Produtos Infinitos e Formulações Discretas da Dinâmica de um Foguete

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Produtos Infinitos e Formulações Discretas da Dinâmica de um Foguete

  1. 1. PRODUTOS INFINITOS E FORMULAÇÕES DISCRETAS DA DINÂMICA DE UM FOGUETE L. Miranda S. Moreira2 Miranda1, 1 Coordenação de Licenciatura em Matemática, IFPI, Brasil 2 Coordenação de Licenciatura em Física, IFPI, BrasilResumoFazemos uma correlação entre as seqüências de retiradas de partes de uma massadiscretamente variável e o movimento linear desta, enfatizando o uso da teoria dosprodutos infinitos.Palavras-chave: Massa variável, seqüências de Antifonte, produtos infinitos. 1
  2. 2. Introdução O Cálculo se inicia com a Conjectura de Antifonte (480-411, Grécia), a qualafirma que se de uma quantidade de certa grandeza retirarmos uma porção nãomenor que a metade, e da quantidade restante também retirarmos uma segundaporção não menor que a metade, e assim sucessivamente, então haverá algumaetapa em que o restante não retirado tornar-se-á tão pequeno quanto qualquerquantidade previamente fixada da referida grandeza. Em lugar da metade pode-setambém considerar uma fração fixa qualquer entre zero e um. Originalmente, deve-se ter considerado a metade, inclusive porque o procedimento proposto porAntifonte para a quadratura do círculo pleiteia tal possibilidade, conforme citaTemístio [Temístio, In Aristotelis Physica parafrasis 3.27-4.8 Schenkel [B.13 DK/B.13 U/ F13(c) P, conforme Bellintani Ribeiro].A generalização deste procedimento de exaustão, que nos leva naturalmente aosprodutos infinitos, cujos primeiros estudos são atribuídos a Vieta [Operamathematica, Leyden, 1646, p.400], induz de modo natural uma bijeção entre adinâmica que exaure uma quantidade (de qualquer grandeza mensurável) e o 2
  3. 3. conjunto das seqüências de números do intervalo 0,1 . A partir dos resultadosteóricos acerca dos produtos infinitos, adquiridos desde Vieta, faremos umaclassificação de tais movimentos através da divergência para zero dos produtosinfinitos dos complementos dos elementos destas seqüências, bem como daconvergência das mesmas e divergência de suas séries. Aplicamos estes resultadosao estudo dos movimentos livres de corpos de massas discretamente variáveis2. As seqüências de Antifonte Considere uma quantidade não nula de uma grandeza mensurável qualquer.Propomo-nos a fazer uma classificação de todas as seqüências de retiradas, semreposição, capazes de exaurir esta quantidade. Por exaurir devemos entender oseguinte: para qualquer quantidade previamente fixada da mesma grandeza existeuma retirada para a qual o resto da quantidade é menor que a quantidade . Suponhamos que a primeira retirada, a qual corresponde à condição inicial sejade uma fração nula de , isto é, 0. Seja a primeira porção efetivamenteretirada, com o respectivo primeiro resto efetivo 1 . Seja (1- a 3
  4. 4. segunda porção retirada, com respectivo resto 1 1 . Esteprocedimento pode se repetir indefinidamente, e é formalizado no seguinteresultado.PROPOSIÇÃO 1. Seja 0 , , ,…, ,…| 0,1 o conjunto dasrespectivas frações dos restos sucessivos de uma quantidade mensurável 0 deuma determinada grandeza. Então: i) o resto de ordem é igual a ∏ 1 ; ii) a soma das partes retiradas na ordem , , é igual a ∑ ∏! " 1 ! .DEMONSTRAÇÃO. Provaremos por indução sobre . Para 0 o resto de talordem é igual a 0 e a soma das partes, 0 0. Por outro lado, ∏ 1 1 0 e ∑ ∏! " 1 ! 0, visto que nestesomatório não há nenhuma parcela. Suponhamos por indução que as duasexpressões sejam verdadeiras para a ordem , isto é, que ∏ 1 e ∑ ∏! " 1 ! . Temos #1 $ 1 $ ∏ 1 1 $ ∏ $ 1 e #1 4
  5. 5. # $ ∑ ∏! " 1 ! # $ ∏ 1 ∑ $ ∏! " 1 ! % Notemos que ∑ ∏! " 1 ! 1 ∏ 1 .DEFINIÇÃO 1. A uma seqüência , , ,… de números reais do intervalounitário 0,1 damos o nome de seqüência antifontiana se &( )$* ∏ 1 0 e em caso contrário, seqüência não antifontiana. Note que o escólio da proposição 1 indica que , ,… é antifontiana se esomente &( )$* ∑ ∏! " 1 ! 1.3. Produtos infinitos e seqüências antifontianas Nesta parte usaremos alguns resultados clássicos da teoria dos produtosinfinitos para fazer a classificação das seqüências antifontianas. Os resultadospodem ser vistos nos textos usuais de análise, tais como Tom Apostol. 5
