Equações diferenciais aplicada à flexao de vigas

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Equações diferenciais aplicada à flexao de vigas

  1. 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS À FLEXÃO DE VIGAS(Curso de Engenharia Civil) Lucas da Mata Rocha Menezes.RESUMOA base teórica da engenharia em grande parte vem da linguagem e análisematemática. Por isso o engenheiro deve ter um bom embasamento doscálculos diferenciais e integral, equações diferenciais, álgebra linear entreoutros recursos matemáticos para resolver a maioria dos problemas deengenharia. O objetivo desse artigo é mostrar uma aplicação de um dosmétodos matemáticos chamado equações diferenciais à análise estrutural,mais especificamente à flexão de vigas, visando um melhor entendimento dosrecursos e da aprendizagem das equações diferenciais através da utilização damesma no comportamento de estruturas.PALAVRAS-CHAVE: Equações Diferenciais. Matemática.Engenharia.Flexão.Vigas.ABSTRACTThe theoretical basis of engineering largely comes from the language andmathematical analysis. For this the engineer must have a good foundation fordifferential and integral calculations, differential equations, linear algebra andother mathematical tools to solve most engineering problems. The aim of thispaper is to show an application of a mathematical method called differentialequations for structural analysis, specifically bending of beams, seeking a betterunderstanding of resources and learning of differential equations by using thesame behavior of structures.KEYWORDS: Differential Equations. Mathematics.Engineering.Flexion. Beams.
  2. 2. INTRODUÇÃOAs equações diferencias estão presentes em quase todos os tipos de estudo,não só em áreas de engenharia como em física, biologia, estatística entreoutras, o que faz o seu estudo de grande importância.Uma das aplicações da equação diferencial é o estudo da mecânica dossólidos em função de forças atuantes, podemos incluir como corpo sólido asvigas, que são elementos estruturais que são projetadas para recebercarregamentos e suportar diversas cargas ao longo de sua extensão.O principal objetivo desse trabalho é fazer a associação das equaçõesdiferencias e a mecânica dos sólidos. Descrevendo a relação entre eles.Para melhor entendimento do trabalho será feito uma apresentação superficialdas equações diferenciais priorizando as principais definições e métodos deresolução, para facilitar o entendimento da utilização dessa ferramenta. Após oexpor os principais conceitos das equações diferenciais, será apresentada abase para o estudo de vigas assim como as forçasque atuam sobre a mesma.EQUAÇÕES DIFERENCIAISUma equação diferencial é uma equação em que as suas incógnitas sãofunções e a equação envolve as derivadas dessas funções.Definição: Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação daforma: F(x, y(x), y’(x), y’’(x),...,y(n)(x)) = 0.Exemplos: y’ + 5y = ex. ↔ + 5y = ex.Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem.As equações diferencias de 1ª ordem são equações que podem ser escritas naforma:F(x,y,y’) = 0Vamos ver equações de primeira ordem escritas como:
  3. 3. Quando resolvemos uma equação diferencial ordinária de 1ª ordemnormalmente obtemos uma família de soluções que dependem de umaconstante arbitrária. Se toda solução particular puder ser obtida da família desoluções que encontramos por uma escolha apropriada da constante dizemosque a família de soluções é a solução geral da equação.Exemplo: , pode-se resolver por integração direta: ,Que é uma solução geral da equação diferencial dada.Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem.Uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem é uma equação daforma:a(x) y’’ + b(x) y’ + c(x) y = d(x)Onde a = a(x), b = b(x), c = c(x) e d = d(x) são funções conhecidas somente davariável independente x.Exemplos de equações diferenciais lineares de segunda ordem: a) x2y’’ + sin(x) y’ + exy = u(x) b) y’’ − 7y’ + 12y = cos(x)CONCEITOS PRELIMINARES DA MECÂNICA.Força Normal (N)Força Normal é a componente da força interna que age perpendicularmente àseção transversal. Se for dirigida para fora do corpo, provocando alongamentono sentido da aplicação da força, é chamada de força normal de tração ousolicitação de tração. Se for dirigida para dentro do corpo, provocandoencurtamento no sentido deaplicação da força, é chamada de força normal decompressão ou solicitação de compressão.Força Cortante (V)Força Cortante é componente de força interna que equilibra uma dada seçãotransversal de barra (ou viga), contida no plano da seção transversal que tende
