Explicación de proposiciones

1. Luis Miguel Brito Terán
UFT-Barquisimeto
Una proposición es un juicio declarativo, que es verdadero o falso pero no
ambos. Las proposiciones se simbolizan con letras minúsculas, como lo son:
p, q, r, s, t,…,etc.
Son ejemplos de proposiciones:
p: Mi nombre es Luis Miguel.
q: 3<5+2.
Una o varias proposiciones se pueden combinar para formar otras, mediante el
empleo de los conectivos, esto son operadores matemáticos como los siguientes:
Negación: ∼: 푁표
~푝: Cambia el valor lógico de la proposición negada.
Conjunción: ∧: 푦
푝 ∧ 푞: Esta proposición es verdadera solo cuando ambas proposiciones p y q son
verdaderas.
Disyunción: ∨: 표
푝 ∨ 푞: Esta proposición es verdadera cuando al menos una de las proposiciones p o q
son verdaderas.
Disyunción exclusiva: ∨: 표 … 표
푝 ∨ 푞: Esta proposición es verdadera cuando solo una de las proposiciones p o q es
verdaderas, pero no ambas.
Condicional: ⟶: 푠푖, … , 푒푛푡표푛푐푒푠
푝 ⟶ 푞: Esta proposición es verdadera para casi todos los valores lógicos de p y q
excepto cuando la proposición p (antecedente) es verdadera y el consecuente q es
falso.
BIcondicional: ⟷: 푠푖 푦 푠표푙표 푠í
푝 ⟷ 푞: Esta proposición es verdadera cuando los valores lógicos de p y q son iguales
(ambos verdaderos o ambos falsos).
Con las proposiciones y los conectivos se pueden crear proposiciones más
complejas, llamadas proposiciones moleculares o compuestas. Aquellas proposiciones
que no tienen conectivos se les llaman atómicas o simples.

2. Para analizar la veracidad de las proposiciones compuestas se emplea lo dicho
anterior mente tomando en cuenta la veracidad de cada proposición simple y la forma
que interactúan con los conectivos.
Una proposición compuesta que es VERDADERA para todo valor lógico de las
proposiciones que la forman se les llama TAUTOLOGIA.
Una proposición compuesta que es FALSA para todo valor lógico de las
proposiciones que la forman se les llama CONTRADICCIÓN.
Una proposición compuesta que es VERADERA Y FALSA para todo valor lógico
de las proposiciones que la forman se les llama CONTINGENCIA.
Una proposición compuesta formada por un bicondicional como conectivo
principal, tal que la proposición es una tautología se le llana EQUIVALENCIA
LÓGICA(⇔ 표 ≡).
Por otro lado, una proposición compuesta formada por un condicional como
conectivo principal, tal que la proposición es una tautología se le llana IMPLICACIÓN
LÓGICA (⇒).
Existen un grupo de proposiciones tautológicas, que se emplean para analizar
otras proposiciones estas proposiciones se les llama leyes del algebra proposicional.
LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL
En el cálculo o análisis proposicional se utilizan ciertas leyes lógicas o
tautológicas que veremos a continuación.
INVOLUCIÓN (Doble negación)
~ (~ p) ≡ p
IDEMPOTENCIA
p Λ p ≡ p
p v p ≡ p
CONMUTATIVA
p Λ q ≡ q Λ p
p v q ≡ q v p
ASOCIATIVA
p Λ (q Λ r) ≡ (p Λ q) Λ r
p v (q v r) ≡ (p v q) v r

3. DISTRIBUTIVA
p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) v (p Λ r)
p v (q Λ r) ≡ (p v q) Λ (p v r)
DE DE-MORGAN
~ (p Λ q) ≡ ~ p v ~ q
~ (p v q) ≡ ~ p Λ ~ q
ABSORCIÓN
p Λ (p v q) ≡ p
p v (p Λ q) ≡ p
DEL CONDICIONAL
p → q ≡ ~ p v q
~ (p → q) ≡ p Λ ~ q
p → q ≡ ~ q → ~ p
DEL BICONDICIONAL
p ↔ q ≡ (p → q) Λ (q → p)
p ↔ q ≡ (p Λ q) v (~ p Λ ~ q)
p ↔ q ≡ ~ (p ∨ q)
Para los razonamientos se tienen La leyes de inferencia:
Pontificia Universidad Católica del Ecuador
“Sede de Ibarra”

