Teks tersebut membahas tentang definisi dan penyajian himpunan, termasuk tabulasi, notasi pembentuk himpunan, diagram Venn, kardinalitas, himpunan kosong, subset, kesamaan, ekivalensi, saling lepas, himpunan kuasa, dan berbagai operasi himpunan seperti irisan, gabungan, komplemen, selisih, beda setangkup, perkalian Kartesian, dan prinsip inklusi-eksklusi.

1. BAB II
HIMPUNAN

2. 2.1 Definisi
Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objekobjek yang berbeda dan tidak memperhatikan
urutan penulisan
2.2 Penyajian himpunan
a. Tabulasi atau enumerasi
b. Notasi pembentuk himpunan (set builder)
c. Diagram Venn

3. a. Tabulasi atau enumerasi
Contoh 2.1
Misal B adalah himpunan bilangan genap positif yang
tidak lebih dari seribu.
B = { 0, 2, 4, … , 1000}
Contoh 2.2
Misal C adalah himpunan bilangan ganjil positif yang
lebih kecil dari 100.
C = { 1, 3, 5, … , 97, 99}
b. Notasi pembentuk himpunan (set builder)
Contoh 2.3
A adalah himpunan bilanganb ril lebih kecil dari 100
dan lebih besar dari 1.
A = { x | x ∈ R, 1 < x < 100}

4. c. Diagram Venn
Misal A = {1, 2, 3, 4}
B = { 3, 4, 5, 6, 7, 8}
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, 10}
Diagram Venn
S
1
2
9
A
3
4
B
5 6
7 8
10

5. 2.3 Kardinalitas
Kardinalitas menunjukkan jumlah anggota himpunan.
Jika terdapat himpunan A, maka kardinalitas A ditulis
n(A) atau |A|
Contoh 2.4
Jika A = { x | x bilangan prima, x ≤ 10}
Maka dapat ditulis A = {2, 3, 5, 7}
Jadi |A| = 4
Contoh 2.5
Jika B = {x|x2 – 6x + 9 = 0 }
Maka dapat ditulis B = { 3 }
Jadi |B| = 1

6. 2.4 Himpunan kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunya
anggota. Jadi untuk hiompunan kosong |A| = 0.
Himpunan kosong dilambangkan dengan Ø
atau { }.
Contoh 2.6
K = { x | x bilangan ril, x 2 + 1 = 0 }
Maka |K| = Ø atau { }.

7. 2. 5. Himpunan bagian (subset)
Misal terdapat himpunan A dan B. Jika seluruh anggota
himpunan A merupakan anggota himpunan B, maka
dikatakan bahwa A merupakan himpunan bagian B, dan dit
A ⊆ B.
Jika setidak-tidaknya terdapat satu anggota himpunan B tid
termasuk anggota himpunan A, maka ditulis
A⊂B
Lambang ⊆ adalah lambang himpunan bagian tak sebenarn
(improper set). Sedangkan lambang ⊂ adalah lambang
himpunan bagian sebenarnya (proper set)
Jika A ⊆ B dan B ⊆ A, maka A = B

8. 2.6 Kesamaan himpunan
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan
hanya jika A adalah himpunan bagian B dan B merupakan
himpunan bagian A.
Dengan menggunakan lambang
matematika
kita dapat
menulisnya dalam bentuk A = B ↔ A ⊆ B dan
B ⊆ A.
Contoh 2.7
L = { x | x bilangan prima, x < 5} dan M = { x | x 2 – 5x + 6
Agar lebih jelas, tulis kedua himpunan tersebut
diatas dalam
bentuk enumerasi.
L = { 2,3}
M = { 2,3}
Jadi L = M

9. Contoh 2.8
A={2}
B = { x | x2 = 4 }
Karena B = { -2 , 2 }
Maka A ≠ B.
.7. Ekivalensi himpunan
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan
hanya jika kardinal A = kardinal B.
Dalam bentuk lambang matematika dapat ditulis
menjadi
A ~ B ⇔ |A| = |B|
Contoh 2.9
Jika A = { x | x = P , 1 ≤ x ≤ 5} dan
B = { Ani, Ali, Badu, Hasan, Wati }
Karena |A| = |B|, maka A ~ B .

