Campos

BLOQUE 1 CAMPOS

1-LEYES DE NEWTON Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
2-TRABAJO Y ENERGIA. FUERZAS CONSERVATIVAS
3-MOMENTO ANGULAR O CINÉTICO. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO
ANGULAR.
4-FUERZA GRAVITATORIA Y ELECTROSTÁTICA.
A) EVOLUCIÓN HISTÓRICA. TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN
UNIVERSAL.
B) FUERZA ELECTROSTÁTICA. LEY DE COULOMB.
5-NOCIÓN DE CAMPO. INTENSIDAD.
6-TRABAJO Y ENERGÍA GRAVITATORIA Y ELECTROSTÁTICA
7-POTENCIAL GRAVITATORIO Y ELECTROSTÁTICO.
8-TEOREMA DE GAUSS
9-ORIGEN DEL FENÓMENO MAGNÉTICO. DESCRIPCIÓN DEL CAMPO
MAGNÉTICO
10-FUERZA QUE EJERCE EL CAMPO MAGNÉTICO SOBRE CARGAS EN
MOVIMIENTO
11-GENERACIÓN DE CAMPOS MAGNÉTICOS A PARTIR DE CORRIENTES
ELÉCTRICAS
12-FUERZA ENTRE CORRIENTES PARALELAS. DEFINICIÓN DE AMPERIO
13-INDUCCIÓN MAGNÉTICA. LEY DE FARADAY Y LENZ
14-GENERACIÓN DE CORRIENTE ALTERNA. ALTERNADORES Y
TRANSFORMADORES.

1-LEYES DE NEWTON Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

La DINÁMICA es la parte de la mecánica que estudia las causas que originan el
movimiento de los cuerpos, estas causas que producen movimiento son las FUERZAS.
FUERZA es toda causa capaz de alterar el estado de reposo o de
movimiento de los cuerpos o producir deformación. Se miden en
NEWTONS ( N )

Por su forma de actuar las fuerzas se clasifican en.
-FUERZAS DE CONTACTO: son aquellas que se ejercen sólo cuando el cuerpo que
ejecuta la fuerza está en contacto con el que la recibe. Por ejemplo cuando empujamos
un objeto o la fuerza de rozamiento.

-FUERZAS DE ACCIÓN A DISTANCIA: actúan sin estar en contacto con el cuerpo
que las recibe. Por ejemplo la fuerza de atracción gravitatoria que origina el peso de
los cuerpos y las atracciones y repulsiones entre cargas eléctricas y magnéticas.

Según el intervalo de tiempo en que actúan las fuerzas se clasifican en:

INSTANTÁNEAS: si actúan en un intervalo de tiempo tan corto que resultan muy
difíciles de medir, son fuerzas que inician movimientos pero enseguida dejan de
actuar, es el caso de cuando lanzamos un cuerpo. No se tienen en cuenta al considerar
las fuerzas que actúan sobre el cuerpo durante su movimiento ya que no actúan
durante el mismo sino solamente al inicio.

CONTÍNUAS: actúan durante el movimiento del cuerpo, producen movimientos
acelerados si van a favor del movimiento del cuerpo y decelerados si van en contra.

La dinámica se fundamenta en tres principios que formulados básicamente por Galileo
fueron completados y corregidos por Newton (1642-1727) en su célebre libro
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, probablemente el libro más famoso de
la historia de la física.. Estos tres Principios de la dinámica no se demuestran, se
admiten como verdaderos porque las consecuencias que de ellos se derivan están de
acuerdo con los hechos observados en la naturaleza.

Sin embargo estos principios sólo son válidos para cuerpos que se mueven a
velocidades inferiores a la luz y vistos desde sistemas de referencia inerciales (es
decir desde sistemas de referencia en reposo o con movimiento uniforme).

Si realizamos las medidas desde un sistema de referencia que posee aceleración, las
leyes de Newton aparentemente no se cumplen pero esto se corrige fácilmente y se
puede evitar cambiando de sistema de referencia.
Vamos a ver las tres leyes de Newton en que se basa toda la mecánica clásica:

PRIMER PRINCIPIO O PRINCIPIO DE INERCIA: si sobre un cuerpo no actúa ninguna
fuerza o la resultante de las fuerzas que actúan es cero, el cuerpo permanece
indefinidamente en su estado de reposo, si estaba en reposo o de movimiento rectilíneo
y uniforme si se estaba moviendo

Si no hay fuerzas no hay aceleración por lo que la velocidad que lleva el cuerpo se
mantiene constante.
La primera parte del principio resulta evidente, si el cuerpo está parado y no actúan
fuerzas sigue parado, la segunda parte es más difícil de comprobar porque sabemos
que si lanzamos un cuerpo sobre una superficie acaba por pararse, pero si no existiera
rozamiento el cuerpo no estaría sometido a ninguna fuerza y se movería
indefinidamente con movimiento uniforme.

Si todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en movimiento se igualan entre si y se
anulan el cuerpo queda con movimiento uniforme, con velocidad constante, la que tenía
en el momento que se igualaron.

Este Principio se llama Principio de Inercia porque indica la resistencia de un cuerpo a
ponerse en movimiento a partir del reposo o a cambiar su velocidad. SE LLAMA
INERCIA A LA TENDENCIA QUE TIENEN LOS CUERPOS A CONSERVAR SU
ESTADO DE MOVIMIENTO O REPOSO.

Hay que diferenciar entre:
EQUILIBRIO: se dice que un cuerpo está en equilibrio cuando su
aceleración con respecto al sistema de referencia es nula, esto sucede
cuando la resultante de las fuerzas que actúan es cero.

REPOSO: se dice que un cuerpo está en reposo cuando su velocidad
respecto al sistema de referencia es nula, no se mueve.

SEGUNDO PRINCIPIO O LEY FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA DE
TRASLACIÓN cuando un cuerpo se somete sucesivamente a varias fuerzas
adquiere aceleraciones proporcionales a dichas fuerzas de su misma
dirección y sentido
r r
∑F = m.a la fuerza que aparece en la ecuación es la resultante de las
fuerzas que actúan en el movimiento

La constante de proporcionalidad entre la fuerza que actúa y las aceleraciones que
origina es la masa que mide la resistencia que cada cuerpo opone al movimiento. a
mayor masa menor aceleración si la fuerza es la misma, cuanto mayor es la masa de un
cuerpo más cuesta moverlo
F1 F2 F3
= = =m
a1 a2 a3
Un cuerpo sometido a la acción de una fuerza constante adquiere un movimiento
uniformemente acelerado cuya aceleración es constante en módulo y tiene la
misma dirección y sentido que la fuerza aplicada.
Es evidente que puesto que la aceleración es una magnitud vectorial la fuerza también
lo es, así que las fuerzas se pueden descomponer, sumar vectorialmente etc...

Unidades de fuerza :
en el Sistema Internacional de unidades es NEWTON (N) N =Kg .m /s2
en el Sistema Técnico la unidad es el KILOPONDIO (Kp) es la fuerza con
que la Tierra atrae a una masa de 1 Kg (es decir el peso correspondiente
a una masa de 1 Kg) P= m. g = 1. 9,8= 9,8 N luego 1Kp=9,8N

TERCER PRINCIPIO O LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN : cuando un cuerpo
ejerce sobre otro una fuerza (acción) el segundo ejerce sobre el primero
otra fuerza igual y en sentido contrario (reacción)

Las fuerzas por tanto nunca aparecen solas sino por parejas. Siempre que se hace una
fuerza existe la correspondiente reacción del material sobre el que se ejerce dicha
fuerza.
Lo que se llama fuerza normal es la reacción de una superficie al apoyo de un cuerpo o
a cualquier otra fuerza que presione contra ella.

Para que exista normal debe haber alguna fuerza presionando la superficie, de lo
contrario no hay reacción. Por la ley de acción y reacción la normal es igual a la fuerza
de apoyo.
reacción
r
reacción acción fuerza normal ( N )

r
acción peso ( P )

Las fuerzas de acción y reacción se aplican sobre cuerpos distintos y
las ejercen cuerpos distintos entre sí, no sólo no impiden el movimiento
sino que gracias a ellas el movimiento es posible.

Bastante después de publicar Newton sus Leyes se introdujo el concepto de cantidad
de movimiento o momento lineal que perfeccionó notablemente estas leyes. Vamos a
ver en que consiste este nuevo concepto.

El momento lineal o cantidad de movimiento de una partícula se define
cómo el producto de su masa por su velocidad. Designándolo por p
r r
tenemos: p = m.v se mide en Kg.m/s

El momento lineal de una partícula es una cantidad vectorial, y tiene la misma dirección
que la velocidad. Es un concepto físico de mucha importancia porque combina los dos
elementos que caracterizan el estado dinámico de una partícula: su masa y su
velocidad.
Cuánto mayor es la cantidad de movimiento de un objeto más difícil es variar la
velocidad del cuerpo, dicho de otro modo, mayor es su inercia. Le cuesta más arrancar
y le cuesta más frenar.
¿Qué hace variar la cantidad de movimiento de un cuerpo? Para ver como varía esta
magnitud en cada instante debemos derivarla:
r r r
dp dm.v dv r r
= = m. = m.a = F
dt dt dt
La segunda ley de Newton en función de la cantidad de movimiento
queda:
r dpr
F=
dt
En esta versión, la segunda ley de Newton establece que la fuerza coincide con la
rapidez con la que varía la cantidad de movimiento p de un cuerpo.

La ventaja que presenta esta nueva formulación de la ecuación fundamental de la
dinámica es su mayor rango de validez ya que así escrita se puede aplicar con todo
rigor más allá de los límites de la mecánica newtoniana.
También tiene la ventaja de recordarnos que las fuerzas son una forma de describir
matemáticamente las interacciones entre los cuerpos, que suponen un intercambio de
cantidad de movimiento entre cuerpos.

Si aplicamos este concepto a la primera y segunda ley tenemos:

Principio de conservación de la cantidad de movimiento: si sobre un cuerpo
no actúa ninguna fuerza o la resultante de las fuerzas que actúan es cero la
cantidad de movimiento permanece constante. En un sistema de varios
cuerpos que interactúan entre sí, la cantidad de movimiento total se
mantiene constante si no actúan fuerzas externas al sistema, se produce un
intercambio de cantidad de movimiento entre ellos pero el valor total no
varía.

Teniendo en cuenta este principio se pueden resolver situaciones donde actúan
fuerzas instantáneas que no se podrían resolver con las leyes de Newton, es decir
aplicando fuerzas. Por ejemplo choques y explosiones

Ejemplo1 : Retroceso de armas de fuego : Calcula la velocidad de retroceso de un
cañón de 2 Tm al disparar un proyectil de 2 Kg con una velocidad de 600 m/s

Ejemplo2: Choque inelástico: un proyectil de 10 g con una velocidad de 200m/s choca
contra un bloque de madera de 2 Kg y se incrusta en él, calcula la velocidad del
conjunto después del choque.

