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Referência Bibliográfica1. ASSIS, A. K. T. Mecânica Relacional. CLE, UNICAMP, 1998.
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Especulações sobre o centro de massa e campos de corpos ilimitados em r3

  1. 1. ESPECULAÇÕES SOBRE O CENTRO DE MASSA E CAMPOS DE CORPOS ILIMITADOS EM R3 Lossian B. Bacelar Miranda – lossian@oi.com.br Coordenação de Matemática e Física - IFPI1Resumo. Fazemos uma síntese histórica extrema sobre o pensamentocosmológico clássico e algumas especulações acerca de campos e centros demassa associados a corpos ilimitados no espaço euclidiano tridimensional.O Universo clássico e seus paradoxos1. Newton inicialmente pensou que o Universo fosse infinito e eterno, com uma finita quantidade de massa.2. Tendo em conta que haveria uma tendência de aglomeração para o centro de massa deste Universo, Newton abandonou esta idéia e assumiu que a massa era infinita e que, portanto, não poderia haver nenhuma tendência para a aglomeração de toda a matéria do Universo, e sim para aglomerações parciais que tenderiam a construir centros enormes de massas bastante afastados uns dos outros.3. Paradoxo gravitacional (Seeliger e Carl Neumann 1894-1896): Como a força gravitacional exercida por uma casca esférica em seus pontos interiores é nula, então a força gravitacional exercida por toda a matéria do Universo sobre uma partícula de massa m localizada no ponto M se restringe à força exercida pela matéria contida na bola maciça de raio PM (fig. 01, abaixo), a qual depende da distância PM. Portanto, se o Universo é infinito com distribuição uniforme de matéria, a força exercida por toda a matéria sobre uma partícula de prova irá depender do referencial, isto é, do ponto P escolhido.1 Palestra apresentada em 1 de dezembro de 2009 no IFPI por ocasião da realização da VISemana de matemática e Física do IFPI. Lossian Barbosa Bacelar Miranda é professor do InstitutoFederal de Educação, Ciência e Tecnologia do Piauí.
  2. 2. Raio PM da esfera de centro P M P Figura 01. Paradoxo gravitacional4. Propostas de soluções conhecidas para o paradoxo gravitacional: a) Quantidade finita de matéria: os cálculos mostram que não surge nenhum paradoxo nesta situação. Mas cai-se na hipótese do colapso; b) Correção de Seeliger-Neumann para a lei da gravitação (1895- 1896). Eles propuseram que o potencial gravitacional deve ser Gm Gm r mudado de para e . Com esta r r correção os cálculos indicam que a força exercida por uma casca esférica sobre um ponto que não seja o centro da esfera não é obrigatoriamente nulo. c) No Universo existem massas negativas, as quais repelem as positivas (tomadas como as usuais, por nós “conhecidas”) e atraem as negativas. Os cálculos feitos para este modelo evitam o paradoxo gravitacional, mesmo com um Universo infinito com quantidade infinita de matéria. Tal modelo foi inicialmente proposto por Föppl em 1897.Campo elétrico de uma distribuição infinita decargas
  3. 3. Considere o conjunto N {( m , n , s ) / m , n , s Z } dos nós de umamalha tridimensional infinita contida em R 3 . Colocando-se umapartícula carregada com carga de intensidade q em cada um dos nóse usando-se diretamente a lei de Coulomb, teremos que o campo 3 3E:R R será dado pelo somatório x m y nE ( x, y, z ) 0 q( 2 2 2 3/2 , 2 2 2 3/2 , m ,n ,s Z [( x m) (y n) (z s) ] m ,n ,s Z [( x m) (y n) (z s) ] z s 2 2 2 3/2 ).m ,n ,s Z [( x m) (y n) (z s) ] Os casos bidimensional e unidimensional (respectivamente,z s 0 e z s y n 0 ) se restringem às expressões: x m y nE ( x, y ) 0 q( 2 2 3/2 , 2 2 3/2 ) m ,n Z [( x m) (y n) ] m ,n Z [( x m) (y n) ].  x m E ( x) 0 q 2 3/ 2 m Z [( x m) ] .Corpos ilimitados com centros de massadeterminadosDEFINIÇÃO (Centro de massa): O centro de massa de um corpo demassa m é a posição média das massas infinitesimais que compõem ocorpo. Matematicamente, temos: a) Para um sistema de partículas de posições dadas em um  sistema cartesiano tridimensional por ri e massas m i , o
  4. 4. centro de massa de é definido por  m i ri cm ( ) . mi b) Para uma distribuição contínua M  , de massa total e função de densidade (r ), o centro de massa é   ( r ) r dV  r cm ( )  ( r ) dV .  rPROPRIEDADES DO CENTRO DE MASSA A coleção das forças internas não pode alterar o movimento docentro de massa, tão somente, pode fazer com que o corpo possagirar. É o que ocorre com o gato em queda livre ao girar para cair comas patas no chão. O centro de massa de um corpo de massa m, esubmetido a certo campo de forças, se move como se fosse umapartícula de massa m situada naquele mesmo campo. A explicação da afirmação acima é fruto da própria definição docentro de massa, conforme segue:PROPOSIÇÃO FUNDAMENTAL: Sejam n partículas 1, 2 ,..., n com posições dadas pelos raios vetores ri (t ) em função do tempo(as partículas estão em movimento, talvez!), cada uma com massaconstante mi . Denotemos F ik (t ) a força que a partícula iexerce sobre a partícula k no instante t . Então  d n d ri ( t ) n   ( mi ) R i (t ) R i (t )dt dt , onde é a força i 1 i 1resultante externa que atua sobre a partícula i.