10. 2.8. Himpunan saling lepas
Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya
tidak mempunyai anggota yang sama.
Dalam bentuk
lambang dapat ditulis dengan
A//B.
Jika digambarkan dengan diagram Venn maka
bentuknya seperti gambar berikut.
S
Contoh 2.10
A
B
A = { x | 1 ≤ x ≤ 5} dan B = { Ani, Ali, Badu, Hasan, Wati }
Karena anggota A tidak ada satupun yang sama dengan
anggota B, maka A // B.

11. 2.9. Himpunan kuasa
Himpunan kuasa (power set) adalah suatu himpunan A yan
anggota-anggotanya merupakan semua himpunan bagian A
termasuk himpunan kosong dan dan himpunan A itu sendi
Himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan
P(A) atau 2 A .
Contoh 2.11
Jika M = { 1,2,3 }, maka himpunan kuasa dari M adalah
2 A = { Ø, {1} , {2} , {3} , {1,2} , {1,3} , {2,3} , {1,2,3}}

12. .10. Operasi himpunan
2.10.1 Irisan
Irisan (intersection) dari himpunan A dan B
adalah himpunan yang anggota-anggotanya
merupakan
anggota
himpunan
A
dan
himpunan B.
Dalam bentuk notasi A ∩ B = { x | x ∈ A dan
x ∈ B}. Venn operasi irisan adalah
Diagram
seperti gambar berikut. Bidang yang
diarsir adalah irisan A dan B atau A ∩ B.
S
A
B

13. Contoh 2.12
Jika A = { 2 , 3 , 6 , 7 }
B = { 2 , 7 , 9 , 10 }
Maka A ∩ B = { 2 , 7 }
S
A
3
6
B
7
2 9
7 10
Contoh 2.13
Jika K = { x ,y | x + y = 4, x,y ∈ R }
L = { x ,y | x − y = 2, x,y ∈ R }
Maka K ∩ L = { 3 , 1 }
L
S K
3
1

14. 2.10.2
Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah
Gabungan
himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota
himpunan A atau B. Dalam bentuk notasi ditulis sebaga
A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B}.
Diagram Venn operasi gabungan adalah seperti gambar
berikut. Bidang yang diwarnai adalah gabungan A dan B
atau A ∪ B
S
A
B

15. Contoh 2.14
Jika A = { 1 , 2 , 3 , 6 , 7 , 9 }
B = { 2 , 3 , 4 , 7 , 9 , 10 }
Maka A ∪ B = { 2 , 3 , 7 , 9 }.
S
A
1
6
2
3
7
9
B
4
10

16. 2.10.3 Komplemen
Komplemen suatu himpunan A terhadap suatu himpunan
semesta adalah suatu himpunan yang anggota-anggotan
merupakan anggota himpunan semesta tapi bukan anggo
himpunan A.
Dalam bentuk notasi ditulis Ā = { x | x ∈ S dan x ∉ A}.
Diagram Venn untuk Ā seperti gambar berikut.
Bidang yang diarsir adalah Ā.
S
A
S
A

17. Contoh 2.15
ika S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
A ={2,3,4,5}
Maka Ā = { 1 , 6 , 7 , 8 , 9 }.
S
A
2
3
4 5
1 6
7 8
8 9
A

18. 2.10.4 Selisih
Jika terdapat himpunan A dan himpunan B, maka A – B
adalah himpunan yang anggota-anggotanya hanya
merupakan anggota himpunan A saja . Dalam bentuk nota
ditulis sebagai ,
A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B}.
Diagram Venn dari operasi ini adalah bidang yang diars
pada gambar berikut.
S
A
B

19. Contoh 2.16
Jika A = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
B = { 3 , 4 , 5, 10 }
Maka A – B = { 6 , 7 , 8 , 9 }.
S
B
A
6
7
3
8
9
5
4
10

