Razão e proporção1

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Razão e proporção1

  1. 1. 1 RAZAO E PROPORÇAO1. RAZÃO Razão de dois números a e b, b 0, nessa ordem, é o quociente . Exemplo1: Qual a razão de: 15km e 45 000m? Devemos ter: Exemplo2: Calcular a razão: =2. PROPORÇÃO Proporção é a igualdade de duas razões com b Propriedade fundamental: ⟹ a.d= b.c Propriedades das proporções: Dada a proporção P1) P2) = P3) ou P4) Dada uma série de razões iguais: Exemplo1: Calcular o valor de x na proporção: Resolução: 8.x = 6.4 ⟹ ⟹ x=3 Exemplo2: Calcular o valor de x na proporção: =
  2. 2. 2 Resolução: ⟹Exemplo3: Calcular o valor de x na proporção: 2 Resolução: ⟹ = 64⟹ .Exemplo4: Calcular o valor de x na expressão:Exemplo5: A razão de dois números é Achá-los sabendo que a soma deles é 15. Resolução: Sejam x e y os números procurados. Então temos: e x + y = 15 Aplicando a P1, vem: ⟹ ⟹ 5y ⟹e ⟹ ⟹x=6. Resposta: os números são 6 e 9.Exemplo6: A diferença de dois números positivos é 21 e a razão é . Achar esses números. Resolução: Sejam x e y os números procurados. Então temos: e y – x = 21 (y > x) Aplicando a P2: ⟹ ⟹ = 28e como ⟹ 4x = 1y ⟹ 4x = 28 ⟹ x = 7 Resposta: Os números são 7 e 28.Exemplo7: A soma de três números é 180. Achar esses números sabendo que eles são proporcionais aos números 4, 5 e 6. Resolução: Sejam x, y e z os números procurados. Então temos: x + y + z = 180 e Aplicando a Propriedade 4, vem: . Daí, Resposta: Os números são 48, 60 e 72.EXERCÍCIOS: 1. Qual a razão de: a) 12km e 24 000m? b) 0,7kg e 210dag?2. Calcular a razão de a) b)3. Calcular o valor de x em cada proporção: a) b)
  3. 3. 3 4. Calcular o valor de x em cada proporção: b) 5. Calcular o valor de x em cada proporção: a) b) 6. Calcular o valor de x em cada expressão: a) b) 7. Resolver os problemas: a) A razão de dois números é . Achar esses números sabendo que a soma deles é 16. b) A razão das idades de duas pessoas é . Achar essas idades sabendo que a soma delas é 35 anos. 8. Resolver os problemas: a) A diferença de dois números é 12 e a razão é . Quais são esses números? b) A diferença das idades de duas pessoas é 20 anos e a razão é . Quais são as idades? 9. Resolva os problemas: a) A soma de três números é 90. Achar esses números sabendo que eles são proporcionais aos números 3, 5 e 7. b) A soma das medidas dos lados de um triângulo é 48cm. Achar os lados desse triângulo sabendo que as medidas dos lados são proporcionais a 3, 4 e 5. RESPOSTAS: 1. a) b) 2. a) 3. a) 2 b) 3 4. a) 5. a) 6. a) 7. a) 4 e 12 b) 14 anos e 21 anos 8. a) 8 e 20 b) 16 anos e 36 anos 9. a) 18, 30 e 42 b) 12cm, 16cm e 20cm.3. GRANDEZAS PROPORCIONAIS A notação A = (a1, a2, a3, ) significa: a1, a2, a3,...são valores assumidos pela grandeza A. Ao escrever num dado problema que A = (a1 ,a2, a3,...) e B = (b1, b2, b3,...) o que se quer dizer é que quando a grandeza A assumir o valor a1, a grandeza B assumirá o valor b1. Quer-se dizer, portanto, que a1 e b1 são valores correspondentes das grandezas A e B. Da mesma forma, a2 e b2 são valores correspondentes e assim sucessivamente. 3.1. GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Uma grandeza A é diretamente proporcional a uma grandeza B se, e somente se, as razões entre os valores de A e os correspondentes valores de B são iguais. Se A = (a 1, a2, a3,...) e B = (b1, b2, b3,...) forem grandezas diretamente proporcionais, então: e o número k é a constante de proporcionalidade.