Ejemplo 3: Propulsión a chorro: un cohete de 2 Tm avanza gracias a la expulsión de
gases ¿qué velocidad lleva cuando ha expulsado 10Kg de gases con una velocidad de
300m/s

Ejemplo 4: explosiones. Al dinamitar una roca se divide en tres fragnentos que salen
despedidos, dos de ellos de 10 y 20 g salen perpendiculares entre sí con velocidades
de 15 y 10 m/s respectivamente, el tercer trozo sale despedido con una velocidad de
50m/s, indicar la masa del tercer trozo y la dirección en que sale despedido.

2-TRABAJO Y ENERGÍA. FUERZAS CONSERVATIVAS.

a)TRABAJO:
En el lenguaje ordinario, al emplear el término trabajo nos referimos a todo aquello
que supone un esfuerzo ya sea físico o mental y que, por tanto, produce cansancio.

Sin embargo, el concepto científico de trabajo es mucho más preciso e implica la
existencia de una fuerza y de un desplazamiento.

Desde el punto de vista histórico esta definición tiene su origen en la revolución
industrial, en cuyo contexto la eficacia de una máquina podría medirse como el
producto del peso que la máquina era capaz de levantar por la altura a la cual lo
desplazaba.
Podemos distinguir:
• Trabajo de una fuerza constante
Sea F una fuerza constante (en módulo, dirección y sentido) que desplaza un objeto.
Se define el trabajo W de dicha fuerza como el producto escalar de los vectores
fuerza y desplazamiento: r
rr
W = F .r = F .r. cosα
F
r
α r
donde α es el ángulo formado por la fuerza y el desplazamiento.

Es ésta una definición operacional del trabajo, pues indica qué operación es necesario
efectuar para calcularlo; de acuerdo con ella, para que se realice trabajo en el sentido
físico del término no sólo debe existir una fuerza que actúe sobre un cuerpo, sino que
además debe producirse un desplazamiento. Así, un hombre empujando un muro rígido
sin conseguir desplazarlo, a pesar de cansarse, no realizaría trabajo físico alguno

Cuándo α = 90º, cuándo la fuerza es perpendicular al desplazamiento no se produce
rr r
trabajo. W = F .r = F .r. cos 90º = 0 F
r
r

En el S.I. la unidad de trabajo es el Julio, que se define como el trabajo
efectuado por una fuerza de 1N que logra un desplazamiento de 1 m.

Trabajo de una Fuerza Variable
La anterior definición puede generalizarse al caso de que la fuerza varíe de un punto a
otro a lo largo del desplazamiento. En este caso consideraremos desplazamientos
diferenciales, tan pequeños que en cada uno de ellos podamos considerar la fuerza
como constante, de esta forma el trabajo realizado en cada uno de estos
desplazamientos se calcula como el sumatorio de cada desplazamiento diferencial:
r r
W = ∫ F .dr
• El Trabajo como área
Si representamos F frente a r se obtiene una curva. El área bajo dicha curva
corresponde al trabajo realizado. Este es por tanto un camino para calcular el
trabajo siempre que la gráfica obtenida sea sencilla.

r r r r
Ejemplo 1: Sobre un cuerpo actúa una fuerza F = 3i + 2 j − k N que origina un
r r r
desplazamiento r = 4 j + 3k m calcula el trabajo que realiza.

Ejemplo 2: Sobre un cuerpo actúa una fuerza de módulo F= 4x N desplazando un
cuerpo por el eje x desde el origen hasta 3 m. Calcula el trabajo realizado
gráficamente y mediante el área de la gráfica fuerza/desplazamiento.

b) POTENCIA
Cuándo se va a comprar una máquina para desarrollar un determinado trabajo, en la
mayoría de los casos no nos importa la cantidad total de trabajo que esta puede
realizar sino la rapidez con que lo hace.

W
La Potencia mide la rapidez con que se realiza un trabajo P= se mide en J/s= vatios (w)
t
El caballo de vapor es una unidad de potencia, que aunque no pertenece al S.I. sigue siendo
muy usada. 1CV = 735 w.

rr
W F .r rr
La potencia puede expresarse en función de la velocidad P= = = F .v
t t

¿De qué magnitud será unidad el Kilovatio hora, Kw.h? de trabajo, se observa
despejado de la fórmula

c)CONCEPTO DE ENERGIA; ENERGIA MECANICA Y SU RELACION CON EL
TRABAJO

El concepto de energía es una de las nociones fundamentales de la física y, a la vez,
una de las más misteriosas.Los físicos no saben muy bién lo que es la energía en el
sentido de conocer su constitución, no saben por qué está formada o cuál es su
auténtica naturaleza.

La Energía es un concepto abstracto, pero se le puede describir ya que presenta
una serie de rasgos básicos :

1º Siempre está relacionada con procesos de transformación. La Naturaleza
siempre está cambiando: cambios de posición, de velocidad, de estado físico ....Todo
cambio va acompañado de algo, que nosotros llamamos energía.

La Energía es una propiedad de los cuerpos que permite que estos se transformen o que
produzcan transformaciones en otros cuerpos.
La energía es la capacidad de realizar trabajo.

Así, damos distintos nombres a la energía dependiendo de la transformación a la que
está asociada. Por ejemplo:
-Energía Química : Relacionada con la transformación en la naturaleza de la materia.
-Energía Térmica: Relacionada con los fenómenos caloríficos.
-Energía Nuclear: Relacionada con los cambios en los núcleos de los átomos.

2º En un sistema aislado siempre se conserva; es decir, la energía que existe en
el universo es siempre la misma.
Esto constituye lo que se denomina Principio de Conservación de la Energía .Los
cambios que sufren los sistemas materiales llevan asociados, precisamente,
transformaciones de una forma de energía en otra.
Pero en todas estas transformaciones la energía se conserva, es decir, ni se crea ni
se destruye en el proceso de transformación.

La energía ni se crea ni se destruye sólo se transforma

3º Su caracter degradable; no se conserva su calidad.
La experiencia demuestra que conforme la energía va siendo utilizada para
promover cambios en el materia va perdiendo capacidad para ser empleada
nuevamente. El principio de conservación de la energía hace referencia a la cantidad,
pero no a la calidad de la energía, la cual está relacionada con la posibilidad de ser
utilizada. Así, una cantidad de energía concentrada en un cuerpo es de mayor calidad
que otra cantidad de energía igual pero que este dispersa.
La energía térmica está asociada con el movimiento de agitación de las moléculas, es
decir es una energía muy dispersa, y debido a ello su calidad es inferior a la de otras
( es imposible transformarla por completo en trabajo).
Todas las transformaciones energéticas asociadas a los cambios en los cuerpos
terminan antes o después en energía térmica. Este proceso de pérdida progresiva de
calidad se conoce como degradación de la energía.

La Energía Mecánica
De todas las transformaciones que sufre la materia, las que interesan a la mecánica
son las asociadas a la posición y/o a la velocidad. Ambas magnitudes definen, en el
marco de la dinámica de Newton, el estado mecánico de un cuerpo, de modo que
este puede variar porque cambie su posición, porque cambie su velocidad o porque
cambien ambos. La forma de energía asociada a los cambios del estado mecánico
de un cuerpo o de una partícula material recibe el nombre de energía mecánica.

Esta se divide en:
- Energía Potencial
La forma de energía asociada a los cambios de posición o de configuración recibe el
nombre de energía potencial.
El estado mecánico de una piedra que subimos hasta una determinada altura no es el
mismo que cuándo estaba en el suelo, ha cambiado su posición. Cuándo estiramos un
muelle, las distancias entre las espiras aumentan, ha cambiado su configuración. Si se
les deja en libertad tanto la piedra cómo el muelle pueden mover a otros cuerpos, es
decir, han adquirido en el proceso ( subir, estirarse ) cierta cantidad de energía. La
energía potencial de un cuerpo a cierta altura es Ep=m.g.h
- Energía Cinética
La forma de energía asociada a los cambios de velocidad recibe el nombre de Energía
Cinética. Un cuerpo en movimiento es capaz de producir movimiento, es decir, de
cambiar la velocidad de otros. La Energía Cinética, es por tanto, la energía mecánica
1 2
que posee un cuerpo en virtud de su movimiento o de su velocidad. Ec = mv
2

La energía potencial es la energía que adquiere un sistema cuando ocupa diferentes
POSICIONES respecto a su posición de equilibrio y energía cinética es la energía que
adquiere un cuerpo al moverse, por el hecho de llevar cierta VELOCIDAD. Se llama
energía mecánica de un cuerpo a la suma de su energía cinética y potencial E= Ec+Ep

Las nociones de trabajo y energía guardan entre sí una gran relación, hasta el punto
que, con frecuencia, se define la energía como la capacidad para producir trabajo. No
obstante, como ya se ha visto, el concepto de energía es más general que el de trabajo

El trabajo es una medida de la energía mecánica transferida de un cuerpo a otro por la
el tra
acc acción de una fuerza que produce un desplazamiento.

Si realizamos trabajo sobre un cuerpo variamos su energía y esa variación de energía
es igual al trabajo realizado:
W = ∆E = Efinal - Einicial Esta relación hace que trabajo y energía se midan en las
mismas unidades; Julio en el S.I.
Vamos a razonar cómo será el signo del trabajo realizado por un agente exterior
sobre el sistema:
-Si sobre un cuerpo se ejerce una fuerza, de forma que aumenta la Energía de este,
se dice que es una fuerza motora y el trabajo mueve al cuerpo luego es un trabajo
motor. Cómo: Efinal> Einicial entonces W = ∆E > 0 es decir, el trabajo es positivo.
- Si la fuerza aplicada sobre el cuerpo hace que este disminuya su Energía, se dice que
la fuerza es resistente y el trabajo es resistente.
Cómo :Efinal < Einicial entonces W = ∆EM < 0 es decir, el trabajo es negativo.

Si realizamos trabajo sobre un objeto cambiamos su velocidad y por tanto su energía
cinética, el aumento o disminución de energía cinética es exactamente igual al trabajo
realizado.

TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS: el trabajo realizado por una fuerza para
trasladar una partícula a lo largo de una trayectoria entre dos puntos es igual a la
variación de la energía cinética de la partícula entre esos dos puntos. ∆
W=∆Ec

Es importante darse cuenta que la variación de energía cinética sólo depende de la
velocidad inicial y final y no es necesario conocer el camino seguido, lo que nos
permite, en caso de conocerlas, hallar el trabajo sin realizar la integral.

