MATEMÁTICA FUNDAMENTAL PARA
INICIANTES DE ENGENHARIA
GEOMETRIA
Prof. Luciano Galdino
2013
SUMÁRIO
Noções de Geometria..................................................................................................
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Noções de Geometria
A geometria está muito presente nas aplicações em Engenharia e, portanto, o seu
estudo apresenta uma...
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O triângulo, por ser o polígono mais simples, é a figura geométrica mais estudada
na geometria. Eles podem ser...
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Classificação quanto aos ângulos:
1) Triângulo acutângulo: Possui os três ângulos agudos (menores que 90º).
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Relações métricas num triângulo retângulo
Conforme já mencionado, o que caracteriza um triângulo retângulo é o fato dele...
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O perímetro de um polígono é definido como a soma de todos os seus lados
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A distância do centro da circunferência (0) até a linha periférica (externa) é
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2) Qual o diâmetro que conseguimos formar com uma linha de 300 mm de
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Resposta: O perímetro da circunferênc...
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Referências Bibliográficas
GIOVANNI, J. R. & BONJORNO, J. R. Matemática: uma nova abordagem. FTD, São Paulo, 2000.
LIPS...
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  1. 1. MATEMÁTICA FUNDAMENTAL PARA INICIANTES DE ENGENHARIA GEOMETRIA Prof. Luciano Galdino 2013
  2. 2. SUMÁRIO Noções de Geometria........................................................................................................ 02 Polígono................................................................................................................................ 02 Triângulo.............................................................................................................................. 03 Relações métricas num triângulo retângulo ........................................................... 05 Teorema de Pitágoras...................................................................................................... 05 Relações trigonométricas num triângulo retângulo.............................................. 07 Relações trigonométricas num triângulo qualquer............................................... 14 Lei dos senos........................................................................................................................ 14 Lei dos cossenos ................................................................................................................. 17 Área dos principais polígonos....................................................................................... 19 Perímetro dos polígonos.................................................................................................. 21 Circunferência e círculo.................................................................................................. 21 Comprimento da circunferência (perímetro).......................................................... 22 Área de um círculo............................................................................................................ 23 Radiano................................................................................................................................. 24 Volume de alguns sólidos geométricos....................................................................... 25
  3. 3. 2 Noções de Geometria A geometria está muito presente nas aplicações em Engenharia e, portanto, o seu estudo apresenta uma grande importância. Em diversos projetos de Engenharia utilizam-se conceitos de geometria, sendo os de maior destaque as aplicações com triângulos e circunferências, os cálculos de área e os cálculos de volume. Polígono É uma figura geométrica fechada e formada por segmentos de reta. Pode ser classificado segundo a sua quantidade de segmentos de retas (lados), sendo que alguns deles recebem nomes especiais, conforme pode ser observado na tabela 1. Número de lados Nomes 3 Triângulo 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono Tabela 1: Nomenclatura dos polígonos especiais. Os demais polígonos não recebem nomes especiais, assim, caso ele tenha 13 lados, será chamado de polígono de 13 lados, se tiver 21 lados, será chamado de polígono de 21 lados, e assim sucessivamente. Os polígonos mais utilizados na Engenharia são os triângulos e os quadriláteros (em especial o quadrado e o retângulo).
  4. 4. 3 Triângulo O triângulo, por ser o polígono mais simples, é a figura geométrica mais estudada na geometria. Eles podem ser classificados segundo os seus lados e também segundo os seus ângulos. Classificação quanto aos lados: 1) Triângulo equilátero: Possui os três lados iguais e, consequentemente, os três ângulos iguais. Em qualquer triângulo, a soma de seus ângulos internos deve ser igual a 180º, assim, o triângulo equilátero possui três ângulos de 60º. 2) Triângulo isósceles: Possui dois lados iguais e, consequentemente, dois ângulos iguais. 3) Triângulo escaleno: Possui todos os lados diferentes e consequentemente os três ângulos diferentes.