  4. 4. 4Exemplo1. De várias porções de uma mesma substância foram determinadas as massas eos volumes com os seguintes resultados:Massa (g) : 16 32 48 64 3Volumes (cm ): 2 4 6 8Veja-se que a razão da massa e do volume é constante e igual a 8g/cm3. 8g/cm3.Exemplo2. Um trem corre a uma velocidade constante de 80km/h. Medindo-se váriasdistâncias e os respectivos tempos, obtemos:Distância (km) 80 160 240 ..........Tempo (horas) 1 2 3 ..........A razão entre a distância e o tempo: 80 km/h mostra que asgrandezas são diretamente proporcionais.Exemplo3. Sabendo-se que (2, 3, x) e (6, y, 15) são sucessões diretamente proporcionais,determine x e y.Resolução:Se (2, 3, x) e (6, y, 15) são grandezas diretamente proporcionais, então:De , temos: 2y = 18 ⟹ y = 9De , temos: 6x = 30 ⟹ x = 53.1.1 PROPORCIONALIDADE E FUNÇÃO LINEARDiz-se que as grandezas x e y são diretamente proporcionais se assim estiveremrelacionadas:y = kx ou k, a ˃ 0onde k é uma constante de proporcionalidade. O gráfico que representa a relação y = kxé uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano ortogonal. y y = kx α xNOTAS:1. A relação y = kx é uma função linear. 2. A constante k é a tangente trigonométrica da inclinação α (k = tg α) da reta em relação ao eixo dos x.
  5. 5. 53. No exemplo 1 acima podemos representar os dados num sistema de eixos cartesianos com V nas abscissas e m nas ordenadas, e obtemos uma reta unindo esses pontos e passando pela origem veja que k = 8). O mesmo nos outros exemplos.4. Se sei que uma grandeza S é diretamente proporcional a uma grandeza V, posso escreve: S = k.V, onde a é a constante de proporcionalidade3.2 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAISUma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza B se, e somente se, osprodutos entre os valores de A e os correspondentes valores de B são iguais.Se A = (a1, a2,a3, ...) e B = (b1, b2, b3,...) inversamente proporcionais, então:a1b1 = a2b2 = a3b3 = ...= k e o número k é a constante de proporcionalidade.Exemplo1. Sobre uma mola são colocados corpos de pesos diferentes e verifica-se que ocomprimento da mola, em função do peso colocado sobre ela, é dado abaixo:Corpo 1 2 3 4-----------------------------------------------------------------Peso (kgf) 5 10 15 20Comprimento da mola (cm) 48 24 16 12-----------------------------------------------------------------Note-se que o peso do corpo multiplicado pelo comprimento da mola, é constante:5 x 48 = 10 x 24 = 15 x 16 = 20 x 12 = 240 kgf x cm e concluímos que as medidas sãoinversamente proporcionais.Exemplo2. Um trem percorre uma distância de 240 km a várias velocidades diferentes,com seus respectivos tempos, como mostram os dados:Velocidade (km/h) 40 80 120Tempo (horas) 6 3 2Note-se que, multiplicando-se as velocidades pelos tempos respectivos, obtém-se:40 x 6 = 80 x 3 = 120 x 2 = 240 km, mostrando que a velocidade e o tempo são grandezasinversamente proporcionais.Exemplo3. Sabendo-se que (x, 3, 4) e (2, y, 6) são grandezas inversamente proporcionaisdetermine x e y.ResoluçãoSe (x, 3, 4) e (2, y, 6) são grandezas inversamente proporcionais, então: 2x = 3y = 4 x 6.2x = 24 e, portanto, x = 12 e 3y = 24 e, portanto, y = 8.Observações.a) Se a grandeza A(a1, a2,a3,...) for inversamente proporcional à grandeza B(b1, b2, b3,...), então A será diretamente proporcional à grandeza (1/b1, 1/b2, 1/b3,...), ou seja: a1b1 = a2b2 = a3b3 ⟺