20. .10.5 Beda setangkup
Beda
setangkup
(symmetric
difference)
himpunan A
dan himpunan B adalah himpunan yang anggotaanggotanya
hanya
merupakan
anggota
himpunan A saja
atau himpunan B saja.
A ⊕ B = (A ∪ B) – ( A ∩B) = ( A – B ) ∪ ( B
–A).
Diagram Venn dari operasi ini adalah bidang
yang diarsir
pada gambar berikut.
S
A
B

21. Contoh 2.17
ka A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }
B = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }
Maka A ⊕ B = { 1 , 9 , 10 }.
S
A
1
2
4
6
B
8
3
5
7
9
10

22. 2.10.6 Perkalian Kartesian
Jika terdapat himpunan A dan himpunan B maka perkalia
Kartesian A x B adalah himpunan yang anggota-anggotan
merupakan pasangan terurut (ordered pairs) dengan
komponen pertama berasal dari himpunan A dan kompon
kedua berasal dari himpunan B.
Dalam bentuk notasi dapat ditulis
sebagai ,
A x B = { (a,b) | a ∈ A dan b ∈ B}.
Hal yang perlu diingat :
• Jika A dan B ≠ Ø, maka A x B ≠ B x A
• Jika A = Ø atau B = Ø maka A x B = B x A = Ø
• |A x B| = |A| . |B|

23. Contoh 2.18
Misal C = { 1 , 2 , 3 }
D={a,b}
C x D = { (1,a) , (1,b) , ( 2,a) , (2,b) , (3,a) ,
(3,b)}
10.7 Prinsip Inklusi-Eksklusi
| A∪B| = |A| + |B| - |A ∩B|
|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| – |A ∩B| – |B∩C| – |A∩C| + |A∩B
|A ⊕ B| = |A| + |B| - 2|A ∩B|

24. 2.10.8 Sifat-sifat operasi himpunan dan prinsip
dualitas
Misal F adalah suatu sifat yang melibatkan sejumlah
himpunan dan operasinya, maka kita akan mendapatkan
dual dari sifat F (ditulis dengan lambang F*) dengan
cara mengganti:
∪
∩
Ø
S
dengan
dengan
dengan
dengan
∩
∪
S
Ø
Berikut disajikan beberapa sifat dari
operasi himpunan dan dualnya.

25. Hukum
1. Identitas
2. Null
:A ∪Ø=A
:A ∩Ø=Ø
3. Komplemen : A ∪ Ā = S
4. Idempoten
:A ∪A=A
5. Penyerapan : A ∪ ( A ∩ B)
6. Komutatif
7. Asosiatif
=A
Dual
A∩S=A
A∪S=S
A∩Ā=Ø
A∩A=A
A ∩ ( A ∪ B) = A
: A ∪B=B∪ A∩B=B∩A
A∪ B = A ∩ B
:A ∪(B∪
A∩ B = A ∪ B
A∩(B∩C)=

26. 1. Himpunan ganda (multiset) dan operasinya
Pada himpunan ganda, setidak-tidaknya terdapat
satu
anggota yang muncul lebih dari satu kali. Selain
itu kita
juga mengenal istilah multiplisitas , yaitu jumlah
Sebagai contoh, jika = { 1 , 1 2 , 2 , 2 , , 7 , 8
kemunculan anggotaQdari suatu, himpunan4ganda.
, 8 , 9 },
maka multiplisitas 2 adalah 3, sedangkan
multipilisitas 8 adalah 2 dst.

27. .11.1 Operasi Gabungan
Misal S dan T adalah multiset. Operasi gabungan
antara keduanya akan menghasilkan multiset yang
multiplisitas anggota-anggotanya sama dengan
multiplisitas maksimum anggota-anggota pada
himpunan ganda S dan T.
Contoh 2.19
Jika S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali }
T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali, Ali,
Gani }
S ∪ T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Karim,
Ali, Ali, Gani }

28. 2.11.2 Operasi Irisan
Misal S dan T adalah multiset. Operasi irisan antara
keduanya akan menghasilkan multiset yang multiplisit
anggota-anggotanya sama dengan multiplisitas minimu
anggota-anggota pada himpunan ganda S dan T.
Contoh 2.20
Jika
S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali }
T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali,
Ali, Gani }
S ∩ T = { Ani, Ani, Karim, Karim, Ali }