  4. 4. a deslizar uma porção do corpo em relação à outra, provocando corte(deslizamento da seção em seu plano). As tensões desenvolvidas internamenteque opõem resistência às forças cortantes são denominadas tensões decisalhamento ou tensões tangenciais (força por unidade de área),representadas pela letra grega τ (Thau).Momento Fletor (M).Considerando a análise de membros prismáticos sujeitos a dois conjugados oumomentos, iguais e de sentidos opostos, M e M’, atuando no mesmo planolongitudinal. Se passarmos uma seção transversal cortando a viga, ascondições de equilíbrio de uma parte da viga exigem que os esforçoselementares exercidos sobre essa parte formem um conjugado equivalente.Desse modo, a seção transversal da barra submetida à flexão pura apresentaráesforços internos equivalentes a um conjugado. O momento M desseconjugado é chamado momento fletorda seção. Por convenção, indica-se comopositivo o momento M que flexiona a barra e como negativo o caso em que M eM’ têm sentidosinversos.FLEXÃO DE VIGASVigas geralmente são elementos prismáticos retos e longos. Vigas de aço e dealumínio desempenham um papel importante na engenharia de estruturas emecânica.Vigas de concreto armado e madeira são muito usadas na construção decasas. Na maioria dos casos, as forças são perpendiculares ao eixo da viga.Esse carregamento transversal provoca somente flexão e cisalhamento naviga.Quando as forças não estão em ângulo reto com o eixo da viga, elas produzemtambém forças axiais na viga (Ferdinand, 2006).O projeto de qualquer elemento estrutural ou mecânico requer umainvestigação das cargas que atuam em seu interior para a garantia de que omaterial utilizado possa resistir a tal carregamento. Esses efeitos internospodem ser determinados pelo uso do método das seções.Em mecânica, os componentes da Força N, atuando à viga na região de corte,e V que atua tangente a essa região, são denominados força normal ou axial e
  5. 5. força de cisalhamento, respectivamente. O momento M é denominadomomento fletor (Hibbeler, 2005).As vigas são classificadas de acordo com a maneira como são vinculadas ouapoiadas. A figura a seguir mostrao tipo de viga usada frequentemente. Adistância L mostrada naviga é chamada de vão. Figura 1(Figura - Representação de uma Viga em 3D Fonte: GASPAR: 2005.)Diagrama de Força Cortante e Momento Fletor.A determinação dos valores máximos absolutos da força cortante e domomento fletor em uma viga fica muito mais fácil se os valores V e M foremconstruídos graficamente em função da distancia x medida a partir de umaextremidade da viga. Além disso, o conhecimento de M em função de x éessencial para a determinação do deslocamento de uma viga.No exemplo da figura a baixo, os diagramas de força cortante e momento fletorserão obtidos determinando-se os valores de V e M em pontos selecionados daviga. Esses valores serão determinados da maneira usual, isto é, cortando-se aviga no ponto onde eles devem ser determinados (figura 2a) e considerando oequilíbrio da parte da viga localizada de cada lado da seção (figura 2b). Comoas forças cortantes V e V’ têm sentidos opostos, registrar a força cortante no
  6. 6. ponto C com uma seta para cima ou para baixo não teria significado, a menosque indicássemos ao mesmo tempo qual dos corpos livres AC e CB estamosconsiderando. Por esta razão, a força cortante V será marcada com um sinal:um sinal positivo se estiverem direcionadas, como mostra a figura 2b, e umsinal negativo, no caso contrario. Será aplicada uma convenção similar para omomento fletor M. Ele será considerado positivo se os momentos fletoresestiverem direcionados, conforme mostrado naquela figura, e negativo casocontrario. Figura 2(Ferdinand, 2006)Curva de Deflexão (Coeficiente de Poisson).
