1. Escola Básica 2,3/S de Vila Nova de
CERVEIRA
A c t i v i da d e d e I n v e s t i g a ç ã o
Ano de Escolaridade: 11º
Tema 1: Geometria Analítica
1997 -1ª Fase, 1ª Chamada
1. Considera, num referencial o.n. Oxyz, um cilindro de
revolução como o representado na figura junta. A base
inferior do cilindro tem centro na origem O do referencial e
está contida no plano xOy. [BC] é um diâmetro da base
inferior, contido no eixo Oy. O ponto C tem coordenadas
(0; -5; 0). O ponto A pertence à circunferência que limita a
base inferior do cilindro e tem coordenadas (4; 3; 0). A
recta r passa no ponto B e é paralela ao eixo Oz. O ponto
D pertence à recta e à circunferência que limita a base
superior do cilindro.
a) Justifica que a recta AC é perpendicular a AB.
b) Escreve uma equação vectorial da recta r.
c) Justifica que AC é um vector perpendicular ao plano ABD. Determina uma
equação desse plano.
d) Designando por α a amplitude, em radianos, do ângulo BOD, mostra que o volume
 π
do cilindro é dado por V (α) = 125tgα , com α ∈0;  .

2
1997 – 1ª Fase, 2ª Chamada
2. Considera, num referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide
regular de base quadrada. O vértice V da pirâmide pertence
ao semi-eixo positivo Oz. A base da pirâmide está contida
no plano xOy. A aresta [PQ] é paralela ao eixo Oy. O ponto
Q tem coordenadas (2; 2; 0).
a) Sabendo que, na unidade considerada, o volume da
pirâmide é igual a 32, mostra que o vértice tem de
coordenada (0; 0; 6).
b) Mostra que o plano QRV pode ser definido pela equação
3y + z = 6.
c) Determina uma condição que defina a recta que passe
pela origem do referencial e é perpendicular ao plano QRV.
d) Justifica que a intersecção da aresta [QV] com o plano
de equação z = 3 é o ponto M (1; 1; 3). Determina área da
secção produzida na pirâmide por esse plano.

2. 1997 – 2ª Fase
3. Considera o prisma representado num referencial o.n.
Oxyz. Sabe-se que:
•
•
•
os pontos A; B e C pertencem à base inferior do
prisma, a qual está contida no plano xOy e tem por
centro a origem do referencial;
os pontos D; E; F e G pertencem à base superior do
prisma, a qual está contida no plano z = 12;
o ponto C tem coordenadas (0; 4; 0).
(
)
12 ;2;0 e aproveita este resultado para
a) Mostre que o ponto B tem coordenadas
justificar que o ponto G em coordenadas − 12 ;2;12 . (o lado do hexágono regular
é igual ao raio da circunferência circunscrita ao hexágono)
4
b) Mostra que a recta DG pode ser definida por 3 x + y =− ∧ z =12 .
c) Determina a intersecção da recta DG com o plano que contém a face [ABFE] do
prisma.
(
)
1998 -1ª Fase, 1ª Chamada
Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um
sólido formado por um cubo e uma pirâmide quadrangular
regular. A base da pirâmide coincide com a face superior
do cubo. O vértice O coincide com a origem do referencial;
o vértice N pertence ao semi-eixo positivo Ox; o vértice P
pertence ao semi-eixo positivo Oy; o vértice S pertence ao
semi-eixo positivo Oz; a altura da pirâmide é igual ao
comprimento da aresta do cubo; o vértice V tem
coordenadas (3; 3; 12).
a) Justifica que UQ = 6 e UV =3 6 .
b) Determina a intersecção da recta que contém a aresta
[UV] com o plano de equação x = 4.
c) Considera um ponto A pertencente à aresta [UQ]. Um
plano que contenha o ponto A e que seja paralelo ao
plano xOy divide o sólido representado na figura em duas
partes. Determina a cota do ponto A de modo que sejam
iguais os volumes dessas partes.