  5. 5. DEFINIÇÕES: devido ao seu constante uso, denomina-se o somatório  n d ri ( t )  mi P de momento linear total das n i 1 dt   d ri ( t ) pi mipartículas, e dt , momento linear da partícula i . A partir do resultado acima podemos, facilmente, colher oseguinte resultado, o qual é talvez o mais importante resultado que serefere a movimento de corpos quaisquer, sejam rígidos oudeformáveis. n  ri ( t ) m i  def   def d rcm ( t ) i 1 n rcm ( t ) v cm mi dt i 1 n  m i v i (t )   not P dP    i 1 M a cm F ext M a cm M M dt. Isto significa que não importam as energias e possibilidades demovimentação do corpo humano e vontade de se flexibilizar, éimpossível uma pessoa mudar a posição de seu centro de massa, ummilímetro sequer, caso esteja em queda livre.
  6. 6. Figura 02. Estrelas duplas girando em torno do centro de massaCENTROS DE MASSA DE CORPOS ILIMITADOS Dentro de um Universo clássico, pelo menos no plano teórico, épossível a existência de corpos ilimitados (que não cabem dentro deuma bola de R3) com volumes finitos ou infinitos. O senso comum nosindica que corpos limitados devem ter massa finita, a menos que hajauma concentração infinita de densidade em pelo menos um ponto docorpo. Espera-se, portanto, que corpos limitados, além de teremvolumes finitos tenham, também, massa finita. Por outro lado, corposilimitados podem ter volumes e massas finitas. Até corpos de volumesinfinitos, os quais são sempre ilimitados, podem ter massas finitas sesupusermos para eles uma diminuição conveniente de densidade. Aseguir, apresentamos o resultado de um estudo teórico vindo doscursos de cálculo integral. 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 1 1 Figura 03. Gráfico da função f ( x ) , com ( ,1) x 2
  7. 7. 0 ½ 1 Área 1 x0 Em 1, infinito Em ½, 1 infinito Volume 1 2 x0 1 2 1 2 x0 Em ½, Em 1, infinito x0 1 2 Centro de massa 1 2 Em 1, infinito x0 Em 0, 2 2 infinito. Figura 04. Valores relativos ao sólido de revolução gerado pela 1 f ( x) função , para diversos números x Aqui cabem algumas indagações suscitadas pela análise databela acima: i) Se um corpo possui subcorpo de modo que o centro de massa do subcorpo seja indeterminado, então o centro de massa do próprio corpo será indeterminado? ii) Qualquer conjunto de corpos cuja união das massas seja finita possui centro de massa determinado? iii) Corpos de volumes infinitos têm, sempre, centros de massa indeterminados? iv) CONJECTURA: Sólido de revolução gerado por uma figura de área finita possui centro de massa determinado, e sólido de revolução gerado por figura de área infinita não possui centro de massa determinado. v) CONJECTURA: Sendo finito o volume do corpo, seu centro de massa será determinado.
  8. 8. Referência Bibliográfica1. ASSIS, A. K. T. Mecânica Relacional. CLE, UNICAMP, 1998.

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