Investigación

1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ
Sede - Azuero
Facultad de Ingeniería Eléctrica
Ingeniería Electromecánica
I Semestre
Grupo 7IE111
Asignatura:
CÁLCULO 3
“INVESTIGACIÓN #1”
Integrantes:
Héctor Delio Riande Gómez 7-710-1244
Dionisio Gallardo 6-720-495
Manuel Díaz 6-720-938
Marcial Quintero 6-719-2214
Luis Núñez 7-703-2027
Profesor: Edwin Pérez
2015

2. 1. MATRIZ
Concepto.
Una matriz es un arreglo rectangular bidimensional de números (llamados entradas de la
matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas
horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz
con n filas y m columnas se le denomina matriz n por m (escrito 𝑛 𝑥 𝑚) donde
𝑛, 𝑚 ∈ ℕ − {0}. El conjunto de las matrices de tamaño 𝑛 𝑥 𝑚 se representa como 𝑀 𝑛𝑥𝑚( 𝕂) ,
donde 𝕂 es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da
con el número de filas primero y el número de columnas después.
Ejemplo #1:
Dada la matriz 𝔸 ∈ ℳ4𝑥3(ℝ)
𝔸 = (
9 1 2
3 8 6
5
6
3
7
1
4
)
Es una matriz de 4x3.
Ejemplo #2:
Dada la matriz 𝔹 ∈ ℳ1𝑥7 (ℝ)
𝔹 = (3 2 7 1 4 9 2) Es una matriz de tamaño 1 x7.

3. 2. TIPOS DE MATRICES
2.1 Matriz Fila:
Concepto.
La matriz Fila es una matriz de dimensiones 1 𝑥 𝑛, esto es, una matriz formada por una sola
fila de 𝑛 elementos.
Ejemplo #1:
Dada la matriz 𝔸 ∈ ℳ1𝑥3(ℝ)
𝔸 = (4 7 1) Es una matriz de 1x3.
Ejemplo #2:
Dada la matriz 𝕀 ∈ ℳ1𝑥5(ℝ)
𝕀 = (4 2 7 1 9) Es una matriz de tamaño 1 x5.
.
2.2 Matriz Columna:
Concepto.
La matriz columna es una matriz de dimensiones 𝑚 𝑥 1, esto es, una matriz formada por una
sola columna de 𝑚 elementos
Ejemplo #1:
Dada la matriz 𝔸 ∈ ℳ3𝑥1(ℝ)
𝔸 = (
5
2
7
)
Es una matriz columna de 3x1.

4. Ejemplo #2:
Dada la matriz 𝕏 ∈ ℳ6𝑥1(ℝ)
𝕏 =
(
2
8
5
6
1
9 )
Es una matriz de tamaño 6 x1.
2.3 Matriz Cuadrada:
Concepto.
Una matriz de n por m elementos, es una matriz cuadrada si el número de filas es igual al
número columnas, es decir, n = m y se dice, entonces que la matriz es de orden n. Las
matrices cuadradas son las más utilizadas en álgebra.
Ejemplo #1:
Matriz Cuadrada para n = 3: (
4 1 6
3 8 4
9 2 3
)
Ejemplo #2:
Matriz Cuadrada para n = 2: (3 5
7 1
)

5. 2.4 Matriz Diagonal:
Concepto.
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en
la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di, j) es diagonal si:
𝑑𝑖,𝑗 = 0 , 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗
Ejemplo #1:
(
4 0 0
0 8 0
0 0 3
)
Ejemplo #2:
(3 0
0 1
)
2.5 Matriz Escalar:
Concepto.
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la
diagonal principal son iguales.
Ejemplo #1:
(
7 0 0
0 7 0
0 0 7
)
Ejemplo #2:
(4 0
0 4
)