  6. 6. 6 b) Existem grandezas que não são nem diretamente proporcionais e nem inversamente proporcionais como, por exemplo, na relação do lado do quadrado e sua área: Lado (cm): 2 4 6 2 Área (cm ): 4 16 36 c) Ao dizer que A e B são grandezas proporcionais subentende-se que são grandezas diretamente proporcionais. 3.2.1 PROPORCIONALIDADE E FUNÇÃO LINEAR Diz-se que as grandezas x e y são inversamente proporcionais se assim estiverem relacionadas: x . y = k ou y= (k ˃ 0) Onde k é uma constante positiva chamada constante de proporcionalidade inversa. O gráfico que representa a relação y = é um ramo de hipérbole equilátera. y k y= k/4 x 1 4Note que se representássemos os exemplos acima no eixo de sistemas cartesianos, o queobteríamos seriam hipérboles.Então, quando digo que uma grandeza P é inversamente proporcional a uma grandeza d,represento da seguinte forma: P = onde k é a constante de proporcionalidade.Há grandezas que são diretamente e/ou inversamente proporcionais a várias outras. Veja alei da gravitação universal de Newton:“Dois corpos, de massa m1 e m2 respectivamente, situados a uma distância d um do outro,se atraem segundo uma força F cuja intensidade é diretamente proporcional a essas massase inversamente proporcional ao quadrado (d2) da distância entre eles.”Como escrevo essa sentença: F=c. em que c depende do sistema de unidadesescolhido.Outro exemplo: a pressão exercida por uma determinada massa de gás é diretamenteproporcional à temperatura absoluta e inversamente proporcional ao volume ocupado pelogás. P=k
  7. 7. 74. DIVISÃO PROPORCIONAL 4.1. DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Dividir um número N em partes diretamente proporcionais aos números a, b, e c significa determinar os números x, y e z de tal modo que: (I) As sequências (x, y, z) e (a, b, c) sejam diretamente proporcionais. (II) x+y+z=N Usando a definição de grandezas diretamente proporcionais, podemos fazer: ⟺ x= ⟺ ⟺ ⟺ y= x+y+z=N x + y +z = N ⟺ z= Exemplo Dividir o número 160 em três partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5 (note-se que é um problema similar ao da propriedade 4 das proporções; compare com o exercício 9 no item 2. proporção). Resolução Sendo x, y e z as partes, temos: x + y + z = 160 x + y + z = 160 ⟹ x = 32 ⟹ ⟹ y = 48 ⟹ z = 80 Resposta: as partes são: 32, 48 e 80. 4.2. DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Dividir um número N em partes inversamente proporcionais aos números m, n e p é o mesmo que dividir M em partes diretamente proporcionais aos inversos de m, n e p, com m . p . n . Exemplo. Dividir o número 81 em partes inversamente proporcionais aos números , 1. Resolução.
  8. 8. 8 O problema equivale a dividir 81 em partes diretamente proporcionais aos inversos, ou seja: 2, e 1. Então, sendo x, y e z as partes, temos: = 36 ⟹ ⟹ x + y + z = 81 x + y + z = 81 Então temos ⟹ ⟹ 18 Portanto, sendo 18 = ⟹ 1) 18 = ⟹ x = 36 ⟹ 2) 18 = ⟹ 18 = ⟹x= = 27 ⟹ 3) 18 = ⟹ z = 18 Portanto as partes são: 36, 27 e 18. EXERCÍCIOS 1. Um produto que custa R$ 18,00 para ser fabricado, é vendido por R$ 27,00. Determinar a razão entre a) o preço de venda e de custo; b) o lucro e o preço de venda. Resolução: sendo C o preço de custo, V o preço de venda e L o lucro, temos: a) e b) 2. Determinar x na proporção Resolução. ⟹ 2(x – 3) =1(6 - x) ⟹ 2x – 6 = 6 – x ⟹ 2x + x = 6 + 6⟹ 3x = 12⟹x = 4 3. Se (3, x, 14,...) e (6, 8, y,...) forem grandezas diretamente proporcionais, então o valorde x e y é?Resolução: Se as sequências forem diretamente proporcionais, então,