  6. 6. DEFINIÇÃO 2. Seja + , , ,… uma seqüência de números reais e ,∏ + . Ao par + . , damos o nome de produto infinito e o denotamos por∏* + . i) Se infinitos + são nulos diz-se que o produto é 0; ii) se nenhum + énulo diz-se que o produto converge se e somente se existe , /0 tal que&( )* , ,. Se &( )* , 0, diz-se que o produto diverge para 0. iii) seexiste 1 tal que 2 1 implica + 0, diz-se que o produto converge, sempre que∏* 3$ + converge no sentido descrito em (ii) e neste caso ∏* ++ + … +3 ∏* 3$ + . iv) o produto é divergente se não convergir em nenhum dossentidos (ii) ou (iii).TEOREMA 1. Se 4 0, então ∏* 1 converge se e somente se ∑*converge. Em conformidade com o teorema acima, se 0,1 e ∑* diverge,então ∏* 1 não é convergente. Visto que , ∏* 1 decrescemonotonicamente e , 2 0, 5 1, resulta que &( )* , 0, ou seja, o produtodiverge para 0. Isto significa que a divergência de ∑* 6 , com 2 0 paraalgum ( 1, é condição suficiente para que a seqüência , , ,… seja 6
  7. 7. antifontiana. Em particular, este é o caso das seqüências pertencentes aos conjuntosda forma 6 8 0 7 , ,… : :, 1 , 5 2 (;, sendo : 2 0. Obviamente,esta divergência não é condição necessária, pois toda seqüência do tipo 0, … 0, 1, 0, … é antifontiana. No entanto, se a seqüência antifontiana , ,…é tal que 0,1 , 5 4 (, então ∑* 6 diverge. De fato, neste caso o produtodiverge para 0 e, portanto, ∑* 6 não poderá convergir.TEOREMA 2. Toda seqüência 0 , ,… ,… , 0,1 , nãoantifontiana converge para 0.DEMONSTRAÇÃO. Suponhamos que não convirja para 0. Então existesubseqüência < = > , ,… de s, e ? 2 0 tais que = 2 ?, 5& 1, 2, … Pelaobservação acima, < será seqüência antifontiana. Portanto, , que associada a umprocesso de retiradas sucessivas não exaure qualquer quantidade pré-fixada,possuirá uma subseqüência que exaure a mesma quantidade. Como não háreposição de qualquer quantidade retirada, a existência desta subseqüênciaantifontiana constitui uma contradição. Logo, não existe tal subseqüência e,portanto, s deve convergir para zero% 7
  8. 8. 4. Produtos infinitos e movimentos livres de corpos de massas discretamentevariáveis Em relação a um referencial inercial ABCD um corpo de massa variável, commassa inicial ( no instante de tempo E 0, encontra-se livremente em repouso(num campo de forças nulo). No instante E 2 E é ejetada com velocidade + ,relativa ao referencial ABCD, uma porção do corpo de massa igual a ( , restandoum 1-subcorpo de massa igual a 1 ( . No instante de tempo E 2 E , do 1-subcorpo restante da primeira ejeção é ejetada com velocidade + , relativa aoreferencial ABCD, uma segunda porção de massa igual a 1 ( , restandoum 2-subcorpo de massa igual 1 1 ( . Iterativamente, no instanteE 2 E " é ejetada com velocidade + , relativa ao referencial ABCD, uma porçãode massa igual a 1 " 1 " ·… · 1 ( , restando um n-subcorpo de massa igual a 1 1 " · …· 1 ( . A seguir, apresentamos o cálculo da velocidade imediatamente após a -ésimaejeção. Pelo princípio de conservação da quantidade de movimento, temos: 8
  9. 9. JK 1ª Ejeção: G HHHHI HHHHI; + "JK JK JL 2ª Ejeção: G HHHHI HHHHI + HHHHI; + "JL "JK "JL JK JL JN 3ª Ejeção: GM HHHHI HHHHI + HHHHI + HHHHI; +M "JN "JL "JK "JN "JL "JN . . . JO ª Ejeção: HHHHI G ∑S HHHI +T ∏Q PRO "JP " Tendo em conta que G HHHHI + # ∑U HHHHI ∏U" 1 > > U +U HHHHI , se ∏Q PRK "JP 3 for antifontiana, lim )$* YHHHHIY só não divergirá caso o somatório G∑U ∏U" 1 > > U +U HHHHI convirja para o vetor nulo. Mesmo com quantidadesfinitas de energia é possível, com conveniente escolha da seqüência de velocidades +T S 30 , atingirmos velocidades G arbitrariamente grandes. HHHI HHHHI 9
  10. 10. Conclusão As condições de mútua suficiência e necessidade para que uma seqüência sejaantifontiana, por nós apresentadas, é de baixa operacionalização técnica, sendo dealta operacionalização apenas a condição suficiente. A classificação dosmovimentos livres de corpos de massas discretamente variáveis depende de umestudo mais aprofundado das correlações existentes entre as seqüências +T S 30 e HHHI 30 .Bibliografia1. ANTIFONTE - Testemunhos, Fragmentos, Discursos. Edição bilíngüe. Prefácio e tradução: Luís Felipe Bellintani Ribeiro. São Paulo: Edições Loyola, 2009.2. APOSTOL, T. M. Análisis Matemático. Tradução de Henrique Linés Escardó. Editorial Reverté, 1976. 10

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