4. Francisco Aguilar
Paralelo “B”
ESCUELA: Arquitectura

5. METODOS DE DEMOSTRACIÓN
La demostración es un razonamiento o serie de razonamiento que prueba la validez
de un nuevo conocimiento estableciendo sus conexiones necesarias con otros
conocimientos.
Cuando un conocimiento queda demostrado, entonces se le reconoce como válido y es
admitido dentro de la disciplina correspondiente.
La demostración es el enlace, entre los conocimientos recién adquiridos y el conjunto
de los conocimientos anteriores.
El enlace entre los conocimientos recién adquiridos y los anteriores está constituidos
por una sucesión finita de proposiciones que o bien son postulados o bien son
conocimientos cuya validez se ha inferido de otras proposiciones, mediante
operaciones lógicas perfectamente coordinadas.
La demostración permite explicar unos conocimientos por otros y por tanto es una
prueba rigurosamente racional.
Sabemos que todas las proposiciones de una teoría matemática se clasifican en dos
tipos: las aceptadas sin demostración que son las definiciones (donde no hay nada por
demostrar) y los o
(que se toman como proposiciones de partida) y las deducidas, llamadas (que son
proposiciones cuya validez ha sido probada).
No siempre tenemos evidencia directa de la validez de un teorema. Eso depende en
parte su grado de complejidad y de nuestra mayor o menor familiaridad con su
contenido.
Un teorema requiere demostración cuando no hay evidencia de su validez.
Estructura de la demostración
La demostración consta de tres partes:

6. a) El conocimiento que se trata de demostrar, es decir la proposició (teorema) cuya
validez se trata de probar.
b) Los fundamentos empleados como base de la demostración.
c) El procedimiento usado para lograr que el conocimiento quede demostrado.
Los procedimientos de demostración permiten establecer la conexión lógica entre los
fundamentos y sus consecuencias sucesivas, hasta llegar como conclusión final a la
tesis que así se demuestra. Una tesis puede ser demostrada mediante distintos
procedimientos.
Tipos de demostración
Consideremos una demostración como un argumento que nos muestra que una
proposición condicional de la forma es lógicamente verdadera (es decir, verdadera en
todos los cosos posibles) donde es la o conjunción de las premisas y es la conclusión
del argumento.
Luego, si en el enunciado de un teorema se incluyen explícitamente las proposiciones
de partida, éste afirma que partiendo de cierta hipótesis se puede demostrar otra
proposición llamada.
Los procedimientos utilizados en la demostración están constituidos por distintas
formas de deducción o inferencia y se puede clasificar en varios tipos los cuales serán
estudiados
Métodos Deductivos de demostración.
Según el sistema aristotélico,el método deductivo es un proceso que parte de un
conocimiento general, y arriba a uno particular. La aplicación del método deductivo
nos lleva a un conocimiento con grado de certeza absoluta, y esta cimentado en
proposiciones llamadas SILOGISMOS.
He aquí un ejemplo:
“Todos las venezolanas son bellas” , (Este es el conocimiento general)

