O PÊNDULO MATEMÁTICO E AS FUNÇÕES ELÍPTICASLossian B. B. MirandaIFPI – Coordenação de Licenciatura em Matemática / lossian...
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Breve exposição sobre a dinâmica do pêndulo matemático baseada no livro clássico Bowman, F. Introduction to Elliptic Functions, with Applications. New York: Dover, 1961.

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  1. 1. O PÊNDULO MATEMÁTICO E AS FUNÇÕES ELÍPTICASLossian B. B. MirandaIFPI – Coordenação de Licenciatura em Matemática / lossian@oi.com.brIntroduçãoConsidere um pêndulo matemático de haste de comprimento fixo ˬ com centrode massa girando ou oscilando sobre a circunferência conforme figura 1. Para cadainstante de tempo ˮ a haste faz um ângulo {ˮ{ com a reta vertical, com {ˮ{ sendopositivo no sentido anti-horário e negativo em sentido horário.Figura 1Pela segunda lei da mecânica clássica temos:(1.1) – ˭˧J˥J {ˮ{ ˭ˬ ӕ.O sinal negativo em (1.1) significa que quando J˥J {ˮ{ 2 Ŵ a aceleração angular énegativa e reciprocamente.EXERCÍCIO 1. Prove a afirmação imediatamente acima [Sugestão: faça inspeção casoa caso para todos os quadrantes do ciclo trigonométrico nas duas orientações. São oitosituações, pois para cada um dos quadrantes temos dois sentidos, a saber, horário e anti-horário].Como a massa ˭ é não nula, podemos cancelar ˭ na equação (1) e isto significa que aequação resultante(1.2) ӕ . J˥J {ˮ{independe da massa, e o movimento pendular não se modifica caso a massa varie.
  2. 2. Os três movimentos e os dois equilíbriosPara melhor fixar as idéias, iniciemos nossa contagem temporal quando a massa˭ passa pelo ponto mais baixo, ou seja, consideremos {Ŵ{ Ŵ e ˢ{Ŵ{ ˢ", com ˢ{ˮ{sendo o módulo da velocidade tangencial no instante de tempo ˮ. Pela lei deconservação da energia temos:(1.3) $ˢ"$$ˢ{ˮ{$- ˭˧ˬ{ŵ . IJJ {ˮ{{.Substituindo IJJ {ˮ{ por ŵ . ŶJ˥J$$em (1.3), temos:(1.4) ˢ${ˮ{ ˢ"$. Ÿ˧ˬJ˥J$$.Usando-se a notação $e observando que ˢ{ˮ{ ˬ Ӕ, temos(1.5) Ӕ$Ÿ ${&. J˥J$ { {${.Como posteriormente usaremos funções elípticas e esta teoria já tem umanotação tradicional desde 1823, façamos a notação(1.6) ˫ &.Notemos que ˫ ŵ 7 $ˢ"$Ŷ˭˧ˬ, ˫ ŵ 7 $ˢ"$Ŷ˭˧ˬ e ˫ 2 ŵ 7 $ˢ"$2Ŷ˭˧ˬ. Ou seja, se ˫ ŵ temos oscilação, ˫ ŵ movimento assintótico (homoclínico) e˫ 2 ŵ rotação. Assim, têm-se três tipos de movimentos para serem estudados.OSCILAÇÃO (˫ ŵ. Energia cinética máxima menor que a energia potencialmáxima).Quando o ângulo máximo relativo a uma oscilação é atingido a velocidadetangencial se anula. Denotemos por {Ŵ { este ângulo. A substituição de ˢ{ˮ{ Ŵe {ˮ{ em (1.4) nos dá(1.7) J˥J$ $ ˫$.Por outro lado, (1.5) nos forneceˤˮ /$,Que com a mudança de coordenada IJIJ˥J{#J˥J${ forneceˤˮ /#,e esta última, integrada de Ŵ a ˮ, nos dá
  3. 3. (1.8) ˤˮ /#ˮ.COMENTÁRIO: Neste momento faremos uma pausa para desenvolver os rudimentosda teoria das funções elípticas de Legendre-Jacobi necessários para, a partir daidentidade (1.10), encontrarmos {ˮ{Como uma função explícita do tempo ˮ. Historicamente, as funções elípticas surgiram,quase que simultameamente, a partir de três grandes problemas científicos, a saber: i)cálculo de integrais indefinidas de funções racionais; ii) cálculo do comprimentos deuma elipse com qualquer excentricidade; iii) cálculo da solução da equação do pêndulomatemático. Posteriormente estas três visões inicialmente distintas se fundiram numateoria única e daí, generalizou-se para o domínio dos números complexos. Hoje se temuma vasta e importante teoria matemática com fortes aplicações em vários ramos dafísica.
