Apostila de Exercícios da
Disciplina de Pesquisa
Operacional I
Luís Alberto Duncan Rangel
UFF – EEIMVR – Volta Redonda
Dep...
SUMÁRIO
6. Método SIMPLEX:
6.1 Introdução ao Método SIMPLEX
6.2 Forma Padrão de um PPL
6.3 Transformação de um PPL para a ...
6.1 Introdução ao Método SIMPLEX
O algoritmo Simplex foi desenvolvido por Dantzig em 1947.
O objetivo do algoritmo é otimi...
6.1 Introdução ao Método SIMPLEX
Um Problema de Programação Linear na forma geral.
Max (ou Min) Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + ....
6.1 Introdução ao Método SIMPLEX
Nesta forma, pode-se associar o seguinte significado a cada
elemento do modelo do PPL:
x ...
6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão
Nesta forma do modelo matemático as restrições do modelo são
descritas atr...
6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão
Em notação matricial tem-se:
Max (ou Min) Z = C.X
6. Método SIMPLEX
Max (o...
6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão
6.2.1 Desigualdade do tipo menor ou igual:
Se uma restrição for representa...
6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão
6.2.1 Desigualdade do tipo menor ou igual:
Exemplo. Coloque o PPL abaixo n...
6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão
6.2.1 Desigualdade do tipo menor ou igual:
Na Forma Padrão
MAX Z = 6X1 + 2...
6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão
6.2.1 Desigualdade do tipo maior ou igual:
Se uma restrição for representa...
6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão
6.2.2 Desigualdade do tipo maior ou igual:
Exemplo. Coloque o PPL abaixo n...
6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão
6.2.2 Desigualdade do tipo maior ou igual:
Na Forma Padrão:
6. Método SIMP...
6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão
6.2.3 Variável sem restrição de sinal:
Se uma variável do modelo matemátic...
6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão
6.2.3 Variável sem restrição de sinal:
Desta forma, esta variável será sub...
6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão
6.2.4 Lado direito negativo:
Se uma restrição apresenta um valor negativo ...
6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão
6.2.5 Equivalência entre Min e Max:
Se um PPL tiver por objetivo a minimiz...
6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão
6.2.6 Exercício – Coloque o PPL na Forma Padrão:
MAX Z = 4X1 + 3X2 + 5X4
S...
6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão
6.2.6 Exercício – Coloque o PPL na Forma Padrão:
Na Forma Padrão:
6. Métod...
6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão
6.2.6 Exercício – Coloque o PPL na Forma Padrão:
MIN Z = 2X1 - X2 + 3X3
S....
6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão
6.2.6 Exercício – Coloque o PPL na Forma Padrão:
Na Forma Padrão:
6. Métod...
6.3 Algoritmo SIMPLEX:
MAX Z = 5X1 + 2X2
S.A.
X1 <= 3
6. Método SIMPLEX
X1 <= 3
X2 <= 4
X1 + 2X2 <=9
X1>=0; X2>=0
6.3 Algoritmo SIMPLEX:
Na Forma Padrão temos:
MAX Z = 5X1 + 2X2
6. Método SIMPLEX
MAX Z = 5X1 + 2X2
S.A.
X1 + XF3 = 3
X2 +...
6.3 Algoritmo SIMPLEX:
Preencher o quadro com os coeficientes do PPL na Forma
Padrão:
MAX Z = 5X1 + 2X2 => Z – 5X1 – 2X2 =...
6.3 Algoritmo SIMPLEX:
6. Método SIMPLEX
Q1
VB Z X1 X2 XF3 XF4 XF5 B
FO 1 -5 -2 0 0 0 0
XF3 0 1 0 1 0 0 3
XF4 0 0 1 0 1 0 ...