  7. 7. Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por umacontração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor enquanto cresceseu comprimento. Quando a barra é comprimida, a largura da barra aumenta.A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentroda região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson (v);definido como:Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francêsS. D. Poisson (1781-1840). Para os materiais que possuem as mesmaspropriedades elásticas em todas as direções, denominados isotrópicos,Poisson achou n » 0,25. Experiências com metais mostram que o valor de vusualmente encontra-se entre 0,25 e 0,35. Se o material em estudo possuir asmesmas propriedades qualquer que seja a direção escolhida, no pontoconsiderado, então é denominado, material isotrópico. Se o material nãopossuir qualquer espécie de simetria elástica, então é denominado materialanisotrópico. Um exemplo de material anisotrópico é a madeira pois, na direçãode suas fibras a madeira é mais resistente.Equações Diferenciais das Curvas de Deflexão.Considere uma viga engastada com um carregamento concentrado atuandopara cima na extremidade livre.
  8. 8. Figura 3 - Curva de deflexão de uma viga engastada. (Gere, 2003)Considerações: O plano xyé um plano de simetria da viga e todos oscarregamentos atuam nesse plano (plano de flexão). O material segue a Lei deHooke e consideramos somente deformações devido à flexão pura.Deflexão ν - É o deslocamento na direção y de qualquer ponto no eixo da viga,como apresenta a Figura 3b. Como y é positivo para cima, então ν é positivo.Vamos considerar a curva de deflexão com mais detalhes como mostra aFigura 4. Figura 4 - Curva de deflexão de uma viga. (Gere, 2003)Ângulo de rotação θ - É o ângulo entre o eixo x e a tangente à curva dedeflexão, como mostra a Figura 4b.Observações: θ é positivo no sentido anti-horário.
  9. 9. Notação: Ângulo de rotação = Ângulo de inclinação = Ângulo de decliveÂngulo de rotação em m2 = θ+dθdθ- Aumento no ângulo conforme nos movemos do ponto m1 para o ponto m2.Ângulo entre as normais as tangentes = dθPonto de interseção entre as normais as tangentes = O’ (Centro de curvatura) ρ- Raio de curvatura – Distância de O’ à curva e é dado pela seguinteexpressão.ondedθé dado em radianos e dsé a distância ao longo da curva de deflexãoentre os pontos m1e m2.A curvatura é dada por:A convenção de sinal para a curvatura é apresentada na Figura 5. Figura 5 - Convenção de sinal para a curvatura. (Gere, 2003)
  10. 10. A inclinação da curva de deflexão é a primeira derivada . Geometricamente, ainclinação da curva de deflexão é o incremento dν na deflexão (conformevamos do ponto m1 para o ponto m2) dividindo pelo incremento dxna distânciaao longo do eixo x.Como dve dxsão infinitesimais tem-se que:De modo similar tem-se:Essas equações são validas para vigas de qualquer materialVigas com pequenos ângulos de Rotação:Estruturas encontradas na vida diária: Edifícios, Automóveis, Aeronaves,navios eetc. Essas estruturas sofrem pequenas variações na forma enquanto estão emserviço e não são percebidas por um observador casual. Dessa forma, a curvade deflexão da maioria das vigas e colunas tem ângulos de rotação muitopequenos, deflexões muito pequenas e curvaturas muito pequenas.De acordo com a Figura 4, se o ângulo de rotação é muito pequeno, a curva dedeflexãoé quase horizontal. Dessa forma tem-se que:Assim a curvatura, pode ser dada por:Uma vez que quando é pequeno, tem-se o seguinte:
  11. 11. Derivando a expressão anterior em relação a x temos:Igualando com a expressão da curvatura:A expressão anterior é válida para uma viga de qualquer material, com acondição de que as rotações sejam pequenas.Se o material é elástico e linear e segue a Lei de Hooke, a curvatura é dadapor:Em que M é o momento fletor e EI é a rigidez a flexão da viga. Combinando asduas ultimas equações da deflexão produz-se a equação diferencial da curvade deflexão básica de uma viga.Essa equação pode ser integrada em cada caso particular para se obter, ν, M eEI que são funções de x.Equações adicionais podem ser obtidas a partir das relações entre o momentofletorM, a força de cisalhamento V e a intensidade q da carga distribuída, comoa seguir:Vigas Não-PrismáticasA rigidez a flexão EIxé variável. A equação torna-se:
  12. 12. Diferenciando ambos os lados da equação anterior e usando as equações obtém-se:Vigas PrismáticasNo caso de uma viga prismática (EI constante), as equações diferenciaistornam-se:Iremos nos referir a essas equações como a equação do momento fletor, aequação da força de cisalhamento e a equação do carregamento,respectivamente.Deflexões por integração da equação do momento fletor – Método deintegraçõesSucessivasObjetivo: Integrar duas vezes1ª Integração →2ª Integração → deflexão vPassos:1- Escrever as equações para os momentos fletores da viga2- Para cada região da viga substituímos as expressões para M na equaçãodiferencial da elástica e integramos para obter a inclinação ν’3- Integramos cada equação da inclinação para obter ν.