7. “Marta es venezolana”
luego:
“Marta es bella”
Se puede observar que partiendo de dos premisas, una de las cuales es una
hipótesis general se llega a una conclusión particular. También es de hacer notar que
en este ejemplo las premisas pueden ser verdaderas o pueden ser falsas, y por
consiguiente la conclusión puede ser igualmente verdadera o falsa.
En la lógica formal y sobre todo en el universo matemático, el proceso
deductivo tiene un significado un poco diferente, pues está basado en AXIOMAS, o
proposiciones que son verdaderas por definición.
Por ejemplo, un axioma es:
“EL TODO ES MAYOR QUE LA PARTE”, otro axioma es
“DOS COSAS IGUALES A UNA TERCERA SON IGUALES ENTRE SI”.
El primer axioma define el concepto de MAYOR, y el segundo el concepto de
IGUAL.
El método deductivo nos permite partir de un conjunto de hipótesis y llegara
una conclusión, pudiendo ser esta inclusive que el conjunto de hipótesis sea inválido.
Generalmente, en matemáticas, la deducción es un proceso concatenado del
tipo "si A entonces B, si B entonces C, si C entonces Al conjunto de HIPOTESIS +
DEMOSTRACION + CONCLUSIÖN se denomina TEOREMA.
La práctica de los razonamientos deductivos en el proceso de desarrollo del
pensamiento lógico matemático es muy importante. Constituye una herramienta
fundamental para el trabajo en la matemática y otras ciencias..
Demostración por el método directo.
Si tomamos una frase lógica condicional sencilla del tipo:
P⇒ Q
Que podemos analizar como “si se cumple P entonces se cumple
Q”.
Esto lo hacemos de forma natural sin complicarnos en hacer análisis más intensivos o
más extensivos pues lo hacemos de una forma innata.

8. Si decimos: “El cielo esta encapotado, va a llover” estamos realizando una asociación
de causa y efecto. En la cual “el cielo esta encapotado” es la causa y el efecto lógico es
que, “va a llover”.
Desde el punto de vista de la lógica esta relación es irrevocable.
Así mismo en una relación matemática se puede verificar esta sencilla relación en la
cual si se cumple la premisa P entonces se puede decir que se cumplira la
consecuencia Q.
A este proceso formal se le denomina “demostración mediante el método directo” es
innecesario decir que si no se cumple o verifica P entoces su consecuencia tampoco se
verificará.
¬P ⇒ ¬Q
Supóngase que P⇒ Q es una tautología, en donde P y Q pueden ser proposiciones
compuestas, en las que intervengan cualquier número de variables propositivas, se
dice que q se desprende lógicamente de p.
Supóngase una implicación de la forma.
(P1∧ P2∧ P3∧...∧ Pn)⇒Q
Es una tautología.
Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad de
cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende lógicamente
de P1,P2,......,Pn. Se escribe.
El camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando el
método directo.
Significa que sí se sabe que P1 es verdadera, P2 es verdadera,...... y Pn también es
verdadera, entonces se sabe que Q es verdadera.
La mayoría de los teoremas matemáticos cumplen con esta estructura básica:

9. (P1∧ P2∧ P3∧...∧ Pn)⇒Q
Donde las Pi condiciones son llamadas hipótesis o premisas, y Q es la conclusión.
“Demostrar un teorema” es demostrar que la condicional es una tautología.
Ojo, no se pide demostrar que la conclusión es verdadera, lo que se quiere es
demostrar que Q es verdadera siempre y cuando todas las Pi condiciones son
verdaderas.
En conclusión podemos decir que:
Cualquier demostración, sea de enunciados o matemática debe:
a. Comenzar con las hipótesis.
b. Debe seguir con las tautologías y reglas de inferencias necesarias para.
c. Llegar a la conclusión.
A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso tanto de las
tautologías como de las reglas de inferencia
Sean
p: Trabajo
q: Ahorro.
r: Compraré una casa.
s: Podré guardar el automóvil en mi casa.
Analizar el siguiente argumento:
"Si trabajo y ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces
podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche
en mi casa, entonces no ahorro".
El enunciado anterior se puede representar como:
p∧ q⇒ r;
y
r⇒ s; entonces
s'⇒ q'

10. Equivale también a probar el siguiente teorema:
[(p∧ q)⇒ r]∧ [r⇒ s]; [s'⇒ q']
Como se trata de probar un teorema de la forma general:
p1∧ p2∧...... ∧ pn entonces q
Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados válidos.
A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en
tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.
1.- (p∧ q)⇒ r Hipótesis
2.- r⇒ s Hipótesis
3.- p⇒ q Silogismo Hipotético
4.- q⇒r Silogismo Hipotético
5.- q⇒ s
6.- ¬s ⇒ ¬q Conclusión