6.3 Algoritmo SIMPLEX:
6. Método SIMPLEX
Q1
VB Z X1 X2 XF3 XF4 XF5 B
FO 1 -5 -2 0 0 0 0
XF3 0 1 0 1 0 0 3 3 / 1 = 3
XF4 0 ...
6.3 Algoritmo SIMPLEX:
6. Método SIMPLEX
Q1
VB Z X1 X2 XF3 XF4 XF5 B
FO 1 -5 -2 0 0 0 0
XF3 0 1 0 1 0 0 3 3 / 1 = 3
XF4 0 ...
6.3 Algoritmo SIMPLEX:
6. Método SIMPLEX
Q1
VB Z X1 X2 XF3 XF4 XF5 B
FO 1 -5 -2 0 0 0 0
XF3 0 1 0 1 0 0 3 3
XF4 0 0 1 0 1 ...
6.3 Algoritmo SIMPLEX:
6. Método SIMPLEX
Q3
VB Z X1 X2 XF3 XF4 XF5 B
FO 1 0 0 4 0 1 21
X1 0 1 0 1 0 0 3
XF4 0 0 0 0,5 1 -0...
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6 0 cap 006

  1. 1. Apostila de Exercícios da Disciplina de Pesquisa Operacional I Luís Alberto Duncan Rangel UFF – EEIMVR – Volta Redonda Departamento de Engenharia de Produção Capítulo 6
  2. 2. SUMÁRIO 6. Método SIMPLEX: 6.1 Introdução ao Método SIMPLEX 6.2 Forma Padrão de um PPL 6.3 Transformação de um PPL para a Forma Padrão 6.5 Algoritmo Simplex através dos quadros 6.6 Tipos de soluções de um PPL6.6 Tipos de soluções de um PPL 6.6.1 Uma única solução ótima 6.6.2 Múltiplas ou infinitas soluções ótimas 6.7 Método das Duas Fases 6.7.1 Uma única solução ótima 6.7.2 Múltiplas ou infinitas soluções ótimas 6.7.3 Solução ilimitada 6.7.4 Sem solução 6.7.5 PPL degenerado, Exercícios
  3. 3. 6.1 Introdução ao Método SIMPLEX O algoritmo Simplex foi desenvolvido por Dantzig em 1947. O objetivo do algoritmo é otimizar a função objetivo. Para fazer isto é necessário colocar o PPL esteja em uma forma adequada para implementar o algoritmo. 6. Método SIMPLEX para implementar o algoritmo.
  4. 4. 6.1 Introdução ao Método SIMPLEX Um Problema de Programação Linear na forma geral. Max (ou Min) Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + . . . + cnxn Sujeito a: a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn <= b1 6. Método SIMPLEX Sujeito a: a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn <= b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn >= b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + . . . + a3nxn = b3 . . . am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = bm x1>=0; x2>=0; x3>=0; . . . ; xn>=0
  5. 5. 6.1 Introdução ao Método SIMPLEX Nesta forma, pode-se associar o seguinte significado a cada elemento do modelo do PPL: x (n.x.1) é o vetor coluna das variáveis de decisão do PPL c (1.x.n) é o vetor linha dos coeficientes da função objetivo do PPL 6. Método SIMPLEX c (1.x.n) é o vetor linha dos coeficientes da função objetivo do PPL A (m.x.n) é a matriz dos coeficientes tecnológicos do PPL B (m.x.1) é o vetor coluna dos coeficientes dos recursos disponíveis ou necessários do PPL.