Ejemplo: Efectuamos un disparo contra una pared que ofrece una resistencia
constante de 500 Kp, la bala tiene una masa de 30 g y llega a la pared con una
velocidad de 600m/s saliendo de ella con 400m/s calcula el espesor de la pared.

d)FUERZAS CONSERVATIVAS:

-Una fuerza es conservativa cuando su trabajo no depende del camino sino únicamente
de las posiciones inicial y final .Por lo tanto el trabajo que realiza en un camino cerrado
es cero.
-Desde el punto de vista físico la fuerzas conservativas son realmente fuerzas
conservadoras, fuerzas que conservan la energía mecánica total. Cuándo sobre un
cuerpo actúan fuerzas conservativas la energía mecánica total, suma de energía
cinética y de energía potencial, se mantiene constante durante el movimiento.
-No es posible hablar de Energía Potencial si la fuerza que actúa no es conservativa.
-A toda fuerza conservativa se le puede asignar una función escalar denominada
∆
energía potencial de modo que : W = -∆Ep =Epinicial – Epfinal
-Si se realiza un trabajo contra una fuerza conservativa dicha fuerza devuelve
íntegramente el trabajo realizado cuándo se la deja actuar libremente.
-Son fuerzas que tienden a llevar al cuerpo hacia su posición de equilibrio.

Ejemplos de Fuerzas Conservativas
a) Fuerzas Constantes
Puede demostrarse que, en general, cualquier fuerza constante en módulo y dirección
es conservativa. Nosotros elegiremos, por su interés, el caso de la fuerza peso, que en
las proximidades de la superficie terrestre puede considerarse constante. La prueba
consistirá en este y en otros casos, en calcular el trabajo y comprobar que no
depende del camino.

Una partícula de masa m se desplaza desde una altura hA a una altura hB. ¿Qué trabajo
realiza el peso? W=mghB-mgha como le hace caer la altura final es menor que la
inicial, el trabajo que hace el peso disminuye la energía potencial ya que lleva al
equilibrio, por eso el trabajo que hace el peso que es una fuerza conservativa es menos
la variación de la energía potencial.

b) Las Fuerzas Centrales
Las fuerzas centrales son aquellas cuya dirección en un punto coincide con la del
vector de posición en dicho punto. Es decir que sus direcciones se cruzan siempre en
un punto. Existen tres ejemplos de fuerzas centrales que son de gran interés: La
fuerza gravitatoria, las fuerza electrostática y la fuerza elástica.

Toda fuerza central es conservativa aunque el recíproco no sea cierto, pues no toda
fuerza conservativa es central.

SOLO SE PUEDE DEFINIR ENERGÍA POTENCIAL EN UN PUNTO PARA EL
TRABAJO QUE REALIZA UNA FUERZA CONSERVATIVA.
Si realizamos un trabajo en contra de una fuerza conservativa para desplazar un
cuerpo de su posición de equilibrio este trabajo no se pierde sino que se acumula en el
cuerpo (energía potencial) de forma que el cuerpo, debido a la posición que ocupa,
posee una cierta energía que se transforma totalmente en el trabajo empleado para
situarla en esa posición si se deja el cuerpo en libertad.
Se dice que una fuerza es conservativa si su dependencia de la posición en el espacio
es tal que el trabajo puede ser expresado como diferencia de valores de una cantidad
llamada energía potencial dependiendo de las posiciones inicial y final y que depende
de las posiciones que ocupa el cuerpo.

Cuando la fuerza que actúa sobre una partícula es conservativa, se pueden combinar
las ecuaciones : W = Ecfinal – Ecinicial W = Epinicial – Epfinal
Lo que nos da igualando : Ecfinal – Ecinicial = Epinicial – Epfinal o sea :
Ecinicial + Epinicial = Ecfinal + Epfinal luego la energía mecánica se conserva, es la misma al
principio que al final del movimiento.

Cuando las fuerzas son conservativas la energía mecánica EM de la partícula
permanece constante. E = Ec + Ep = constante

Un aumento de la energía cinética Ec de la partícula llevará consigo una disminución
equivalente en su energía potencial Ep o viceversa, para que la suma de ambos términos
permanezca constante. En otras palabras la energía mecánica de la partícula se
conserva. Esta es la razón por la que decimos que cuando se puede definir una energía
potencial las fuerzas son conservativas.

Ejemplo: Dejo caer un balón desde una altura de 200 m. La masa del balón es de 0,5
Kg completa este cuadro:
h (m) Ep (J) Ec (J) E (J) V (m/s)

200
150
100
50
0

Supongamos que algunas de las fuerzas que actúan sobre un sistema no son
conservativas.
En un sistema sobre el que actúan fuerzas no conservativas la energía mecánica del
sistema no se conserva; la variación de energía experimentada es igual al trabajo
de las fuerzas no conservativas.
Dentro de las fuerzas no conservativas cabe destacar una clase especial de
fuerzas, las fuerzas disipativas. Son fuerzas que cuando actúan sobre un sistema
disipan cierta cantidad de energía mecánica, la cual, al menos como tal, desaparece
del mismo.
La típica fuerza disipativa es el rozamiento. El trabajo de esta fuerza tiene
ciertas características:
- Depende del recorrido
- Es siempre un trabajo negativo
- Es un trabajo no recuperable.
¿Donde va a parar esta energía disipada? Se trasforma en otro tipo de energía, la
energía calorífica.

Ejemplo: lanzo un cuerpo por un plano inclinado 30º con una velocidad de 20m/s si
µ=0,1 ¿cuál es la altura máxima que alcanza en el plano?

3-MOMENTO ANGULAR (también llamado momento cinético).
CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR.

Para estudiar el movimiento de un cuerpo es importante conocer la relación entre la
resistencia que dicho cuerpo opone al movimiento (es decir su masa) y la velocidad que
lleva, la magnitud que relaciona ambas cosas, como ya sabemos, se llama CANTIDAD
DE MOVIMIENTO. Siempre que se realiza una fuerza sobre un cuerpo se origina una
aceleración proporcional a dicha fuerza y por lo tanto un cambio de velocidad o lo que
es lo mismo un cambio de cantidad de movimiento.

Pero si la fuerza que actúa es, en todo momento, perpendicular a la trayectoria del
cuerpo ocasiona un cambio en la dirección de la velocidad, no en su módulo, por lo que
logra curvar la trayectoria y produce una ACELERACIÓN NORMAL.
Si dicha fuerza se caracteriza por ir siempre dirigida a un mismo punto se llama
FUERZA CENTRAL y hace que la trayectoria del cuerpo sea circular (que siga un
movimiento circular uniforme). Lo cierto es que, bajo estas condiciones, la trayectoria
va a ser una trayectoria cerrada y curva, pero podría resultar circular o con una mayor
excentricidad, es decir, elíptica.
r r
ΣF = m.a en módulo ΣF = m .a al girar la aceleración
es normal o centrípeta :
aN = v2
R
Luego tenemos una fuerza normal o centrípeta:
F = m.v2
R

Para definir un movimiento curvo no basta con saber la masa del cuerpo que se mueve
y su velocidad, es importante también saber el RADIO DE CURVATURA de su
trayectoria.
Así, lo que en trayectorias rectilíneas resultaba muy útil, la CANTIDAD DE
MOVIMIENTO O MOMENTO LINEAL: P= m.v , debe modificarse si la trayectoria es
curva para dar lugar a una nueva magnitud llamada MOMENTO ANGULAR O
CINÉTICO (se representa por la letra L).

EL MOMENTO ANGULAR ES EL MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO,
ES DECIR, EL PRODUCTO VECTORIAL DEL VECTOR DE POSICIÓN RESPECTO AL
CENTRO DE GIRO (RADIO DE GIRO) POR LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

r
r (vector de posición)
r = radio de giro r r r
L = r xm.v (Kg.m2/s)

r m (masa del cuerpo)
r
r r
r p = m.v (Kg.m/s)
v (velocidad)

r
L (Momento angular)

L=r.m.v.senα donde α es el ángulo entre el vector de
r r posición r y la velocidad v.
L r
i j k
L= x y z P (cantidad de movimiento)= m.v
Px Py Pz

r
v

Al ser resultado de un producto vectorial es un vector axial (perpendicular) que
define el giro (queda hacia abajo si el giro es según las agujas del reloj y hacia
arriba si es en contra).

Sentido de las agujas del reloj Sentido contrario a las agujas del reloj

Normalmente se define el momento de un vector cualquiera respecto a un punto como
el producto vectorial del vector de posición de ese vector respecto a ese punto por el
vector.
r
r a
r
r r r
O
i j k
M = r xa
M= x y z en módulo M = r. a. Senα siendo α el ángulo entre r y a
ax ay az

En física esto se suele utilizar para medir efectos que se producen a cierta distancia
del punto de apoyo y que originan giros. Por ejemplo se emplea mucho al tratar con
fuerzas que hacen girar a un cuerpo y se obtiene lo que se llama MOMENTO DE UNA
FUERZA. r r r
M = r xF M
En este caso el ángulo entre r y
F es de 180 º como sen 180º = 0
M En módulo M= r.F.senα M= r. F.sen 180º =0

F
F
r
O r F
O r
α

Por lo tanto el momento angular es un vector y sus unidades son Kg.m2/s

r r r
L = r xm.v en módulo L= r. m. v. Sen α donde α es el ángulo entre r y v.
-Si el ángulo es de 0º o de 180º (es decir si r y v van en la misma dirección)
sen0º=sen180º = 0 y L =0
-Si el ángulo entre r y v es de 90º o 270º (son perpendiculares) sen 90º=1 y sen 270º=
-1 en módulo L= r. m. v ya que el signo indicaría el sentido.
No existe momento angular cuando el vector de posición que une la partícula en
movimiento con el punto respecto al cual se calcula el momento angular y la velocidad
de la partícula son vectores paralelos (por ejemplo en un movimiento rectilíneo) pero si
son perpendiculares entre sí el valor del momento angular es máximo (lo que ocurre en
trayectorias circulares midiendo el momento angular respecto al centro de giro).

V r v

r

L= r. m. v. Sen 90º L= r. m. v. Sen 0º =0

Ejemplo1: Un cuerpo de 2 Kg gira respecto al punto (0,1) y en un determinado instante
se encuentra en el punto (2,3) con una velocidad V=2i+4j m/s determina su momento
angular respecto a dicho punto en ese instante.

Ejemplo2:El vector de posición de una partícula de 2 kg es r= 2cos2t i + 3sen2t j (m)
calcula su momento angular respecto al origen cuando t=π/2 s ¿sigue un movimiento
circular?.

Para conocer esta nueva magnitud mejor vamos a ver como varía con respecto al
tiempo suponiendo constante la masa de la partícula que se mueve.

d = d( x m. ) = d X m. + x m. d
dt dt dt dt el ángulo entre v y v (el mismo vector) es 0º
luego x m. =v.m.v sen0º=0

d = x m. = x = momento de las fuerzas que actúan.
dt
Como valor instantáneo: Σ = d
dt

Como valor medio: Σ = ∆
∆t

LA VARIACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA CON EL TIEMPO ES
IGUAL AL MOMENTO DE LA RESULTANTE DE LAS FUERZAS APLICADAS SOBRE LA
PARTÍCULA RESPECTO AL PUNTO SOBRE EL QUE SE CALCULÓ DICHO MOMENTO
ANGULAR

Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo en la dirección de su movimiento origina una
aceleración proporcional (tangencial) y el movimiento es rectilíneo, cambia el módulo de la
velocidad y por tanto cambia la cantidad de movimiento (momento lineal) pero si la fuerza que
actúa forma un cierto ángulo con la trayectoria del movimiento origina una curvatura en la
trayectoria que no sólo cambia el módulo de la velocidad sino también su dirección (genera
aceleración tangencial y normal) por lo que no sólo se habla de cambio de momento lineal sino
de cambio de una magnitud que engloba los dos efectos y es el momento angular. Cuando hay
giros siempre existe un radio de curvatura y un centro de curvatura respecto al cual
definimos la fuerza como momento de la fuerza y el resultado del mismo es un cambio del
momento angular.