  9. 9. 9 De De Portanto a soma x + y = 4 + 28 = 32. 4. Calcular x e y sabendo que (1, 2, x,...) e (12, y, 4,...) são grandezas inversamente proporcionais. Resolução: se (1, 2, x,...) e (12, y, 4,...) são grandezas inversamente proporcionais, então: 1 . 12 = 2 . y = x . 4 ⟹ 2y = 12 e 4x = 12 ⟹ y = 6 e x = 35. Repartir uma herança de R$ 495 000,00 entre três pessoas na razão direta do número de filhos e na razão inversa das idades de cada uma delas. Sabe-se que a primeira pessoa tem 30 anos e 2 filhos, a segunda tem 36 anos e 3 filhos e a terceira pessoa tem 48 anos e 6 filhos. Resolução Se x e y forem as quantias que cada uma das 3 pessoas deve receber, então: ⟹ ⟹ x + y + z = 495 000 x + y + z = 495 000 ⟹ 1 800 000 = 15x = 12y = 8z ⟹ x = 120 000, y = 150 000, z= 225 0006. Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. Então, o produto dos dois números é?7. A razão entre dois números é 3/8. Se a soma do maior com o dobro do menor é 42, qual o valor do maior deles?8. Assinale a falsa (supondo a, b, c, d, e, f, α, β, γ) ⊂ R*. a) ⟹ b) ⟹ c) ⟹ d) ⟺ e) Uma das anteriores é falsa.9. (PUC) – Se (2; 3; x; ...) e (8; y; 4; ...) forem duas sucessões de números diretamente proporcionais, então: a) x=1 e y = 6; b) x = 2 e y = 12; c) x = 1 e y = 12 d) x = 4 e y = 2; e) x = 8 e y = 12
  10. 10. 1010. Para que as sucessões (9; x; 5; ...) e (y; 8; 20; ...) sejam diretamente proporcionais, os valores de x e y devem ser, respectivamente: a) 2 e 36; b)1/4 e 1/5 c) 2 e 5 d) 5 e 35 e) 5 e 3611. As sequências (a; 2; 5; ...) e (3; 6; b;...) são de números inversamente proporcionais e a +mb = 10. O valor de m é: a) 0,4 b) 1 c) 2 d) 2,5 e) 512. Sabe-se que m é diretamente proporcional a n + 5 e que m = 2 quando n=1. Quando n for igual a 4, teremos m igual a: a) 1 b) 5 c) -2 d) 3 e) 413. Sabe-se que p é inversamente proporcional a q + 2 e que p = 1 quando q = 4. Quando q for igual a 1, teremos p igual a a) -2 b) 0 c) ½ d) 2 e) 314. A diferença, o produto e a soma de dois números estão entre si como 2, 3 e 4. Calcule tais números sabendo-se que pertencem a R*.15. (FUVEST) – São dados três números reais a < b < c. Sabe-se que o maior deles é a soma dos outros dois e o menor é um quarto do maior. Então a, b e c são respectivamente, proporcionais a: a) 1, 2 e 3 b) 1, 2 e 5 c) 1, 3 e 4 d) 1, 3 e 6 e) 1, 5 e 1216. Sabe-se que x + y + z = 18 e que . O valor de x é: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 1017. Sabe-se que e que a + 3b – 2c = 100. O valor de a + b – c é: a) 100 b) 80 c) 70 d) 60 e) 5018. (MACK) – Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a maior e a menor parte é: a) 35 b) 49 c) 56 d) 42 e) 2819. Dividir 64 em duas partes inversamente proporcionais aos números 5/4 e 3/4.20. Dividir 46 em duas partes inversamente proporcionais aos números 1 e 1,3.21. (UFLA) – Três pessoas montam uma sociedade na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 20 000,00, R$ 30 000,00 e R$ 50 000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$ 40 000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, quanto cada sócio receberá?22. (MACK) – Dividindo-se 660 em partes proporcionais aos números 1/2, 1/3 e 1/6, obtém-se, respectivamente: a) 330, 220 e 110 b) 120, 180 e 360 c) 360, 180 e 120 d) 110, 220 e 330 e) 200, 300 e 16023. A importância de R$ 780 000,00 deve ser dividida entre os três primeiros colocados de um concurso em partes diretamente proporcionais aos pontos conseguidos por eles, que são 50, 43 e 37, respectivamente. Determinar a importância que caberá a cada um. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 6) B 7) C 8) E 9) C 10) A 11) D 12) D 13) D 14) 3 e 1 15) C 16) B 17) D 18) B 19) 24; 40 20) 26; 20 21) R$ 8 000,00; R$ 12 000,00 e R$ 20 000,00 22) A 23) R$ 300 000,00; R$ 258 000,00 e R$ 222 000,00
  11. 11. 11

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