  6. 6. 6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão Nesta forma do modelo matemático as restrições do modelo são descritas através de equações lineares. Não existem inequações nesta forma de representação do modelo matemático. Max (ou Min) Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + . . . + cnxn Sujeito a: a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1 6. Método SIMPLEX Sujeito a: a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + . . . + a3nxn = b3 . . . amx1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = bm x1>=0; x2>=0; x3>=0; . . . ; xn>=0
  7. 7. 6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão Em notação matricial tem-se: Max (ou Min) Z = C.X 6. Método SIMPLEX Max (ou Min) Z = C.X Sujeito a: A.X = B X>=0
  8. 8. 6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão 6.2.1 Desigualdade do tipo menor ou igual: Se uma restrição for representada da seguinte forma: X1 + 3X2 + 5X3 <= 9 6. Método SIMPLEX X1 + 3X2 + 5X3 <= 9 Para transforma esta restrição, faz-se necessário a inserção de uma variável de folga. Desta forma, tem-se: X1 + 3X2 + 5X3 + XF4 = 9
  9. 9. 6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão 6.2.1 Desigualdade do tipo menor ou igual: Exemplo. Coloque o PPL abaixo na forma padrão: MAX Z = 6X1 + 2X2 + 4X3 6. Método SIMPLEX MAX Z = 6X1 + 2X2 + 4X3 S.A. 3X1 - 5X2 <= 31 8X1 + 9X3 <= 29 X1>=0; X2>=0; X3>=0
  10. 10. 6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão 6.2.1 Desigualdade do tipo menor ou igual: Na Forma Padrão MAX Z = 6X1 + 2X2 + 4X3 6. Método SIMPLEX MAX Z = 6X1 + 2X2 + 4X3 S.A 3X1 - 5X2 + XF4 = 31 8X1 + 9X3 + XF5 = 29 X1>=0; X2>=0; X3>=0, XF4>=0, XF5>=0
  11. 11. 6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão 6.2.1 Desigualdade do tipo maior ou igual: Se uma restrição for representada da seguinte forma: 7X3 + 4X5 >= 13 6. Método SIMPLEX 7X3 + 4X5 >= 13 Para transforma esta restrição, faz-se necessário a inserção de uma variável de excesso (que é uma variável de folga com sinal negativo). Desta forma, tem-se: 7X3 + 4X5 – XF6 = 13
  12. 12. 6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão 6.2.2 Desigualdade do tipo maior ou igual: Exemplo. Coloque o PPL abaixo na forma padrão: 6. Método SIMPLEX MAX Z = X1 + 2X4 – 5X5 SUJEITO A X1 - 3X3 >= 27 2X2 + 9X4 >= 16 X1>=0; X2>=0; X3>=0; X4>=0; X5>=0
  13. 13. 6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão 6.2.2 Desigualdade do tipo maior ou igual: Na Forma Padrão: 6. Método SIMPLEX MAX Z = X1 + 2X4 – 5X5 SUJEITO A X1 - 3X3 – XF6 = 27 2X2 + 9X4 – XF7 = 16 X1>=0; X2>=0; X3>=0; X4>=0; X5>=0 XF6>=0; XF7>=0
  14. 14. 6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão 6.2.3 Variável sem restrição de sinal: Se uma variável do modelo matemático puder assumir qualquer valor, isto é, valores positivos, negativos ou nulos, é necessário a sua substituição por duas outras variáveis que só possam assumir valores positivos. 6. Método SIMPLEX valores positivos. X4 – pode assumir qualquer valor (X4 – qq).
  15. 15. 6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão 6.2.3 Variável sem restrição de sinal: Desta forma, esta variável será substituída pela expressão: 6. Método SIMPLEX X4 = X41 – X42 sendo que X41 >=0; e X42 >= 0. Assim: Se X41 > X42 o valor a ser assumido por X4 é positivo. Se X41 < X42 o valor a ser assumido por X4 é negativo. Se X41 = X42 o valor a ser assumido por X4 é nulo.