6. 2.6 Matriz Identidad:
Concepto.
La matriz identidad es una matriz que cumple la propiedad de ser el elemento
neutro del producto de matrices. Esto quiere decir que el producto de cualquier matriz por la
matriz identidad (donde dicho producto esté definido) no tiene ningún efecto. La columna i-
ésima de una matriz identidad es el vector unitario de una base vectorial inmersa en
un espacio Euclídeo de dimensión n. Toda matriz representa una aplicación lineal entre dos
espacios vectoriales de dimensión finita. La matriz identidad se llama así porque representa
a la aplicación identidad que va de un espacio vectorial de dimensión finita a sí mismo. Como
el producto de matrices sólo tiene sentido si sus dimensiones son compatibles, existen
infinitas matrices identidad dependiendo de las dimensiones. 𝐼 𝑛, la matriz identidad de
tamaño 𝑛, se define como la matriz diagonal que tiene valor 1 en cada una de las entradas de
la diagonal principal, y 0 en el resto.
Ejemplo #1:
𝐼1 = (1)
Ejemplo #2:
𝐼3 = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)
2.7 Matriz Triangular:
Concepto.
Una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos elementos por encima
o por debajo de su diagonal principal son cero. Debido a que los sistemas de ecuaciones
lineales con matrices triangulares son mucho más fáciles de resolver, las matrices triangulares
son utilizadas en análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular
inversas y determinantes de matrices. El método de descomposición LU permite
descomponer cualquier matriz invertible como producto de una matriz triangular inferior L y
una superior U.

7.  Matriz Triangular Superior:
Una matriz cuadrada de orden n se dice que es triangular superior si es de la forma:
Ejemplo #1:
(
5 7 4
0 2 1
0 0 8
)
Ejemplo #2:
(5 3
0 −1
)
 Matriz Triangular Inferior:
Una matriz cuadrada de orden n se dice que es triangular superior si es de la forma:

8. Ejemplo #1:
Ejemplo #2:
𝐼3 = (
3 0 0
7 2 0
4 9 2
)
2.8 Matriz Traspuesta:
Concepto.
Sea una matriz con 𝑚 filas y 𝑛 columnas. La matriz transpuesta, denotada con 𝐴𝑡
.
Está dada por:
En donde el elemento 𝑎𝑖𝑗 de la matriz original A se convertirá en el elemento 𝑎𝑖𝑗 de la matriz
transpuesta 𝐴𝑡
.
Ejemplo #1:
(
2 8
5 1
3 7
) = (2 5 3
8 1 7
)

9. Ejemplo #2:
(
4 3 9
2 5 3
7
1
7
2
9
1
6
1
2)
= (
4 2 7 1 7
3 5 2 9 1
9 3 6 1 2
)
2.9 Matriz Simétrica:
Concepto.
Una matriz es simétrica si es una matriz cuadrada, la cual tiene la característica de ser igual
a su traspuesta. Una matriz de 𝑛 𝑥 𝑚 elementos:
Es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 para todo i, j con i, j =1, 2, 3,.., n.
Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal.
Ejemplo #1:
(
2 6 1
6 3 7
1 7 9
)

10. Ejemplo #2:
(
1 9 3
9 2 −1
3 −1 5
)
2.10 Matriz Antisimétrica:
Concepto.
Una Matriz Antisimétrica es una matriz cuadrada A cuya traspuesta es igual a su negativa,
es decir vale la relación AT = -A.
Una matriz de m × n elementos (m = filas, n = columnas):
es antisimétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y 𝑎𝑗𝑖 = −𝑎𝑖𝑗 para
todo i, j =1,2,3,...,n. En consecuencia, 𝑎𝑗𝑖 = 0 para toda i. Por lo tanto, la matriz A
asume la forma:

11. Ejemplo #1:
(
0 −9 3
9 0 1
−3 −1 0
)
Ejemplo #2:
(
0 2 −4
−2 0 3
4 −3 0
)
2.11 Matriz Nula:
Concepto.
Una matriz cero o matriz nula es una matriz con todos sus elementos iguales a cero.
Ejemplo #1:
01,1 = (0)
Ejemplo #2:
02,3 = (0 0 0
0 0 0
)