  5. 5. 4 Classificação quanto aos ângulos: 1) Triângulo acutângulo: Possui os três ângulos agudos (menores que 90º). 2) Triângulo retângulo: Possui em um de seus ângulos o valor de 90º. 3) Triângulo obtusângulo: Possui um dos seus ângulos obtuso (maior que 90º).
  6. 6. 5 Relações métricas num triângulo retângulo Conforme já mencionado, o que caracteriza um triângulo retângulo é o fato dele possuir um ângulo interno de 90º. Por ser um triângulo especial, ele recebe nomes específicos para os seus lados. Os lados que formam o ângulo de 90º são chamados de catetos já o lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa. Teorema de Pitágoras Este teorema mostra uma relação matemática entre os lados do triângulo retângulo, isto é, se conhecemos dois lados do triângulo retângulo, podemos calcular o terceiro lado aplicando o teorema de Pitágoras que é definido como: (hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2 Exemplo: Determine os valores de x nos triângulos retângulos a seguir: a) Observe que os catetos (lados que formam o ângulo de 90º) são 6 cm e 8 cm e que o “x” está representando a hipotenusa. Aplicando o teorema de Pitágoras temos:
  7. 7. 6 2 2 2 2 2 2 2 2 6 8 36 64 100 100 10 hip cat cat x x x x x cm Observe que na penúltima linha da resolução foram colocados os sinais de +/-, pois (-10)2 =100 e (+10)2 =100, isto é, existem duas respostas uma positiva e a outra negativa, mas nesse caso, sabemos que é impossível uma medida de comprimento ter valor negativo, por isso que a resposta final é 10 cm positivo. Portanto, daqui por diante, iremos considerar somente o resultado positivo. b) Neste exemplo nós temos a hipotenusa igual a 50 mm, um dos catetos igual a 30 mm e o “x” está representando o outro cateto. Aplicando o teorema de Pitágoras temos: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 50 30 2500 900 2500 900 1600 1600 40 40 hip cat cat x x x x x x ou x mm
  8. 8. 7 Nesses tipos de cálculos as funções que utilizamos na calculadora científica são: Tecla para elevar ao quadrado: Tecla para extrair a raiz quadrada: Relações trigonométricas num triângulo retângulo Conhecendo o valor de um lado e de um ângulo (exceto o de 90º que já é conhecido) de um triângulo retângulo, podemos calcular os valores dos outros lados deste triângulo através das relações trigonométricas, assim como, podemos calcular um ângulo de referência conhecendo-se dois lados de um triângulo retângulo também pelas relações trigonométricas. O primeiro passo para trabalhar com as relações trigonométricas num triângulo retângulo é verificar qual o ângulo deste triângulo que será utilizado e, a partir dele nomear os catetos, isto é, o lado do triângulo que estiver oposto a esse ângulo é denominado cateto oposto (co) e o lado que está formando esse ângulo, isto é, que é vizinho do ângulo, é chamado de cateto adjacente. Já a hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo de 90º do triângulo. Assim, do triângulo a seguir temos: a = hipotenusa; b = cateto oposto ao ângulo ; c = cateto adjacente ao ângulo .