  13. 13. Observações: Cada integração produz uma constante de integração.As constantes de integração são obtidas a partir de condições relativas àsinclinações e deflexões. As condições classificam-se em três categorias.Condições de contorno: relativas às inclinações e deflexões nos apoios dasvigas, comoexemplifica a Figura 6 e a Figura 7.Figura 6 - Condições de contorno em apoio simples.(Gere, 2003)Figura 7 - Condições de contorno no engaste (Apoio fixo). Fonte: Gere, 2003APLICAÇÃO EM VIGAS BIAPOIADAS:Imaginemos uma viga isolada de uma estrutura de certo empreendimento, paraa determinação da carga devemos levar em conta o próprio pesa desta viga “q”adicionado o peso resultante da parede sobre esta viga “p”. Esta carga “w”
  14. 14. representada por q + p, é chamada de carregamento e tem como unidadeKg/m, ou seja, o peso da viga mais o peso da parede sobre esta viga geracerta quantidade de peso em Kg sobre cada metro ao longo do comprimentoda viga analisada. A viga em analise está apoiada em sobre pilares em cadauma de sua extremidade (biapoiada), cada uma desses pilares representadospelas letras A e B, fornecerão as respectivas reações devido o carregamentoaplicado. Conhecida a viga, os conceitos de equações e da mecânica dossólidos, determine a equação da linha elástica (deflexão) de uma viga simplesABsuportando um carregamento uniforme de intensidade watuando por toda aextensão da viga. Determine também a flecha máxima vno ponto médio daviga. (Nota: A viga tem comprimento L e rigidez à flexão EI constante).Figura 8 - Viga Biapoiada com carregamento uniformemente distribuído. Fonte: Beer, 2006Solução:Determinando o momento fletor desta viga:O momento fletor em uma secção transversal distante x de um dos apoios fixoé obtido considerando a reação no mesmo que é igual awL /2.Consequentemente, a expressão para o momento fletorM é:M= (1)Considerando a equação diferencial do momento fletor para uma viga prismáticaEI =M e substituindo em (1), obtemos:
  15. 15. EI = (2)Essa equação pode ser utilizada para se obter a inclinação e a elástica da viga .Reescrevendo a equação diferencial (2) que é uma equação de variáveisseparáveis, e integrando ambos os lados:EI =EI = + C1 (3)A equação diferencial (3) representa a inclinação da viga ( ). Paradeterminarmos C1na equação (3) observamos, a partir da simetria da viga e deseu carregamento, que a inclinação da curva de flexão na metade da extensão éigual a zero, e daí, temos a seguinte condição de simetria:Para , Então:0= + C1C1=A equação para a inclinação da viga torna-se então:EI = (4) (5)Para encontrar a deflexão da viga (v), temos que integrar a função (4): + C2 (6)A constante de integração C2 pode ser calculada a partir da condição de queadeflexão da viga no suporte fixo é igual a zero; isto é, v = 0 quando x = 0.C2=0, então:
  16. 16. ou , (7)Essa equação da o deslocamento vertical em qualquer ponto ao longo do eixoda viga. Vale ressaltar que esse deslocamento é zero em ambas asextremidades da viga e negativa em qualquer outra parte, pois flechas parabaixo são negativas por convenção.Flecha Máxima: Da simetria, observamos que a flecha máxima (deflexãomáxima) ocorre no ponto médio do comprimento. Assim, fixando x igual a L/2na equação (7), obtemos: maxAPLICAÇÃO EM VIGAS EM BALANÇO (ENGASTADAS).Imaginemos agora outra viga do mesmo empreendimento da aplicaçãoanterior, só que esta viga não é biapoiada, ou seja, não possui apoio em umade suas extremidades. O peso ao longo desta viga será o peso próprio damesma w em Kg/m. vamos determinar a equação da linha elástica (deflexão)para uma viga engastada AB submetida a um carregamento uniforme deintensidade w.E também o ângulo de rotação e a deflexão v em B,naextremidade livre.(Nota: a viga tem comprimento L e rigidez de flexão EIconstante).