12. 3. OPERACIONES CON MATRICES
3.1 Igualdad de Matrices:
Algoritmo.
Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y cada elemento de la primera es
igual al elemento de la segunda que ocupa su misma posición. Es decir:
Sean 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )
𝑝×𝑞
, 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)
𝑟×𝑠
∈ 𝑀 𝑚,𝑛
𝑆𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝑝 = 𝑟, 𝑞 = 𝑠 ∧ (𝑎𝑖𝑗)
𝑚×𝑛
= (𝑏𝑖𝑗 )
𝑝× 𝑞
;
∀𝑖 = 1,2, … , 𝑚, ∀𝑗 = 1,2,… , 𝑛
Es decir
𝐴 =
(
𝐴11 𝐴12
… 𝐴1𝑞
𝐴21 𝐴22
… 𝐴2𝑞
⋮
𝐴 𝑝1
⋮
𝐴 𝑝2
⋮⋮⋮
…
⋮
𝐴 𝑝𝑞 )
= (
𝐵11 𝐵12 … 𝐵1𝑠
𝐵21 𝐵22 … 𝐵2𝑠
⋮
𝐵 𝑟1
⋮
𝐵 𝑟2
⋮⋮⋮
…
⋮
𝐵 𝑟𝑠
) = 𝐵
Ejemplo #1:
𝐴 = (
4 1 5
2 −3 0
) 𝑦 𝐵 = (
1 + 3 1 2 + 3
1 + 1 1 − 4 6 − 6
)
Podemos decir que A=B
Ejemplo #2:
𝐶 = (
3 9
8 1
) 𝑦 𝐷 = (
2 + 1 6 + 3
5 + 3 3 − 2
)
En este ejemplo también podemos concluir que C=D

13. 3.2 Adición de Matrices:
Algoritmo.
Sean 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 y 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 dos matrices m x n. Entonces la suma de A y B es la matriz m x n,
A + B dada por:
𝐴 + 𝐵 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 =
(
𝐴11 𝐴12
… 𝐴1𝑞
𝐴21 𝐴22
… 𝐴2𝑞
⋮
𝐴 𝑝1
⋮
𝐴 𝑝2
⋮⋮⋮
…
⋮
𝐴 𝑝𝑞 )
+ (
𝐵11 𝐵12 … 𝐵1𝑠
𝐵21 𝐵22 … 𝐵2𝑠
⋮
𝐵 𝑟1
⋮
𝐵 𝑟2
⋮⋮⋮
…
⋮
𝐵 𝑟𝑠
)
𝐴 + 𝐵 = (
𝐴11 + 𝐵11 𝐴12 + 𝐵12 … 𝐴1𝑛 + 𝐵1𝑛
𝐴21 + 𝐵21 𝐴22 + 𝐵22 … 𝐴2𝑛 + 𝐵2𝑛
⋮
𝐴 𝑚1 + 𝐵 𝑚1
⋮
𝐴 𝑚2 + 𝐵 𝑚2
⋮⋮⋮
…
⋮
𝐴 𝑚𝑛 + 𝐵 𝑚𝑛
)
Para sumar matrices deben tener la misma dimensión.
Ejemplo #1:
𝐴 = (
4 1 5
2 −3 0
) 𝑦 𝐵 = (
2 5 7
4 2 6
)
𝐴 + 𝐵 = (
4 + 2 1 + 5 5 + 7
2 + 4 −3 + 2 0 + 6
) = (
6 6 12
6 −1 6
)
Ejemplo #2:
𝐶 = (
3 9
8 1
) 𝑦 𝐷 = (
5 2
1 8
)
𝐶 + 𝐷 = (3 9
8 1
) + (5 2
1 8
) = (3 + 5 9 + 2
8 + 1 1 + 8
)
𝐶 + 𝐷 = (8 11
9 9
)