  9. 9. 8 Caso seja utilizado o outro ângulo como referência, altera-se apenas o cateto oposto e o adjacente, a hipotenusa é a mesma. Assim: a = hipotenusa; b = cateto adjacente ao ângulo ; c = cateto oposto ao ângulo . Agora que já sabemos nomear os lados do triângulo retângulo, devemos conhecer as relações trigonométricas que podem ser aplicadas neste tipo de triângulo. Dois triângulos retângulos semelhantes (mesmos ângulos internos, mas lados com tamanhos diferentes) possuem o mesmo resultado para a razão (divisão) entre dois de seus lados, conforme ilustrado a seguir: 1) ' ' b b a a , observe que aqui está sendo dividido o cateto oposto ao ângulo pela hipotenusa de cada triângulo. A essa razão dá-se o nome de seno, portanto: cateto oposto seno do ângulo hipotenusa
  10. 10. 9 De maneira simplificada: co sen hip 2) ' ' c c a a , observe que aqui está sendo dividido o cateto adjacente ao ângulo pela hipotenusa de cada triângulo. A essa razão dá-se o nome de cosseno, portanto: cos cateto adjacente seno do ângulo hipotenusa De maneira simplificada: cos ca hip 2) ' ' b b c c , observe que aqui está sendo dividido o cateto oposto pelo cateto adjacente ao ângulo de cada triângulo. A essa razão dá-se o nome de tangente, portanto: tan cateto oposto gente do ângulo cateto adjacente De maneira simplificada: co tg ca Portanto, seno, cosseno e tangente de um ângulo nada mais é do que a divisão entre dois lados de um triângulo retângulo. A tabela 2 indica alguns valores para seno, cosseno e tangente, mas a calculadora científica pode fornecer valores para qualquer ângulo através das teclas: Figura 1: Teclas para utilizar as funções seno, cosseno e tangente na calculadora científica.
  11. 11. 10 Deve-se tomar o cuidado de verificar se a calculadora está adequada para calcular em graus (D), radianos (R) ou gradianos (G). Isso é verificado na parte superior do visor da calculadora. Figura 2: Visor de uma calculadora científica. Observe que aparece a letra D na parte superior do visor, indicando que a calculadora está programada para trabalhar em graus. Ângulo seno cosseno tangente 0o 0 1 0 10o 0,174 0,985 0,176 20o 0,342 0,940 0,364 30o 0,500 0,866 0,577 40o 0,643 0,766 0,839 50o 0,766 0,643 1,192 60o 0,866 0,500 1,732 70o 0,940 0,342 2,747 80o 0,985 0,174 5,671 90o 1 0 Não existe 180o 0 -1 0 270o -1 0 Não existe 360o 0 1 0 Tabela 2: Valores de seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Exemplos: 1) Determine os valores de X nos triângulos retângulos a seguir: a) O primeiro passo é identificar o que foi fornecido no triângulo: Hipotenusa (hip) = 8 mm Ângulo ( ) = 20o Cateto oposto (co) = X
  12. 12. 11 Das três relações trigonométricas a que devemos utilizar é a do seno, pois a do cosseno e da tangente utiliza o cateto adjacente e ele não foi fornecido, assim: 20 8 o co sen hip X sen Multiplicando em “cruz”, temos: 8. 20 2,74 o X sen X mm b) A relação trigonométrica adequada é o cosseno, pois é a única que tem hipotenusa e cateto adjacente, assim: cos 12 cos 40o ca hip X .cos 40 12 12 cos 40 15,66 o o X X X cm c) Dados: Hipotenusa (hip) = X Ângulo ( ) = 40o Cateto adjacente (ca) = 12 cm Dados: Ângulo ( ) = 31,9o Cateto oposto (co) = 16 mm Cateto adjacente (ca) = X
  13. 13. 12 A relação trigonométrica adequada é a tangente, pois é a única que possui cateto oposto e cateto adjacente, assim: 16 31,9o co tg ca tg X Multiplicando em “cruz”, temos: . 31,9 16 16 31,9 25,71 o o X tg X tg X cm 2) Determine os ângulos dos seguintes triângulos retângulos: a) A relação trigonométrica adequada é o seno, pois é a única que possui cateto oposto e hipotenusa, assim: 10 15 0,667 co sen hip sen sen Mas queremos calcular o ângulo e não o seno do ângulo , assim, devemos utilizar as teclas “shift” + “sin” da calculadora, pois a tecla “shift” (ou qualquer outra tecla que ative a segunda função da calculadora) irá ativar o inverso do seno que é a função “sin-1 ”. Portanto: 1 (0,667) 41,84o sen Dados: Hipotenusa (hip) = 15 mm Cateto oposto (co) = 10 mm