  16. 16. 6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão 6.2.4 Lado direito negativo: Se uma restrição apresenta um valor negativo no lado direito, para colocar esta restrição na forma padrão, tem-se que multiplicar toda a restrição por (-1), alterando os sinais das constantes, invertendo 6. Método SIMPLEX a restrição por (-1), alterando os sinais das constantes, invertendo o sinal da inequação e alterando o valor do lado direito da restrição por um valor positivo. Por exemplo: 2x1 – 7x2 >= - 9 Multiplicando a restrição por (-1) tem-se: - 2x1 + 7x2 <= 9
  17. 17. 6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão 6.2.5 Equivalência entre Min e Max: Se um PPL tiver por objetivo a minimização da FO, pode-se fazer a transformação deste PPL de minimização em maximização, através 6. Método SIMPLEX transformação deste PPL de minimização em maximização, através da multiplicação da FO do PPL de minimização por (-1). Desta forma, estar-se-á trabalhando com o simétrico da FO, e nada será alterado em relação à otimização da FO. Por exemplo: (FO) MIN Z = 3X1 – 2X2 Multiplicando a FO por (-1) ter-se-á: (FO) MAX - Z = - 3X1 + 2X2
  18. 18. 6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão 6.2.6 Exercício – Coloque o PPL na Forma Padrão: MAX Z = 4X1 + 3X2 + 5X4 S.A. 6. Método SIMPLEX S.A. 2X2 + 4X3 + 3X4 <= 24 3X1 + 2X2 + 4X3 <= 48 4X1 - 4X2 + 5X4 <= 80 X1>=0; X2>=0; X3>=0; X4>=0
  19. 19. 6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão 6.2.6 Exercício – Coloque o PPL na Forma Padrão: Na Forma Padrão: 6. Método SIMPLEX MAX Z = 4X1 + 3X2 + 5X4 S.A. 2X2 + 4X3 + 3X4 + XF5 = 24 3X1 + 2X2 + 4X3 + XF6 = 48 4X1 - 4X2 + 5X4 + XF7 = 80 X1>=0; X2>=0; X3>=0; X4>=0 XF5>=0; XF6=0; XF7>=0
  20. 20. 6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão 6.2.6 Exercício – Coloque o PPL na Forma Padrão: MIN Z = 2X1 - X2 + 3X3 S.A. 6. Método SIMPLEX S.A. X2 + 3X3 >= 12 2X1 - X2 >= 14 3X1 + 2X2 + X3 <= 80 X1>=0; X2>=0; X3>=0
  21. 21. 6.2 Transformação de um PPL para a Forma Padrão 6.2.6 Exercício – Coloque o PPL na Forma Padrão: Na Forma Padrão: 6. Método SIMPLEX MAX - Z = - 2X1 + X2 - 3X3 S.A. X2 + 3X3 – XF4 = 12 2X1 - X2 – XF5 = 14 3X1 + 2X2 + X3 + XF6 = 80 X1>=0; X2>=0; X3>=0 XF4>=0; XF5=0; XF6>=0
  22. 22. 6.3 Algoritmo SIMPLEX: MAX Z = 5X1 + 2X2 S.A. X1 <= 3 6. Método SIMPLEX X1 <= 3 X2 <= 4 X1 + 2X2 <=9 X1>=0; X2>=0
  23. 23. 6.3 Algoritmo SIMPLEX: Na Forma Padrão temos: MAX Z = 5X1 + 2X2 6. Método SIMPLEX MAX Z = 5X1 + 2X2 S.A. X1 + XF3 = 3 X2 + XF4 = 4 X1 + 2X2 + XF5 =9 X1>=0; X2>=0; XF3>=0; XF4>=0; XF5>=0
