Atividades - Cálculo - Sequências

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Atividades - Cálculo - Sequências

  1. 1. Universidade Federal de Mato Grosso Fundamentos de C´lculo a Atividades resolvidas - Grupo de estudos - PROFMAT 13/04/2013 Sequˆncias Reais e seus Limites e 1Quest˜o 1.3.1.c) Mostre que a sequˆncia xn = a e n2 ´ limitada e mon´tona. Descreva o tipo de monoticidade de e oxn .Demonstra¸˜o: caAfirma¸˜o 1: (xn ) ´ mon´tona decrescente. ca e oDe fato! Observe que para todo natural n, vale que: 1 1 n + 1 > n ⇔ (n + 1)2 > n2 ⇔ (n+1)2 < n2 .Ou seja, xn+1 < xn . Conclu´ ımos assim que (xn ) ´ mon´tona decrescente. e oVamos agora calcular o limite de (xn ). 1Sabendo que limn→∞ n = 0 e usando as propriedades de limites, temos: 1 1 1 limn→∞ n2 = limn→∞ ( n )2 = (limn→∞ n )2 = 02 = 0.Assim conclu´ ımos que (xn ) ´ convergente e seu limite ´ zero. e eAfirma¸˜o 2: (xn ) ´ limitada. ca eDe fato! Mostramos acima que (xn ) ´ convergente. Desta forma, por teorema, temos que (xn ) ´ limitada. e eCom as ferramentas apresentadas anteriormente, podemos encontrar os limitantes de (xn ). Como (xn ) ´ mon´tona e odecrescente e lim xn = 0, temos que: 1 = x1 > x2 > x3 > ... > xn > ... > 0.Quest˜o 1.3.3) Existe um n´mero finito ou infinito de subsequˆncias da sequˆncia ((−1)n+1 )? Justifique sua a u e eresposta.Solu¸˜o: Existem infinitas subsequˆncias de ((−1)n+1 ), pois podemos fazer infinitas combina¸˜es entre 1 e -1. ca e coObserve alguns exemplos:(1, 1, 1, 1, ...) 1
  2. 2. (−1, −1, −1, −1, ...)(−1, −1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)(1, 1, 1, 1, −1, −1, −1, −1, −1, −1, ...)etc.Quest˜o 1.3.4.c) Dada a sequˆncia (1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ...), exiba trˆs subsequˆncias mon´tonas cres- a e e e ocentes e trˆs mon´tonas n˜o crescente. e o aSolu¸˜o: N˜o ´ poss´ encontrar subsequˆncias do tipo acima, pois sempre geramos um n´mero finito de elementos ca a e ıvel e uem cada subsequˆncia criada. Por exemplo: e (1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ...1, 2, 3, ..., 1000, 1, 2, 3, ..., 999, 1000, 1001, 1, 2, 3, ..., 998, 999, 1000, 1001, 1002, ...)Poder´ ıamos construir atrav´s da sequˆncia acima, a seguinte sequˆncia decrescente: e e e (1000, 999, 998, 997, 996, ...3, 2, 1),entretanto, ela teria um n´mero finito de termos, n˜o satisfazendo assim a defini¸˜o de subsequˆncia. u a ca eQuest˜o 1.4.1.2.a) Encontre n1 ≥ 1 inteiro, tal que: a n 1 2n < 10 , para todo n > n1 .Solu¸˜o: Tome n natural. Se n < 6 temos que 2n < 10n. Entretanto para todo n ≥ 6, ent˜o 2n > 10n. Assim, ca a n 1 ımos que sendo n ≥ 6, ent˜o 2n > 10n ⇔conclu´ a 2n < 10 , ou seja, n1 = 6. 1Quest˜o 1.4.1.3.b) Ache o limite da sequˆncia xn = 1 + a e 3n .Solu¸˜o: ca propriedades 1 limn→∞ 1 + 3n = limn→∞ 1 + limn→∞ 31 = 1 + 0 = 1. nPortanto lim xn = 1. nQuest˜o 1.4.1.4.a) Mostre que limn→∞ n+1 = 1. a 1−ǫSolu¸˜o: Com efeito, dado ǫ > 0 arbitr´rio, podemos obter n0 natural tal que n0 > ca a ǫ . Ent˜o n > n0 Implica aque: 1−ǫ 1 1 1 −1 n−n−1 n n> ǫ = ǫ −1⇔n+1> ǫ ⇔ n+1 <ǫ⇔ n+1 <ǫ⇔ n+1 <ǫ⇔ n+1 − 1 < ǫ.Conclu´ ımos assim que: n limn→∞ n+1 = 1. 2
  3. 3. n+3Quest˜o 1.4.1.4.b) Mostre que limn→∞ n3 +4 = 0. a ǫ ǫSolu¸˜o: Com efeito, dado ǫ > 0 arbitr´rio, podemos obter m e k naturais, tais que: m2 2 > 1 e k 3 2 > 3. Desta ca aforma temos: ǫ ǫ ǫ ǫ ǫ ǫ ǫ ǫ ǫ m2 2 > 1 ⇔ m3 2 > m e k 3 2 > 3. Como m3 2 + 4 2 > m3 2 > m e k 3 2 + 4 2 > k 3 2 > 3, obtemos: ǫ 3 m ǫ ǫ 3 ǫ 2 (m + 4) > m ⇔ m3 +4 < 2 (I) e 2 (k 3 + 4) > 3 ⇔ k3 +4 < 2 (II).Tome agora n0 = max [m,k]. Logo, para todo n > n0 , obtemos: n+3 n+3 n+3 n 3 ǫ ǫ n3 +4 −0 = n3 +4 = n3 +4 = n3 +4 + n3 +4 < 2 + 2 = ǫ. por(I)/(II) n+3 ımos assim que limn→∞ n3 +4 = 0.Conclu´Quest˜o 1.4.1.8) Mostre que: a 1 1 1 limn→∞ ( (n+1)2 + (n+2)2 + ... + (2n)2 ) = 0.Solu¸˜o: Com efeito! Inicialmente observe que para todo n e k natural, vale: ca 1 1 n < n + k ⇔ (n + k)2 > n2 ⇔ (n+k)2 < n2 . 1Sendo assim, dado ǫ > 0 arbitr´rio, podemos obter n0 natural tal que n0 > a ǫ. Ent˜o, para todo n > n0 , temos a 1 1que: n > ǫ ⇔ n < ǫ. Mas: 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n = n2 = + 2 + ... + 2 > (n+1)2 + (n+2)2 + ... + (2n)2 = (n+1)2 + (n+2)2 + ... + (2n)2 = n2 n n n−parcelas 1 1 1 (n+1)2 + (n+2)2 + ... + (2n)2 −0 . 1 1 1 1Logo (n+1)2 + (n+2)2 + ... + (2n)2 −0 < n < ǫ. Conclu´ ımos assim que: 1 1 1 limn→∞ ( (n+1)2 + (n+2)2 + ... + (2n)2 ) =0 3

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