  14. 14. 13 Apertando a tecla da calculadora indicada a seguir teremos o resultado em graus, minutos e segundos: 41 50´24´´o b) A relação trigonométrica adequada é a tangente, pois é a única que possui cateto oposto e cateto adjacente, assim: 1 82 74 82 74 47,94 47 56' 24'' o o co tg ca sen tg c) A relação trigonométrica adequada é o cosseno, pois é a única que possui cateto adjacente e hipotenusa, assim: Dados: Cateto adjacente (ca) = 74 mm Cateto oposto (co) = 82 mm Dados: Cateto adjacente (ca) = 10 mm Hipotenusa (hip) = 32 mm
  15. 15. 14 1 cos 10 cos 32 10 cos 32 71,79 71 47' 24'' o o ca hip Relações trigonométricas num triângulo qualquer As relações trigonométricas estudadas no capítulo anterior servem apenas para triângulos retângulos. Quando um triângulo não é retângulo, existem outras relações para calcular algum lado e/ou algum ângulo do triângulo. Essas relações são conhecidas como lei dos senos e lei dos cossenos. Lei dos senos Observe o triângulo a seguir: Se dividirmos um lado pelo seno do ângulo oposto, teremos os seguintes resultados: 12 18,66 40 9,33 18,66 30 17,54 18,66 110 o o o sen sen sen Observe que os resultados são iguais, isto é, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. Esta é a lei dos senos e ela pode ser utilizada em qualquer triângulo, inclusive o retângulo.
  16. 16. 15 1 2 1 2 lado lado seno do ângulo oposto ao lado seno do ângulo oposto ao lado Ou 1 3 1 3 lado lado seno do ângulo oposto ao lado seno do ângulo oposto ao lado Ou 2 3 2 3 lado lado seno do ângulo oposto ao lado seno do ângulo oposto ao lado Exemplos: 1) Monte a expressão da lei dos senos para o triângulo a seguir: a b c sen sen sen 2) Calcule o valor de x nos triângulos a seguir: a)
  17. 17. 16 0 0 0 0 0 0 80 40 120 . 120 80. 40 80. 40 120 59,38 X sen sen X sen sen sen X sen X mm b) Como a soma dos ângulos internos de um triângulo deve ser igual a 1800 , então o triângulo terá os seguintes ângulos: 3) Calcule os valores de X e Y no triângulo a seguir: Aplicando a lei dos senos: 0 0 0 0 0 0 40 70 60 . 60 40. 70 40. 70 60 43,41 X sen sen X sen sen sen X sen X mm Aplicando a lei dos senos: 0 0 0 0 0 0 25 50 30 . 30 25. 50 25. 50 30 38,30 X sen sen X sen sen sen X sen X mm 0 0 0 0 0 0 25 100 30 . 30 25. 100 25. 100 30 49,24 Y sen sen Y sen sen sen Y sen Y mm
  18. 18. 17 4) Calcule o ângulo nos triângulos a seguir: a) b) Lei dos cossenos A lei dos cossenos é menos empregada que a lei dos senos devido à simplicidade da equação da lei dos senos, mas em algumas situações, a resolução através da lei dos cossenos se torna a forma mais rápida. A lei dos cossenos também pode ser aplicada em um triângulo qualquer, inclusive o retângulo. Sua definição é a seguinte: O quadrado da medida de um lado é igual à soma das medidas dos quadrados dos outros dois lados (até aqui lembra o teorema de Pitágoras) menos duas vezes o produto destes lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. 0 0 0 0 1 0 60 25,789 20 25,789. 60. 20 60. 20 25,789 60. 20 25,789 52,72 52 43'12''o sen sen sen sen sen sen sen sen 0 0 0 0 1 0 13 30 105 30. 13. 105 13. 105 30 13. 105 30 24,74 24 44'24''o sen sen sen sen sen sen sen sen