  4. 4. Funções elípticas (conceitos básicos)Consideremos a integral definida(A1.1) ˯#.Note que ˯ ˯{˲{ é a integral do inverso da área do círculo trigonométrico da figuraabaixo (figura 2).1xx 1-1-1Figura 2Neste caso, imediatamente vê-se que ˯{˲{ é função inversível para ˲ {Ŵ ŵ{. Isto nospermite colocar x em função de ˯. De fato, do cálculo integral sabemos que ˯IJIJ˥J˲ e daí temos ˲ J˥J˯. Por volta de 1823, Niels Abel, tentando encontrar asolução da equação do pêndulo matemático, foi levado à equação (1.10). Ele foi levadoa fazer o estudo da função dada por ˯#. Visto que ˯ ˯{ { é funçãocrescente, Abel foi induzido a investigar como seria a inversa de ˯ ˯{ {, ou seja,como deveria ser a variação de {˯{ como função de ˯. Mais precisamente, tendoem conta que a mudança de coordenada ˲ J˥J , através da integração por mudançade variáveis, nos leva à identidade(A1.2) ˯# {# {{# {, com ˲ J˥J ,Abel levantou o questionamento de como deveriam ser as funções ˲ ˲{˯{ e{˯{. Jacobi usou a notação I˭{˯{ e denominou tal função por amplitude de ˯.Como ˲ J˥J , ˲ ˲{˯{ foi denotada por Jacobi como ˲ J˥J{I˭{˯{{. Jacobitambém definiu:IJJ …‘• {I˭{˯{{;{ { I˭{˯{ ŵ . ˫$J˥J$ = ŵ . ˫$J˥J${I˭{˯{{ .Gudermann, professor de Karl Weierstrass, propôs a notação atual:
  5. 5. (A1.3) Ӣ˲ J˥J JJ˯ŵ . ˲$ IJJ IJ˯ŵ . ˫$˲$ ˤJ˯A função JJ{˯{ JJ˯ chama-se seno elíptico, a função IJ˯, cosseno elíptico e afunção ˤJ˯ não tem nome.TEOREMA 1 (Características analíticas das funções elípticas). Para as três funçõeselípticas básicas acima definidas vale as identidades JJ$˯ - IJ$˯ ŵ e ˤJ$˯ -˫$JJ$˯ ŵ. Além disso, temos:i) {I˭{˯{{ ˤJ˯;ii) {JJ˯{ IJ˯;iii) {IJ˯{ .JJ˯ˤJ˯;iv) {ˤJ˯{ .˫$JJ˯IJ˯.(A1.4).Demonstração: (i) {I˭˯{ {˯{#{ # ${#% ŵ . ˫$J˥J$ŵ . ˫$˲$ ˤJ˯;(ii) {JJ˯{ {J˥J { IJJ IJ˯ˤJ˯(iii) {IJ˯{ {IJJ { . J˥J .JJ˯ˤJ˯(iv) {ˤJ˯{ { { Ӛ{ŵ . ˫$J˥J$ { ӛ#${ŵ .˫$J˥J$ { ӘŴ . ˫$ŶJ˥J IJJ ә#$#{.Ŷ˫$JJ˯IJ˯ˤJ˯{ .˫$JJ˯IJ˯.As demonstrações de JJ$˯ - IJ$˯ ŵ e ˤJ$˯ - ˫$JJ$˯ ŵ são óbvias, decorrendodiretamente de (A1.3).PROPOSIÇÃO 1 (Características numéricas das funções elípticas). Para s funçõeselípticas valem as igualdades:(i) JJŴ Ŵ;(ii) IJŴ ŵ;(iii) ˤJŴ ŵ;(iv) I˭{.˯{ .I˭˯;(v) JJ{.˯{ .JJ˯;(vi) IJ{.˯{ IJ˯;(vii) ˤJ{−u)=dnu.Demonstração: (i) Se ˯ Ŵ então Ŵ#, e como o integrando é positivo,Ŵ. Deste modo, JJŴ Ŵ.(ii) Analogamente ao caso (i), Ŵ, e daí, IJŴ IJJŴ ŵ.(iii) Analogamente, ˤJŴ ŵ . ˫$J˥J$Ŵ ŵ.