Magnitud lineal Magnitud angular
Espacio S Ángulo φ
Velocidad v Velocidad angular ω
Aceleración tangencial aT Aceleración angular α
Fuerza F Momento de la fuerza M
Momento lineal o cantidad Momento angular o
de movimiento P momento cinético L

La comparación es fácil de establecer, es al fin y al cabo una vez más la eterna
relación entre magnitudes angulares y lineales. De manera que igual que establecimos
el principio de conservación del momento lineal se puede establecer el principio de
conservación del momento angular.

Principio de conservación del momento angular

SI SOBRE UNA PARTÍCULA NO ACTUA NINGUN MOMENTO DE FUERZAS O LA
RESULTANTE DE LOS MOMENTOS DE FUERZAS QUE ACTUAN ES CERO, EL
MOMENTO ANGULAR PERMANECE CONSTANTE.

Ejemplo: Un tiovivo de 50 Kg gira con una velocidad de 20 rad/s y su radio es de 1,5 m,
en el borde se posa un pájaro de 1 Kg .¿con qué velocidad gira ahora?.

Es interesante observar qué condiciones se tienen que dar para que el momento de las
fuerzas aplicadas sea cero, porque de eso depende que el momento angular sea
constante o no.

=d
dt r
Ángulo entre y de 180º y sen 180º=0
M=r. F. Sen180º = 0 F
v

M=0 luego dL =0 momento angular constante
dt

EL MOMENTO DE LAS FUERZAS CENTRALES ES SIEMPRE CERO PORQUE SE
APLICAN JUSTO SOBRE EL VECTOR DE POSICIÓN Y SE DIRIGEN HACIA UN
MISMO PUNTO CENTRAL, LUEGO TODA PARTÍCULA SOMETIDA A UNA FUERZA
CENTRAL TIENE MOMENTO ANGULAR CONSTANTE Y SIGUE UNA
TRAYECTORIA PLANA.

¿Por qué una trayectoria plana?. La respuesta podría ser porque se ha observado que
es así, por ejemplo con la fuerza gravitatoria, viendo como giran los planetas en torno
al Sol o la Luna en torno a la Tierra, pero hay una respuesta más rápida: puesto que el
momento angular es constante ¿podrían las trayectorias no ser planas?. Al decir que
una magnitud vectorial es constante decimos que lo es, no sólo en módulo, sino también
en dirección y sentido, luego la trayectoria debe ser plana.

Pero podemos llegar a conclusiones más interesantes estudiando como giran cuerpos
sometidos a fuerzas centrales y sabiendo que el producto vectorial representa el área
del paralelogramo que forman los vectores que se multiplican:

Área = longitud de la base ( b ) por la altura h

sen α = h α
a senα = h
a
a x b = a. b. sen α = h. b = área del
paralelogramo formado entre a y b.

Así si un cuerpo que gira pasa de la posición 1 a la posición 2 barre un área en un cierto
tiempo, si está sometido a fuerzas centrales su momento angular permanece
constante por lo que:

∆S = área barrida al pasar de la posición 1 a la 2

En este intervalo v= ∆r como actúa una fuerza central el
∆t angular es constante
El área del paralelogramo es 2.∆S = r x ∆r (ya que el producto vectorial
∆
es el área del paralelogramo)

L= r x m. v y es constante luego si dividimos entre variación del tiempo
y multiplicamos por la masa en la igualdad anterior sale el momento angular:

∆
rxm. ∆r = m. ∆
2∆S =
∆
∆t ∆t
Como la masa es constante, el cociente de ∆S y de ∆t es
constante luego barre áreas iguales en tiempos iguales.

LEY DE LAS ÁREAS: CUANDO UN CUERPO SE MUEVE SOMETIDO A UNA
FUERZA CENTRAL, EL RADIO VECTOR QUE UNE AL CUERPO CON EL PUNTO
RESPECTO AL QUE GIRA BARRE ÁREAS IGUALES EN TIEMPOS IGUALES

Esto tiene clara aplicación cuando uno estudia el movimiento de los planetas sometidos
a fuerzas gravitatorias y da explicación física y matemática a la segunda ley de Kepler
(de la que hablaremos en el siguiente apartado) y que había sido obtenida a partir de
datos experimentales muchos años antes de que el concepto de momento angular
fuese definido y utilizado.

Según Kepler : EL RADIO VECTOR QUE UNE AL SOL CON EL PLANETA QUE
GIRA EN TORNO A ÉL BARRE ÁREAS IGUALES EN TIEMPOS IGUALES. Como
las órbitas planetarias no son circulares sino elípticas con más o menos excentricidad,
según esta ley los planetas no llevan la misma velocidad en todos los puntos de su
trayectoria, VAN MÁS RÁPIDO EN LA ZONA PRÓXIMA AL SOL Y MÁS
DESPACIO EN LA ZONA MÁS ALEJADA.
Recorre áreas iguales en tiempos iguales de modo que si las dos áreas son iguales
tardan el mismo tiempo en recorrerlas pero en el perihelio (más cerca del Sol ) recorre
más longitud por lo que va más rápido.
Al ser el momento angular constante L= r. m. v a menor r (más cerca del Sol) le
corresponde mayor v.

PERIHELIO AFELIO

4- FUERZA GRAVITATORIA Y ELECTROSTÁTICA:

A)EVOLUCIÓN HISTÓRICA. TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL.

Desde muy antiguo se intentó averiguar las leyes que regían el movimiento de planetas
y estrellas.
Los griegos en el siglo IV antes de Cristo consideraban que la Tierra era el centro del
universo y que los cuerpos se movían alrededor de ella de forma desordenada, de ahí
el nombre: planeta significa errante y errar es ir sin rumbo fijo.
La primera teoría sobre el Universo conocida se debe a Ptolomeo y sirvió durante 14
siglos a astrónomos y navegantes. Ptolomeo era astrónomo y matemático griego y
mantenía una teoría GEOCENTRISTA del universo, según la cual la Tierra es el
centro del universo y cada planeta sigue una trayectoria circular uniforme alrededor
de ella.

Copérnico astrónomo polaco del siglo XV y considerado como el fundador de la
astronomía moderna, propuso por primera vez una teoría HELIOCENTRISTA según la
cual el mundo está formado por una serie de esferas concéntricas que están alrededor
del Sol, el cual ocupa el centro del universo y los planetas (incluida la Tierra) giran a su
alrededor en trayectorias circulares y uniformes y en otra trayectoria más pequeña
y circular respecto a su propia trayectoria, estas dos trayectorias podían tener
velocidades, sentidos y radios independientes.

Entonces la Luna gira alrededor de la Tierra y la Tierra alrededor del sol y además la
Tierra gira respecto a sí misma a razón de una vuelta completa al día. Desde la Tierra
parece que los planetas siguen trayectorias irregulares, pero esto ocurre porque la
Tierra también se mueve y más rápidamente que algunos planetas, lo que hace que de
la impresión desde la Tierra de que estos planetas retroceden y se mueven de forma
irregular cuando en realidad siguen una órbita circular perfecta en torno al Sol.
La obra de Copérnico no se publicó hasta el año de su muerte y la Inquisición lo
consideró un libro prohibido por lo que sus teorías quedaron apartadas y no se
tomaron en consideración hasta mucho tiempo después.
Kepler, astrónomo alemán de finales del siglo XVI estudió a fondo el modelo de
Copérnico considerándolo correcto en su base pero erróneo en la mayoría de sus
cálculos. Realizó un arduo trabajo experimental de observación y toma de datos y
medida encontrando la forma correcta de las órbitas planetarias mediante relaciones
matemáticas. Observó, estudiando la órbita de Marte, que los planetas no siguen
órbitas circulares ni tampoco uniformes porque se mueven más rápido en la zona de su
órbita más próxima al Sol (PERIHELIO) que en la más alejada (AFELIO). Sus
descubrimientos se resumen en tres leyes de carácter puramente empírico
(experimental).

LEYES DE KEPLER:
1)Los planetas describen órbitas planas elípticas en uno de cuyos focos está el
Sol.
2)El vector de posición de cada planeta respecto al Sol barre áreas iguales en
tiempos iguales.
3)Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de la
distancia media de los planetas respecto al Sol (lo que se considera el radio de
giro) .
T2 = constante T 12= T 22
R3 R13 R23

Galileo astrónomo y físico italiano de finales del siglo XVI construyó el primer
telescopio y con él hizo importantes descubrimientos, por ejemplo descubrió cuatro
satélites que giran en torno a Júpiter, los cráteres de la Luna, las manchas del Sol
etc... y desarrolló toda una teoría sobre el universo y las leyes que rigen el movimiento
de los planetas, así como las fuerzas que actúan en estos movimientos.