29. 2.11.3 Operasi selisih
Misal S dan T adalah multiset. Operasi selisih
S – T akan
menghasilkan multiset yang multiplisitas
anggota- Jika anggotanya ditentukan dengan cara:
multiplisitas anggota yang sama antara S dan T leb
besar pada S, maka cari S–T
- Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T leb
besar pada T, maka multiplisitas anggota yang sama
tersebut sama dengan 0.
Contoh 2.21
Jika
S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali }
T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali, Ali,
Gani }
S – T = { Karim, Karim }

30. 2.11.4 Operasi jumlah
Misal S dan T adalah multiset. Operasi penjumlahan S +
akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggotaanggotanya merupakan jumlah dari multiplisitas masing
masing anggota yang sama.
Contoh 2.21
Jika S = { Ani, Karim, Karim, Karim, Ali }
T = { Ani, Ani, Karim, Ali, Ali, Gani }
S+T= {Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Karim,
Karim, Ali,
Ali, Ali, Gani }
12. Pembuktian pernyataan himpunan
Pernyataan himpunan dapat dibuktikan dengan menggunaka
diagram Venn, tabel keanggotaan, sifat operasi himpunan at
definisi.

31. 2.12.1
Pembuktian dengan menggunakan
diagram Venn
Untuk membuktikan kebenaran dari pernyataan himpun
dengan menggunakan diagram Venn, pertama-tama
Gambarkan diagram Venn untuk ruas kiri dan ruas kanan
kesamaan.
Jika ternyata kedua gambar dari diagram Venn
tersebut sama maka kesamaan tersebut
terbukti benar.
Contoh 2.21
Buktikan bahwa : A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Penyelesaian

32. A ∪ ( B ∩ C)
=
S
( A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
S
A
A
B
B
=
C
Terbuktikan bahwa
(A ∪ C)
C
A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩

33. 2.2 Pembuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan
Selain diagram Venn kita juga dapat menggunakan
tabel
keanggotaan untuk membuktikan kebenaran dari
pernyataan himpunan.
Contoh 2.22
Buktikan bahwa A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩
(A ∪ C)
Bukti

34. A
B
C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C
)
(A∪B) ∩
( A∪C)

35. A
0
B
0
C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C
0
0
0
0
0
)
(A∪B) ∩
0
( A∪C)

36. A
0
0
B
0
0
C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
)
(A∪B) ∩
0
0
( A∪C)

37. A
B
C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
)
(A∪B) ∩
0
0
0
( A∪C)

38. A
B
C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
)
1
(A∪B) ∩
0
0
0
( A∪C)
1

39. A
B
C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
)
1
(A∪B) ∩
0
0
0
( A∪C)
1
1

40. A
B
C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
)
1
1
(A∪B) ∩
0
0
0
( A∪C)
1
1
1

41. A
B
C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
)
1
1
1
(A∪B) ∩
0
0
0
( A∪C)
1
1
1
1

42. A
B
C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
(A∪B) ∩
0
0
0
)
1
0
( A∪C)
1
1
1
1
1
1
1
1

43. A
B
C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
)
1
1
1 1 0
1
1
Perhatikan bahwa kolom 0 dan 81sama,
7
artinya 1
A∪(B∩C) 1 = 1
(A∪B)∩(A∪C)
1 1
1
1
(terbukti).
(A∪B) ∩
0
0
0
( A∪C)
1
1
1
1
1

44. 2.12.3 Pembuktian dengan menggunakan sifat operasi
himpunan
Cara lain untuk membuktikan kebenaran pernyataan
himpunan adalah dengan menggunkan sifat operasi
himpunan.
Contoh 2.23
Buktikan bahwa : (Ā ∪ B) ∩ (A ∪ B)
=B
Bukti
(Ā ∪ B) ∩ (A ∪
distributif
B ∪ (Ā ∩ A)
komplemen
B ∪ ∅
identitas
B
B)
gunakan hukum
gunakan hukum
gunakan hukum