  6. 6. (iv) I˭{˯{ . Como ˯#, se trocarmos o sinal de u,deveremos trocar o sinal de para que haja identidade. Assim, I˭{.˯{ ..I˭˯(v) JJ{.˯{ J˥J{. { .J˥J .JJ˯.(vi) IJ{.˯{ …‘•{. { IJJ IJ˯.(vii) ˤJ{.˯{ {. { ŵ . ˫$J˥J${. { ŵ . ˫$J˥J$ˤJ˯.COMENTÁRIO. Por jogar um importante papel na teoria das funções elípticas, aintegral definida(A1.5) H{˫{#È$Merece destaque especial. Notemos que se na identidade (1.10) tomarmos ˮ para ser aquarta parte do período ˠ{˫{ da oscilação, teremos que o ângulo máximocorrespondente será . Da igualdade J˥J J˥J{#J˥J${, vê-se que quando ,então ÈŶ. Assim, quandoVaria de – a , varia de – ÈŶ a ÈŶ. Conseqüentemente, de (1.10) teremos#È$ { {. Logo, o período da oscilação do pêndulo é dado por(A1.6) ˠ{˫{ #È$ { {Notemos que ˠ{Ŵ{$e ˠ{ŵ{ - , como era de se esperar.
  7. 7. Agora, retornemos à identidade (1.10). Da teoria das funções elípticas acima esboçadatemos(1.9) J˥J {ˮ{ JJ{ ˮ ˫{­ sn( ˮ{.De J˥J {ˮ{ J˥J{#J˥J${ e de (1.11) resulta(1.10) {ˮ{ ŶIJIJ˥J{˫JJ{ ˮ ˫{{.Esta última expressão derivada em relação ao tempo ˮ dá-nos(1.11) Ӕ Ŷ˫ IJ{ ˮ ˫{.Portanto, as duas curvas-solução / ț 7 ț$(nos dois sentidos, anti-horário e horário)de condição inicial, em módulo, { {Ŵ{ Ӕ{Ŵ{ {Ŵ {, são dadas por(1.12) / {ˮ{ /{ŶIJIJ˥J ˫JJ{ ˮ ˫{ Ŷ˫ IJ{ ˮ ˫{{, com ˫ .EXERCÍCIO 2. Faça a expansão da função T(k) em série de Taylor até a ordem 3.Usando o programa graphmath, ou outro, faça o gráfico do correspondente polinômiode grau 3. Qual o valor que este polinômio dá para o período quando ˧ % % ˭ÈJ$,ˢ ŵ Ŵ ˭ÈJ e ˬ ŵ Ŵ ˭? Calcule, também, T(0) e T(1), neste caso.MOVIMENTO HOMOCLÍNICO (˫ ŵ. Energia cinética máxima igual à energiapotencial máxima).Fazendo-se ˫ ŵ em (1.8) temos /Ŷ ˤˮ J˥I $ˤ , cuja integração de Ŵ a ˮ nos dá/Ŷ ˮ J˥I$ˤ . Do cálculo integral sabemos que J˥I$ˤ {ŶŽ {J˥I$-ˮ˧${{ . Disto segue / ˮ Ž {# { e pela definição de logaritmo,##˥/. Quadrando esta última obtemos uma equação do segundo grau na variávelindependente J˥J$, cujas soluções são:i) J˥J $.ŵ J , J ímpar;ii) J˥J $/ #/ #/ / ­ ˮ˧˨{/ ˮ{.A primeira refere-se ao ponto fixo instável e a segunda nos dá, devido à imparidade dasfunções envolvidas,(1.13) {ˮ{ /ŶIJIJ˥J{ˮ˧˨{ ˮ{{ .Derivando-se esta última pela regra da cadeia temos(1.14) Ӕ /Ŷ•‡…Š { ˮ{.
