
como puede ser el algoritmo de Floyd.
