1. Resumen: Funciones Trigonométricas http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm9.html
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Cálculo aplicado resumen del tema: funciones trigonométricas
Herramientas: Evaluador y Graficador de Funciones | Graficador Excel
Tópicos: La función seno | La función coseno | Identidades trigonométricas fundamentales | Las otras funciones trigonométricas |
Derivadas de funciones trigonométricas | Integrales indefinidas de funciones trigonométricas
La función seno Ejemplos
Definición geométrica Considere la siguiente gráfica, que muestra una curva de
El seno de un número real t es la coordenada y (altura) del punto P en el seno "general" (desplazada y escalada):
siguiente diagrama, donde |t| es el largo del arco que se indica.
Pregunta ¿Que es la ecuación de la gráfica?
Contesta Consultando la función seno generalizado a la
izquierda, vemos que la ecuación de esta curva es:
sin t = coordenada y del punto P
y = A sin[ω(x-α)] + C,
Definición "rueda bicicleta"
Si una rueda cuyo radio es 1 roda hacia delante a una velocidad de 1 unidad donde
por segundo, sin t el la altura de un marcador fijo en su neumático después
de t segundas, si se empieza a medio camino entre la parte superior y la La línea base (el punto medio de oscilación) se ubica
parte inferior de la rueda. 2 unidades abajo del eje x
A = amplitud (la altura de cada máximo arriba de la
línea base) = 2
C = desplazamiento vertical = coordenada y de la
línea base = -2
P = periodo (el longitud de casa ciclo, o distancia de
un máximo al siguiente) = 4
ω = frecuencia angular = 2π/P = 2π/4 = π/2
α = desplazamiento de faso = 1 Esta es la distancia
Gráfica de la función seno horizontal del eje y al primero punto donde la
gráfica cruza la línea base.
Entonces, la ecuación de la curva más arriba es
y = 2 sin[π/2 (x - 1)] - 2
Para comprobar que sirve esta ecuación, pruebela en la
evaluador y graficador de funciones o en la graficador Excel
(si tienes Excel en su computadora).
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y = sin x
Función seno general
La función seno "generalizado" tiene la siguiente forma:
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y = A sin[ω(x - α)] + C
A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base).
C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).
P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo).
ω es la frecuencia angular, y se expresa por
ω= 2π/P o P = 2π/ω.
α es el desplazamiento de faso.
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La función coseno Ejemplos
Definición geométrica Considere la siguiente gráfica, que muestra la misma curva
El coseno de un número real t es la coordenada x del punto P en el siguiente de seno "general" (desplazada y escalada) que más arriba:
diagrama, donde |t| es el largo del arco que se indica.
Pregunta ¿Esta vez, que es su ecuación, esta vez escrita
como una función coseno general?
Contesta Consultando la función coseno generalizado a la
cos t = coordenada x del punto P izquierda, vemos que la ecuación de esta curva es:
sin t = coordenada y del punto P
y = A cos[ω(x-α)] + C,
Gráfica de la función coseno
donde
La línea base (el punto medio de oscilación) se ubica
2 unidades abajo del eje x
A = amplitud (la altura de cada máximo arriba de la
línea base) = 2
C = desplazamiento vertical = coordenada y de la
línea base = -2
P = periodo (el longitud de casa ciclo, o distancia de
un máximo al siguiente) = 4
y = cos x ω = frecuencia angular = 2π/P = 2π/4 = π/2
α = desplazamiento de faso = 2 Es distinto para
Función coseno general coseno: la distancia horizontal del eje y al
La función coseno "generalizado" tiene la siguiente forma: primero máximo.
Entonces, la ecuación de la curva más arriba es:
y = 2 cos[π/2 (x - 2)] - 2
Para comprobar que sirve esta ecuación, pruebela en la
evaluador y graficador de funciones o en la graficador Excel
(si tienes Excel en su computadora). .
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y = A cos[ω(x - α)] + C
A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base).
C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).
P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo).
ω es la frecuencia angular, y se expresa por
ω= 2π/P o P = 2π/ω.
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α es el desplazamiento de faso.
Identidades trigonométricas fundamentales: Relaciones Ejemplos
entre seno y coseno
Por la identidad a la izquierda obtenemos
El seno y coseno de un número t se relacionan con
1 + cos2x
2 2
sin t + cos t = 1 sin2x = 1 - cos2 x
Podemos obtener la curva coseno desplazando la curva seno hacia la cos2 x - 1
izquierda una distancia igual a π/2. A la inversa, podemos obtener la curva
seno desplazando la curva coseno π/2 hacia la derecha. Estos hechos se Por la identidad penúltima a la izquierda obtenemos:
puede expresar como sigue
sin π/2
cos t = sin(t + π/2)
cos π/3 = sin π/3
sin t = cos(t - π/2)
sin π/6
Formulación alternativa
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Podemos también obtener la curva coseno por primero invertiendo la curva
seno de manera vertical (reemplace t por -t) y después desplazando hacia la
derecha una distancia igual a π/2. Esto nos da dos formulas alternativas (que
son mas fáciles de recordar):
cos t = sin(π/2 - t) El coseno es el seno del complemento.
sin t = cos(π/2 - t) El seno es el coseno del complemento.
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The Other Trigonometric Functions
The ratios and reciprocals of sine and cosine are given their own names:
sin x
Tangent tan x =
cos x
cos x 1
Cotangent: cot x = cot x = =
sin x tan x
1
Secant: sec x =
cos x
1
Cosecant: csc x = csc x =
sin x
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Derivadas de funciones trigonométricas Ejemplo
La siguiente tabla resume las derivadas de las seis funciones d
1. x sin x = 1.sin x + x cos x Regla del producto
trigonométricas, y también sus homólogos que se surgen de la regla de la dx
cadena (es decir, el seno, coseno, etc. de una función).
= sin x + x cos x
Regla generalizada d d
Regla original 2. 2 = 2 2
(Regla de la cadena) dx cos(2x +1) sin(2x +1) dx (2x +1)
d d du = sin(2x2+1).4x = 4x sin(2x2+1)
sin x = cos x sin u = cos u
dx dx dx
d d 3
3. 3 = sec(x3) tan(x3)
dx sec(x ) dx (x )
d d du
cos x = - sin x cos u = - sin u
dx dx dx = sec(x3) tan(x3) . 3x2
= 3x2 sec(x3) tan(x3 )
d 2 d 2 du
dx tan x = sec x dx tan u = sec u dx
d
5. 2
dx x cos(x )
= Use formato correcto para
d 2 d 2 du graficadora/computadora
dx cot x = - csc x dx cot u = - csc u dx
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d sec x = sec x tan d sec u = sec u tan du
dx x dx u dx
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d
d csc u
csc x dx
dx
du
= - csc x cot x = - csc u cot u
dx
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Indefinite Integrals of Trigonometric Functions
d
sin x dx = -cos x + C Porque -cos x = sin x
dx
d
cos x dx = sin x + C Porque sin x = cos x
dx
d
tan x dx = -ln |cos x| + C Porque -ln |cos x| = tan x
dx
cot x dx = ln |sin x| + C
sec x dx = ln |sec x + tan x| + C
csc x dx = -ln |csc x + cot x| + C
d
sec2 x dx = tan x + C Porque 2
dx tan x = sec x
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Ultima actualización: julio 2007
Derechos de autor © 2007 Stefan Waner
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