  8. 8. Em síntese, para este movimento, temos as duas curvas-solução / ț 7 ț$dadas por(1.15) / {ˮ{ Ә {ˮ{ Ӕ{ˮ{ә /Ŷ{IJIJ˥J{ˮ˧˨{ ˮ{{ •‡…Š { ˮ{{,com ˧Èˬ e ˫ ŵ ˢ$ÈŸ˧ˬ.EXERCÍCIO 3. Use o teorema 1 e a proposição 1 para provar que para as funçõeselípticas valem as seguintes expansões em série de Taylor:a) JJ{˯ ˫{ ˯ .#{ŵ - ˫${˯%-##${ŵ - ŵŸ˫$- ˫{˯-b) IJ{˯ ˫{ ŵ .#$˯$+#${ŵ - Ÿ˫${˯.#${ŵ - ŸŸ˫$- ŵź˫{˯ -c) ˤJ{˯ ˫{ ŵ .#$˫$˯$-#${Ÿ˫$- ˫{˯.#${ŵź˫$- ŸŸ˫- ˫ {˯ -Use estes desenvolvimentos em série de Taylor para desenvolver também em série deTaylor as curvas-solução / {ˮ{ /{ŶIJIJ˥J ˫JJ{ ˮ ˫{ Ŷ˫ IJ{ ˮ ˫{{ e / {ˮ{Ә {ˮ{ Ӕ{ˮ{ә /Ŷ{IJIJ˥J{ˮ˧˨{ ˮ{{ •‡…Š { ˮ{{ dos movimentos oscilatórios ehomoclínico.ROTAÇÃO (H 2 ŵ. Energia cinética máxima maior que a energia potencial máxima).Como ˫ - 2 ŵ, consideremos ˫#1 De Ӕ Ÿ $Ә. J˥J$$әŸ ${ {#{ $. J˥J$${ - note que esta é a equação (1.5) – segue(1.16) /#.Fazendo-se a mudança de coordenadas$1 teremos / =# #·, resultando(1.17) J˥J J˥J $JJ Ә/ˮ ˫ә /JJ{˫ ˮ#{e daí(1.18) {ˮ{ ŶIJIJ˥J{/JJ{˫ ˮ#{{.Por outro lado, derivando (1.19) em relação ao tempo teremos ӔIJJ {ˮ{˫IJ Ә˫ ˮ#ә ˤJ{˫ ˮ#{ e, por (A1.3), desta última resulta ӔIJ Ә˫ ˮ#ә˫IJ Ә ˫ˮ#ә ˤJ{ ˫ˮ#{. E daí segue ӔӔӔ$˫ˤJ{˫ ˮ#{, ou seja:
  9. 9. (1.19) Ӕ{ˮ{ Ŷ ˫ˤJ{ ˫ˮ#{.Em síntese, as curvas-solução da rotação são / ț 7 ț$dadas por:(1.20) / {ˮ{ Ә {ˮ{ Ӕ{ˮ{ә /Ŷ{IJIJ˥J JJ Ә˫ ˮ#әF ˫ ˤJ{˫ ˮ#{{.

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