  17. 17. Solução:Considerando que a reação vertical no apoio é igual awLe que a reação domomento é igual a wL²/2 , o momento fletor à distância x do suporte fixo éexpresso pela equação: (1)Quando a expressão precedente para o momento fletor é substituída na equaçãodiferencial:EIObtemos:EI (2)Agora integramos ambos os lados da equação (2) para obter a inclinação:EI + C1 (3)A constante de integração C1pode ser obtida a partir da condição de contornode que a inclinação da viga é zero no suporte. Para x=0, = 0.Quando essa condição é aplicada à equação (3), obtemos C 1 = 0. Emconsequência, a equação (3) torna-se:EI (4)
  18. 18. Assim, a inclinação é: (5)Como esperado, a inclinação é zero no suporte (x=0) e negativa por todo ocomprimento da viga.A integração da equação (4) produz a equação da deflexão:EI + C2 (6)A constante C2é encontrada a partir da condição de contorno de que a flechada viga é zero no suporte. Para x=0, v=0:Quando essa condição é aplicada na equação (6), vemos imediatamente queC2 = 0.Em consequência, a equação para a deflexão v é: (7)Como esperado, o deslocamento vertical v é zero no suporte (x = 0) e negativa(para baixo) em outras partes.O ângulo de rotação na extremidade B da viga é igual ao negativo dainclinação naquele ponto. Assim, usando a equação (5), obteremos, para x = L: (8)Esse é o ângulo de rotação máxima para a viga.Uma vez que a deflexão v é para baixo, ela é igual ao negativo da deflexãoobtida a partir da equação (7). Para x = L max =
  19. 19. Essa flecha é o deslocamento vertical máximo da viga.CONCLUSÃOÉ percebida a importância do entendimento de equações diferenciais enquantoferramenta matemática disponível para diversos ramos da ciência, e emespecífico, para a engenharia, na necessidade de determinar as tensões e asdeformações usando as propriedades físicas dos materiais, bem como as leisque regem o comportamento dessas estruturas.Ao realizar o estudo do comportamento de vigas percebemos a importância darelação da matemática e engenharia. A matemática fornecendo as ferramentasúteis para o entendimento de fenômenos que estão à nossa volta e aplicar parauma melhor produtividade na engenharia.REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICASSODRÉ, Ulysses (21 de maio de 2003). Equações Diferenciais Ordinárias.SANTOS, Reginaldo J.Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias /Reginaldo J. Santos. Belo Horizonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2007.BEER, Ferdinand Pierre, 1915 – Resistencia dos Materiais / Ferdinand P. Beer,E. Russell Johnston, Jr., John T. DeWolf; tradução Mario Moro Fecchio; revisãotécnica Walter Libardi. – São Paulo: McGraw-Hill, 2006.HIBBELER, R. C. Estática : mecânica para engenharia, vol. 1 / R. C. Hibbeler;tradução EveriAntonio Carrara, Joaquim Nunes Pinheiro; revisão técnicaWilson Carlos da Silva Junior. – São Paulo: Pearson Prentive Hall, 2005.

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