Newton: en el siglo XVIII profundizando más y basándose en los trabajos de Galileo
llegó a establecer por fin lo que hoy se conoce como LEY DE GRAVITACIÓN
UNIVERSAL. Que permite no sólo estudiar cinemáticamente el movimiento de los
planetas sino también comprender las fuerzas que actúan en dicho movimiento.
El movimiento de la Luna si sobre ella no actuara ninguna fuerza debería ser recto, sin
embargo gira alrededor de la Tierra, luego debe existir una fuerza que la atraiga
continuamente hacia la Tierra originando en su movimiento una aceleración normal,
desviándola constantemente de su movimiento rectilíneo y haciéndola seguir una
trayectoria cerrada y curva.
Newton pensó que la fuerza que atraía a la Luna
sobre la Tierra debía ser la misma que hace caer
L un cuerpo abandonado libremente a una cierta
F
altura sobre la superficie de la Tierra, de tal
T v forma que la Luna en realidad está cayendo
continuamente sobre la Tierra pero a tanta
distancia de ella que no hay colisión.
Dedujo, a partir del movimiento de los planetas y
las leyes de Kepler y mediante la aplicación de sus
tres leyes de la dinámica la ecuación de define la
ley de gravitación universal

DOS CUERPOS SE ATRAEN CON UNA FUERZA DIRECTAMENTE PROPORCIONAL
AL PRODUCTO DE SUS MASAS E INVERSAMENTE PROPORCIONAL AL CUADRADO
DE LA DISTANCIA QUE LES SEPARA. (G= CONSTANTE DE GRAVITACIÓN
UNIVERSAL)

F = G . m1 . m 2
R2

Pero esta ley también se puede aplicar a un cuerpo que cae dento de la Tierra:

m

G= 6,67. 10-11 N. m2/ Kg2 (la constante de Gravitación
Universal siempre toma este valor).
P= peso, fuerza MTIERRA= 5,98.1024 Kg y R TIERRA= 6,37.106 m
de atracción que
h ejerce la Tierra y La distancia tomada desde el centro de la Tierra es RT + h pero como
hace caer a los RT >>>>h en cualquier altura dentro de la Tierra (no en el espacio
cuerpos
exterior) entonces RT + h ≅ RT

Peso= F = G. MT . m = 6,67.10-11. 5,98 .1024 .m
R T2 (6,37.106)2

Peso= 9,8. m como por la segunda ley de Newton F=m.a
P= 9,8.m = m.a luego:
a (aceleración con que caen los cuerpos o
2
aceleración de la gravedad)= g =9,8 m/s

Por lo tanto la ley de gravitación universal es aplicable tanto fuera como dentro
de la Tierra:

La gravedad es diferente en cada planeta pero como hemos observado
g= G. m del planeta
(R del planeta)2

Según esto la fuerza gravitatoria es una FUERZA CENTRAL (es decir dirigida
siempre hacia el centro de giro y paralela al vector de posición en cada punto de la
trayectoria) por lo tanto cualquier cuerpo que gire sometido a esta fuerza tendrá
momento angular constante, lo que significa que seguirá trayectorias planas y
recorrerá áreas iguales en tiempos iguales, tal y como observó Keppler.

Es una fuerza siempre atractiva por lo que vectorialmente se puede expresar:

Tomamos como origen del sistema de referencia el
centro de uno de los cuerpos (normalmente el de
más masa) .

= |
|
vector unitario en la dirección del
vector de posición.
El ángulo entre la fuerza y el vector unitario es
de 180º y sen180º=-1 luego se trata de una fuerza
negativa. LAS FUERZAS ATRACTIVAS SON
SIEMPRE NEGATIVAS.

. 1 . 2
= − .

Como es una fuerza inversamente proporcional a la distancia al cuadrado se puede
comprobar mediante consideraciones matemáticas y energéticas que las órbitas deben
ser elípticas y que esta fuerza disminuye mucho a medida que alejamos un cuerpo de
otro. Además, puesto que la constante de proporcionalidad es muy pequeña, es
necesario que al menos la masa de uno de los dos cuerpos implicados sea muy grande
para que esta fuerza sea apreciable.
La determinación de la constante de gravitación universal se realizó mediante un
ingenioso experimento llamado BALANZA DE CAVENDISH en el siglo XVIII .

Consiste en una varilla rígida que tiene sujetas
en sus extremos dos esferas pequeñas que se
suspenden por el centro de la varilla mediante
un hilo. Al colocar dos grandes esferas macizas
en sus proximidades las esferas macizas son
atraidas y el hilo de suspensión se retuerce. El
ángulo de giro se medía gracias a un espejo
unido al hilo (usando la ley de reflexión) y el
ángulo de torsión del hilo daba la medida de la
fuerza de atracción entre las bolas.

El experimento permite medir el valor de G con
exactitud.

G=6,67.10-11 N.m2/Kg2

La constante de gravitación Universal tiene un valor constante y único para todo el
Universo.
La fuerza que atrae a la Luna sobre la Tierra es la misma que hace caer a un cuerpo
libremente cuando está situado a una cierta altura sobre la superficie de la Tierra o
de cualquier otro planeta, de tal forma que en realidad la Luna está cayendo
continuamente sobre la Tierra pero a tanta distancia de ella que no hay colisión.
La Luna también atrae a la Tierra (ley de acción y reacción) con la misma fuerza que la
Tierra a la Luna, pero la Tierra no se mueve ya que su masa es mucho mayor:

F (Tierra) = F (Luna) mT. aT = mL . aL como mT >>>mL aT<<< aL aunque la fuerza
entre ambas es la misma, la Luna no es capaz de mover a la Tierra pero la Tierra si
puede mover a la Luna.

Ejemplo (de Selectividad): Se considera el movimiento elíptico de la Tierra en torno al
Sol. Cuando la Tierra está en el afelio (la posición más alejada del Sol) su distancia al
Sol es de 1,52.1011 m y su velocidad orbital es de 2,9.104 m/s. Hallar: a)El momento
angular de la Tierra respecto al Sol. b)La velocidad orbital en el perihelio (la posición
más cercana al Sol). Datos: Masa de la Tierra 5,98.1024Kg y distancia en el perihelio
1,47.1011m.

Ejemplo 2 (selectividad cuestión):compara las fuerzas de atracción gravitatoria que
ejercen la Luna y la Tierra sobre un cuerpo de masa m que se halla situado en la
superficie de la Tierra ¿a qué conclusión llegas?. Si el peso de un cuerpo en la
superficie de la Tierra es de 100Kp ¿cuál sería el peso de ese mismo cuerpo en la
superficie de la Luna?. Datos:la masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna .La
distancia entre los centros Tierra-Luna es 60 radios terrestres y el radio de la Luna
es 0,27 veces el de la Tierra.

B)FUERZA ELECTROSTÁTICA. LEY DE COULOMB.

Todos los cuerpos están formados por átomos que a su vez están formados por
protones, neutrones y electrones principalmente, los protones tienen propiedades
eléctricas opuestas a las de los electrones mientras que los neutrones no poseen
propiedades eléctricas. Se ha asignado valor positivo a las propiedades observadas en
los protones y negativo a las de los electrones. La materia normalmente es neutra
porque tiene igual número de protones y de electrones pero si por alguna causa,
rozamiento por ejemplo, una zona del material pierde o gana electrones puede resultar
electrizado positiva o negativamente. UN CUERPO CARGADO ES AQUEL QUE
POSEE EXCESO (CARGA NEGATIVA) O DEFECTO (CARGA POSITIVA) DE
ELECTRONES EN SU ESTRUCTURA.

El electrón es la partícula fundamental más pequeña con carga eléctrica por lo que se
puede emplear como unidad de carga.

Aunque se considera a Faraday como el descubridor de las propiedades eléctricas de
la materia, fue el físico francés Coulomb (1736-1806) quien 88 años después de que
Newton enunciara su ley de Gravitación Universal y basándose en ella, con una balanza
igual que la de Cavendish pero empleando cuerpos cargados eléctricamente dedujo
que:
LA FUERZA CON QUE SE ATRAEN (CARGAS DE SIGNO OPUESTO) O SE
REPELEN (CARGAS DE IGUAL SIGNO) DOS CUERPOS ELECTRIZADOS,
PUNTUALES Y EN REPOSO ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL AL PRODUCTO
DE SUS CARGAS ELÉCTRICAS E INVERSAMENTE PROPORCIONAL AL CUADRADO
DE LA DISTANCIA QUE LES SEPARA.
-La carga es q y se suele medir en Coulombios (C) también se emplean µC=10-6C y la carga
del electrón es 1,6 .10-19C
-La K es la constante electrostática que toma diferentes valores según el medio en el que
se encuentren las cargas, en el vacio vale K=9.109 N. m2/ C2
-R es la distancia entre las dos cargas. F= K . q1 . q2
R2

Esta es la ecuación fundamental de la electrostática, es decir, de la parte de la física
que estudia las interacciones entre cargas en reposo. Se ha observado
experimentalmente que las cargas de igual signo se repelen y las de distinto signo se
atraen, esto marca una diferencia evidente entre la fuerza gravitatoria y la
electrostática ya que la gravitatoria es siempre atractiva y la electrostática puede
ser atractiva o repulsiva.

Igual que ocurría con la fuerza gravitatoria, la ley de Coulomb sólo nos sirve para
calcular el módulo de la fuerza, su dirección es la recta que une a las dos cargas que
interaccionan y su sentido depende del signo de las cargas:

Al enunciar la ley de Coulomb hemos introducido una nueva magnitud que es la carga
eléctrica, es una magnitud escalar igual que la masa, de hecho si se observa las
fórmulas de la fuerza gravitatoria y de la electrostática son las mismas pero una
depende de la masa y otra de la carga eléctrica.

Otra diferencia importante entre la fuerza gravitatoria y la electrostática es que,
mientras que la constante gravitatoria vale siempre lo mismo, la electrostática
depende del medio en que se encuentran las cargas, de hecho esta dependencia se
observa mejor si se pone esta constante en función de otra constante que aparece en
muchas tablas y que es característica de cada material llamada CONSTANTE
),
DIELÉCTRICA O PERMITIVIDAD DEL MEDIO ( ε ) esta nueva constante indica si
un medio es más o menos conductor tomando el valor medido en el vacío como
referencia.

La constante dieléctrica relativa en el vacío es siempre mayor que uno lo que significa
que el vacío es el medio menos conductor que existe y también el medio donde la
fuerza de interacción entre cargas en reposo es máxima, lo cual es lógico puesto
que no hay nada que interfiera.

K= 1 = 9.109 N.m2/C2 ε0 = 8,8 .10-12 C2/N m2 constante dieléctrica en el vacío.
πε
4πε0

ε
εr = luego la constante dieléctrica es un medio cualquiera es igual a su valor
ε0
relativo que es el que suele aparecer en las tablas por su valor en el vacío ε= ερ.ε0
ε
Lo más normal es trabajar en el vacío pero si se trabaja en otro medio y nos dan la
constante relativa basta con tener en cuenta que:

F= q1 . q2 = q1 . q2 = 9.109. q1 .q2 la fuerza queda : F= 9.109. q1 . q2
4πεR2 4πεrε0R2 εr R2 εr R2

Hay que tener en cuenta que la ley de Coulomb sólo se puede emplear cuando las
dimensiones de los cuerpos cargados son despreciables frente a la distancia entre
ellos y se pueden considerar como objetos puntuales y tampoco se puede emplear a
distancias menores de 10-12 cm ya que aquí empiezan a actuar las FUERZAS
NUCLEARES.

Existe un propiedad fundamental de las interacciones tanto electrostática como
gravitatoria y que recibe el nombre de PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN: la
interacción entre dos cargas eléctricas o dos masas es independiente de la presencia
de otras, esto permite calcular la fuerza entre masas o entre cargas sumándolas
vectorialmente de dos en dos y obteniendo las resultantes.

Ejemplo: Tres cargas puntuales de 100µC están situadas en el vacío en los puntos A
(0,0) B( 0,4) y C (3,0) m. Calcula la fuerza que las dos primeras cargas ejercen sobre
la tercera.

Ejemplo: Calcular la fuerza de atracción entre todos los electrones y protones de 1
mol de átomos de hidrógeno supuestos reunidos a 1 m de distancia los primeros de los
segundos.

5- NOCIÓN DE CAMPO. INTENSIDAD.