  24. 24. 6.3 Algoritmo SIMPLEX: Preencher o quadro com os coeficientes do PPL na Forma Padrão: MAX Z = 5X1 + 2X2 => Z – 5X1 – 2X2 = 0 S.A. X1 + XF3 = 3 6. Método SIMPLEX S.A. X1 + XF3 = 3 X2 + XF4 = 4 X1 + 2X2 + XF5 =9 X1>=0; X2>=0;XF3>=0; XF4>=0; XF5>=0 Q1 VB Z X1 X2 XF3 XF4 XF5 B FO 1 -5 -2 0 0 0 0 XF3 0 1 0 1 0 0 3 XF4 0 0 1 0 1 0 4 XF5 0 1 2 0 0 1 9
  25. 25. 6.3 Algoritmo SIMPLEX: 6. Método SIMPLEX Q1 VB Z X1 X2 XF3 XF4 XF5 B FO 1 -5 -2 0 0 0 0 XF3 0 1 0 1 0 0 3 XF4 0 0 1 0 1 0 4 Observando o quadro, temos: Posso otimizar o PPL? Sim, existem Variáveis de Decisão (V.D.) com coeficiente negativo X1 = - 5 e X2 = - 2. Qual a V.D. que vai se tornar Variável Básica (V.B.)? A variável que dá a maior taxa de crescimento a Função Objetivo (F.O.), que neste caso é a variável X1. XF4 0 0 1 0 1 0 4 XF5 0 1 2 0 0 1 9
  26. 26. 6.3 Algoritmo SIMPLEX: 6. Método SIMPLEX Q1 VB Z X1 X2 XF3 XF4 XF5 B FO 1 -5 -2 0 0 0 0 XF3 0 1 0 1 0 0 3 3 / 1 = 3 XF4 0 0 1 0 1 0 4 4 / 0 = ? Para que X1 se torne V.B., uma V.B. tem que sair da base (XF3, XF4, XF5)? Esta variável é determinada através da relação entre o valor de B e dos coeficientes da coluna da variável que vai se tornar básica. O menor valor positivo indica a variável que vai deixar de ser básica. Neste caso é a variável XF3 que vai deixar de ser básica. XF4 0 0 1 0 1 0 4 4 / 0 = ? XF5 0 1 2 0 0 1 9 9 / 1 = 9
  27. 27. 6.3 Algoritmo SIMPLEX: 6. Método SIMPLEX Q1 VB Z X1 X2 XF3 XF4 XF5 B FO 1 -5 -2 0 0 0 0 XF3 0 1 0 1 0 0 3 3 / 1 = 3 XF4 0 0 1 0 1 0 4 4 / 0 = ? Para que X1 se torne V.B., uma V.B. tem que sair da base (XF3, XF4, XF5)? Esta variável é determinada através da relação entre o valor de B e dos coeficientes da coluna da variável que vai se tornar básica. O menor valor positivo indica a variável que vai deixar de ser básica. Neste caso é a variável XF3 que vai deixar de ser básica. XF4 0 0 1 0 1 0 4 4 / 0 = ? XF5 0 1 2 0 0 1 9 9 / 1 = 9
  28. 28. 6.3 Algoritmo SIMPLEX: 6. Método SIMPLEX Q1 VB Z X1 X2 XF3 XF4 XF5 B FO 1 -5 -2 0 0 0 0 XF3 0 1 0 1 0 0 3 3 XF4 0 0 1 0 1 0 4 #DIV/0!XF4 0 0 1 0 1 0 4 #DIV/0! XF5 0 1 2 0 0 1 9 9 Q2 VB Z X1 X2 XF3 XF4 XF5 B FO 1 0 -2 5 0 0 15 X1 0 1 0 1 0 0 3 #DIV/0! XF4 0 0 1 0 1 0 4 4 XF5 0 0 2 -1 0 1 6 3
  29. 29. 6.3 Algoritmo SIMPLEX: 6. Método SIMPLEX Q3 VB Z X1 X2 XF3 XF4 XF5 B FO 1 0 0 4 0 1 21 X1 0 1 0 1 0 0 3 XF4 0 0 0 0,5 1 -0,5 1 Este PPL apresenta uma única solução ótima, pois as V.N.B. apresentam valores positivos na linha da F.O. Z* = 21, X* = 3, Y* = 3 XF4 0 0 0 0,5 1 -0,5 1 X2 0 0 1 -0,5 0 0,5 3

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