14. 3.3 Sustracción de Matrices:
Algoritmo.
Sean 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 y 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 dos matrices m x n. Entonces la suma de A y B es la matriz m x n,
A - B dada por:
𝐴 − 𝐵 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗 =
(
𝐴11 𝐴12
… 𝐴1𝑞
𝐴21 𝐴22
… 𝐴2𝑞
⋮
𝐴 𝑝1
⋮
𝐴 𝑝2
⋮⋮⋮
…
⋮
𝐴 𝑝𝑞 )
− (
𝐵11 𝐵12 … 𝐵1𝑠
𝐵21 𝐵22 … 𝐵2𝑠
⋮
𝐵 𝑟1
⋮
𝐵 𝑟2
⋮⋮⋮
…
⋮
𝐵 𝑟𝑠
)
𝐴 − 𝐵 = (
𝐴11 − 𝐵11 𝐴12 − 𝐵12 … 𝐴1𝑛 − 𝐵1𝑛
𝐴21 − 𝐵21 𝐴22 − 𝐵22 … 𝐴2𝑛 − 𝐵2𝑛
⋮
𝐴 𝑚1 − 𝐵 𝑚1
⋮
𝐴 𝑚2 − 𝐵 𝑚2
⋮⋮⋮
…
⋮
𝐴 𝑚𝑛 − 𝐵 𝑚𝑛
)
Ejemplo #1:
𝐴 = (
3 1 2
2 −9 0
) 𝑦 𝐵 = (
9 5 7
1 4 6
)
𝐴 − 𝐵 = (
3 − 9 1 − 5 2 − 7
2 − 1 −9 − 4 0 − 6
) = (
−6 −4 −5
1 −5 −6
)
Ejemplo #2:
𝐶 = (
7 9
8 2
) 𝑦 𝐷 = (
8 3
2 5
)
𝐶 − 𝐷 = (7 9
8 2
) − (8 3
2 5
) = (7 − 8 9 − 3
8 − 2 2 − 5
)
𝐶 + 𝐷 = (−1 6
6 −3
)

15. 3.4 Producto de un Escalar por una Matriz:
Algoritmo.
Si 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 es una matriz de m x n y si 𝛼 es un escalar, entonces la matriz m x n, 𝛼𝐴 está dada
por:
𝛼𝐴 = (𝛼𝑎𝑖𝑗) = (
𝛼𝐴11 𝐴𝛼12 … 𝛼𝐴1𝑛
𝛼𝐴21 𝛼𝐴22 … 𝛼𝐴2𝑛
⋮
𝛼𝐴 𝑚1
⋮
𝛼𝐴 𝑚2
⋮⋮⋮
…
⋮
𝛼𝐴 𝑚𝑛
)
Esto es 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 es la matriz obtenida al multiplicar cada componente de A por 𝛼.
Si 𝛼𝐴 = (𝛼𝑎𝑖𝑗) = 𝐵 = ( 𝑏𝑖𝑗), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑏𝑖𝑗 = 𝛼𝑎𝑖𝑗, ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑚, ∀𝑗 = 1,2, … , 𝑛
Ejemplo #1:
Sea 𝐴 = (
4 1 5
2 −3 0
) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 2𝐴 = (
2(4) 2(1) 2(5)
2(2) 2(−3) 2(0)
)
2𝐴 = (
8 2 10
4 −6 0
)
Ejemplo #2:
Sea 𝐶 = (
3 9
8 1
) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 4𝐶 = (
4(3) 4(9)
4(8) 4(1)
)
4𝐶 = (12 36
32 4
)

16. 3.5 Multiplicación de Matrices:
Algoritmo.
Sean 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) una matriz de 𝑝 × 𝑞 , y 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) una matriz de 𝑞 × 𝑠. Entonces el producto
de A y B es una matriz m x p, 𝐶 = (𝐶𝑖𝑗) en donde:
𝑐𝑖𝑗 = ( 𝑟𝑒𝑛𝑔𝑙𝑜𝑛 𝑖 𝑑𝑒 𝐴)( 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑗 𝑑𝑒 𝐵)
Es decir, el elemento ij de AB es el producto punto del renglón i de A y la columna j de B. Si esto se
extiende, se obtiene:
𝐴 ∙ 𝐵 =
(
𝐴11 𝐴12
… 𝐴1𝑞
𝐴21 𝐴22
… 𝐴2𝑞
⋮
𝐴𝑖1
𝐴 𝑝1
⋮
𝐴𝑖2
𝐴 𝑝2
⋮⋮⋮
…
⋮
𝐴1𝑛
𝐴 𝑝𝑞 )
(
𝐵11 𝐵12 … 𝐵1𝑗 𝐵1𝑠
𝐵21 𝐵22 … 𝐵2𝑗 𝐵2𝑠
⋮
𝐵 𝑟1
⋮
𝐵 𝑟2
⋮⋮⋮
…
⋮ ⋮
𝐵1𝑞 𝐵 𝑞𝑠
)
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1 ∙ 𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2 ∙ 𝑏2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑞 ∙ 𝑏1𝑞
Si el número de columnas de A es igual al número de renglones de B, entonces se dice que A
y B son compatibles bajo la multiplicación.
Ejemplo #1:
𝑆𝑖 𝐴 = (
1 3
−2 4
) 𝑦 𝐵 = (
3 −2
5 6
)
A es una matriz de 2 x 2 y B es una matriz de 2 x 2, entonces C = AB = (2 x 2) x (2 x 2)
también es una matriz de 2 x 2. Si 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗), ¿cuál es el valor de c11? Se sabe que:
c11 = (1er. renglón de A) x (1a. columna de B)