Supongamos una habitación que tiene una estufa encendida, la estufa genera calor y
origina un cambio de temperatura en su entorno. Si medimos la temperatura en
distintos puntos de la habitación observamos que es distinta en cada punto y que es
mayor en puntos próximos a la estufa y se va haciendo menor a medida que nos
alejamos de ella.
De esto podemos sacar importantes conclusiones: al introducir la estufa en la
habitación y encenderla algo cambia en el ambiente, podemos decir que la estufa
origina una perturbación en el espacio que la rodea, que se refleja en un cambio de
temperatura. Además, el efecto de la estufa disminuye a medida que nos alejamos de
ella, luego los valores de la temperatura dependen fundamentalmente de la posición
del punto respecto a la estufa.
Denominamos Campo a la zona del espacio en la que se nota la presencia de la estufa. Y
como lo que se produce es una variación de la temperatura se trata de un campo de
temperaturas. Además, puesto que la temperatura es una magnitud escalar podemos
decir que se trata de un campo escalar.
Por tanto teniendo en cuenta el ejemplo anterior.

Denominamos Campo a una zona del espacio en la que existe una perturbación.
Los campos pueden ser escalares o vectoriales, dependiendo de que la magnitud que
hace sentir su presencia sea escalar o vectorial. Dentro de los campos vectoriales, los
más importantes son los campos de fuerzas.

Se conoce con el nombre de campo de fuerzas a toda región del espacio en la que una
partícula situada en cualquier lugar del mismo se encuentra sometida a una fuerza
que varía en función de su posición dentro de dicha región respecto a quien genera el
campo y que está perfectamente determinada en módulo dirección y sentido.

El concepto de campo fue propuesto en el siglo XIX por Faraday y permitió resolver
muchos problemas que aparecen cuando se estudian fuerzas que actúan a distancia.

Si dos cuerpos interactúan entre si a distancia ejerciendo cada uno una fuerza sobre
el otro, es mejor tomar uno de ellos (normalmente el de mayor masa o carga) como
sistema de referencia y considerarlo la FUENTE del campo. Situando el otro
cuerpo en distintas posiciones del espacio alrededor del primero se observa que la
fuerza que actúa en cada posición es distinta, esto quiere decir que cada posición del
espacio en torno a quien genera el campo está dotada de cierta propiedad creada por
ese cuerpo y que se hace patente al situar otro cuerpo en esa posición. Esta propiedad
no existía antes de colocar el primer cuerpo y deja de existir en esa zona si se quita
dicho cuerpo.
Para entender mejor esto podemos comparar el
espacio con una gran malla elástica tensa, si sobre
ella colocamos un cuerpo suficientemente pesado la
superficie se deforma y aparece una propiedad en
dad punto de la malla que no existía antes, se crea
una deformación (una perturbación) en torno al
cuerpo y a esta zona de influencia que ha sufrido el
FUENTE
efecto deformador del cuerpo se la llama campo. Si
introducimos un segundo cuerpo más pequeño
sufrirá la influencia del primero de diferente forma
según donde lo coloquemos. A la característica del
cuerpo que colocamos en segundo lugar y que se
emplea para medir la influencia del primero en
cada punto se le llama MAGNITUD ACTIVA
(nosotros trabajaremos con masas o con cargas
eléctricas).

Normalmente la magnitud que se introduce es muy pequeña para que la influencia
sobre la fuente que genera el campo sea muy pequeña y poder medir más fácilmente la
influencia de la fuente en cualquier punto, es decir el campo que crea.
Para poder representar un campo Faraday ideó lo que se llaman las Líneas de Fuerza :
indican como se movería una partícula introducida en dicho campo. Mejor dicho es la
trayectoria que seguiría un cuerpo que se abandona libremente en el campo de otro
que se considera fijo. Por ejemplo, en el caso del Campo Gravitatorio estas líneas son
radiales y dirigidas hacia la masa que produce el campo.

m

Superficie de la Tierra

Los campos se nombran a menudo por una de las propiedades de las fuerzas que en el
se ponen de manifiesto. Así, llamamos CAMPOS CENTRALES a aquellos en los que las
fuerzas dependen de la distancia a un origen del campo y están siempre dirigidas hacia
ese punto, es decir, son fuerzas centrales.
Debido a que las fuerzas de los campos centrales siempre están dirigidas hacia el
origen de dicho campo, r y F son paralelas, y por tanto el momento de dichas fuerzas
sobre cualquier partícula es nulo y el momento angular es constante

Tanto la fuerza gravitatoria como la electrostática son fuerzas que actuan a
distancia, una masa o una carga situada en algún lugar del espacio tiene a su alrededor
una zona de influencia y esta influencia disminuye a medida que nos alejamos. Ambas
fuerzas crean CAMPOS VECTORIALES Y CENTRALES.

En el caso del campo electrostático tanto la fuente como la magnitud activa son
cargas eléctricas que pueden ser positivas o negativas, por convenio y para más
comodidad la carga que se introduzca para medir el campo creado por otra cualquiera
va a ser siempre una carga positiva.

POR CONVENIO LA MAGNITUD ACTIVA DE UN CAMPO ELECTROSTÁTICO ES SIEMPRE UNA
CARGA POSITIVA.

De esta forma resulta que el campo creado por una carga negativa es siempre
atractivo y el creado por una positiva es siempre repulsivo.
Las líneas de campo pueden ser cerradas o abiertas. Si en una zona hay muchas
líneas significa que el campo es más intenso, mientras que si están muy separadas o
hay pocas indica que es más débil. Cuando son líneas paralelas entre si significa que
el campo es uniforme, es decir es un campo donde la fuerza ejercida es la misma
en cualquier posición dentro de ese campo.
Además las líneas de fuerzas son tangentes en cada punto a la fuerza que ejerce el
campo en ese punto, por lo tanto es una propiedad elemental de las líneas de fuerza
que no se pueden cortar entre sí porque si se cortaran significaría que el vector
fuerza que actúa en ese punto tiene a la vez dos direcciones distintas, lo cual

lógicamente es imposible, sólo puede haber una resultante de fuerzas y una única
trayectoria de movimiento.

+ -
+ -
+
+
-
+ -
+ -
+ + - -
+ -

Las fuerzas que actúan a distancia como la fuerza gravitatoria y la electrostática
generan una zona de influencia a su alrededor que es lo que denominamos campo que se
representa mediante las líneas de campo y se mide definiendo una magnitud
característica llamada INTENSIDAD DE CAMPO ( E ): ES LA FUERZA POR
UNIDAD DE MAGNITUD ACTIVA INTRODUCIDA EN EL CAMPO.

LA INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO ES LA FUERZA QUE ACTUA EN
CADA PUNTO DEL CAMPO POR UNIDAD DE MASA INTRODUCIDA ( N/Kg) Y
LA INTENSIDAD DE CAMPO ELECTROSTÁTICO ES LA FUERZA QUE ACTUA
EN CADA PUNTO DEL CAMPO POR UNIDAD DE CARGA POSITIVA
INTRODUCIDA (N/C)

En el campo electrostático A= q2 luego : E= F = K. q1.q2 / R2
Fuente=q1 q2 q2
E= K . q1 (N/C)
= R2
En el campo gravitatorio A= m2 luego: E= F = G. m1. m2/ R2
Fuente = m1 m2 m2

E= G. m1 (N/m)
R2

La aceleración de la gravedad con la que caen los cuerpos, es también la intensidad del
campo gravitatorio:
P= m. g m es el cuerpo introducido en el campo m2 y P es el peso y por lo tanto la
fuerza gravitatoria con que la Tierra atrae a los cuerpos luego:

G.m1.m2= m2.g g= G. m1 y es la aceleración con que caen los cuerpos N/m = m/s2
R2 R2

Puesto que la Tierra no es una esfera perfecta
sino que está achatada por los polos, la gravedad
es mayor en los polos que en ecuador.
El valor de la gravedad es diferente para cada
planeta ya que depende de su masa y su radio.
Como la intensidad de campo depende
inversamente de la distancia al cuadrado, al
alejarnos de la fuente, la intensidad del campo
disminuye hasta hacerse cero, de tal manera que
un cuerpo situado fuera del campo no siente

Ejemplo: Tres cargas de 2 C se encuentran en el vacío y en los vértices de un
triángulo rectángulo isósceles de 3 mm de cateto, calcula el campo sobre la que está
en el ángulo recto y el campo en el punto medio de la hipotenusa.

-Cuando se trabaja con magnitudes vectoriales como fuerzas o intensidades las
fórmulas correspondientes indican módulos y por tanto son siempre positivas, lo que
quiere decir que en el caso de cargas eléctricas estas se emplearán sin signo. El signo
indica sentido y aparece a partir del vector unitario y según el sistema de referencia
tomado y la colocación de las cargas.
-Para tomar vectores unitarios en un sistema con varias masas o varias cargas es más
cómodo tomarlos siempre según el sentido de la fuerza o intensidad correspondiente.

Ejemplo: Tres cargas puntuales qA = 0,2 µC , qB = -0,3 µC y qC = 0,1 µC están colocadas
respectivamente en unos puntos cuyas coordenadas son (-2,3) , (9, -9) y (7 ,7) m
calcula la intensidad del campo eléctrico creado por estas cargas en el punto P (4,3) si
la permitividad relativa del medio en que se encuentra es εr = 1,5

6- TRABAJO Y ENERGÍA . GRAVITATORIA Y ELECTROSTÁTICA

Si movemos una partícula en un campo creado por otra ¿qué trabajo se realiza?. Habrá
que distinguir si hacemos el trabajo a favor o en contra del campo y si acercamos o
alejamos la partícula a quien genera el campo. Además variará el resultado según el
campo sea atractivo o repulsivo.

TRABAJO A FAVOR DEL CAMPO ES POSITIVO Y EN CONTRA NEGATIVO

A) TRABAJO Y ENERGÍA DEL CAMPO GRAVITATORIO.
Puesto que el campo gravitatorio es siempre atractivo, al acercar una masa a la que
genera el campo estaremos realizando un trabajo a favor del campo y si la alejamos
hacemos un trabajo en contra.

Las fuerzas atractivas, considerando el sistema de referencia sobre quien genera el
campo, son siempre negativas y se puede calcular por integración la energía que
corresponde a cada punto del campo (su energía potencial):

W= ∫ F. dr = ∫ F. dr .cos180º= ∫ -F. dr= ∫-G. m1.m2. dr
r2
W=G. m1.m2 ∫ -dr = G. m1.m2
r2 r

W= G.m1.m2. 1 - 1 [ ] al acercarnos r2 < r1 por tanto su inverso es
r2 r1
mayor y la diferencia positiva (trabajo positivo a favor del campo ) pero si nos
alejamos sucede justo al revés

De lo obtenido se observa que el trabajo en mover una masa dentro del campo de otra
sólo depende de la posición inicial y final y no del camino seguido y se puede ver
fácilmente que el trabajo en un camino cerrado (ida y vuelta al mismo punto ) es cero
luego es un campo conservativo:
Si partimos de r1 y volvemos a r1 queda 1 - 1 = 0
W= G.m1.m2.[1 - 1 ]
[
r1 r 1
r2 r1

Luego el trabajo que se realiza en un camino cerrado
es cero, no hay pérdida de energía en el proceso.