  19. 19. 18 Para simplificar a definição da lei dos cossenos, vamos utilizar como exemplo o triângulo abaixo: Traduzindo a definição, têm-se: 2 2 2 2. . .cosa b c b c Exemplos: 1) Calcule o valor de X no triângulo a seguir: 2) Calcule o valor de no triângulo a seguir: Observe que o triângulo tem todos os lados iguais, isto é, ele é equilátero. Assim, o triângulo também terá todos os ângulos iguais e como a soma dos ângulos internos Aplicando a lei dos cossenos: 2 2 2 0 2 50 60 2.50.60.cos 100 2500 3600 1041,89 7141,89 84,5 X X X X mm
  20. 20. 19 é igual a 1800 , então cada ângulo tem 600 , isto é o ângulo vale 600 . Utilizando a lei dos cossenos, vamos provar que seu valor é de 600 . Neste caso, nós temos os três lados e queremos calcular o ângulo, assim: 2 2 2 1 0 30 30 30 2.30.30.cos 900 900 900 1800.cos 900 1800 1800.cos 900 1800 1800.cos 900 cos 1800 0,5 cos cos (0,5) 60 Área dos principais polígonos O cálculo de área é utilizado com muita frequência na Engenharia e, portanto, todo engenheiro deve dominar esse assunto. Área do retângulo: O retângulo é um quadrilátero (polígono de quatro lados) que possui os quatro ângulos internos iguais a 900 . Sua área é definida como o produto da medida da base (b) pela medida da altura (h). Área do quadrado: O quadrado é um retângulo que possui o mesmo valor para a base (b) e para a altura (h=b). Assim, sua área também é dada pelo produto da base pela altura. .A b h 2 .A b b A b
  21. 21. 20 Área do paralelogramo: O paralelogramo é um quadrilátero que não possui ângulos internos de 90º, mas possui seus lados opostos paralelos. A sua área também é calculada como o produto da base (b) pela altura (h). Área do triângulo: É calculada pelo produto da base (b) pela altura (h) dividido por dois, pois se dividirmos o quadrado, ou o retângulo, ou o paralelogramo ao meio, teremos dois triângulos iguais, e por isso que a área do triângulo tem essa divisão por dois. Área do losango: O losango é um quadrilátero com os quatro lados iguais e não paralelos. Sua área é definida como o produto de sua diagonal maior (D) pela diagonal menor (d) dividido por dois. Área do trapézio: O trapézio é um quadrilátero que possui dois lados paralelos e dois lados não paralelos, sendo que os seus lados paralelos recebem os nomes de base. Sua área é calculada pelo produto da altura (h) pela soma de suas bases (B+b) divididos por dois. .A b h . 2 b h A . 2 D d A
  22. 22. 21 ( ). 2 B b h A Perímetro dos polígonos O perímetro de um polígono é definido como a soma de todos os seus lados Exemplos: 1) 2) Circunferência e círculo Circunferência é uma figura geométrica representada por uma linha contida num plano que possui uma mesma distância de um ponto que é denominado de centro da circunferência. Círculo é toda região que compreende a circunferência, isto é, circunferência é somente a linha externa enquanto círculo é região interna da circunferência. Circunferência Círculo 10 10,921 10,573 31,494 p p mm 4 4 8 8 24 p p cm
  23. 23. 22 A distância do centro da circunferência (0) até a linha periférica (externa) é denominada de raio (R) e o dobro do raio é denominado diâmetro (d). Comprimento da circunferência (perímetro) Curvando uma linha podemos fazer uma circunferência de diâmetro d, sendo que o comprimento dessa linha é chamado de perímetro ou comprimento da circunferência (p). Existe uma relação muito interessante e importante entre o comprimento da linha (perímetro) e o diâmetro da circunferência formada pela linha: Se dividirmos qualquer comprimento de linha pelo diâmetro que ela forma, teremos sempre o mesmo resultado, e esse resultado tem um valor muito conhecido e utilizado na matemática, o número (3,14159265...), matematicamente: . 2. , : 2 p d p d Como d R então p R Exemplos: 1) Qual o perímetro de uma circunferência de raio 20 m? 2 2 20 40 125,66 p R p p p m