17. 𝑐11 = (1 3)(
3
5
) = 3 + 15 = 18
De manera similar, para calcular c12 se tiene:
𝑐12 = (1 3)(
−2
6
) = −2 + 18 = 16
Siguiendo el procedimiento se encuentra que
𝑐21 = (−2 4)(
3
5
) = −6 + 20 = 18
𝑐22 = (−2 4)(
−2
6
) = 4 + 24 = 28
Entonces
𝐶 = 𝐴𝐵 = (
18 16
14 28
)
Ejemplo #2:
𝑆𝑒𝑎 𝐴 = (
2 0 −3
4 1 5
) 𝑦 𝐵 = (
7 −1 4 7
2 5 0 −4
−3 1 2 3
)
Primero observe que A es una matriz de 2 x 3 y B es una matriz de 3 x 4.
Por lo que el número de columnas de A es igual al número de renglones de B. Por lo tanto, el
producto AB está definido y es una matriz de 2 x 4. Sea AB = 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗). Entonces
𝑐11 = (2 0 −3)(
7
2
−3
) = 14 + 0 − 9 = 5
𝑐12 = (2 0 −3)(
−1
5
1
) = −2 + 0 − 3 = −5
𝑐13 = (2 0 −3)(
4
0
2
) = 8 + 0 − 6 = 2

18. 𝑐14 = (2 0 −3)(
7
−4
3
) = 14 + 0 − 9 = 5
𝑐21 = (4 1 5)(
7
2
−3
) = 28 + 2 − 15 = 15
𝑐22 = (4 1 5)(
−1
5
1
) = −4 + 5 + 5 = 6
𝑐23 = (4 1 5)(
4
0
2
) = 16 + 0 + 10 = 26
𝑐24 = (4 1 5)(
7
−4
3
) = 28 − 4 + 15 = 39
Así 𝐴𝐵 = (
23 −5 2 5
15 6 26 39
)

19. BIBLIOGRAFIA
1. Stanley I. Grossman S., José Job Flores Godoy: Algebra Lineal. México D.F. Séptima
Edición. McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V. 2014.
2. Gilbert Strang: Algebra Lineal y sus Aplicaciones. México. Cuarta edición. Edmundo
Palacios Pastrana. Universidad Iberoamericana. International Thomson Editores, S.A. 2007.
3. Colaboradores de Wikipedia: Matriz [en línea]. Wikipedia, La enciclopedia libre, 2015.
[Fecha de consulta: 8 de agosto del 2015]. Disponible en https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz
4. F. Ayres Jr., Teoría y problemas de matrices. McGraw-Hill, 1991.
5. J. Rojo e I. Martín, Ejercicios y problemas de álgebra. McGraw-Hill, 1994.
6. F. Granero, Álgebra y geometría analítica. McGraw-Hill, 1992.
7. J. Flaquer y otros, Curso de álgebra lineal. Ediciones Universidad de Navarra, 1996.
8. P. Sanz y otros, Problemas de álgebra lineal. Prentice Hall, 1998.
9. M. Castellet e I. Llerena, Álgebra lineal y geometría. Reverté, 1991.
10. J. Arvesú y otros, Álgebra lineal y aplicaciones. Síntesis, 1999.
11. J. Pérez Vilaplana. Problemas de cálculo de probabilidades. Paraninfo, 1991.
12. S. Lipschutz, M. L. Lipson. Teoría y problemas de probabilidad. McGraw-Hill, 2000.