EL CAMPO GRAVITATORIO ES UN CAMPO CONSERVATIVO Y POR LO TANTO
SE PUEDE DEFINIR UNA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA QUE VARÍA
SEGÚN LA POSICIÓN DEL CAMPO EN QUE NOS COLOQUEMOS:
-Al alejarnos r aumenta EP disminuye en valor
absoluto pero al ser negativa lo que hace es
∆
W = -∆ EP EP = - G. m1.m2 aumentar.
r -Al acercarnos r disminuye y al EP disminuye ya
que es negativa.

Entonces, al estudiar el movimiento que sigue un cuerpo sometido a la fuerza
gravitatoria, hay que considerar su energía cinética que existirá siempre que el cuerpo
se encuentre en movimiento y su energía potencial gravitatoria que depende de las
distintas posiciones que puede ocupar.
La definición básica de energía potencial dice que es la energía que adquiere un cuerpo
al alejarle de su posición de equilibrio. La posición de equilibrio para una partícula
sometida a un campo gravitatorio está sobre la superficie del planeta que le atrae (ya

que no puede llegar al centro mismo que es punto origen desde el que parte la fuerza
atractiva).

Si acercamos un objeto a la fuente del campo como se trata de un campo atractivo
realizamos un trabajo a favor del campo y será un trabajo positivo pero el cambio de
energía potencial es negativo ya que vamos disminuyendo de energía potencial.

Si alejamos un objeto de la fuente que genera el campo estamos realizando un trabajo
en contra del campo y será un trabajo negativo mientras que la variación de energía
potencial es positiva ya que nos movemos cada vez hacia una mayor energía potencial
(más lejos del equilibrio que sería pegado a la misma fuente que le atrae).

En el equilibrio la energía potencial es cero y también es cero fuera del campo

LA ENERGÍA POTENCIAL EN UN CAMPO EP
ATRACTIVO ES MÍNIMA JUNTO A LA FUENTE
QUE CREA EL CAMPO Y VA AUMENTANDO A
MEDIDA QUE SE ALEJA DE ELLA.

SE SUELE CONSIDERAR LA ENERGÍA POTENCIAL
Fuente
EN UN PUNTO DEL CAMPO COMO LA ENERGÍA
r
NECESARIA PARA COLOCAR UNA PARTÍCULA
DESDE EL INFINITO (FUERA DEL CAMPO) A ESE
PUNTO.

La energía potencial fuera del campo es cero y
corresponde al máximo valor que puede tomar.

El estudio energético de masas en movimiento dentro del campo gravitatorio
terrestre permitió lanzar cohetes para visitar otros mundos y colocar satélites en
distintas órbitas en torno a la Tierra.

El primer problema que hubo que resolver fue ¿cuál es la velocidad mínima de
lanzamiento necesaria para que un proyectil no gira alrededor de la Tierra sino que se
aleje libremente? A esta velocidad se le llama VELOCIDAD DE ESCAPE.
En realidad es un sencillo problema de energías, se trata de aplicar el principio de
conservación de la energía. La energía cinética que lleva el proyectil cuando es lanzado
se transforma en energía potencial gravitatoria cuyo valor aumenta hasta el infinito
(fuera del campo) donde se hace cero.
La mínima velocidad para que el proyectil lanzado salga del campo de influencia de la
Tierra se calcula aplicando el principio de conservación de la energía.

Tomando como origen el centro de la Tierra en el punto de lanzamiento tenemos
energía potencial debida a la distancia entre el punto de lanzamiento en la superficie
de la Tierra y el centro de la Tierra (el radio de la Tierra RT ) y energía cinética
debida a la velocidad de lanzamiento.
Si la velocidad de lanzamiento v0 es la necesaria para que escape del campo
gravitatorio terrestre se llama velocidad de escape. Llamamos m a la masa del
proyectil y M a la masa de la Tierra
EC = 1 . m.v02 EP= -G. m.M
2 RT
Luego la energía del proyectil en el momento de su lanzamiento es:
E= EC + EP = 1 . m.v02 - G. m.M
2 RT
La energía mecánica se conserva porque el campo gravitatorio es un campo
conservativo, luego la energía total en el punto de lanzamiento es igual a la energía
total fuera, pero la energía fuera es cero ya que al estar fuera del campo la energía
potencial es cero y consideramos la energía mínima para que justo llegue fuera con lo
que al salir se pararía y si se le diera más energía es cuando además de salir alcanzaría
cierta velocidad.

1 . m.v02 - G. m.M = 0 1 . m.v02 =G. m.M
2 RT 2 RT
Sabemos que la gravedad en la Tierra es g =9,8 m/s2 y g= G.M g . RT2= G
RT2 M
2 2
v0 = 2. g . RT . M
M RT v0 = 2.g.RT velocidad de escape desde la superficie de la
Tierra

Esto si se lanza desde la superficie de la Tierra pero cuanta mayor sea la altura
respecto a la superficie de la Tierra desde la que se lanza el proyectil menor es la
velocidad de escape necesaria, por eso muchas veces se pone el satélite en órbita
alrededor de la Tierra y luego desde esa órbita se lanza, con lo que la velocidad de
escape necesaria es menor.
Entonces la distancia al centro de la Tierra es el radio de la Tierra más la altura de la
2
2.g .RT
órbita: v0 =
(RT + h)
2

Para que un satélite escape desde una órbita hay que sumarle a la energía mecánica de
la órbita una cierta energía cinética y como la energía mecánica fuera es cero al
iguales la energía cinética necesaria para escapar es igual a la energía mecánica en la
órbita
1 . m.vorb2 - G. m.M + 1 . m.vesc2 = 0
2 Rorb 2

Si se coloca un satélite en órbita alrededor de la Tierra es fácil determinar su
velocidad o su periodo de giro relacionando todo lo visto hasta ahora:
Por la segunda ley de Newton : F=m.a la fuerza gravitatoria es perpendicular a
la trayectoria y origina aceleración normal:

G.m.M = m.v2 √ G.M = v (velocidad en la órbita)
R2 R R
V= ω.R ω= 2.π / T

Ejemplo (Selectividad) El vehículo Apolo VIII estuvo en órbita circular alrededor de
la Luna 113Km por encima de su superficie. Calcular: a)El periodo de su movimiento.
b)Las velocidades lineal y angular del vehículo. c)La velocidad de escape a la atracción
Lunar en esa posición y la energía necesaria para que escape. Datos: G=6,67.10-
11
Nm2/Kg2. Masa de la Luna 7,36.1022Kg y radio medio Lunar 1740Km

C) TRABAJO Y ENERGÍA DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO:
El campo creado por una carga negativa es atractivo y por una positiva repulsivo, el
campo atractivo resulta igual que el gravitatorio y el repulsivo justo a revés, en
general el trabajo que se realiza es:

W= ∫ F. dr = ∫K. q1.q2. dr EL CAMPO ELECTROSTÁTICO ( igual que ocurría con el
r 2 gravitatorio) ES UN CAMPO CONSERVATIVO (el trabajo
W=K. q1.q2 ∫ dr = -K. q1.q2 depende de la posición inicial y final y no del camino
r2 r recorrido) Y POR LO TANTO SE PUEDE DEFINIR UNA
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA QUE VARÍA
[
W= -K.m1.m2. 1 - 1 ] SEGÚN LA POSICIÓN DEL CAMPO EN QUE NOS
r2 r1 COLOQUEMOS, ES LA ENERGÍA NECESARIA PARA
MOVER UNA CARGA DESDE EL INFINITO HASTA UN
PUNTO DEL CAMPO:
∆
W = -∆ EP EP = K. q1.q2 -negativa si el campo es atractivo.
r -positiva si el campo es repulsivo.

Diferenciando el campo creado por una carga positiva y el que crea una negativa:

Campo atractivo Campo repulsivo
y y

F
F

- +
+ +
x ur
x ur

F= -K . q1 . q2 . ur F= K . q1 . q2 . ur
R2 R2
W = ∫ F. dr = ∫K. q1.q2. dr
W = ∫ F. dr = ∫-K. q1.q2. dr r2
r2 W=K. q1.q2 ∫ dr = -K. q1.q2
W=-K. q1.q2 ∫ dr = K. q1.q2 r2 r
r 2
r W= -K.q1.q2.[1 - 1 ]
[
W= K.q1.q2.[1 - 1 ]
[ r2 r1
r2 r 1 -Al acercarnos el trabajo es en contra del campo
-Al acercarnos el trabajo es a favor del campo que atrae, que es repulsivo, sale (- ) ya que r2 < r1 y la energía
sale (+) ya que r2 < r1 y la energía potencial que es negativa potencial que es positiva, va disminuyendo al
va disminuyendo al acercarnos a la fuente que atrae (el acercarnos a la fuente que repele (el equilibrio
equilibrio). Al alejarnos ocurre justo al revés. sería fuera del campo). Al alejarnos ocurre justo
Si llevamos una carga desde el infinito, fuera del campo al revés.
hasta un punto r queda: Si llevamos una carga desde el infinito, fuera del
∆
W = -∆ EP la energía fuera del campo es cero campo hasta un punto r queda:
W= K.q1.q2.[1 - 1 ]=K.q1.q2 = -EP
[ ∆
W = -∆ EP la energía fuera del campo es cero
r ∞ r W=-K.q1.q2.[1 - 1 ]= -K.q1.q2 = -EP
[
EP = -K.q1.q2 r ∞ r
r EP = K.q1.q2
r

EP
EP

Fuente
r

Fuente

r

7- POTENCIAL GRAVITATORIO Y ELECTROSTÁTICO:

Igual que ocurría con la fuerza, se puede definir la energía potencial en un
determinado punto por unidad de masa o carga allí introducida
Si tenemos un cuerpo que genera un campo de fuerzas e introducimos otro para poner
de manifiesto la existencia del campo, este que introducimos debe ser muy pequeño
para no perturbar el campo que queremos medir. La energía potencial en cada punto
del campo depende del valor de la masa o carga que genera el campo ( FUENTE) y de
la masa o carga que se introduce para medirlo (MAGNITUD ACTIVA) y nos
interesaría medir la energía independientemente de la magnitud activa, sólo en función
de la fuente, esto es lo que se llama POTENCIAL.

POTENCIAL (V) ES LA ENERGÍA POTENCIAL POR UNIDAD DE MAGNITUD
ACTIVA .
V=± K .q1 (J/C)
Igual que el trabajo y la energía es una magnitud escalar: R VOLTIO

En el campo electrostático A= q2 luego : V= ± EP = ± K. q1.q2 / R
Fuente=q1 q2 q2
EP = V
A
En el campo gravitatorio A= m2 luego: V= -EP = G. m1. m2/ R
Fuente = m1 m2 m2

V= -G. m1 (J/m)
R
El potencial varía exactamente igual que la energía potencial.