  24. 24. 23 2) Qual o diâmetro que conseguimos formar com uma linha de 300 mm de comprimento? Resposta: O perímetro da circunferência é o comprimento da linha (300 mm), então: . 300 . 300 95,49 p d d d p mm 3) Determine a distância em linha reta percorrida por uma roda de 250 mm de raio quando ela realiza uma volta completa. Resposta: A distância percorrida em uma volta é exatamente o perímetro da roda, assim: 2 2 250 500 1570,8 p R p p p mm Área de um círculo A área de um círculo é definida como o produto de pelo quadrado da medida de seu raio. Exemplo: Calcule a área de um círculo de diâmetro igual a 20 mm. Resposta: O raio vale 10 mm, pois ele é a metade do diâmetro, assim: 2 2 . .10 100. 314,16 A R A A A mm 2 .A R
  25. 25. 24 Radiano Um radiano é o valor que ângulo central ( adquire quando o comprimento do arco da circunferência possui o mesmo valor do raio da circunferência. Em uma metade de qualquer circunferência (1800 ) é observado que o comprimento do arco equivale a 3,14159... raios de circunferência, isto é: 1800 = rad (relação entre graus e radianos). Exemplo: 1) Converta para radianos as seguintes medidas de ângulos: a) 300 0 0 180 30 x Multiplicando em “cruz”: 180. 30. 30. 180 6 0,52 x x x rad x rad b) 450 0 0 180 45 x Multiplicando em “cruz”: 180. 45. 45. 180 4 0,79 x x x rad x rad
  26. 26. 25 c) 600 0 0 180 60 x 180. 60. 60. 180 3 1,05 x x x rad x rad 2) Converta as seguintes medidas de ângulos em graus: a) 0,76 rad 0 180 0,76x 0 0 . 180.0,76 180.0,76 43,54 43 32'24'' x x x x Volume de alguns sólidos geométricos Para finalizar essa introdução à Geometria, é necessário estudarmos o volume dos sólidos que são muito utilizados em projetos de Engenharia, o paralelepípedo, o cilindro e a esfera. Paralelepípedo: São sólidos cujas bases são paralelogramos. Os paralelepípedos que iremos estudar são os retos-retângulos e o cubo. O paralelepípedo reto-retângulo possui todos os ângulos internos iguais a 900 . Todos os cantos de qualquer paralelepípedo são chamados de arestas. d) 2700 0 0 180 270 x 180. 270. 270. 180 3 2 4,71 x x x rad x rad b) 4,73 rad 0 180 4,73x 0 0 . 180.4,73 180.4,73 271,01 271 0'36'' x x x x
  27. 27. 26 aresta O volume deste tipo de paralelepípedo é calculado multiplicando-se todos os seus lados: . .V a b c O cubo é um paralelepípedo que possui todos os seus lados iguais e, também, possui todos os ângulos internos iguais a 900 . O seu volume também é calculado multiplicando-se todos os seus lados: 3 . .V a a a V a Cilindro: Muito parecido com os paralelepípedos, mas apresenta bases circulares. O seu volume é calculado pelo produto (multiplicação) da área da base circular (Ab) pela sua altura (h).
  28. 28. 27 .bV A h Como a área de um círculo é dada por 2 .bA R , então: 2 . .V R h Esfera: É um sólido que possui uma superfície externa que está a uma mesma distância até o seu centro, sendo esta distância denominada raio da esfera. O seu volume é calculado pela seguinte expressão: 3 4. . 3 R V A área da superfície esférica é calculada por:
  29. 29. 28 Referências Bibliográficas GIOVANNI, J. R. & BONJORNO, J. R. Matemática: uma nova abordagem. FTD, São Paulo, 2000. LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. McGraw-Hill, USA, 1978. OLIVEIRA, I. C. & BOULOS, P. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. McGraw-Hill, São Paulo, 1986. REIS, I. Fundamentos da Matemática. Moderna. São Paulo, 1997. SMOLE, K. C.S. & KIUKAWA, R. Matemática. Saraiva, São Paulo, 1998.

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