SE DEFINE POTENCIAL GRAVITATORIO EN UN PUNTO DEL CAMPO COMO EL
TRABAJO QUE SE REALIZA PARA TRASLADAR LA UNIDAD DE MASA O DE CARGA
DESDE EL INFINITO HASTA ESE PUNTO .

∆
Como W = -∆ EP dividiendo entre la magnitud activa correspondiente a los dos lados
de la igualdad:
EL TRABAJO NECESARIO PARA MOVER UNA
∆ ∆
W = -∆ EP = -∆V ∆
W = - m2.∆V MASA O UNA CARGA ENTRE DOS PUNTOS
m2 m2 DENTRO DE UN CAMPO GRAVITATORIO O
ELECTROSTÁTICO ES IGUAL AL VALOR DE
W = ± ∆ EP = ± V W = ± q2.∆V
∆ LA MASA O CARGA QUE SE DESEA MOVER
q2 q2 POR LA VARIACIÓN DE POTENCIAL ENTRE
ESOS DOS PUNTOS.

SUPERFICIE EQUIPOTENCIAL ES EL LUGAR
GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS DEL CAMPO
CON IGUAL POTENCIAL.
Son superficies que unen puntos a igual
distancia de la masa o carga que genera el
campo y por lo tanto con igual energ potencial
energía
e igual potencial.
Las superficies equipotenciales son
perpendiculares a las líneas de fuerza (por lo
tanto son perpendiculares a los vectores fuerza
e intensidad de campo).

Ejemplo: Dos cargas iguales de 10-12 C se encuentran en los puntos A y B separados
entre si 5 cm: a) Determina el módulo del campo eléctrico en el punto M que está a 3
cm de A y a 4 cm de B. b) Calcula también el potencial electrostático en M. c)Si se
cambia de signo a la carga A ¿cómo cambiarían los resultados anteriores?.
8 TEOREMA DE GAUSS

El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada depende solamente de
la carga dentro de la superficie y no de la forma del objeto cargado ni de la forma de
la superficie, ni de la posición del objeto dentro de la superficie

→→
Φ = E . S = E S cos α

→ →
∫SdΦ = ∫SE dS

→ → q
Φ = E . d S = E dS cos α = dS cos α
4π ε r 2

Como la superficie de una esfera es 4 2
4πr
simplificando queda:
q
Φ =
ε

El teorema de Gauss sirve para calcular el campo
eléctrico en un punto para cualquier distribución de carga de una forma sencilla sin
necesidad de recurrir al cálculo integral y vectorial

9 ORIGEN DEL FENÓMENO MAGNÉTICO. DESCRIPCIÓN DEL
CAMPO MAGNÉTICO

Todo cuerpo con propiedades magnéticas, un imán, es capaz de atraer trozos de
hierro y a otros imanes, por tratarse de fuerzas que actúan a distancia cada cuerpo
con propiedades magnéticas origina a su alrededor un campo magnético que
alrededor
disminuye con la distancia.
Pero a diferencia del campo gravitatorio y electrostático sus líneas de fuerza son
cerradas, ya que no existen polos magnéticos aislados. Las líneas de fuerza que
aislados.
definen un campo magnético salen siempre del polo norte y entran por el polo sur
(como ocurre en un dipolo eléctrico, es fácil la comparación si se relaciona el polo
norte magnético con una carga positiva unida a una negativa que sería el polo sur)

N S

La fuerza de atracción magnética igual que ocurre con la electrostática se observó
que podía ser atractiva (polos distintos) o repulsiva (polos iguales) y que dependía
del medio en que se encontraban los cuerpos con propiedades magnéticas También
magnéticas.
disminuye con la distancia aunque las fórmulas que determinan el campo magnético
aunque
varían según el cuerpo que genera dicho campo.
En el siglo XIX se descubrió casualmente la relación que existía entre el
magnetismo y la electricidad. Oersted descubrió que un imán se orienta si se
coloca cerca de una corriente eléctrica. Colocando una aguja imantada (brújula)
erca
en las proximidades de un hilo conductor y haciendo circular corriente eléctrica
continua por el hilo, la aguja siempre se orienta perpendicularmente a la
corriente, pero cuando cesa la corriente la aguja vuelve a su posición original
la
(apuntando hacia el norte y sur terrestres). En este experimento se pone de
manifiesto que las corrientes eléctricas (en general cualquier carga eléctrica en
movimiento) producen sobre una aguja imantada los mismos efectos que se
los
observarían al acercar un imán.

LAS CARGAS ELÉCTRICAS EN MOVIMIENTO CREAN CAMPOS MAGNÉTICOS

Con un hilo conductor es fácil dibujar las líneas de campo que crea ya que basta con
colocar un imán en distintos puntos en torno al cable o bien echar limaduras de hierro
en torno a él. se observa que las líneas de campo creadas por una corriente rectilínea
son circunferencias concéntricas cuyo sentido de giro depende del sentido de la
corriente .

Si la corriente va hacia arriba las líneas de fuerza giran en el sentido contrario a las
agujas del reloj .
Si la corriente va hacia abajo las líneas de fuerza giran en el mismo sentido que las
agujas del reloj .

Cuando se utiliza como plano de referencia la hoja sobre la que se escribe para indicar
que las líneas del campo son perpendiculares al papel y hacia fuera se indica y si
van hacia dentro se indican como X

Ejemplo: indica el sentido que debe tener la corriente en cada caso:

XXX
XXX
XXX
XXX
XXXXX
XXXXX
XXXXX
El campo magnético que genera un conductor es más intenso si en lugar de un
conductor rectilíneo tenemos un conductor muy largo y enrollado en forma espiral
donde cada bucle se llama ESPIRA . El campo que se obtiene es directamente
proporcional al número de espiras .Todo este conjunto de espiras unidas se llama
SOLENOIDE o bobina y si en su interior se coloca un núcleo de hierro dulce (hierro
muy puro que se imanta con la corriente y aumenta mucho el campo magnético
generado) entonces hemos construido un ELECTROIMÁN.
Esto es fácil de comprobar porque si se coloca una espira de forma que pueda girar
libremente se orienta igual que lo haría un imán, con su cara norte hacia el norte
terrestre y su cara sur hacia el sur, además si se observa las líneas de fuerza del
campo que genera un solenoide son exactamente iguales que las de un imán.
Según el sentido de la corriente y como se orienta según la Tierra el campo magnético
que se observa es:

CARA NORTE O POLO NORTE CARA SUR O POLO SUR

Si la espira se mira por una
cara las líneas de campo entran, Todas las líneas salen (sentido de Todas las líneas entran (el mismo
giro contrario a las agujas del reloj) sentido que las agujas del reloj)
pero si se mira por la otra las
líneas de campo salen. Si
colgamos la espira la cara que
se orienta al Norte Terrestre
es por donde las líneas de
campo salen y la que queda
hacia el Sur por donde entran.

N S

LAS LÍNEAS DE CAMPO DE UN SOLENOIDE SON IGUALES QUE LAS DE UN IMÁN

Puesto que el campo magnético que genera un solenoide es idéntico al que genera un
imán este es el origen del fenómeno magnético que se observa en los imanes. Ahora ya
sabemos el origen del magnetismo y porque algunas sustancias presentan propiedades
magnéticas y otras no. Como una corriente eléctrica produce un campo magnético y
una carga eléctrica en movimiento (por ejemplo un electrón) es ya una corriente
eléctrica y dado que en los átomos y moléculas que forman las diferentes sustancias
hay electrones moviéndose deben generarse campos magnéticos. Preferentemente en
los metales ya que la movilidad electrónica es mayor y de hecho es cierto que los
metales presentan con más facilidad propiedades magnéticas.

Para que una sustancia sea magnética es necesario que sus electrones (al menos
una buena parte de ellos) se muevan ordenadamente, girando todos en el mismo
sentido, como la corriente eléctrica en el cable de un solenoide, de esta manera
dentro de esa sustancia se generan pequeñas corrientes que son el origen de las
propiedades magnéticas.

Las sustancias que no presentan propiedades magnéticas es porque sus electrones
giran desordenadamente y en sentidos distintos por lo que el campo que genera uno se
anula con el que genera otro al contrario y no se detecta campo magnético ninguno. Por
ejemplo se puede conseguir que una sustancia magnética deje de serlo calentándola ya
que con el calor aumenta el desorden y el movimiento se hace caótico desapareciendo
así el campo magnético que había. Por el contrario se puede magnetizar un metal
poniéndolo durante un tiempo cerca de un imán ya que el campo magnético del imán
influye sobre los electrones del metal y tiende a ordenar su movimiento induciendo así
en el metal un campo magnético que no tenía, de esta manera el metal que no era
magnético se imana , pasa a ser un iman. Las sustancias imanadas (o también se puede
decir imantadas) que no tienen estructura favorable para este movimiento ordenado
de electrones al cabo de un tiempo alejados de imán que les imanó acaban por perder
sus propiedades magnéticas y vuelven a su desorden original.

Cuando una carga eléctrica está en reposo genera un campo eléctrico
(electrostático=carga en reposo) pero si la carga se mueve genera a la vez un
campo eléctrico y uno magnético con lo que podemos decir que los campos
magnéticos son una parte de los campos eléctricos que aparecen cuando las
cargas se mueven.

Es curioso observar que teniendo esto en cuenta se puede entender por qué, cuando se
produce, el fenómeno magnético es tan intenso y fácil de observar mientras que la
atracción entre cargas eléctricas es comparativamente más débil. Para que exista
atracción eléctrica debe existir carga neta positiva o negativa en los cuerpos que
interactuan (un desequilibrio de carga) pero la materia es normalmente neutra por lo
que los desequilibrios que permiten considerar que existe carga suelen ser pequeños,
por eso solemos trabajar con cargas pequeñas del orden de microculombios. Como la
fuerza según la ley de Coulomb es proporcional a la cantidad de carga, aunque la
constante electrostática es grande 9.109 suelen resultar fuerzas pequeñas si se
comparan con las magnéticas.
Para que existan fenómenos magnéticos basta con que los electrones que forman la
materia se muevan ordenadamente aunque el cuerpo sea totalmente neutro, el
conjunto de todas las cargas en movimiento en un cuerpo puede generar campos
magnéticos intensos. Por ejemplo un conductor por el que circula una corriente puede
ser en conjunto neutro pero generar un campo magnético apreciable.

Hay que tener en cuenta también que si colgamos una espira de manera que pueda
girar libremente su cara Norte apunta hacia el Norte Terrestre, por eso en un
principio se le dio ese nombre al igual que se hizo con los polos de los imanes. Pero se
ienemos en cuenta que polos iguales se repelen y son los polos distintos los que se
atraen, entonces el polo Norte geográfico terrestre es un polo Sul magnético de igual
forma que el polo Sur geográfico terrestre es un polo Norte magnético.

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